双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法
双缝干涉条纹间距公式的推导
双缝干涉条纹间距公式的推导如图建立直角坐标系，其x 轴上横坐标为2d -的点与2d的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍λn （零除外）的双曲线簇。
其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2d 、⎪⎭⎫⎝⎛0,2d 为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为：122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛λλn d y n x用直线l y =去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。
将l y =代入双曲线簇的方程，有：122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛λλn d l n x解得：22224λλn d l n x -+= 上式中，d 的数量级为m 410-，λ为m 710-。
故2222d n d =-λ，x 的表达式简化为：224dl n x +=λ其中l 的数量级为m 010，d 的数量级为m 410-。
故42210≈dl ，x 的表达式简化为：d ln dl n x λλ==22 可见，交点横坐标成一等差数列，公差为dl λ，这说明： （1）条纹是等间距的； （2）相邻两条纹的间距为dl λ。
至此，证明了条纹间距公式：λdlx =∆。
二零一零年三月二十六日。
双缝干涉条纹间距公式的推导
双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉的实验装置如下图所示，P 0是S 1S 2的中垂线与屏的交点；d 是双缝S 1、S 2的距离；L 是缝与屏的距离；y 是P 点到P 0点的距离；r 1、r 2是屏上P 点到S 1、S 2的距离；设S 1、S 2到P 点的路程差（光程差）为δ=r 2−r 1，则由图可知r 22 = (y +d 2)2+L 2 ------------------------------------------------------------------------------------------① r 12 = (y −d 2)2+L 2 ------------------------------------------------------------------------------------------② 由①—②可得：r 22−r 12 = (y +d 2)2−(y −d 2)2 = 2d y -----------------------------------------------------------------③ 即：(r 2+r 1)(r 2−r 1) = 2d y由于L ≫d ，L ≫y ，因此 r 2+r 1≈2L所以 δ=r 2−r 1=2dy 2L 即：δ=d L y当光程差δ等于光波波长λ的整数倍时，两列波在P点同相加强，出现亮条纹，即kλ=dLy(k=0，±1，±2，±3，⋯)则y=k Ldλ(k=0，±1，±2，±3，⋯)所以Δy=y k+1−y k=(k+1)Ld λ−k Ldλ=Ldλ即Δy=Ldλ-----------------------------------------------------------------------------------------------④当光程差δ等于光波半波长λ2的奇数数倍时，两列波在P点反相减弱，出现暗条纹，即(2k+1)λ2=dLy(k=0，±1，±2，±3，⋯)则y=(2k+1)Ld ∙λ2(k=0，±1，±2，±3，⋯)所以Δy=y k+1−y k=(2k+3)Ld ∙λ2−(2k+1)Ld∙λ2=Ldλ即Δy=Ldλ------------------------------------------------------------------------------------------------⑤根据④、⑤两式可知：相邻两条明条纹（或暗条纹）间距均为Δy=Ldλ，而L、d和λ都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。
双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法
双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导如图建立直角坐标系，其x 轴上横坐标为2d -的点与2d 的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍λn （零除外）的双曲线簇。
其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2d 、⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2d 为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为：用直线l y =去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。
将l y =代入双曲线簇的方程，有：解得：上式中，d 的数量级为m 410-，λ为m 710-。
故2222d n d =-λ，x 的表达式简化为：O · · xy其中l 的数量级为m 010，d 的数量级为m 410-。
故42210≈d l ，x 的表达式简化为： 可见，交点横坐标成一等差数列，公差为d l λ，这说明： （1）条纹是等间距的；（2）相邻两条纹的间距为dl λ。
至此，证明了条纹间距公式：λd l x=∆。
