32薄膜干涉一等厚条纹修正版解析
薄膜干涉条纹间距与厚度关系推导
薄膜干涉条纹间距与厚度关系推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄膜干涉是光学中一种重要的现象，它是由于光在薄膜表面发生反射和折射而产生的干涉现象。
在薄膜干涉实验中，常常会观察到一系列交替出现的亮暗条纹，这些条纹就是干涉条纹。
薄膜干涉条纹的间距与薄膜的厚度之间存在一定的关系，本文将从理论推导的角度探讨薄膜干涉条纹间距与厚度之间的关系。
我们先来介绍一下薄膜干涉的基本原理。
当一束单色光照射到薄膜表面时，一部分光经过反射，一部分光经过折射。
反射光和折射光在膜面上发生干涉，形成干涉条纹。
薄膜的厚度决定了光程差的大小，从而决定了干涉条纹的间距。
光程差Δ=2ntcosθ，其中n为薄膜的折射率，t为薄膜的厚度，θ为入射角。
下面我们通过一些理论推导来解释薄膜干涉条纹间距与厚度之间的关系。
假设薄膜的厚度为t，折射率为n，入射光波长为λ，入射角为θ，我们可以得到光程差Δ=2ntcosθ。
具体推导如下：1.首先考虑膜厚远小于入射光波长的情况，即t<<λ。
在这种情况下，入射光无论经过多少次来回反射和折射，都不会发生明显的相位变化，因此光程差可以近似为Δ=2nt。
薄膜干涉条纹的间距为δ=λ/2，即相邻亮条纹和暗条纹的间距相等。
2.再考虑一般情况下的薄膜干涉。
当膜厚与入射光波长相当或大于入射光波长时，光程差的计算较为复杂。
但我们可以通过分析入射角的变化来推导薄膜干涉条纹的间距与厚度之间的关系。
当入射角θ不变，薄膜厚度增加t，光程差Δ也会增加。
薄膜干涉条纹的间距δ与薄膜厚度t成正比。
薄膜干涉条纹间距与薄膜厚度之间的关系可以用以下公式表示：δ∝t在实际的薄膜干涉实验中，我们可以通过调节薄膜的厚度或入射角来控制干涉条纹的间距。
通过观察干涉条纹的变化，我们可以间接地测量薄膜的厚度，这在一些科学研究和工程应用中具有很大的意义。
薄膜干涉是一种重要的光学现象，它能够帮助我们理解光的波动性质，并且在实际应用中也有着广泛的应用。
012等厚干涉
2n1d , k 1 , 2 , (1) Δ 2dn k r 1 k k 1, 2n1d 1104 nm k 2, n1d 552nm 绿色
k 3, 2 n1d 368 nm 3
(2) 透射光的光程差
Δt 2dn1 / 2
k 1,
k 2,
k 3,
k 4,
2n1d 2208 nm 1 1/ 2
2n1d 736 nm 2 1/ 2 2n1d 441 .6nm 3 1/ 2
2n1d 315 .4nm 4 1/ 2
红光
紫 红 色
紫光
2、不均匀薄膜表面的等厚条纹。 劈尖（wedge film）（劈形膜）
薄膜干涉是分振幅干涉。 ▲ 常见薄膜干涉： 肥皂泡上的彩色、 雨天地上油膜的彩色、 昆虫翅膀的彩色…。
─ 光的相干长度所限。
▲ 膜为何要薄？
与光的单色性好坏有关。 膜的薄、厚是相对的，
▲普遍地讨论薄膜干涉是个极为复杂的问题。
厚度不均匀薄膜表面的等厚条纹
厚度均匀薄膜在无穷远处的等倾条纹。
半波损失
产生半波损失的条件：光从光疏介质射向光密介
(k m) R
R
r
2 k m
r m
2 k
2r
例3 用氦氖激光器发出的波长为633nm的单色光 做牛顿环实验，测得第个 k 暗环的半径为5.63mm , 第 k+5 暗环的半径为7.96mm，求平凸透镜的曲率半径R.
