现代控制理论-第14章-最小二乘法辨识
现代控制理论_第14章_最小二乘法辨识
y n 2 ai y n 2 i bi u n 2 i n 2
i 1 i 0
n
y n N ai y n N i bi u n N i n N
即
y k ai y k i bi u k i v k ai v k i
i 1 i 0 i 1
n
n
n
(14-3)
假设v k k 1,2,, n 是均值为零的独立分布的平稳随机序列，且与 序列u k k 1,2,, n 相互独立。设
ˆ 表示 y 的最优估值，则有 设ˆ 表示 的最优估值， y
ˆ ˆ y
(14-12)
式中
ˆ n 1 y a ˆ ˆ y n 2 ˆ ˆ y , b ˆ ˆ y n N
T 的展开式如下所示：
y n 1 y n y n y n 1 y 1 y 2 T u n 1 u n 2 u n 1 u n u 2 u 1 y n N 1 n 1 y n N 2 n 2 yN u n N u n N 1 n N uN
1
因为ˆ 有解与 T 正定等价，所以可以保证 T 正定来确定对输 入 u k 序列的要求。由式(14-9)可知
Y U
(14-20)
则
YT U YT U Y T Y U T T T U Y U U U
最小二乘法辨识
T 1 T T 1 T ˆ E [ θ ] E [ θ ( Φ Φ ) Φ ξ ] θ E [( Φ Φ ) Φ ξ ]
LS无偏估计的充要条件为：
E [( Φ Φ )
T 1
Φ
T
ξ] 0
下面讨论无偏估计的充分条件。
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
最小二乘的最早思想： 未知量的最大可能的值是这样 一个数值，它是实际观测值和计算 值的差值的平方和达到最小的数值。
基本的最小二乘估计 解决问题：在模型阶次n已知的情况下，根据系 统的输入输出数据，估计出系统差分方程的各 项系数。 1.基于输入/输出数据的系统模型描述
SISO系统的差分方程为
x ( k ) a 1 x ( k 1) a n x ( k n ) b 0 u ( k ) b n u ( k n ) y (k ) x(k ) n(k )
(k ) n(k )
a n(k i)
i i 1
n
则当前输出为：
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
ˆ min J
下面我们推导θ估计值的计算方法。
J取得最小值，也即J为极值，则有：
J ˆ θ
0
ˆ T ˆ [ (Y Φ θ ) (Y Φ θ ) ] ˆ θ
0
T ˆ 2 Φ (Y Φ θ ) 0
相关_最小二乘两步法在辨识中的应用与改进
图 ２ Ｆｉｇｕｒｅ．２ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｒ 梯 ａｎｄ Ｒ矩
（１１）
这种形式便于计算机求解，是目前普 遍使用的求解方法。式中Ｎ △ ｔ 要大于系统 的调整时间。同样，自相关函数 Ｒｘｘ（τ） 和互相关函数 Ｒ ｘｖ（τ）都是用有限和来 近似计算积分的，引起的截断误差正比于 △ ｔ ２。这样，在辨识中存在的误差源主要 有随机干扰，量化误差，有限和代替积分产 生的误差。其中人为误差只有有限和代替 积分产生的截断误差，结合仿真结果，我们 得出：截断误差仅仅影响到对传递函数零 点的估计，对极点估计没有影响。这样我们 可以快速，高精度地估计出系统传递函数
Байду номын сангаас
的极点，从而判定系统的稳定性。
６ 互相关函数计算的梯形法改进
在前面提到，数字计算机中积分是化 为有限和近似计算的。由分析可以得知， 这种有限和计算实际上是积分的矩形近 似，引起的截断误差正比于△ ｔ ２。我们可 以用梯形法作一改进，以减小截断误差。
将梯形近似公式
（１２） 运用在互相关函数中，可得：
（２） 则（１ ）式可以表示为：
（３） 所以只要能正确的利用输入、输出序 列估计出θ就能得到被辨识系统的传递函 数， 最小二乘法是一种估计θ值的方法。 ３．２ 辨识方法 ３．２．１ 互相关函数法 相关性可用互相关函数来表示：
（４） τ是时间间隔。 当 ｘ（ｔ）＝ｙ（ｔ）时，互相关
函数就变成了自相关函数。 设 ｔ＝０ 时，ｘ（ｔ）＝０，而且 ｔ
若想得到系统的精确模型可以采取减小截断误差的方法如梯形近似法甚至四阶龙10可以把r看作是系统在rxvxx入下的响应这样要获得该系统的参数模型只需把分别看作xxxv系统的输入和输出然后按最小二乘法估计参数
控制系统设计中的模型鉴别方法综述
控制系统设计中的模型鉴别方法综述在控制系统设计中，模型鉴别方法是一项关键性工作。