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的？海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：Δx＝Lλ/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而言，其波长λ为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢？首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。
设定双缝S1、S2的间距为d，双缝所在平面与光屏P平行。
双缝与屏之间的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P1，设定点P1与双缝S1、S2的距离分别为r1和r2，O为双缝S1、S2的中点，双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0，设P1与P0的距离为x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d，在这种情况下由双缝S1、S2发出的光到达屏上P1点的光程差Δr为S2M＝r2－r1≈dsinθ，（1）其中θ也是OP0与OP1所成的角。
双缝干涉条纹间距公式的推导__两种方法
双缝干涉条纹间距公式的推导__两种方法双缝干涉是一种经典的光学实验，通过两个狭缝的光源在屏幕上形成干涉条纹。
干涉条纹的间距是干涉实验中一个重要的物理量，可以用来研究光的波动性质。
本文将介绍两种方法推导双缝干涉条纹间距的公式。
方法一：几何推导法我们考虑一个光源发出的平行光束，通过两个平行狭缝后在屏幕上形成干涉条纹。
设两个狭缝的中心到屏幕的距离为D，两个狭缝之间的距离为d，屏幕上相邻两个明纹间的距离为x，光波长为λ。
根据几何关系，可以推导出如下关系：sin(θ) = x / D其中，θ为屏幕上明纹和中心亮条纹的夹角。
而在干涉实验中，明纹和暗纹的差距可以认为是1/2个波长，即：x=(m+1/2)*λm为整数，代表第m条明纹。
将上述两个公式结合起来，可以得到：sin(θ) = (m + 1/2) * λ / D对上述公式两边求导，可以得到：dθ=(m+1/2)*λ/D^2*dD在双缝干涉实验中，狭缝间距d非常小，可以认为对于连续的明纹来说，θ的变化非常小，即dθ可以近似为dθ = dx / D。
将上述公式带入，得到：dx / D = (m + 1/2) * λ / D^2 * dD整理公式，得到：dx = (m + 1/2) * λ / D * dD上述公式即为双缝干涉条纹间距的公式。
方法二：波动理论推导法基于波动理论，我们可以用复振幅叠加的方法来推导双缝干涉条纹的间距。
假设两个狭缝产生的波的复振幅分别为A1和A2，两个狭缝之间的相位差为δ。
在屏幕上其中一点P处，由于干涉效应，两个波累加得到：E = A1 * exp(i * k * r1) + A2 * exp(i * k * r2)其中，k为波数，r1和r2分别为点P到两个狭缝的距离。
将上述公式进行化简，得到：E = A * [exp(i * k * r1) + exp(i * k * r2)]= A * [exp(i * k * r1) + exp(i * k * r1 * sin(θ))]= 2 * A * cos(k * r1 * sin(θ))将上述公式与光强公式I=，E，^2相结合，可以得到：I = 4 * I0 * cos^2(k * r1 * sin(θ))其中，I0为单个狭缝的光强。
双缝干涉条纹间距公式的推导__两种方法
双缝干涉条纹间距公式的推导__两种方法双缝干涉是一种经典的光学现象，它可以通过光的波动性来解释。
干涉条纹的间距与波长、双缝间距、干涉屏到双缝与屏幕上的干涉条纹的距离之间有密切的关系。
下面将介绍两种方法来推导双缝干涉条纹间距的公式。
方法一：几何光学法双缝干涉条纹的间距可以用几何光学的方法来推导。
首先，我们假设光线垂直于干涉屏，即入射角为0°。
根据几何光学的原理，如果两个光线从同一点出发，经过两个缝隙，然后到达屏幕上，那么它们到达屏幕的路径差将会决定干涉条纹的位置。
假设缝隙间距为d，两个缝隙到屏幕的距离分别为D1和D2，入射光的波长为λ。
我们可以通过构造几何图形来推导出干涉条纹的间距。
由三角形的性质可以得知，当光线经过一个缝隙到达屏幕上的位置与另一个缝隙到达屏幕上的位置构成的角相差λ/2时，它们之间的距离差正好是一个波长。
因此，可以得到以下关系式：d*sinθ = m*λ其中，θ是两缝隙到达屏幕上的位置与光轴的夹角，m是整数，表示干涉条纹的级数，λ是光的波长。
将θ转化为与缝隙距离的关系，可以得到干涉条纹间距的公式：Δx=λD/d其中，Δx表示干涉条纹的间距，λ是光的波长，D是干涉边缘到屏幕的距离，d是缝隙间距。
方法二：干涉光的相位差法双缝干涉也可以用干涉光的相位差来推导间距的公式。
在光的干涉中，相位差是决定干涉效应的重要因素。
假设缝隙间距为d，出射光线间的相位差为Δϕ。
根据几何光学的原理，可以得到以下关系式：Δϕ=2π*Δx/λ其中，Δx表示干涉条纹的间距，λ是光的波长。
另一方面，根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：d*sinθ = m * λ将θ转化为与缝隙距离的关系，可以得到：sinθ = Δx / D其中，D是观察屏幕到双缝的距离。
将以上两个关系式结合起来，可以得到：Δϕ= 2π * sinθ = 2π * Δx / D由于Δϕ表示相位差，如果相位差差异为2π，那么干涉条纹将会出现。
杨氏双缝干涉实验条纹间距公式
杨氏双缝干涉实验条纹间距公式杨氏双缝干涉实验是一种重要的实验，它能够用来研究光的波动性。
这个实验的一个主要观察结果是在干涉屏上可以看到一系列的明暗条纹，被称为干涉条纹。
这些干涉条纹的间距是实验中的一个重要参数，它与实验的几何布置和光波的特性有关。
