毕业论文拉格朗日中值定理分析
数学分析中的拉格朗日中值定理及其运用
数学分析中的拉格朗日中值定理及其运用引言：数学分析中的拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在一个闭区间内必然存在一些点使得函数在该点的导数等于函数在该区间的平均变化率。
拉格朗日中值定理及其运用广泛应用于数学、物理、经济等领域，对于相关学科的研究和应用具有重要的意义。
一、拉格朗日中值定理的表述：假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在该点的导数等于函数在该区间的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数，f(b)-f(a)表示函数在区间[a,b]上的变化量，(b-a)表示区间的长度。
二、拉格朗日中值定理的证明：考虑函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)，其中，f(b)-f(a)表示函数在区间[a,b]上的变化量，(x-a)/(b-a)表示x在区间[a,b]上的线性函数。
首先，g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))(a-a)/(b-a)=f(a)-f(a)=0；其次，g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))(b-a)/(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)。
由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，因此g(x)在闭区间[a,b]上也连续，并且在开区间(a,b)上可导。
根据罗尔定理，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且在区间端点处函数的值相等，则存在一些点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
考虑g'(x)的表达式，有g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)由于g'(c)=0，因此0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)三、拉格朗日中值定理的运用：拉格朗日中值定理可以用来证明其他数学定理，也可以用于解决一些实际问题。
拉格朗日中值定理的推论
拉格朗日中值定理的推论拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪中叶提出的。
它对于函数的增减性研究和函数极值的确定具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨拉格朗日中值定理的推论，并阐述它的一些具体应用。
首先，让我们回顾一下拉格朗日中值定理的表述：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
这个定理说明了在一定条件下，存在一个点的导数等于函数在区间两端点上斜率的平均值。
基于拉格朗日中值定理，我们可以推断出几个重要结论。
首先，当函数在一个区间内的导数恒为零时，它必然是一个常函数。
这是因为根据中值定理，导数为零意味着函数在区间内的变化率为零，也就是说函数值没有变化，因此函数必定是一个常数。
其次，拉格朗日中值定理还可以用来确定函数的极值点。
如果在函数的某个闭区间内，导数在区间内不变号，并且导数在这个区间内存在零点，那么这个零点就是函数的极值点。
这是因为当导数改变符号时，函数的增减性发生变化，而导数为零的点则表示函数的变化率为零，因此可以确定函数的极值点。
除此之外，拉格朗日中值定理还可应用于证明一些函数的性质。
例如，我们可以利用该定理证明实数指数函数的增长速度是无穷大的。
实数指数函数可表示为f(x) = a^x，其中a为正实数。
取a>1时，我们可以设定函数f(x) = a^x在区间[0, 1]上进行研究。
由于指数函数是连续且可导的，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c在(0, 1)内，满足f'(c) = (f(1) - f(0))/(1-0)。
由于f(1) = a，f(0) = 1，因此f'(c) = a-1。
由于a>1，所以a-1必定大于0。
这意味着指数函数在[0, 1]上的变化率是正值，即指数函数在这个区间内是递增的。
毕业论文拉格朗日中值定理分析
毕业论文题 目 拉格朗日中值定理 指导教师 王子华学生姓名 卢波 学 号 201200702049 专 业 信息与计算科学 教学单位 德州学院数学科学学院二O 一六年五月二十日德州学院毕业论文课题说明书德州学院毕业论文开题报告书德州学院毕业论文中期检查表院(系)：数学科学学院专业：信息与计算科学 2016年 4备注：目录摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)KeyWord (1)0前言 (1)1对拉格朗日中值定理的理解 (1)1.1承上启下的定理 (1)1.2定理中的条件 (1)1.3定理中的 (2)1.4定理的意义 (2)2 拉格朗日中值定理的证明 (2)3 拉格朗日中值定理的应用 (3)3.1求极限 (3)3.2证明不等式 (5)3.3证明恒等式 (8)3.4证明等式 (9)3.5研究函数在区间上的性质 (10)3.6估值问题 (11)3.7判定级数的收敛性 (12)3.8证明方程根的存在性 (13)3.9误用拉格朗日中值定理 (14)结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)拉格朗日中值定理的应用学生姓名：卢波学号：201200702049院系：数学科学学院专业：信息与还算科学指导老师：王子华职称：教授摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。
本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。