模型鉴别方法可以帮助工程师准确地识别出待控系统的数学模型，为后续的控制器设计和性能优化提供基础。
本文将对控制系统设计中常用的模型鉴别方法进行综述。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的模型鉴别方法，它通过最小化误差的平方和来拟合实际测量数据和理论模型之间的差异。
最小二乘法可以用于线性和非线性模型的鉴别。
对于线性模型，最小二乘法可以通过矩阵运算求解最优解。
而对于非线性模型，最小二乘法可以通过迭代优化算法求解。
二、频域方法频域方法是一种将系统响应与频率特性相关联的模型鉴别方法。
它通常基于输入和输出信号的频谱分析，可以用于连续时间和离散时间系统。
频域方法可以采用傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学工具，通过求解传递函数或频率响应函数来获得系统模型。
频域方法适用于具有周期性输入和输出信号的系统。
三、时域方法时域方法是一种将系统响应与时间域特性相关联的模型鉴别方法。
它通常基于实际采集到的离散时间数据，通过插值、拟合等技术来获得离散时间系统的模型。
时域方法可以采用多项式插值、曲线拟合等数学工具，通过建立系统差分方程或状态空间模型来进行模型鉴别。
时域方法适用于实际工程中获得的离散时间数据。
四、系统辨识方法系统辨识方法是一种通过试验数据来识别系统动态特性的模型鉴别方法。
它可以通过对系统施加特定的输入信号，观测系统输出响应来获得系统模型。
系统辨识方法可以分为参数辨识和非参数辨识两种方法。
参数辨识方法假设系统具有某种结构，通过最小化残差的平方和来确定模型参数。
非参数辨识方法不对系统结构进行假设，通过直接拟合试验数据来获得系统模型。
五、神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的模型鉴别方法。
它可以通过输入输出数据训练神经网络，从而获得系统的模型。
神经网络方法可以适用于非线性系统的建模和鉴别。
神经网络方法具有较强的自适应能力和非线性拟合能力，但对于网络结构和训练样本的选择具有一定的要求。
现代控制理论最小二乘法辨识
元人民币（大写），在双方签订本协议当日由乙方一次性付清；费用包含：报名
（ 1）指定学习内容，由学生自主学习。包括课前的预习、测试、以及课后复习。老师将给出预习和复习的思路和目标，并给以测试时间，在对测试进行评定后 予以讲解。 （ 2）面授：老师将根据学生预习的内容以及授课计划，确定本次授课内容，并向乙方或学生出示本次备课笔记，乙方或学生必须签字确认。 （ 3）电话助学：在非授课时间，学生以电话形式按照当周计划规定时间主动向老师汇报当天学习情况、作业完成情况和周计划执行情况，以利于甲方对学生进 行监督和指导，督促学生学习，培养良好的学习习惯，及时 解决学习过程中出现的问题。电话助学情况由老师进行记录，并由乙方签字确认。 6、甲方根据学生学习情况和考试重点为学生提供配套试题，定期对学生进行适量的强化训练和测验；甲方教务部为对学生进行电话回访，监督学生的学习状况， 跟踪辅导过程和效果，及时对教学计划进行调整，并在必要时对乙方进行家访。
六、协议期限：签订之日起至
年
考试结束。
弃权利，甲方不予办理。
八、协议正本一式两份，甲方执一份，乙方执一份；本协议签订后，双方须共同遵守。本协议由甲乙双方协商签订，不属于格式合同或格式条款，均可修 改、变更；本协议未尽事宜，双方友好协商解决，协商不能达成一致的则通过仲裁委员会仲裁解决。
九、乙方已通读上述条款，甲方已应乙方的要求作了相应说明，乙方对所有内容无异议。
一对一个性化辅导协议
甲 方：艾尔培训中心白河分校（服务方，以下简称甲方） Nhomakorabea乙 方：
（家长姓名，以下简称乙方）
为使乙方学生
得到切实有效的课外辅导，提高学习成绩，甲乙双方在平等自愿的情况下，本着公平诚信原则，就乙方委托甲方对其子 /女
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
系统辨识—最小二乘法_3
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------系统辨识—最小二乘法最小二乘法参数辨识 1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号 u 和等价准则 J=L(y，yM)(一般情况下，J 是误差函数，是过程输出 y 和模型输出 yM 的一个泛函)；然后选择使误差函数J 达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使1 / 17用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
