中考专题训练 阿氏圆
中考数学阿氏圆问题专项训练
阿氏圆问题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A．B．6 C．2 D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．2．如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．3．如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P 是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．4．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．【答案】网版权所有【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC 的延长线交于点P，∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，∴△APC∽△BPA，，∴BP＝2AP，CP＝AP，∵BP﹣CP＝BC＝4，∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，∴BP＝，CP＝，即点P为定点，∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，S＝BC•A1P＝×4×＝．△ABC故答案为：．5．如图①，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F为AD边上的两点，且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接AG交BE于点H．（1）求证：AG⊥BE；（2）如图②，点M为DC的中点，连接DH，M，求DH+HM的最小值；（3）连接BM，当点E与点F重合时，求tan∠EBM的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，∵DG＝DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝90°，∵AE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE＝∠DCF，∴∠DAG＝∠ABE，∵∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAG+∠AEB＝90°，∴∠AHE＝90°，∴AG⊥BE；（2）如图1，∵∠ABH＝90°，∴点H在以AB的中点O为圆心，为半径的圆上运动，连接OH，OM，在OM上截取ON＝，连接HN，∵OA＝，DM＝，AB＝CD，∴OA＝DM，∵AB∥CD，∴四边形AOMD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴▱AOMD是矩形，∴OM＝BC，∠DMN＝90°，∴OM＝AB＝2OA，∴，∵∠HON＝∠MOH，∴△HON∽△MOH，∴＝，∴HN＝，∴DH+＝DH+HN，∴当D、H、N共线时，DH+HN最小，最小值为DN的长，∵DN＝＝＝，∴DH+的最小值为：；（3）如图2，在Rt△CBM和Rt△DCE中，tan∠CBM＝，tan∠DCE＝，∴∠CBM＝∠DCE，∵∠BCM＝90°，∴∠CBM+∠CMB＝90°，∴∠DCE+∠CMB＝90°，∴∠BQE＝∠CQM＝90°，设CM＝DE＝DM＝a，则CE＝BM＝a，∴sin∠DEC＝，∴QM＝CM•sin∠DEC＝a，∴CQ＝2QM＝a，∴EQ＝CE﹣CQ＝a﹣＝a，BQ＝BM＝QM＝﹣a＝a，∴tan∠EBM＝．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．。
专题11 最值模型-阿氏圆问题(解析版)
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．2C．410D．13【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=P A，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∵PC2＝CM•CA，∵PC CM CA CP=，∵∵PCM＝∵ACP，∵∵PCM∵∵ACP，∵13 PM PCPA AC==，∵PM13=P A，∵13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt∵BCM中，∵∵BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∵BM2217=+=52，∵13AP+BP≥52，∵13AP+BP的最小值为52．故选：B．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点PABC是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题． 【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∵P A 2＝AT •AB ，∵＝， ∵∵P AT ＝∵P AB ，∵，∵＝＝，∵PT ＝PB ，∵PB +CP ＝CP +PT ， ∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∵CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4，∵CT ，∵PB +PC ，∵PB +PC ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的EF 1217PAT BAP ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATAB PA PAT BAP ∽PT PB AP AB 121212ACT 22AT AC +171217121717一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32， 31232BM BP ==，3162BP BC ==BM BP BP BC ∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴==12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒在Rt CDM 中，2222915622DM DC MC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭故答案为：152． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键． 例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A 10B 11C 13D 14【答案】C【分析】连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明BPG BAP ，得到12PG AP =，则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，求出DG 的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，△2AD BC BP ===，4AB =，△2142BP BA ==， △G 是BE 的中点，△12BG BP =，△BP BG BA BP=， △PBG ABP ∠=∠，△BPGBAP ，△12PG BP AP BA ==，△12PG AP =， 则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长， 224913DG AD AG =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将12AP 转换成PG ，再根据三点共线求出最小值．例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．【答案】20【分析】取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，首先利用四点共圆证明2OP =，再利用相似三角形的性质证明12PT PC =，推出14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，根据+PD PT DT ≥，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ，即可求出DT 的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，△A （2，0），B （0，2），C （4，0），△OA =OB =2，OC =4，以O 为圆心，OA 为半径作O ，在优弧AB 上取一点Q ，连接QB ，QA ，△1452Q AOB ∠=∠=︒，135APB ∠=︒，△45135180Q APB ∠+∠=︒+︒=︒， △A ，P ，B ，Q 四点共圆，△2OP OA ==，△2OP =，1OT =，4OC =，△2OP OC OT =，△OP OT OC OP=，△POT POC ∠=∠，△POT COP △∽△，△12PT OP PC OC ==，△12PT PC =， △14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ， △D 的坐标为（5，3），△点E 的坐标为（5，0），TE =4，△22=3+4=5DT△+PD PT DT ≥，△4+220PD PC ≥，△4+2PD PC 的最小值是20，故答案为：20．