传热学-3 非稳态导热
传热学-第三章 非稳态热传导
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
第三章 非稳态导热传热学
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
3-非稳态热传导3
f (x) (x b)dx f (b)
格林函数法在非稳态导热中的应用
空间变量的三维δ函数 (r r)在直角坐标系 中等同于三个坐标变量的δ函数的乘积，即 (x x) ( y y) (z z)
时刻作用在空间某一点 r 强度在数量上等于ρc[J]的 瞬时点热源可写作
qv c (r r) ( ) =c (x x) ( y y) (z z) ( )
大平壁中的非稳态导热
内热源： 在τ时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬 时点热源, cg(x, ) (x x) ( )dxd 的作用的叠加
L
t1(x, )
d g(x, )G(x, ; x, )dx
0
0
1 L
d
L g(x, )dx 2
cos m x
0
0
L m1
无限大物体中的非稳态导热
再考察一个的例子。用熔融的钢水注入两根长钢轨之 间预留的空隙使之焊接为一体。假设不考虑由于相变 引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面 的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。 取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化 为
t t0, x b, 0 t 0, x b, 0
t3 ( x,
)
1 c
f ( )G(x, ; x 0, )d
0
1
cL
0
f ( )d 2
m x cos •
cL m1
L0
f
(
)
exp
m2
2a( L2
)
d
大平壁中的非稳态导热
总的热源=内热源+初始温度分布+边界热流：
L
L
t1(x, ) t1 t2 t3
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
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0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
引入过余温度 ( x, ) t( x, ) t
上式化为：
2 a x2
（0 x l, 0）
0， 0
x 0， 0
x
x l， h
x
温度分布（分离变量法求解）
(x,
0
)
2
n1
exp
n2
a
l2
sin n
cos
n
x l
n sin n cos n
当
Fo
a
l2
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数Bi
非稳态导热温度场取决于两个方面：一是介质与物 体表面传热速率的快与慢，由物体表面对流换热热 阻1/h决定。二是物体本身导热速率的快与慢，由其 内部导热热阻 le/λs 决定。
Bi
le 1
s
h
=
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
hle
s
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数说明物体内部导热热阻与表面复合换热热 阻的相对大小，其大小将影响温度场的特点，其中le 为引用尺寸（定型尺寸）。
无限大平壁： le=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： le=d/2=R 球： le=d/2=R Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件 下内部温度场的分布规律。
当 Bi 时， le 1 ，因此，可以忽略对流换热热阻
正立方体
a/6
a/2
1/3
3-2 集 总 参 数 法
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到 l2 面积上所需的时间
无量纲 时间
Fo表示物体内部温度场随时间变化的特征。
Fo 越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
3-2 集 总 参 数 法
hA
非稳态导热过程的特点
以无限大平壁、第一类边界条件的瞬态非稳态导热 为例（初始温度 t0，一侧温度瞬间升高至 t1），如 图所示。
t1
H
t0
A
G
F
E B CD
无限大平壁两侧对称加热，非稳态导热过程温度变化曲线
物体表面层最先受热，然后由表及里地逐渐传播到物 体内部。理论上经过无限长时间后，物体内各处温度趋于 一致，此时达到新的热平衡状态。
2. 求时间：如已知t、x 和Bi，可先由图3-7查 / m后，利用式(3-14)求得m/ 0，再由m/ 0 和Bi利用图3-6 查出相应的Fo数，最后求得加 热或冷却到该温度所需的时间 。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三 类边界条件下的非稳态导热和诺模图
注 意： 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三 类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程， 并且Fo>0.2。
0, t t0 Φ
3-2 集 总 参 数 法
解：(1) 导热微分方程
导热体
流体 h
dt &
d c
体积V
t
表面积A
物性ρ、c、λ
&可视为广义热源。与分析
肋片的导热问题相类似，这
温度 t f ( )
0, t t0 Φ
里发生热交换的边界不是计
算边界（零维无任何边界），因此界面上的热交换热
t f x, y, z, , t 0
周期性非稳态导热：物体的温度随时间作周 分 期性的变化（例如：墙体温度的昼夜变化） 类
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值（例如：热铁块投入凉水中）
周期性非稳态导热的特点
（1）物体内各处的温度按一定的振幅随时间周期性波动。 （2）同一时刻物体内各处的温度分布也按一定的振幅周期 性波动。
3-1 概 述
热流规律（三个阶段）： 1）不规则情况阶段： Φ1 急剧减小，Φ2 保持不变。 2）正常情况阶段： Φ1 逐渐减小，Φ2 逐渐增大。 3）建立新的稳态阶段： Φ1 与Φ2 保持不变并相等。
3-1 概 述
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f (x, y, z, ) ; f( )
例：夏季室外空气温度 tf 以24小时为周期进行周而复始的变化，
室外墙面温度tf 也以24小时为周期进行变化，但要滞后一个相
位。
t
tf 室外空气温度
tf 室外墙面温度
滞后相位差
3-1 概 述
本章着重讨论瞬态非稳态导热 工程中的许多过程都是瞬态非稳态导热：
冶金热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变 工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空 气温度。 原因：边界条件，内热源发生了变化
无限大平壁： M=1
令 lc M 无限长圆柱体和正方形长柱体： M=1/2
le
球和正立方体： M=1/3
特征尺寸和引用尺寸
Bi 0.1 BiV 0.1M
无限大平壁
特征尺寸 lc=V/A
/2
引用尺寸le /2
M=lc/le 1
长圆柱体
R/2
R
1/2
长正方柱体
a/4
a/2
1/2
球体
R/3
R
1/3
0.2
时
正常情况阶段
(x, ) 0
2
exp
12
a
l2
sin
1
cos
1
x l
1 sin 1 cos 1
Bi1 tan 1
1为上面方程的根
f1
Fo,
Bi,
x l
中心面过余温度（m）
x 0, m t(0, ) t
m
0
exp
12 Fo
1
sin 1 sin 1 cos 1
f2 Fo, Bi
对于测温元件，如热电偶和电阻温度计， r小，表明正确测出流体温度所需的时间短。
3-2 集 总 参 数 法
瞬态热流量：( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e cV W
导热体在时间 0 ~ 内传给流体的总热量：
Q
Φ( )d
0
hA
Vc0 (1 e cV )
hA
=Q0 (1 e cV ) J
hA
e cV
0 t0 t
过余温 度比
其中的指数： hA
cV
hV
A
A2 cV 2
h(V
A)
a
(V A)2
令 lc V A
BiV FoV
3-2 集 总 参 数 法
BiV
hlc
,
FoV
a
lc2
(傅立叶数)
脚标“V”表示以 lc=V/A 为特征尺寸。
无限大平壁： lc=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： lc=R/2 球： lc=R/3
Q0 cV (t0 t ) 初始过余热焓
Q0物体由初始温度t0变为环境温度t时所吸收或放出的热量。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三类 边界条件下的非稳态导热和诺模图
一 无限大平壁的分析解和诺模图
λ=const
a=const
h, t
h=const
-l
因两边对称，只研究半块平壁
h, t
ol x
时导热体已达到热平衡
状态
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
3-2 集 总 参 数 法
时间常数r物理意义： r表明内部热阻可以忽略的物体突然被加热
或冷却时，它以初始温度t0变化到周围流体温度 t所需的时间。
r既反映物体热容量的大小，又反映表面传 热情况。r小，表明物体表面传热好，因而升温 （或降温）快。
量应折算成整个物体的体积热源。
3-2 集 总 参 数 法
&
V
dt
&
hA(t V
t)