下面，我们将讨论杨氏双缝干涉实验中干涉条纹的间距公式。
首先，我们来简单介绍一下杨氏双缝干涉实验的原理。
实验的基本设置是在一个透明的屏幕上，用两个非常接近且平行的缝隙，使得通过两个缝隙传播的光波在屏幕上干涉。
当两个波峰或波谷同时到达同一位置时，它们会相互增强，并产生亮纹。
当一个波峰和一个波谷到达同一位置时，它们会相互抵消，并产生暗纹。
这样，就形成了一系列的明暗相间的干涉条纹。
我们假设实验中的两个缝隙之间的距离为d，缝隙到屏幕的距离为L，缝隙到中心位置的距离为x。
当光源发出的光波波长为λ时，光波传播的速度v=c（光速）。
现在我们来推导干涉条纹的间距公式。
根据几何关系，可以得到干涉条纹的间距公式为：y=(λL)/d（1）其中，y表示干涉条纹的间距。
这个公式可以解释杨氏双缝干涉实验中干涉条纹的形成。
当光波传播到屏幕上时，从两个缝隙出发的光波会经过不同的路径到达同一位置。
如果两个光波到达的光程差为整数倍的波长（λ），则它们会相互增强，并产生干涉亮纹。
这时，干涉条纹的间距（y）可以根据公式（1）计算出来。
有时，我们还可以将公式（1）改写为波长（λ）的形式：y=(λL)/(n*d)（2）其中，n为干涉条纹的次数。
这个公式指出，干涉条纹的间距与波长成正比，与缝隙之间的距离（d）和光源到屏幕的距离（L）成反比。
公式（2）更加直观地显示了干涉条纹的间距与实验参数之间的关系。
需要注意的是，公式（1）或（2）只适用于理想条件下的杨氏双缝干涉实验。
在实际情况中，可能会存在一些误差，比如光源的位置和缝隙的宽度等。
此外，如果实验中使用的光源是多色光，则每种波长的光波都会产生一组干涉条纹，干涉条纹的间距也会随波长的变化而变化。
双缝干涉条纹干涉间距推导
双缝干涉条纹间距的推导
相干光经双缝后再次在屏上相遇互相叠加，形成了稳定的明暗相间的干涉条纹，理论和实验都证明：
在两狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距跟光的波长成正比，现简要推导如下：
如图，o是s1s2的中垂线与屏的交点；d是s
1、s2的距离；l是缝与屏的距离；x是p点到o点的距离；r
1、r2是屏上P点到s
1、s2的距离；设s
1、s2到P点的路程差为δ=r2－r1，由图可知
根据
（4）、（5）两式可知：
相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为Δx =1/d λ，而l、d和λ都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。
[应用]相干光经双缝产生干涉现象，当发生如下变化时，干涉条纹如何变化？
（1）屏幕移近；
（2）缝距变小；
（3）波长变长；
[分析]由公式Δx=1/dλ可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离Δx与l、λ成正比，与d成反比。
（1）若屏幕移近，则l变小，因此条纹间距Δx变小，条纹变得密集。
1/ 2
（2）若缝距d变小，则Δx变大，条纹变得稀疏。
（3）若波长λ变长，则Δx变大。
因此若入射光为白光，则中央明纹（白色）的两侧，出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。
另外在研究干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。
2/ 2。
双缝干涉条纹间距公式的推导
双缝干涉条纹间距公式的推导
1 干涉条纹间距公式
干涉条纹间距是光波干涉实验中常用的一个参数，其间距公式是
由丹佛·路易斯·爱迪生（Thomas Young）于1801年推导而来的，它
一般用于测量光线的波长或准确度来表示双缝的差值。
具体的公式为：(y-y’) = mλ/d
2 推导过程
a. 首先在双缝干涉实验中，设有两根光纤：入射光（光源）F和
反射光f。
它们之间存在两个缝隙A、B，A和B之间的距离称之为物距d, 我们假设它们分别存在光幅Y和Y’。
b. 则由三角函数可知：
$$\sin \varphi =\frac{OP}{OQ} = \frac{Y'-Y}{d} =
\frac{m\lambda}{d}$$
c. 由波米诺定律可知：$$\lambda = \frac {v}{f} (v-速度 f-
频率)$$
d. 由a，c可得：$$ \sin \varphi = \frac{mfv}{d}$$
e. 整理上述条件，得到：$$(y-y')=m\lambda/d$$
3 小结
双缝干涉条纹间距公式也叫干涉条纹公式，是奥地利物理学家路易斯·爱迪生（Thomas Young）在1801 年推导出来的，它的推导基于双缝干涉实验中光纤之间的距离、波米诺定律以及三角函数中邻边与线段投影长度之比的关系，其公式表达式为 (y-y’) = mλ/d。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双缝干涉条纹间距公式的推导
2
3
4
双缝干涉条纹间距公式的推导
如图建立直角坐标系，其x 轴上横坐标为2d -
的点与2d
的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍λn （零除外）的双曲线簇。
其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,2d 、⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2d 为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为： 12222
2
2
2
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⎪⎭
⎫
⎝⎛λλn d y n x
用直线l y =去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。
将l y =代入双曲线簇的方程，有：