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，△C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又△△PCD＝△△△△△13=PDBP△PD＝13BP△AP+13BP＝AP+PD△当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，△COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】（1）BCP，PCD，BCP，2592；（2）210；（3）作图与求解过程见解析，2P A+PB的最小值为97．【分析】(1)连结AD，过点A作AF△CB于点F，AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP△△PBF，当点F，点P，点C 三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，确定12OA OPOP OF==，且△AOP＝△AOP，△AOP△△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF△CB于点F，△AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13BP最小，△AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+13BP最小值为AD，△AC＝9，AF△BC，△ACB＝60°△CF＝3，AF＝932；△DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，△AD＝22259 =2AF DF+，△AP+13BP的最小值为2592；故答案为：2592；(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，△AB＝8，PB＝4，BF＝2，△12BP BFAB BP==，且△ABP＝△ABP，△△ABP△△PBF，△12FP BPAP AB==，△PF＝12AP，△12AP+PC＝PF+PC，△当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，△CF＝222262210BF BC+=+=，△12AP+PC的值最小值为210，故答案为：210；(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，△OC＝4，FC＝4，△FO＝8，且OP＝4，OA＝2，△12OA OPOP OF==，且△AOP＝△AOP△△AOP△△POF△1=2AP OAPF OF=，△PF＝2AP△2P A+PB＝PF+PB，△当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，△△COD＝120°，△△FOM＝60°，且FO＝8，FM△OM△OM＝4，FM＝43，△MB＝OM+OB＝4+3＝7△FB＝2297FM MB+=，△2P A+PB的最小值为97．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，△A=60°，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．【答案】（1）见解析；（2）10；（3）237【分析】（1）证明△P AQ△△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ 交△A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．【详解】解：（1）证明：△P A=2，AB=4，AQ=1，△P A2=AQ⋅AB=4．△PA AB AQ PA=．又△△A=△A，△△P AQ△△BAP．△12PQ PAPB AB==．△PB=2PQ；（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．△AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，△2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．△PC+PQ≥QC，△当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．△QC =22QB BC +=5，△2PC +PB =2(PC +PQ )≥10．△2PC +PB 的最小值为10．（3）如图，在AB 上取一点Q ，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，延长CQ 交△A 于点P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB =4，AQ =1．由（1）得PB =2PQ ，△2PC −PB =2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，△PC −PQ ≤QC ，△当点P 在CQ 交△A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．△QC =22QH CH + =37，△2PC −PB =2(PC −PQ )≤237．△2PC −PB 的最大值为237．【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PA k k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又,POD MOP POM DOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.【答案】（1）222.m k r +（2）4103. 【分析】 △ 将PC+kPD 转化成PC+MP ，当PC+kPD 最小，即PC+MP 最小，图中可以看出当C 、P 、M 共线最小，利用勾股定理求出即可；△ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C 对应O,D 对应P ，A 对应C ，B 对应M ，当D 在AB 上时23AD BD +为最小值，所以23AD BD +=2223AC CD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = 224410433⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【详解】解()1:,MP PD k MP kPD =∴=∴，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即,,C P M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得()2222222.CM OC OM m kr m k r =+=+=+ ()223AD BD +的最小值为4103， 提示：4AC m ==，2433CD kr ==，23AD BD ∴+的最小值为224410433⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P 为△C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP +BP 的最小值为（ ）A ．2.B ．3C ．5D ．2【答案】D【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P 在何时会使得13AP +BP 有最小值，进而得到答案． 【详解】解：如图，连接CP ，作PE 交AC 于点E ，使CPE PAC ∠=∠△=PCE ACP ∠∠ △PCE △APC △ △PC EP AC AP = △9,3AC PC == △13EP AP = △13AP BP EP BP +=+，当B 、P 、E 三点共线，即P 运动P '时有最小值EB△EC PC PC AC = △1EC = △2252EB EC CB =+= △13AP BP +的最小值为52 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，△O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．【答案】85【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据13OA APOP PC==，△AOP是公共角，可得△AOP△△POC，得PC=3P A，当B,C,P三点共线时，3P A+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案．