解
rk kR
rk 5 (k 5) R
2 k 5
每一条纹对应劈尖度当此厚度位置改变时对应的条纹随之移每一条纹对应劈尖度当此厚度位置改变时对应的条纹随之移d减小干涉条纹右移d增大干涉条纹左移3劈尖张角不变平行移动劈上表面时干涉条纹左移
薄膜干涉等厚条纹等倾条纹
利用光具组将同一列波分解，使它们经过不同的途径后重 新相遇，由于这样的两列波由同一列波分解而来，它们频 率相同，位相差稳定，振动方向也可做到基本平行，因而 满足相干条件，能产生干涉图样。实际的干涉装置按分解 波列的方法不同分为两种： i）分波前法将点光源的波前分割为两部分的波列分解法称 为分波前法，杨氏双缝是分波前法的典型代表 ii）分振幅法利用两种媒质的界面将振幅分解为反射和透 射两部分的波列分解法称为分振幅法。分振幅法的典型代 表是薄膜干涉和迈克尔逊干涉仪。
膜厚增大，条纹细锐 中心条纹没有周围细锐
28
2.观察等倾条纹时扩展光源的作用
29
3.薄膜干涉的定域问题
30
31
32
33
i) 条纹偏离等厚线：
14
ii) 反衬度下降：
15
6. 薄膜的颜色、增透膜和高反膜
16
增透膜
17
18
高反膜
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （1） （2） （3） （4） （5） （6） H L H L H L H
基底
19
20
降低反射率
黑硅
21
作业：P300， 2, 3, 5, 6
8
2.薄膜表面的等厚条纹（i固定h变化）
光程差计算：
9
10
3.楔形薄膜的等厚干涉
11
12
4.牛顿圈（环）
13
5.等厚干涉条纹的观测方法及倾角的影响
严格的等厚干涉要求点光源、正入射。但扩展光源、斜入射，用眼睛 也能观察到干涉现象。主要是眼睛的瞳孔对光束进行了限制，只是干 涉的结果会受到一定的影响。
中心处条纹较稀疏。
膜厚增大，条纹变密。
27
3-02 薄膜干涉(一)——等厚条纹
n
h
第三章：干涉装置 光场的时空相干性 § 2 薄膜干涉（一）——等厚条纹
2.6 薄膜的颜色、增透膜和高反膜 薄膜的颜色：干涉导致不同波长光的反射率不同。 增透膜：
n1 < n < n 2 nh = λ 4 , n1 n n2
例： n1 = 1,
3λ 4 ,
n1 n 2 时完全消光
→ n 0 = 1 . 23
2.2 薄膜表面的等厚条纹（i固定，h变化） 光程差计算：
Q
i1
C
n
A
i
B
P
h
Δ L ( P ) = ( QABP ) − ( QP ) = ( QA ) − ( QP ) + ( ABP ) Δ L ( P ) ≈ 2 nh cos i
第三章：干涉装置 光场的时空相干性 § 2 薄膜干涉（一）——等厚条纹
2 nh cos i = conL ) = − 2 nh sin i δ i + 2 n cos i δ h = 0
第三章：干涉装置 光场的时空相干性 § 2 薄膜干涉（一）——等厚条纹
2.5 等厚干涉条纹的观测方法及倾角的影响 ii)反衬度下降： 眼睛瞳孔限制扩展光源 参与干涉的区域。光源 不同处的 i 不同， h 越 大，反衬度越低。
rk2+ m − rk2 R= mλ
由于半波损失，中心时暗纹。
rk
DP k2 = CP k2 − CD 2 rk2 = R 2 − ( R − h k ) 2 = 2 Rh k − h k2
第三章：干涉装置 光场的时空相干性 § 2 薄膜干涉（一）——等厚条纹
2.5 等厚干涉条纹的观测方法及倾角的影响 严格的等厚干涉要求点光源、正入射。但扩展光源、斜入 射，用眼睛也能观察到干涉现象。主要是眼睛的瞳孔对光 束进行了限制，只是干涉的结果会受到一定的影响。 i) 条纹偏离等厚线： 干涉条纹：
11-2 薄膜干涉--等厚干涉
n1 n2
M
si
sio2 e
第二讲
薄膜干涉—等厚干涉 薄膜干涉 等厚干涉
第十一章 波动光学
牛顿环 显微镜 T L S M半透 半透 半反镜
R
r
d
牛顿环干涉图样
第二讲
薄膜干涉—等厚干涉 薄膜干涉 等厚干涉
第十一章 波动光学
光程差
∆ = 2d +
λ
2
2
= kλ (k = 1,2,⋯)
1 = (k + )λ (k = 0,1,⋯) 2
第十一章 波动光学
本讲内容提要
2-0. 上一讲回顾 2-1. 薄膜干涉光程差计算
• 等厚干涉 • 等倾干涉
2-2. 等厚干涉
• 劈尖 • 牛顿环
2-3.小结 小结
第二讲
薄膜干涉—等厚干涉 薄膜干涉 等厚干涉
第十一章 波动光学
2-0.上一讲回顾 上一讲回顾 •光程和光程差： 光程和光程差 光程和光程差：
λ
2
λ
2
= 2d n − n sin i +
第二讲
薄膜干涉—等厚干涉 薄膜干涉 等厚干涉
第十一章 波动光学
∆32 = 2n2 d cos r +
2 2 2 1
λ
2
2
n2 > n1
λ
2
M1 M2
L 2
P
= 2d n − n sin i +
1
∆23 =
加强 kλ ( k = 1, 2 , ⋯ ) λ (2k + 1) 减 弱 2 ( k = 0 ,1, 2 , ⋯ )
明环半径 暗环半径
1 r = (k − )Rλ (k = 1,2,3,⋯) 2 (k = 0,1,2,⋯) r = kR λ
薄膜干涉
等倾干涉条纹是一组内疏外密的同心圆环，越向内，级 次越高。入射角减小，圆半径减小。
等倾干涉特点：倾角相同的光线对应同一条干涉条纹
增反膜 利用薄膜干涉原理，使薄膜上、下表面对某种色光的 反射光发生相长干涉，其结果是增加了该光的反射，减少了 它的透射. 增透膜 在透镜表面镀一层厚度均匀的透明介质膜，使其上、 下表面对某种色光的反射光产生相消干涉，其结果是减少了该 光的反射，增加了它的透射.
