运筹学课件第1章_线性规划与单纯形法-习题
运筹学课件第1章_线性规划与单纯形法-习题
综上所述：
a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3, g=1, h=0 i=5, j=5, k=-3/2, l=0
6 设 X 0 是线性规划问题 max z CX , AX b, X 0
的最优解。若目标函数中用 C 代替 C 后，问题 的最优解变为 X
求证： (C C)( X X 0 ) 0
第1章 线性规划与单纯形法
• 掌握图解法、图示解释、几何解释。 • 掌握单纯形法的计算步骤。 • 根据实际生产中的经济管理问题，建立线
性规划模型，在计算机上求解。
1 将下述线性规划问题化成标准形式
min Z 2x1 2x2 3x3
st.
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x3' , x3'' 0
x4 0
2 已知线性规划问题：
max Z x1 3x2
x1
x3
5 (1)
st.
x1
2x2 x2
x4
10 (2)
x5 4
(3)
x1 ... x5 0
(4)
下表中所列的解均满足约束条件(1)-(3)，试指出表中 哪些是可行解，哪些是基解，哪些是基可行解。
x5
30 85
x1 x2 x3 x4 x5 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X (5,15, 0, 20, 0)
X (15,5,10, 0, 0)
解：
2 1 1 0 0
A 1 3
0
1
0
4 7 1 2 1
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
《管理运筹学》教学课件-第1章线性规划
要求至少应增加出油能力500桶/天，但又不得超过1100桶/天，试确定该公司总经济效益最大的
投资方案。
表 1.5
方 案 序 号
投资方案内容
技改方案内容
决
投资（万元）
策
年收益
变 量
第一年 第二年 （万元）
1 更新旧装置，提高炼油能力 500 桶/ X1
200
200
100
天
2 建造新装置， 提高炼油能力 1000 X2
2 、数学模型中系数的含义:
Max Z = 70x1＋30x2 s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540
5x1 + 5x2 ≤ 450 9x1 + 3x2 ≤ 720 x1 , x2 ≥0
…① …② …③ …④ …⑤
①.目标函数中决策变量的系数70,30 ------ 叫价值系数，表单位产品提供的利润(元/件)；
1946年，世界上第一台计算机问世，使单纯形法处理大规模L.P.数模成为可能。
三、 L.P.问题的求解过程
1、将实际问题转化为数学模型(数学公式)：建模。 2、求解数学模型：
• 图解法： 适合于 2 个变量的 L.P. 数学模型。 • 单纯形法：适合于任意个变量的 L.P. 数学模型。 3、利用数学模型的最优解获得原问题的最优决策方案。
解: ① 设甲、乙产品产量分别为x1、x2 公斤——— 决策变量，简称变量 ② 设总利润为Z，则
Max Z = 70x1＋30x2 ③ 设备可用工时数限制
——— 目标函数 ——— 约束条件
s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540 A 设备可用工时约束
5x1 + 5x2 ≤ 450 B 设备可用工时约束
第01章 线性规划及单纯形法 《运筹学》PPT课件
(f)可行域为空集 无可行解
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3
单
纯
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点
形
几个基本定理
法
原
理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
j 1
标 准
s.t.
n j 1
pjxj
b
x
j
0
j 1,2,, n
型
a1 j
其中：
pj
a2
j
amj
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化
方法：
1 目标标准化
标
min Z 等价于 max ( - Z )
准
max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式
化
加松弛变量、减剩余变量
广度和深度、方法和算法的完
善
特点：
模型方法的应用
运
多学科的综合
筹
系统的整体观念
学 优点：
模 符号语言、便于交流
型
事前分析、减少失误
抽象反映实际、突出共性
确定目标，明确约束 提出问题 抓主要矛盾、舍次要矛盾
运
筹
选择模型、设定变量 建立模型
描述约束和目标、确定参数
学
方
求解、优化 选择求解方法、求解问题
法
(1.1a) (1.1b)
(1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
由于线性规划模型中只有两个决策
《运筹学》课件
cj→
CB
XB
31
x1
0
x4
0
x5
-z
b
30 280 120 -930
31 22 0 0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
x1
x2
x3
x4
x5
1 1/3 1/6 0 0
约束条件：≥,=,≤
∑aijxj ≤(=, ≥) bi (i=1,2, …n)
变量符号：≥0,unr,≤0 xj ≥0
(j=1,2, …n)
线性规划的标准形式 目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
max z=∑cjxj ∑aijxj = bi (i=1,2, …n) xj ≥0 (j=1,2, …n)
x2
50
当z的值增加时，目
标函数与约束条件：
40
4x1+3x2 120
30
重合，Q1与Q2之间都
是最优解。
20
Q2（15，20）
可行域
10
Q1（25，0）
10
20
30
40
x1
解的讨论：
无界解：
例：max z=x1+x2 s.t. -2x1+x2 40 x1-x2 20 x1,x2 0