【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,△△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），△OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,△1=3OA OPOP OC=，△AOP是公共角，△△AOP△△POC，△PC=3P A，△3P A+PB=PC+PB,△当B,C,P三点共线时，3P A+PB最小值为BC,△BC =22OC OB +=2292+=85，△3P A +PB 的最小值为85．故答案为：85【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C 、P 、B 三点在同一条直线上时3P A +PB 有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD 中， 3AB =260AC BAC ACD =∠=∠=︒，，设•AD k BD =，则k 的最小值为 ___________．21##12-【分析】如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．由ABE MBD ∽，推出232,903BE AB BAE M DB MB ===∠=∠=︒，设BD m =,则2BE m =,由勾股定理求得DF ，根据两点之间线段最短可得AD 的最小值，进而根据•AD k BD =，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．在Rt ACJ 中，260AC CAJ =∠=︒，，△sin 603CJ AC =⋅︒=，△60ACD BAC ∠=∠=︒，△AB CD ∥， △BM CD CJ AB ⊥⊥，，△四边形BJCM 是矩形，△3BM CJ ==，90MBJ ∠=︒，△ABE MBD ∽，△232,903BE AB BAE M DB MB ===∠=∠=︒，△设BD m =,则2BE m =, △EF FB =，△12AF BE m ==,△ABE MBD ∠=∠，△90EBD ABM ∠=∠=︒，△222DF BF BD m =+=， △2AD DF AF m m ≥-=-，△AD 的最小值为2m m -，△AD kBD =，△k 是最小值为221m m m-=-．故答案为：21-． 【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构造相似三角形解决问题．4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A , B ，所有满足PA PB= k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．【答案】16 3【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC△△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=12AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，△△APC=△BPA，AB= 2AC△△APC△△BPA，△12AP CP ACBP AP AB===△BP=2AP，CP=12AP△BP－CP=BC=4△2AP－12AP=4解得：AP=83△BP=163，CP=43，即点P为定点△点A的轨迹为以点P为圆心，83为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大S△A1BC=12BC·A1P=12×4×83=163即△ABC面积的最大值为163故答案为：163．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在CG的最小值为_____．边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12【答案】5【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI△△CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，△DG＝122EF=，△点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，△DIDG＝DGCD＝12，△△GDI＝△CDG，△△GDI△△CDG，△IG DICG DG=＝12，△IG＝12CG，△BG+12CG＝BG+IG≥BI，△当B、G、I共线时，BG+12CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，△BI＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2PA PC 的最小值是___________．【答案】5 【分析】作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH 为△B 的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC 2=，接着证明△BPD △△BCP 得到PD 22=PC ，所以P A 22+PC ＝P A +PD ，而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到P A 22PC +的最小值． 【详解】解：作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，△AC 为切线，△BH 为△B 的半径，△△ABC ＝90°，AB ＝CB ＝2，△AC 2=BA ＝22，△BH 12=AC 2=，△BP 2=， △22PB BC =，1222BD BP ==，而△PBD ＝△CBP ，△△BPD △△BCP ， △22PD PB PC BC ==，△PD 22=PC ，△P A 22+PC ＝P A +PD ， 而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD 22215=+=，△P A +PD 的最小值为5，即P A 22PC +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD22PC．也考查了等腰直角三角形的性质．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，△B的半径为2，点P是△B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．【答案】5【详解】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，△221PBBG==，422BCPB==，△PB BCBG PB=，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△12PG BGPC PB==，△PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝2243+＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．9．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为△O，P是△O2P A ＋PB的最小值为________．【答案】25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB），利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB ＝2r ＝22，取OB 的中点I ，连接PI ，△OI ＝IB ＝2，△222OP OI ==，2222OB OP == ，△OP OB OI OP = ，△O 是公共角，△△BOP △△POI ， △22PI OI PB OP ==，△PI ＝22PB ，△AP ＋22PB ＝AP ＋PI ， △当A 、P 、I 在一条直线上时，AP ＋22PB 最小，作IE △AB 于E ， △△ABO ＝45°，△IE ＝BE ＝22BI ＝1，△AE ＝AB −BE ＝3， △AI ＝223110+=，△AP ＋22PB 最小值＝AI ＝10， △2P A ＋PB ＝2（P A ＋22PB ），△2P A ＋PB 的最小值是2AI ＝21025⨯=．故答案是25． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．【答案】37；2373．【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD△△BCP．可得PD=12BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+12BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD=2216+=37即可；在AC上取CE=23，△PCE△△ACP．