对应于最小厚度，k = 0,得 到
emin
550 nm 4n2 4 1.38
99.6nm
解:
n1=1 n2=1.38 n3=1.50
依题意反射光干涉最小上下表 明都有半波损失，故 2n2 e (2k 1) k=0,1,2,… 2
等厚干涉
1.劈尖干涉
n
介质劈尖
光程差： 2ne
2
明条纹 k (2k 1) 暗条纹 2 （2）相邻两暗（明）纹的间距
空气劈尖
e ek 1 ek
2n
（1）干涉情况分析
λ l
θ
d
2n
n
2
ek
ek+1 n
相邻条纹间的距离：
l 2n sin 2n
明条纹暗条纹公式：
k 2ne 2 (2k 1) 2
等倾干涉
2d n n sin i 2
2 2 2 1 2
分析与讨论： 1.透射光的干涉：
2 2d n2 n12 sin 2 i k
薄膜厚度均匀(e 一定)， 光程差δ随入射角 i 变化 等倾条纹的的干涉图样:
薄膜干涉modified
如何实现增透&高反？解二： 使透射绿光干涉相长两束透射光干涉加强的条件：δ=2n2e +λ2==kλ.取k = 1得 ： e = λ = 996Å.4n2思考：此时反射光呈什么颜色？由 2n2e = kλ取k=1 λ1= 2n2e = 8250Å取k=2 λ2= 2n2e/2 = 4125Å∴反射光呈现紫蓝色。
12n0 = 1 1.381.5015/43思考题——填空题已知玻璃的折射率为 1.6，入射光波长为λ ，现用某种折射率为n的介质( n < 1.6 ) 在玻璃表面镀上一层高反膜，则膜的最小厚度为：e1 =。
若要镀成增透膜，则膜的最小厚度应为：e2 =。
空气n0 = 1介质膜ne1玻璃1.616/433、等厚干涉条纹一束平行光入射到厚度不均匀的透明介质薄膜上，两反射光线a' 和b '在B点发生干涉，光程差：δ ≈ 2n2e cos r + δ ′b'baa'＝2e n22 − n12 sin2 i + δ ′ n1iAB当 i 保持不变（平行光）时， n2r光程差仅与薄膜厚度有关。
n3C∴ 凡厚度相同的地方光程差相同，对应 同一条干涉条纹 ——等厚干涉条纹18/43实际应用中，通常使光线垂直 入射薄膜，即 i = r = 0 。
光程差简化为：n1δ = 2n2e + δ ′.n2en3δ ′ ：由于半波损失而产生的附加光程差。
∴ 明纹和暗纹出现的条件为：⎧ kλ k = 1, 2, 3δ=2n2e + δ ′=⎪⎨⎪⎩( 2k+ 1)λ2k = 0,1, 2明纹 暗纹19/434、劈尖膜劈尖：薄膜的两个表面是平面，其间有很小夹角。
λAn21/434.1 劈尖干涉光程差的计算δ = 2ne + λ 2 .λ 入射光(单色平行光垂直入射)反射光2 反射光1从从光光密密介介质质到到A光光疏疏介介质质·n 空气介质 eθB从从光光疏疏介介质质到到光光密密介介质质22/434.2 劈尖明暗条纹的判据当δ 等于波长的整数倍时，干涉加强——明条纹；当δ 等于半波长的奇数倍时，干涉减弱——暗条纹。
薄膜等厚条纹干涉讨论
薄膜等厚条纹干涉摘要：光的干涉现象在现实中很常见，光干涉现象的原理在我们的实际生活中也得到了广泛的应用。
本文从概念、原理等方面对一种光的干涉现象—薄膜等厚条纹干涉做出了解释和说明。