这对于正确的理解掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。
关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性The Application of Lagrange's mean value theoremAbstract：The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special ex plaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many resea rchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order t o make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analy zed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean valu e theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the as pects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for underst anding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant an d profound significance for further study of mathematics.Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots0前言函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
拉格朗日中值定理探究
拉格朗日中值定理探究拉格朗日中值定理是微分学中的一个重要定理，也被称为拉格朗日中值定理，它是法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一个重要结果。
拉格朗日中值定理是微积分基本定理的延伸，适用于连续函数在闭区间上的情况。
本文将探讨拉格朗日中值定理的数学原理以及其在实际问题中的应用。
拉格朗日中值定理的数学原理拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明若函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得$f'(c) = \\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
具体而言，拉格朗日中值定理可表述为：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可导，那么存在一个点$c \\in (a, b)$，使得$f'(c) = \\frac{f(b) -f(a)}{b - a}$。
拉格朗日中值定理的应用应用1：凹凸性的判断拉格朗日中值定理在判断函数的凹凸性方面有着重要的应用。
通过拉格朗日中值定理，我们可以分析函数在特定区间上的变化情况，从而判断函数的凹凸性质。
当f″(x)>0时，函数f(x)在该区间上为凸函数；当f″(x)<0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
应用2：函数的增减性另一个常见的应用是判断函数在某区间上的增减性。
通过拉格朗日中值定理，我们可以找到函数在给定区间上的极值点，从而判断函数在该区间上的增减性。
如果f′(x)>0，则函数在该区间上单调递增；如果f′(x)<0，则函数在该区间上单调递减。
案例分析：一元函数求极值问题假设我们有一个一元函数f(x)=x2+3x−2，我们希望求解函数f(x)在区间[1,3]上的极值点。
首先，我们计算函数在[1,3]上的平均变化率：$\\frac{f(3)-f(1)}{3-1} =\\frac{14 - 2}{2} = 6$。
接下来，根据拉格朗日中值定理，存在一个点$c \\in (1, 3)$，使得f′(c)=6。
3.11拉格朗日中值定理分析
f(x) g(x)+C
例题讲解
例1：函数 y x 2在区间[-1,2]是否满足拉格朗 日中值定理的条件？若满足，请求出 。
课堂练习
1、下列函数是否满足拉格朗日中值定理的条件？ 若满足，请求出
注意：罗尔定理要求函数满足三个条件，否则结论不一定成立
例题讲解
例2：验证函数 f (x) x2 2x在闭区间[0,2]上
满足罗尔定理，并求出定理中的
课堂练习
2、下列函数是否满足罗尔定理的条件？若满足，
请求出
y x2 3x 2, x [0,3]
例题讲解 例3 证明等式 arcsin x arccos x , x [1,1]
微分中值定理
Байду номын сангаас
复习引入
1、导数的定义 2、导数的几何意义
拉格朗日中值定理
设函数f(x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导,
则在(a,b)内至少有一点 , 使得 f ( ) f (b) f (a) , 成立。
ba
拉格朗日中值定理的推论
推论1：设函数f(x)在(a,b)内可导，且 f (x) 0，则
(1) y ln x, x [1, e] (2) y x3 5x2 x 2, x [1,0]
罗尔定理 如果函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)f(a)=f(b),
则在开区间(a,b)内至少有一点 (a b)，使得 f ( ) 0
拉格朗日插值及中值定理的应用毕业论文