可得PE=13AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+13AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=23，CB=4，根据勾股定理BE=2222374=33⎛⎫+⎪⎝⎭即可．【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，△CP=2，BC=4，△CD121=,CP242CPBC==，△CD1=CP2CPBC=，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP．△12PDBP=，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+12BP的值最小，在Rt△ACD中，△CD=1，CA=6，△AD=2216+=37，△AP+12BP的最小值为37．故答案为：37在AC上取CE=23，连接CP，PE△21213==,2363CE CP CP AB ==△13CE CP CP AB == 又△△PCE =△ACP ，△△PCE △△ACP ．△13PE AP =，△PE =13AP ，△BP +13AP =BP +PE ， 当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小， 在Rt △BCE 中，△CE =23，CB =4，△BD =2222374=33⎛⎫+ ⎪⎝⎭， △BP +13AP 的最小值为2373．故答案为：2373． 【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为__，PD ﹣23PC 的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，△B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为__，PD ﹣12PC 的最大值为__．【答案】 106 106 37 37【分析】（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得4BG =，先证明PBG CBP ，得到23PG PC =，所以32PD PC PD PG +=+，而PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），从而计算出DG 得到23PD PC +的最小值，32PD PC PD PG -=-，而PD PG DG -≤（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），从而计算出DG 得到23PD PC -的最大值； （2）如图4中，在BC 上取一点G ，使得1BG =，作DF BC ⊥交于点F ，解法同（1）．【详解】（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得4BG =，6342PB BG ==，9362BC PB ==，PBG PBC ∠=∠， PBG CBP ∴，23PG BG PC PB ∴==， 23PG PC ∴=，32PD PC PD PG ∴+=+， PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），PD PG ∴+的最小值为2259106DG =+=，32PD PC +的最小值为106，32PD PC PD PG DG -=-≤， 23PD PC ∴-的最大值为106，故答案为：106，106； （2）如图4中，在BC 上取一点G ，使得1BG =，作DF BC ⊥交于点F ，221PB BG ==，422BC PB ==，PBG PBC ∠=∠， PBG CBP ∴，12PG BG PC PB ∴==，12PG PC ∴=，12PD PC PD PG ∴+=+， PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），PD PG ∴+的最小值为DG ， 12PD PC ∴+的最小值为DG ， 在Rt CDF 中，60DCF ∠=︒，4CD =，sin 6023DF CD ∴=⋅︒=，2CF =，在Rt GDF 中，22(23)537DG =+=，12PD PC ∴+的最小值为37， 12PD PC PD PG DG -=-≤，12PD PC ∴-的最大值为37，故答案为：37，37． 【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，△C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=3，则有CDCP=CPCB=12，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP，△PDBP=12，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，△COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】（1）AP+12BP的最小值为313；（2）13AP+PC的值最小值为52；（3）2PA+PB的最小值为97，见解析.【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=63，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由PB1BFAB3BP==，可证△ABP△△PBF，可得PF=13AP，即13AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，13AP+PC的值最小，由勾股定理可求13AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，由OA1OPOP2OF==，可得△AOP△△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【详解】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF△CB于点F，△AP+12BP=AP+PD，要使AP+12BP最小，△AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+12BP最小值为AD，△AC=12，AF△BC，△ACB=60°△CF=6，AF=63△DF=CF-CD=6-3=3△AD=22AF DF+=313△AP+12BP的最小值为313（2）如图，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，△AB=9，PB=3，BF=1△PB1BFAB3BP==，且△ABP=△ABP，△△ABP△△PBF，△FP BP1AP AB3==△PF=13AP△13AP+PC=PF+PC，△当点F，点P，点C三点共线时，13AP+PC的值最小，△CF=22BF BC +=149+=52△13AP+PC 的值最小值为52，（3）如图，延长OC ，使CF=4，连接BF ，OP ，PF ，过点F 作FB△OD 于点M ， △OC=4，FC=4，△FO=8，且OP=4，OA=2， △OA 1OPOP 2OF==，且△AOP=△AOP△△AOP△△POF △AP OA 1PF OF 2==△PF=2AP△2PA+PB=PF+PB ， △当点F ，点P ，点B 三点共线时，2AP+PB 的值最小， △△COD=120°，△△FOM=60°，且FO=8，FM△OM △OM=4，FM=43△MB=OM+OB=4+3=7△FB=22FM MB +=97△2PA+PB 的最小值为97．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +24PD PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC+的最小值，23PD PC -的最大值，2PC PD 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．3PC 的最小值【答案】见详解【分析】（1）如图1中，在BC 上取一点G ，使得BG=1．由△PBG△△CBP ，推出12PG BG PC PB ==，推出PG=12PC ，推出PD+12PC=DP+PG ，由DP+PG≥DG ，当D 、G 、P 共线时，PD+12PC 的值最小，最小值为DG=2243+=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD-12PC 的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把24PD PC +转化为4（24PD PC +），这样只需求出24PD PC +的最小值，问题即可解决。
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
2024专题4.4圆---利用“阿氏圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
时2PB+PC最小,最小值为2BD,延长CD交AB于H,则
CH⊥AB,
O D P
B
A
H
易求得DH= ,BH=3,∴BD= ,
C
O
P
∴2PB+PC的最小值为3 .