关键词：光程差；薄膜；入射角；折射角；干涉；位相差目录绪论 (II)1.薄膜干涉的概述 (III)2. 薄膜表面的等厚条纹 (V)2.1光程差 (V)2.2明暗条纹 (VI)2.3半波损 (VI)2.4对单色光的讨论 (VI)2.5观察到清晰的干涉图样的要求 (VI)2.6观察到的干涉图样的光程差是平均值 (VII)2.7等厚干涉条纹 (VIII)3薄膜干涉的应用 (VIII)致谢 ............................................................................................................................................... I X 参考文献 (9)Abstract (10)Key word (10)绪论光学在现代科学技术中占有重要的地位，特别是近代以来激光和光电子技术的发展。
光的干涉在实际应用中多数情形要用到膜上的干涉或等效的膜上干涉。
我们知道当光照到透明媒质的膜上时，从膜的上下表面反射的两束光也可以形成干涉现象。
例如肥皂沫，油墨上的彩色。
磨制透镜时为了检验而用样板观察的光圈，以及许多干涉仪中观察到的干涉条纹等，都属于膜上的干涉。
我们经常观察到的干涉现象，多是在有一定大小的普通光源照明下的情形，所以我们讨论的是光源的光照射到膜上时所看到的干涉条纹。
例如在厚度不均匀的薄膜上，一般我们看到的是在膜表面上的干涉条纹；而在厚度不均匀的平行平面膜上看到的是无穷远处的干涉条纹。
在本文中讲的就是其中的很典型一种干涉现象——薄膜上的等厚干涉1.薄膜干涉的概述当扩展Q光源发出一束光投射到两种透明介质的分界面上，会有一部分光线反射回来，另一部分从介质透射出去。
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1．薄膜干涉是分振幅干涉
1）透明介质分界面多次反射光或多次透 射光之间的干涉为分振幅干涉，最简单的 装置，即为一块透明薄膜。
2）干涉的空间区域 薄膜上下表面的 广阔交叠区域里 都能发生干涉
3）观察条纹的方法 屏幕接收、光具组 成像或眼睛直接观察
4）薄膜干涉的分类 等厚条纹和等倾条纹
片的上表面相距 h ? 8.0 ? 102 nm 时，干涉条 纹是如何分布的？可看到几条明纹？明纹所
在处的油膜厚度为多少 ?
L S
h
解 条纹为同心圆
Δ ? 2n2d k ? k? 明纹
nn21
G
dk
?
k
?
2n2
k ? 0,1,2,?
油膜边缘k ? 0, d0 ? 0 k ? 1, d1 ? 250 nm
( ABP) ? 2( AB) ? 2nh / cos i
Q
??
i1 C
n1
Ai P h n
B
n2
? L(P) ? 2nh cos i
2）讨论
（1）这是一个近似公式
（2）干涉区域位于薄膜表面附近
（3）满足n1 ? n ? n2或 n1 ? n ? n2 时
有半波损 ? L(P) ? 2nh cos i ? ?0 / 2
2．等厚条纹
1）薄膜表面干涉条纹的光程差
? L(P) ? (QABP ) ? (QP) ? (QA) ? (QP) ? ( ABP )
(QA) ? (QP)_?___?_ (CP) ? ? n1__A__P_ sin i1 ? ? n AP sin i ? ? n(2h tan i)sin i ? ? 2nh sin2 i / cos i
（4）有无半波损只影响条纹的绝对 级次，不影响条纹的形状、间 隔和反衬度。
3）正入射时，等厚条纹的形状
垂直入射时，cos i ? 1 ? L(P) ? 2nh ? ?0 / 2
可知，干涉条纹与薄膜的等厚度线重合， 干涉条纹的形状就是薄膜等厚线的形状， 所以成为等厚条纹。
4）等厚条纹的特点
（1）条纹定位于薄膜的表面附近
(3)将牛顿环置于 n ? 1 的液体中，条 纹如何变？
(4)应用例子:可以用来测量光波波长， 用于检测透镜质量，曲率半径等.
工件 标准件
测量透镜的曲率半径
rk2 ? kR ?
r2 k?m
?
(k
?
m)R?