拉格朗⽇插值及中值定理的应⽤毕业论⽂湘潭⼤学毕业论⽂题⽬：拉格朗⽇插值及中值定理的应⽤学院：数学与计算科学学院专业：信息与计算科学学号：2011750224姓名：周维指导教师：戴永泉完成⽇期： 2015年5⽉20⽇湘潭⼤学毕业论⽂（设计）任务书论⽂（设计）题⽬：拉格朗⽇插值及中值定理的应⽤学号：2011750224 姓名：周维专业：信息与计算科学指导教师：系主任：⼀、主要内容及基本要求主要内容：充分了解拉格朗⽇公式起源以及背景, 研究拉格朗⽇插值在函数逼近中问题的适定性,数值的近似计算算法,以及拉格朗⽇插值在实际⽣活中的应⽤.利⽤拉格朗⽇中值定理证明不等式;求函数极限,以及研究函数在区间上性质的应⽤, 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
基本要求：1、理解拉格朗⽇插值公式和中值定理的证明2、熟练运⽤线性插值公式和抛物线插值公式3、熟练运⽤拉格朗⽇中值定理解决函数极限与不等式证明问题4、⽤拉格朗⽇中值定理研究函数在区间上的性质⼆、重点研究的问题1、拉格朗⽇插值在实际⽣活中的应⽤2、拉格朗⽇的数值计算算法编程三、进度安排四、应收集的资料及主要参考⽂献[1]黄云清，舒适，陈燕萍，⾦继承，⽂⽴平编著的《数值计算⽅法》[2]由⾼等教育出版社发⾏，由陈纪修，於崇华，⾦路编著的《数学分析》第⼆版上册[3]由李庆扬，王能超，易⼤义编写的《数值分析》第四版４版. 武汉：华中科技⼤学出版社,2006年聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
[4]由李培明编写的《.拉格朗⽇插值公式的⼀个应⽤》⾼等函授报（⾃然科学版）.1999年第3期.[5]由潘铁编写的<浅谈应⽤多项式的拉格朗⽇插值公式解题>中等数学报.2010年第10期.[6]由张可村，赵英良编写的《数值计算算法与分析》[M]科学出版社2003年湘潭⼤学毕业论⽂（设计）评阅表学号2011750224 姓名周维专业信息与计算科学残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
毕业论⽂（设计）题⽬：拉格朗⽇插值及中值定理的应⽤湘潭⼤学毕业论⽂（设计）鉴定意见学号：2011750224 姓名：周维专业：信息与计算科学酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
拉格朗日中值定理论文
摘要本文主要论述拉格朗日中值定理在函数极限计算、不等式证明以及根的存在性的判别这几个方面的应用.并给出实例进行说明.关键词: 关键词拉格朗日中值定理可导连续Lagrange mean value theorem and some applicationsAbstractThis paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in computing function limit, the inequality proof as well as the root of existence theorem for several aspects of this application and gives examples to illustrate.Key words: Lagrange mean value theorem can be mediated by continuous1 引言拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方面的应用. 一．预备知识 1. 定理：若函数 f (x) 满足如下条件：（1）在闭区间 [a, b] 上连续, （2）在开区间 (a, b) 上可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ ,使得 f ' ( x) = 也可变形为f (b) − f (a ) 成立.定理的结论 b−af (b) − f (a ) = f ' (a + ϕ (b − a )) (0 < ϕ < 1) . b−a2. 拉格朗日中值定理的几何意义：若闭区间 [a, b] 内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线, 则曲线上至少存在一点 M (c, f (c)) , 过点 M 的切线平行于过点 A(a, f (a )).B (b, f (b)) 的直线 AB .3. 拉格朗日中值定理的证明：作辅助函数ϕ ( x) = f ( x) − f (a) −f (a ) − f (b) ( x − a) . b−a已知函数ϕ(x) 在 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 上可导.又ϕ(a ) = ϕ (b) = 0 .根据罗尔定理.在 (a, b) 内至少存在一点 c .使得ϕ ' (c) = 0 .而f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 于是ϕ ' (c) = f ' (c) − = 0 ,即 b−a b−a f (b) − f (a ) f ' (c ) = . b−a 4. 拉格朗日中值定理和洛尔定理：ϕ ' ( x) = f ' ( x) −洛尔定理：若函数 f (x) 满足如下条件：（1）在闭区间 [a, b] 上连续, （2）在开区间 (a, b) 上可导, （3） f (a ) = f (b) 则在 (a, b) 内至少存在一点 c ,使得 f ' (c) = 0 . 通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当 f (a ) = f (b) 时的特殊形式.5.拉格朗日中值定理和可惜中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中 g ( x ) = x 时的特殊情况. 