B
C
针对训练
变式一 系数需要转化(提系数)
知识点三
1.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的
P(x,y),PA=kPB,即：(x+m)2+y2 =k (x-m)2+y2
∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2
∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0
2m
2m+2k
∴x2+y2- k2-1 x+m2=0
知识点二
新知探究
解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.除
则 PD+4PC的最小值为_____.
D
A
P
B
C
典例精讲
变式三 求差最大的问题
知识点五
求带系数的两条线段差最大的问题,转化方法和前面所讲完全一样,只是
最后求最值时有所不同,前面求和最小都是运用两点之间线段最短的原理,
求差最大,我们需要运用“三角形两边只差小于第三边”这一原理来解决.
【例6】(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上
【引例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上
中考专题 阿氏圆专题(解析版)
阿氏圆专题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。
故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④= EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，△C 的半径为10,点B 在△C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5. 变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，△AB＝BD＝4，BD是切线，△△ABD＝90°，△BAD＝△D＝45°，△AB是直径，△△APB＝90°，△△P AB＝△PBA＝45°，△P A＝PB，PO△AB，△AC＝PO＝2，AC△PO，△四边形AOPC是平行四边形，△OA＝OP，△AOP＝90°，△四边形AOPC是正方形，△PM＝PC，△PC+PD＝PM+PD＝DM，△DM△CO，△此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，△B的半径为2，P是△B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：△如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．△PB2＝4，BE•BC＝4，△PB2＝BE•BC，△＝，△△PBE＝△CBE，△△PBE△△CBE，△＝＝，△PD+PC＝PD+PE，△PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，△PD+PC的最小值为5．△连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF △BC 于F ．△PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，△BP 2＝BE •BD ，△＝，△△PBE ＝△PBD ，△△PBE △△DBP ， △＝＝，△PE ＝PD ，△PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），△PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，△EC ＝，△PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，△B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．△＝＝，＝＝，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF△BC于F．△＝＝2，＝＝2，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，△DCF＝60°，CD＝4，△DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM△AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y ＝0，则ax 2+（a +3）x +3＝0， △（x +1）（ax +3）＝0，△x ＝﹣1或﹣，△抛物线y ＝ax 2+（a +3）x +3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0）， △﹣＝4，△a ＝﹣．△A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，△直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，△PM △AB ，PE △OA ，△△PMN ＝△AEN ，△△PNM ＝△ANE ，△△PNM △△ANE ，△＝，△NE △OB ，△＝，△AN ＝（4﹣m ），△抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，△PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，△＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． △OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， △OE ′2＝OM ′•OB ， △＝，△△BOE ′＝△M ′OE ′，△△M ′OE ′△△E ′OB ， △＝＝，△M ′E ′＝BE ′，△AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：3. 如图，等边⊙ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：2.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A，()0,2B，()4,0C，()3,2D，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]6. 如图，Rt△ABC，△ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC△△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，△四边形CDEF是正方形，△CF＝CD，△DCF＝△ACB＝90°，△△ACF＝△DCB，△AC＝CB，△△FCA△△DCB（SAS）．（2）解：△如图2中，当点D，E在AB边上时，△AC＝BC＝2，△ACB＝90°，△AB＝2，△CD△AB，△AD＝BD＝，△BD+AD＝+1．△如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，△BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．△CD＝，CM＝1，CA＝2，△CD2＝CM•CA，△＝，△△DCM＝△ACD，△△DCM△△ACD，△＝＝，△DM＝AD，△BD+AD＝BD+DM，△当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．。
阿式圆例题
阿式（氏）圆例题阿氏圆（Apollonian circles）是由希腊数学家阿波罗尼乌斯（Apollonius）提出的一类特殊的圆。
阿氏圆由三个或多个互相切于不同点的圆所构成。
它们具有一些独特的性质和美妙的几何关系。
以下是关于阿氏圆的训练例题：1.在平面上，直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为6cm，点O到直线CD的距离为8cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
