吉林大学高数BII作业答案.

高等数学作业

答案

BⅡ

吉林大学公共数学教学与研究中心

2013年3月

第一次作业

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题 1．22

00

3lim

x y xy

x y

→→=+（ D ）． （A ）

32

； （B ）0； （C ）

6

5

； （D ）不存在．

2．二元函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+=)0,0(),(,

0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy

y x f 在)0,0(处（ C ）．

（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；

（D ）不连续，偏导数不存在．

3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．

（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；

（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12

(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；

（D ）211(,2)(1,2)2(1)0

(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．

4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；

（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．

5．设22(,),2z

z f x y y

∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．

（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题

1

．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2

．00

x y →→= 1/2 ．

3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =

3232dx dy dz

x y z

-+-+．

5．设y

z x =，则2z x y

∂=∂∂()1

1ln y x y x -+．

三、计算题

1

．已知2)z f =+，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．

将1,y z x ==

代入，)

12x f =+

有)

21f

x =-

解一：

)

)

)

2

224

23f

=

-+ ∴()243f t t t =-+

解二：令2t =

，则()2

2x t =-

∴()()2

21f t t =--

∴

)

2

2211z x =

--=

-

2．讨论函数22222

22,0,(,)0,0x xy

x y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩

的连续性．

.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，

∴()0

lim

,x y f x y →→不存在 ∴不连续

解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，

()()2222222

000

11lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ． 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+

()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡

⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦

解二：()

()()()ln 1ln 1e ,

e ln 111y

y xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦

∴()

()()1

2d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡

⎤=++++⎢⎥+⎣⎦

4．求2

e d yz

t xz u t =⎰的偏导数．

5

．设r =0r ≠时，有2222222

r r r x y z r

∂∂∂++=∂∂∂．

2

22

223

x

r x r

r x r x

r r

-⋅

∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ ∴()2222

22222223

3322r x y x r r r r x y z r r r

-++∂∂∂++===∂∂∂ 6

．证明函数(,)f x y =(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．

（1）0ε∀>

0=

≤

0ε-<

ε<

<

取δ=

，则当0δ<<

0ε<，

∴(

)()000

lim ,lim

00,0x x y y f x y f →→→

→===

（或：()00

lim

00,0x y f →→==），()

,f x y =