可惜中值定理：若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件:(1) 在闭区间 [a, b] 上连续, (2) 在开区间 (a, b) 上可导,且对∀x ∈ (a, b) ,有 g ' ( x) = 0 ,则在 (a, b) 内至少存在一点ξ ,使得f ' (c) f (b) − f (a) =g ' (c) g (b) − g (a )二、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用若计算函数极限时,题目中出现有 f (b) −f (a ) ” “ f (a) −f (b) ” “ 型或型的式子,并且函数f (x ) 在[ a, b] 连续, 在(a, b) 上可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 此时可构造“ ( a − b)f ( a ) − f (b ) a −b”型或“ (b − a )f (b) − f (a)b−a”型,利用拉格朗日中值定理转变为导f (a ) − f (b) a −b数形式进行极限计算,方便快捷;若果其中出现“ 型或“f (a ) − f (b) b−a”型或“f (b ) − f ( a ) b−a””型或“f (b ) − f ( a ) a −b”型,并且f (x) 在[a, b] 上满足拉格朗日中值定理条件,则可直接利用拉格朗日中值定理进行转换计算极限. 例 1.求lim e sin x − e tan x x →0 sin x − tan x0 ”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求0 f (a ) − f (b) ”型,只须令函很多次导数之比,非常麻烦,通过观察此极限发现它是“ a−b 分析：此极限满足“数f ( x) = e x ,则f (x) 在区间[sin x, tan x] 上满足拉格朗日中值定理条件,e sin x − e tan x =f (sin x) −f (tan x) = (sin x − tan x) f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) (0< θ < 1)即e sin x − e tan x =f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) (0< θ < 1) ,由于f ( x) = e x 在[sin x, tan x] sin x − tan x e sin x − e tan x = lim f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) = f ' (0) = 1 x →0 sin x − tan x x →0上连续, 所以lim从而有lime sin x − e tan x =1 x →0 sin x − tan x2 2例2.求lim n 4 ( n a − nn →∞+1a ) . (a > 1, 且a ≠ 1)分析：通过观察发现该题所求极限为“ f (b) − f (a ) ”型.故只须令f ( x) =a x .易知f (x) 在区间[ 得1 11 1 ,2 ] 上满足拉格朗日中值定理条件,运用拉格朗日中值定理n +1 n2an2−an 2 +1= a 3 ln(1 1 1 1 −2 )( 2<ξ < 2), 2 n n +1 n +1 n1 1 n2解：原式= lim n (a4 n →∞−an 2 +1) = lim n 4 a ξ ln a(n →∞1 1 −2 ) 2 n n +1= limn4 1 1 a 3 ln a = ln a ( 2 < ξ 2 ). 2 2 n →∞ n ( n + 1) n +1 n例3.求极限lim x →0tan(sin x) − tan(tan x) sin(sin x) − sin(tan x)分析：观察该例题,可以看出,此例题坟墓和分子两部分都是“ f (a) − f (b) ”型. 此时分子分母均可以构造为“ (a − b)f ( a ) − f (b ) a −b”.同时该例题又符合柯西中值定理条件,在该例题中,可设f ( x) = tan x , g ( x) = sin x ,并且f (x) 与g (x) 在[sin x, tan x] 上连续. 于是在(sin x, tan x) 内可导, 并且∀x ∈(sin x, tan x), x ≠ 0 . 于是在(sin x, tan x) 内至少存在一点ξ 使f ' (ξ ) tan ' ξ tan(sin x) − tan(tan x) = = , sin x< ξ < tan x, x ≠ 0g ' (ξ ) sin ' ξ sin(sin x) − sin(tan x)解：lim x →0tan(sin x) −tan(tan x) tan ' ξ 1 =lim = lim = 1 , (sin x < ξ < tan x, x ≠0) sin(sin x) −sin(tan x) x → 0sin ' ξ x → 0 cos 3 x f (b ) −f ( a ) b−af (c) − f (b) ”的形式,并且f (x) 在[a, b] 和c−b三.利用拉格朗日中值定理证明不等式在证明不等式时,出现“ ” “ 和[b, c] 上满足拉格朗日中值定理条件,则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“ f (b) − f (a ) ”型,另一边出现“ b −a ”型,则可将不等式变形为含“f (b ) − f ( a ) b−a”型.若同时 f (x) 在 [a, b] 和 [b, c] 上满足拉格朗日中值定理条件,则利用拉格朗日中值定理条件进行证明.若只出现“ f (b) −f (a ) ” 型，则构造“ (b − a ) 例 3.证明：f (b) − f (a) b−a”型.1 1 < ln( x + 1) − ln( x) < , x > 0 为 x +1 x分析：通过观察,不等式中“ ln( x + 1) −ln( x) ”为“ f (b) − f(a ) ”型, 令 f ( x) = ln x .可知 f (x) 在[0,+∞] 上连续,当 x >0 时, f (x) 在 [ x, x + 1] 上连续, 则f (x) 在区间 [ x, x + 1] 上满足拉格朗日中值定理.证明： ln( x + 1) − ln( x) =1ξ( x + 1 − x) =1ξ( x < ξ < x + 1) ,由于(0 < x < ξ < x + 1) ,则有1 1 1 1 1 < < ,即 < ln( x + 1) −ln( x) < . x +1 ξ x x +1 x例 4.sin x 2 − sin x1 sin x3 −sin x 2 > , 0 ≤ x1 < x 2 < x3 < π . x 2 − x1 x3 − x 2f (b) −f (a ) ”型.