2.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为10cm，点O到直线CD的距离为10cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
3.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为5cm，点O到直线CD的距离为3cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
4.已知直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为8cm，点O到直线CD的距离为12cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
5.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为7cm，点O到直线CD的距离为9cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
6.已知直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为10cm，点O到直线CD的距离为6cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
7.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为4cm，点O到直线CD的距离为4cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
8.在平面上，直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为3cm，点O到直线CD的距离为7cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
9.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为12cm，点O到直线CD的距离为8cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
10.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为9cm，点O到直线CD的距离为9cm。
请画出阿氏圆，并确定阿氏圆的半径。
11.直线AB和直线CD相交于点O。
点O到直线AB的距离为10cm，点O到直线CD的距离为4cm。
阿氏圆专题练习(含答案)
阿氏圆基础练习[类型一、向内构造]1. △ABC中，AC=6，BC=8，AB=10圆C的半径为4，点D是圆C上一动点，连接AD、BD，AD+!"BD的最小值为______，BD+"#BD的最小值为______2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3，点D是△ABC内一动点，且满足CD=2，则AD+"#BD 的最小值为______。
3. ∠O=90°,圆O的半径为 √2，PO=√10,MO=2,Q为圆O上一点，PQ+√""QM的最小值为______。
4. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，∠B=60∘,P为圆B上一动点, PD+!"PC的最小值为______。
5. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，圆B的半径为2,P是圆B上一动点，则√2PD+4PC的最小值为______。
6. 如图，边长为4的正方形的内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，则√2PA+PB的最小值______7. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，则2PB+PC的最小值为______8. 如图，△ABC中AB=9，BC=8，∠ABC=60°,圆A的半径为6，P是圆A上一动点，连接PB、PC，则3PC+2PB的最小值为______。
9. 如图，在△ABC中∠B=90∘,AB=BC=2,以B为圆心作圆与AC相切，点P为圆B上任意一点，2PA+√2PC的最小值是______10.如图，已知P是边长为6的正方形ABCD内部的一个动点，PA=3，2PC+PD的最小值是______11.如图，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是矩形内部一个动点，MA=15，则5MC+3MD的最小值是______[类型二、向外构造]9上一点，2PA+PB的最小值是______ 12.如图，已知扇形COD,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CD#一动点(不与C,B重合)，则2PD+PB的最13.如图，在扇形CAB中，CA=4,∠CAB=120°,D为CA的中点,P为BC小值为_____14.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4,C是OA中点,过C作CD⊥AB交圆于D点,DE是⊙O的另一条直径,P是圆上的动点,2PC+PE的最小值为[类型三、两次构造]15. 如图，△ABC中AC=BC=4，∠ACB=90°,圆C的半径为2，D是圆C上一动点，E在CB上，CE=1，AD+2DE的最小值为______。
专题4：阿氏圆练习
专题 4 阿氏圆练习专题小结： 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿 波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮 马型求最值，难点在于如何构造母子相似．1．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，CA ＝9，⊙C 半径为 3，P 为⊙ C 上一动点，连结 AP ，1BP ，则3AP ＋ BP 的最小值为 （ ）A. 7B. 5 2C. 4＋ 10D. 2 1312．如图，在 Rt △ ABC 中， CB ＝4， CA ＝ 5，⊙ C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP ，BP ，则 AP ＋2BP的最小值为 _________23．如图，正方形 ABCD 边长为 2 2，内切圆 O 上一动点 P ，连接 AP 、DP ，则 AP+ 2 PD 的最小值为BC4．如图，等边三角形 ABC 边长为 4 3，圆 O 是△ABC 的内切圆， P 是圆 O 上一动点，连接 PB 、PC ，则 BP ＋ 21CP 的最小值为 ____________1PM ＋2PN 的最小值为 _______________C5．如图，在平面直角坐标系中，M （6，3），N （10， 0），A （5，0），点 P 为以 OA 为半径的圆 O 上一动点，则6．（反向操作）如图，∠A OB=90°， OA=OB=1，圆 O 的半径为 2， P 是圆 O 上一动点，求 PA+ 2PB 的 最小值． P7．（反向操作） 已知扇形 COD 中，∠COD =90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧 CD 上一点，求2PA+PB的最小值．DA3)8．(2019日照)如图 1,在平面直角坐标系中 ,直线 y=-5x+5 与 x 轴,y 轴分别交于 A,C 两点,抛物 线 y=x 2+bx+c 经过 A,C 两点 ,与 x 轴的另一交点为 B(1) 求抛物线解析式及 B 点坐标 ;(2) 若点M 为x 轴下方抛物线上一动点 ,连接MA 、MB 、BC,当点M 运动到某一位置时 ,四边形 AMBC 面积最大 ,求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积1(3) 如图2,若P 点是半径为 2的⊙B 上一动点,连接PC 、PA,当点P 运动到某一位置时 ,PC+1 PA2 的值最小 ,请求出这个最小值 ,并说明理由1)2)S= ，m=3,即M(3,-4)时,四边形AMBC 面积最大,最大面积等于189. （2017?兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线AB 交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x 轴交AC 于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y= ﹣x2+bx+c 的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H，连接EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H 的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM +CM它的最小值．10.3)（2016?济南）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<4），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M．如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°< α1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；2）设△ PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，= ，求m 的值；3）始终保持 ②试求出此旋转过程中不变，若存在，试求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由①探究：线段 OB 上是否存在定点 P （P 不与 O 、B 重合），无论 ON 如何旋转3）在（2）问条件下，当△ BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位置记1）求该抛物线的函数关系式与 C 点坐标11. （ 2018?东台市一模）如图，抛物线y 为点 M ′，将 OM ′绕原点 O 顺时针旋转得到 ON （旋转角在 0°到 90°之间） 2）已知点 M （m ，0）是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB与 y 轴交于 B 点，直线 AB 的函数关系式为yx+NA + NB ）的最小值 x 2+bx+c （b 为常数）与 x 轴交于 A 、C 两点和抛物线交于 D 、E 两点，当 m 为何值时，△ BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？阿波罗尼斯圆在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“ kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．在初中阶段的应用】阿氏圆主要应用于求系数不相同的线段和的最小值【基本解法】：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PC+kPD1、连接动点至圆心O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；2、计算出所连接的两条线段OP、OD 长度3、计算两条线段长度的比OP m；OD4、在OD 上取点M 使得OMOP5、连接CM ，与圆O 的交点即为点P.【例题】（2017·南山十校联考）如图，若⊙ O 的半径为， PO=，MO=2 ，∠ POM=90 °，点 Q 在⊙O 上运 动，求 PQ+QM 的最小值 .变式 ：如图，正方形 ABCD 的边长为 4，其内切圆上有一点 E ，求 DE+AE的最小值2OQ 2显然有△ QM'O ～△ MQO ， ∴≧⊙ O 的半径为 4，P 为⊙ O 上一动点，求 PA+PB 的最小值 .则 AP+DP 的最小值是 _______OM 2∴ QM'=QMAB=4 ，点 P 是⊙O 上一动点，（5）正方形 ABCD 的边长为 4，以 D 为圆心， 2 为半径作圆，①求 2BE+AE 的最小值3）如图， AB=BD=2AC=2 ，AC 、BD 分别切半圆于 A 、 B ，求 CF+DF 的最小值（4）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 是 BD 上一点， 求 NG+MG 的最小值 .BG ⊥AP ，点 M 、N 分别是线段 CD 、BC 的中点，②此时△ ABE 的面积6）菱形ABCD 边长为2，∠ ABC=60 °，圆A的半径为 3 ，BC与圆相切于点E，点P在圆A上3运动，求PB+ 3 PD 的最小值专题小结：所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动型求最值，难点在于如何构造母子相似．（7）【结合隐形圆】已知A（4，0），B（0，4），C（8，0），D（6，4），点P是△ AOB 外部第一象限一动点，∠ BPA=135 °，求2PD+PC 的最小值点在圆内，反向操作】8）如图，圆O半径为2，AO=BO=1 ，∠ AOB=90 °，求BP+2AP 的最小值练习】1.如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AC=4 ，BC=3，以点C为圆心， 2 为半径作圆C，分别交AC1于D、E两点，点P是圆 C 上一个动点，则PA PB的最小值为_____________ ．2、BCD．连3.如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆 B 上的一个动点，则值为______ ．的最大的最小值是22.如图，在ABC中，∠ ACB=90 °，BC=12 ，AC=9 ，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点1PC分析】 当 P 点运动到 BC 边上时， 此时 PC=2，根据题意要求构造 2 ，在 BC 上取 M 使得此时 PM=1 ，【附加题· 2018 江西】在正方形 ABCD 中， AB=6 ，连接 AC,BD,P 是正方形边上或对角线上一点，若 PD=2PA,则 AP 的长为则在点 P 运动的任意时刻，均有为最大值．1 PCPM= 2 ，从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值。
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在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
以下给出两种证明
法一：构造角分线
先复习两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．
证明：利用等积法
，即AB:AC=DB:DC
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD△△AED（SAS），CD=ED且AD平分△BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．
接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作△APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，
故M 点为定点，即△APB 的角平分线交AB 于定点；
作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k ，故N 点为定点，即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；
又△MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．
中考专题训练 阿氏圆模型
阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：
已知平面上两定点A 、B ，则所有满足
）
（1≠=k k PB
PA
的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和．．．．．．．．
的最值问题. 观察下面的图形，当P 在⊙O 上运动时，用PA 、PB 的长在不断的发生变化，但PB
PA
的比值却始终保持不变.