R?
r2 k?m
?
r2 k
m?
中心膜厚不为0时 上式仍成立
R
r
2r
h0
?
0
时，仍有：R ?
r2 k?m
? rk2
m?
证明：? hk ? hk ? h0
rk2 ? R2 ? (R ? ? hk ))2
? 2R? hk ? (? hk )2 ? 2R? hk ? 2R(hk ? h0 )
r2 k?m
?
2R? hk ? m
?
2R(hk ? m
?
h0 )
因此： rk2? m ? rk2 ? mR?
显微镜 T
L
S
R
M 半透 半反镜
rd 牛顿环干涉图样
光程差
Δ ? 2d ? ?
2
k? (k ? 1,2,? ) 明纹
Δ ? (k ? 1)? (k ? 0,1,? ) 暗纹
2
R rd
r2 ? R2 ? (R ? d)2 ? 2dR ? d 2
? R ?? d ? d 2 ? 0
r ? 2dR ? (Δ? ? )R
R?
r2
2(h ? d )
总结
(1)干涉条纹为光程差相同的点的轨迹， 即厚度相等的点的轨迹.
?k ?1
?d
?d ? ?
2n
(2)厚度线性增长条纹等间距，厚度非线 性增长条纹不等间距.
(3)条纹的动态变化分析（ n, ? ,? 变化时）
(4)半波损失需具体问题具体分析.
（2）薄膜厚度不均匀，条纹与等厚线重合
（5）相邻干涉条纹的厚度差：
? h ? ? ? ?0 ，? h ? ?0 (n ? 1)
2 2n
2
3．楔形薄膜的等厚条纹
1）形状、走向和间隔
L
S
劈尖角 ?
T
M
D
n
n1
n1
h
光程差： Δ ? 2nh ? ?
2
?x
条纹间隔： ? x ? ? h ? ? ? 2?
形状：平行楞边的直线条纹
解 2d ? ? ? (2k ? 1) ?
2
2
k ? 0,1,2,?
2d ? ? ? (2k ? 1) ?
2
2
2D ?
?
2
?
(2km
? 1)
?
2
2D
km ? ? ? 141.1
共有142条暗纹
k ? 0,1,2,?
二 牛顿圈
由一块平板玻璃和一平凸透镜组成
d
光程差
Δ ? 2d ? ?
2
牛顿环实验装置
2
r ? (k ? 1)R? 明环半径
2
r ? kR? 暗环半径
R rd
讨 明环半径 论 暗环半径
r ? (k ? 1)R? (k ? 1,2,3,? )
2
r ? kR? (k ? 0,1,2,? )
(1)从反射光中观测，中心点是暗点还 是亮点？从透射光中观测，中心点是暗点还 是亮点？
(2)属于等厚干涉，条纹间距不等，为 什么？
e SiO2
e? N ?
2n1
(4)检验光学元件表面的平整度
?e
b' ?
?e ?
b2
b
? 1 ?? ? ?
32 6
b'
10
例 1 波长为680 nm的平行光照射到L=12 cm长的两块玻璃片上，两玻璃片的一边相互 接触 ，另一边被厚度D=0.048 mm的纸片隔开. 试问在这12 cm长度内会呈现多少条暗条纹 ?
k ? 2, d 2 ? 500 nm
h
r
d k ? 3, d 3 ? 750 nm
k ? 4, d 4 ? 1000 nm
oR
由于 h ? 8.0 ? 10 2 nm 故 可观察到四条明纹 .
r
讨论
h
d 油滴展开时，条纹间
oR
距变大，条纹数减少 R2 ? r2 ?[ R? (h? d)]2
r2 ? 2R(h ? d)
2 )干涉条纹的移动
7
3）楔形薄膜的应用
（1）测量楔角和细丝的直径
若已知入射光的波长：?0 ，(n ? 1)
可以测出：l、m
则：? x ? l / m
l
? ? ?0 ? m?0
?
h
2? x 2l h ? m ?0 ? l?
2
(2)干涉膨胀仪 ?l
l0
9
?l ? N ?
2(3)测膜厚n1 Nhomakorabean2
Si
即：R ?
r2 k?m
?
rk2
m?
例2 如图所示为测量油膜折射率的实验装
置，在平面玻璃片G上放一油滴，并展开成圆
形油膜，在波长? ? 600 nm 的单色光垂直入射
下，从反射光中可观察
L S
h
到油膜所形成的干涉条
纹．已知玻璃的折射率
为 n1 ? 1.50 ，油膜的折
nn21
G
射率 n2 ? 1.20 ，问：当 油膜中心最高点与玻璃