令 f ( x) = sin x ,则 f (x) 在 b−a分析：通过观察发现此不等式为“区间 [ x1 , x 2 ] 和 [ x 2 , x3 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件. 证明：sin x3 − sin x 2 sin x 2 −sin x1 = cos ξ1 ( x1 < ξ < x 2 ) , = cos ξ 2 ( x 2 < ξ < x3 ) x 2 − x1 x3 − x 2由于0 ≤ x1 < ξ 1 < x 2 < ξ 2 < x 3 < π ,则可知cos ξ1 > cos ξ 2 ,即sin x 2 − sin x1 sin x3 − sin x 2 > x 2 − x1 x3 − x 2例 5.证明不等式：1 1 1 1 < [ −], p > 1, n ≥2 np p − 1 (n − 1) p −1 n p −1 1 1 − (n − 1) p −1 n p −1分析：例题中出现“” “ f (b) −f (a ) ” ,此时可以考虑 f ( x) = 是型1 , x p −1在区间 [n − 1, n] 上的情况. 证明：设 f ( x) =1 x p −1, 则 f (x) 在区间 [n −1, n], (n ≥ 2) 上连续,在开区间(n − 1, n) 上可导 , 显然 f (x ) 在区间 [n − 1, n] 上满足拉格朗日中值定理条件 , 则有1 1 − 1 1 (n − 1) p −1 n p −1 1 1 − p −1 = = −f ' (ξ ) = −(1 − p) p = ( p − 1) p , (n −1 < ξ < n), p −1 (n − 1) n (n − 1) −n ξ ξ则不等式右边1 1 1 1 1 1 [ − p −1 ] = [( p − 1) p ] = p , (n −1 < ξ < n). p −1 ξ ξ p − 1 (n − 1) n p −11由于 n −1 < ξ < n ,并且n ≥ 2 ,则ξp>1 ,故原不等式成立. np四.利用拉格朗日中值定理判别根的存在性在讨论函数根的存在性问题时,可利用函数与其导数之间的关系,借助拉格朗日中值定理（或罗尔定理）判别某些函数根的存在性.当需要判别某个函数的导函数在某个区间是否有根时,若此函数在该区间上连续,则看该函数在这个区间上是否有两个或者有两个以上的点的函数值相等.若存在, 则其导函数在该区间有根；若不存在,则其导函数在该区间无根.当需要判别某个函数在某个区间上是否有根时,则看起导数在该区间上是否存在导数值为零的点.若存在使其导函数值为零的点,则原来的函数可能有根; 若不存在使其导函数值为零的点,则原来的函数一定不存在根. 这不是一个充要条件,,说明利用拉格朗日中值定理判别根的存在与否有局限性例6.证明：若方程a 0 x n + a1 x n−1 + a 2 x n − 2 + K + a n −1 x = 0 有正根x0 ,则方程na 0 x n −1 + (n − 1)a1 x n−2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 = 0 必存在小于x0 的正根.证明：令f ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n− 2 + K + a n −1 x , 则可知f (0) = f ( x0 ) = 0 且f (x) 在[0, x0 ] 上连续,根据拉格朗日中值定理（或罗尔定理）可知,至少存在一个ξ ∈(0, x0 ) 有f ' (ξ ) = 0 , 且f ' ( x) = na0 x n −1 + (n− 1)a1 x n− 2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 ,则可知方程na 0 x n −1+ (n − 1)a1 x n− 2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 = 0 至少存在一个根ξ , 且0 < ξ < x0 ,故证毕.例7.方程x − 3 x + c = 0 在区间(0,1) 内没有两个不同的根.3证明：运用反证法, 假设x − 3 x + c = 0 在区间(0,1) 内有两个相同的根x1 , x 2 , 且3 3 0 < x1 < x 2 < 1 .令f ( x ) = x − 3 x + c ,则f (x ) 在区间[ x1 , x 2 ] 上连续, 则有f (x ) 在区间[ x1 , x 2 ] 上满足拉格朗日中值定理（或罗尔定理）的条件,则有存在ξ ∈( x1 , x 2 ) 使得f ( x 2 ) −f ( x1 ) = f ' (ξ )( x 2 −x1 ) = 0 即存在ξ ∈( x1 , x 2 ) 使得f ' (ξ ) = 0 .而f ' ( x) = 3 x 2 −3 即3ξ 2 −3 = 0 ,解得ξ = −1,1 ,又−1,1 ∉ (0,1) .则假设不成立, 故原命题得证.五.参考文献[1].同济大学应用数学.高等数学[M].同济大学出版社.2004.132. [2].数学分析讲义(第五版).刘玉琏编.高等教育出版社.2007 年5 月.。
关于拉格朗日中值定理应用的研究
关于拉格朗日中值定理应用的研究
拉格朗日中值定理是数学的一种重要定理，它可以用来求一次函数的极大值和极小值问题，作为函数最优化的一种方法。
因此，拉格朗日中值定理的应用已经发展到科学、工程、经济学等各个方面。
本文将重点介绍拉格朗日中值定理在计算机图形学、控制理论等领域的应用。
首先，拉格朗日中值定理在计算机图形学中的应用。
在计算机图形学中，拉格朗日中值定理被广泛应用于光照算法，它可以用于计算平面上样本点的高度，从而计算出物体的反射光照。
借助拉格朗日中值定理，可以使画面更加逼真，更容易吸引观众。
此外，拉格朗日中值定理还可用于图形表示、几何缩放等图形变换。
其次，拉格朗日中值定理在控制理论中的应用。
拉格朗日中值定理可以用来求解控制系统的最优控制参数，使系统达到最大稳定性和最大效率。
在现实应用中，拉格朗日中值定理可以用于电力系统控制、飞行器控制、自动控制等系统的优化设计。
最后，拉格朗日中值定理在经济学中的应用。