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法.
那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目： 例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，∠C 半径为2，P 为圆上一动点.
（1）求BP AP 2
1
+的最小值为 . （2）求
BP AP +3
1
的最小值为 .
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：AP+k BP
第一步：连接动点和圆心C （将系数不为．．．．1．的线段．．．的两个端点分别与圆心相连接），即连接CP 、CB ； 第二步：计算这两条线段长度的比
）圆心到定点的距离半径
（k CB CP =；
第三步：在CB （即定边）上取点M ，使得
k CP
CM
= 第四步：连接 AM ，与圆C 交点即为点P ；
第五步：计算AM 的长度，即为AP+k BP 的最小值.
实战演练：
1.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，且满足CD=2，则BD AD 3
2
+的最小值为 .
2.已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，则
BP AP +2
1
的最小值是 .
3.已知点A(-3，0)，B （0，3），C （1，0），若点P 为∠C 上一动点，且∠C 与y 轴相切. （1）求
BP AP +4
1
的最小值； （2）求△ABP 面积的最小值.
4.在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是__________.
5.已知∠O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点， 试求
PD PC +2
2
的最小值.
巩固练习：
1.如图，在∠ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作⊙B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PC PA 2
2
+
的最小值是 ．
2. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，求PD PB 2
3
+
的最小值.
3.（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD+
2
1PC 的最小值 ；
（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，点P 是⊙B 上的一个动点，那么PD+
3
2PC 的最小值为 ；
（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么
PD+
2
1
PC 的最小值为 .
4.如图1，抛物线y=ax 2+(a +3)x +3(a ≠0)与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E(m ，0)(0<m<4)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM∠AB 于点M. （1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设∠PMN 的周长为C 1，∠AEN 的周长为C 2，若
5
6
21 C C ，求m 的值； （3）如图2，在(2)条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A 、
E′B ，求E′A+3
2
E′B 的最小值.
问题提出：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。
(1)尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,
∴AP+1/2BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+1/2BP的最小值为___.
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,1/3AP+BP的最小值为___.
(3)拓展延伸：已知扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CDˆ上一点，求2PA+PB 的最小值。
反过来还原:
如图，点A，B在⊙O上，OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10，动点P在⊙O上，则PC+ 1/2 PD的最小值是多少？
如下图所示，在OA延长线上取点E，使得AE=OA
连接OP，PE。
因为OC/OP=1/2=OP/OE
从而△OCP∽△OPE（SAS）
从而，PC/EP=1/2，即PE=2PC
那么，PE+PD=2PC+PD=2（PC+1/2PD）
那么只要求出PE+PD 最小值，再除以2 即可得到所求问题的解。
很显然，当P点落在DE连线与圆O的交点P' 上时，
PE+PD取得最小值。
此时，PE+PD=DE=√（OD^2+OE^2）=√（10^2+24^2）=26那么，PC+1/2PD 的最小值即为26/2=13。
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC 的最小值和PC−1/2PC的最大值；
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么
PD+2/3PC的最小值为___,PD−2/3PC的最大值为___.
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+1/2PC的最小值为___,PD−1/2PC的最大值为___.
如图,△ABC是等腰三角形,∠C=900,○C与AB边相切,P是圆C上一动点,若圆C的半径为2。