取目标函数最大正系数对应的非基变量为入基变量；取最小比值所对应 方程的基变量为出基变量。本例中，取 x1为入基变量， x3为出基变量。
x1+ 1/3x2 +1/6x3 26/3x2 -2/3x3 +x4 4x2 -1/2x3 +x5
= 30 =280 =120
令 非 基 变 量 x2=x3=0,z(1)=930, 相 应 的 基 可 行 解 为 x(1)=(30,0,0,280,120)T
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
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证明：因为
CX 0 CX *故C( X * X 0 ) 0
（1）
又C* X * C* X 0 ,有C*( X * X 0 ) 0 （2）
将（2）-（1）有
(C C)( X X 0 ) 0
初始单纯形表的检验数行即为目标函数中的系数C。
c1 a, c2 1, c3 2, c4 c5 0
对迭代后的单纯形表有：
2 7 c2 (2*c1 0*i)
a=c1=3 至此我们已获得所有的目标函数的系数
j=2-（3×-1＋0×1）＝5
k=0-（3×1/2＋0×1/2）＝-3/2
x5
30 85
x1 x2 x3 x4 x5 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X (5,15, 0, 20, 0)
X (15,5,10, 0, 0)
解：
2 1 1 0 0
A 1 3
0
1
0
4 7 1 2 1
2 1 0
序号
X1
X2
X3
X4
X5
A
2
4
3
0
0
B
10
0
-5
0
4
C
3
0
2
7
4
D
1
4.5
4
0
-0.5
E
0
2
5
6
2
F
0
4
5
2
0
解：可行解有(a)，(c)，(e)，(f)；
p1 p2 p3 p4 p5
1 0 1 0 0 A 1 2 0 1 0
0 1 0 0 1
1 0 1 1 2 0 0 1 0
性规划的目标函数为 max Z 5x1 3x2 约束形式为
x3、x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得Z=10。
X1
X2
X3
x4
X3 2
c
0
1
1/5
X1 a
d
e
0
1
Cj-Zj
b
-1
f
g
(1)a~g的值。 (2) 表中给出的解是否为最优解。
因为目标函数值为10，而Z=5x1+3x2,由单纯形 表可知x1=a, x2=0， 故a = 2。
因为x1、x2为基变量，所以因当满足高斯消元 的形式，故c=0, d=1, b=0, f=0。
m
由检验数的定义可知： j c j ciaij i 1 -1＝3 -（0×0 ＋e×5）
e=4/5 g=0-（0×1/5＋1×5）
g=-5
综上所述： a=2, b=0, c=0, d=1, e=4/5, f=0, g=-5 由于所有检验非正，故该解是最优解 这个表格为最终单纯形表
第1章 线性规划与单纯形法
• 掌握图解法、图示解释、几何解释。 • 掌握单纯形法的计算步骤。 • 根据实际生产中的经济管理问题，建立线
性规划模型，在计算机上求解。
1 将下述线性规划问题化成标准形式
min Z 2x1 2x2 3x3
st.
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
综上所述：
a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3, g=1, h=0 i=5, j=5, k=-3/2, l=0
6 设 X 0 是线性规划问题 max z CX , AX b, X 0
的最优解。若目标函数中用 C 代替 C 后，问题 的最优解变为 X
求证： (C C)( X X 0 ) 0
5 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形法
迭代后得到的表如下所示，试求括弧中未知数a~l值。
X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1
0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
b=2 c=4 d=-2 i=5 e=2
又有
B1b
1/ 2 1/ 2
0 6 f
1
1
4
f=3
还剩下检验数 a、j、k
m
检验数的定义为 j c j ciaij i 1
如何求得c呢？
m
j c j ciaij i 1
是基
0 1 0
2 0 1 是基
1 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0 1
是基
基解有(a)，(b)，(f)；基可行解有(a)，(f)。
3 已知某线性规划问题的约束条件为
2x1 x2 x3
25
st.4xx11
3x2 7x2
x3
x4 2x4
x3' , x3'' 0
x4 0
2 已知线性规划问题：
max Z x1 3x2
x1
x3
5 (1)
st.
x1
2x2 x2
x4
10 (2)
x5 4
(3)
x1 ... x5 0
(4)
下表中所列的解均满足约束条件(1)-(3)，试指出表中 哪些是可行解，哪些是基解，哪些是无约束
• 解：
max Z ' 2x1' 2x2 3(x3' x3'' ) 0x4
st.
x1' 2 x1'
x2 (x3' x3'' )
4
x2 (x3' x3'' ) x4 6
x1'
0
x2 0
1 3 1 不是基，故 X (5,15, 0, 20, 0) 4 7 2 不是基解，更不可能是基可行解。
2 1 1
1
3
0
不是基，故
4 7 1
X (15,5,10, 0, 0)
不是基解，更不可能是基可行解
4 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线
Cj-ZJ
0
-7 (j) (k) (l)
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
再有
B1
1/ 1/
2 2
0 1
那么 1/ 2
1/ 2
0 b 1 1
c 3
d 1
e
0
2 i
1
1
½ b=1 ½ c=2 ½ d=-1 ½ c+3=i ½ d+e=1