拉格朗日中值定理可以用来解决经济学中的最优决策问题，让经济活动得以优化，使整个市场达到最大效率。
例如，拉格朗日中值定理可以用于制定出经济体的最优货币政策，提升国家的经济发展。
以上是拉格朗日中值定理在不同领域的应用，从而可以看出，拉格朗日中值定理是一种十分有用的定理，被广泛应用于科学、工程、经济学等多个领域，可以帮助解决各种实际问题，具有重要的现实意
义。
综上所述，拉格朗日中值定理是一种十分重要的数学定理，它已经被用于许多实际应用中，具有重要的意义。
未来，研究拉格朗日中值定理的学者们还可以探索更多的应用，更好地满足人们的需求。
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毕
业
论
文
题 目 拉格朗日中值定理 指导教师 王子华
学生姓名 卢波 学 号 201200702049 专 业 信息与计算科学 教学单位 德州学院数学科学学院
二O 一六年五月二十日
德州学院毕业论文课题说明书
德州学院毕业论文开题报告书
德州学院毕业论文中期检查表
院(系)：数学科学学院专业：信息与计算科学 2016年 4
备注：
目录
摘要 (1)
关键字 (1)
Abstract (1)
KeyWord (1)
0前言 (1)
1对拉格朗日中值定理的理解 (1)
1.1承上启下的定理 (1)
1.2定理中的条件 (1)
1.3定理中的 (2)
1.4定理的意义 (2)
2 拉格朗日中值定理的证明 (2)
3 拉格朗日中值定理的应用 (3)
3.1求极限 (3)
3.2证明不等式 (5)
3.3证明恒等式 (8)
3.4证明等式 (9)
3.5研究函数在区间上的性质 (10)
3.6估值问题 (11)
3.7判定级数的收敛性 (12)
3.8证明方程根的存在性 (13)
3.9误用拉格朗日中值定理 (14)
结束语 (15)
参考文献 (16)
致谢 (16)
拉格朗日中值定理的应用
学生姓名：卢波学号：201200702049
院系：数学科学学院专业：信息与还算科学
指导老师：王子华职称：教授
摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。
本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。
这对于正确的理解掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。
关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性
The Application of Lagrange's mean value theorem
Abstract：The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special ex plaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many resea rchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order t o make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analy zed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean valu e theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the as pects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for underst anding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant an d profound significance for further study of mathematics.
Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots
0前言
函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明.
拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。
在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。
课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的.
拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： （1） f 在闭区间[a,b]上连续； （2） f 在开区间(a,b)内可导，
则在(a,b ）内至少存在一点&，使得f ’(&)= a
b a f b f --)
()( .[1]
对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。
1 对拉格朗日中值定理的理解
拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极其重要的意义。
该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。
熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。
下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。
1.1 承上启下的定理
拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。
在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。
而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。
例：函数
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