5
12222
2
2
2
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⎪⎭
⎫ ⎝⎛λλn d l n x
解得：
2
22
2
4λλn d l n x -+= 上式中，d 的数量级为m 4
10-，λ为m 7
10-。
故2
2
2
2
d n d =-λ，x 的表达式简化为：
22
4d
l n x +=λ
其中l 的数量级为m 0
10，d 的数量级为m 4
10-。
故4
2210≈d
l ，x 的表达式简化为：
d l
n d
l n x λλ==2
2 可见，交点横坐标成一等差数列，公差为d
l λ
，这说明： （1）条纹是等间距的； （2）相邻两条纹的间距为
d
l λ。
至此，证明了条纹间距公式：λd
l
x =∆。
6
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：Δx＝Lλ/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光
而言，其波长λ为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。
7
设定双缝S 1、S 2的间距为d ，双缝所在平面与光屏P 平行。
双缝与屏之间的垂直距离为L ，我们在屏上任取一点P 1，设定点P 1与双缝S 1、S 2的距离分别为r 1和r 2，O 为双缝S 1、S 2的中点，双缝S 1、S 2的连线的中垂线与屏的交点为P 0，设P 1与P 0的距离为x ，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d ，在这种情况下由双缝S 1、S 2发出的光到达屏上P 1点的光程差Δr 为
S 2M ＝r 2－r 1≈dsin θ， （1） 其中θ也是OP 0与OP 1所成的角。
因为d<<L ，θ很小，所以
sin θ≈tan θ＝x
L （2）
因此Δr ≈dsin θ≈d x
L
当Δr ≈d x
L
＝±k λ时，屏上表现为明条纹，其中k ＝0，1，2，……， （3）
当Δr ≈d x L ＝±（k ＋1
2 ）λ时，屏上表现为暗条纹，其中是k ＝0，1，2，……。
（3′）
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
当x ＝±k L
d
λ时，屏上表现为明条纹，其中k ＝0，1，2，…。
（4）
当x ＝±（k ＋12 ）L
d λ时，屏上表现为暗条纹，其中k ＝0，1，2，…。
（4′）
我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为 Δx ＝x k ＋1－x k ＝L
d
λ。
（5）
至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。
问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Δr ＝r 2－r 1≈dsin θ的时候，此式近似成立的条件是∠S 1P 1S 2很小，因此有S 1M ⊥S 2P 1，S 1M
8
⊥OP 1，因此∠P 0OP 1＝∠S 2S 1M ，如果要保证∠S 1P 1S 2很小，只要满足d<<L 即可，因此Δr ≈dsin θ是满足的。
第2次近似是因为d<<L ，θ很小，所以sin θ≈tan θ。
下面我们通过表1来比较sin θ与tan θ的数值。
表1
从表1中我们可以看出当θ＝6°时，tan θ－sin θ
sin θ ≈%。
因此当θ≥6°时，相对误差就超过了%，因此我们通常说sin θ＝tan θ成立的条件是θ≤5°，当θ
＞5°时，sin θ≈tan θ就不再成立。
而在杨氏双缝干涉实验中，θ很小所对应的条件应该是x<<L ，这应该对应于光屏上靠近P 0的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。
而当x 较大时，也就是光屏上离P 0较远的点所对应的θ角也较大，当θ＞5°时，sin θ≈tan θ就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。
9
此时sin θ＝
2
2
x
L x +
所以，Δr ≈dsin θ＝
2
2
x
L dx +＝±k λ，屏上表现为明条纹，其中k ＝0，1，2，…，
Δr ≈dsin θ＝
2
2x L dx +＝±（k ＋1
2
）λ，屏上表现为暗条纹，其中k ＝0，1，2，…。
因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x ＝±
2
2
2
λ
λk d Lk -，屏上表现为明条纹，其中k ＝0，1，2，…，
x ＝±2
22)2
1
()21(λλ
+-+k d k L ，屏上表现为暗条纹，其中k ＝0，1，2，…。
则相邻的明条纹中心问距为 Δx 明＝x k ＋1明一x k 明＝
2
2
2
)1()1(λ
λ+-+k d k L －
2
2
2
λ
λk d Lk -
邻暗条纹中心间距为
Δx 暗＝x k ＋1暗一x k 暗＝222)211()211(λλ++-++k d k L －2
22)2
1
()21
(λλ
+-+k d k L 由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。
10
下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。
例1：用氦氖激光器（频率为×1014
Hz ）的红光照射间距为2mm 的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。
解：因为Δr ＝dsin θ＝k λ，所以 k ＝dsin θλ ＝νdsin θc
＝错误!≈。
考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。