(完整)系统辨识—最小二乘法汇总,推荐文档
最小二乘法参数辨识201403027摘要:系统辨识在工程中的应用非常广泛,系统辨识的方法有很多种,最小二乘法是一种应用极其广泛的系统辨识方法.阐述了动态系统模型的建立及其最小二乘法在系统辨识中的应用,并通过实例分析说明了最小二乘法应用于系统辨识中的重要意义.关键词:最小二乘法;系统辨识;动态系统Abstract: System identification in engineering is widely used, system identification methods there are many ways， least squares method is a very wide range of application of system identification method and the least squares method elaborated establish a dynamic system models in System Identification applications and examples analyzed by the least squares method is applied to illustrate the importance of system identification.Keywords: Least Squares; system identification; dynamic system引言随着科学技术的不断发展,人们认识自然、利用自然的能力越来越强,对于未知对象的探索也越来越深入.我们所研究的对象,可以依据对其了解的程度分为三种类型:白箱、灰箱和黑箱.如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制了解很深入的话,这样的研究对象通常称之为“白箱”;而有的研究对象,我们对于其内部结构、机制只了解一部分,对于其内部运行规律并不十分清楚,这样的研究对象通常称之为“灰箱”;如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制及运行规律均一无所知的话,则把这样的研究对象称之为“黑箱”.研究灰箱和黑箱时,将研究的对象看作是一个系统,通过建立该系统的模型,对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律.对于动态系统辨识的方法有很多,但其中应用最广泛,辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法,研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义.1．1 系统辨识简介系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
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到，在观测过程中往往附加有随机干扰。
2021/2/11
3
观测值 y k 用下式表示：
ykxk vk v k 为随机干扰。由上式得
(14-2)
xkyk vk
(14-3)
把式 (14-3)代入式(14-1)，得
yka1yk1a2yk2 anykn b0ukb1uk1 bnukn vka1vk1a2vk2 anvkn
显然，当矩阵 T 1存在时，式(14-18)才有解。一般说来，如果
u k 是随机序列或伪随机二位式序列，则矩阵
，即 T 1存在，式(14-18)有解。
尽量减小 对 的估值的影响，应该取N2n1，即方程数目大于
未知数数目。在这种情况下，不能用解方程的方法求 ，而要采用 数理统计的方法求 的估值。这样可减小 对 的估值的影响。这 种给定测量向量y 和测量矩阵 求参数 估值的问题，就是系统参 数的辨识问题。可用最小二乘法或极大似然法求 的估值。
这里先讨论最小二乘法辨识问题。
i0
(14-5)
n
n
yk a iyk i b iuk i (k)
i 1
i 0
(14-6)
如果u k 也有测量误差，则在 k 中应包含这一测量误差。
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5
现在分别测出个 nN 输出值和输入值：y 1 ， y 2 ， ， y n N 及 u 1 ， u 2 ， ， u n N 。则可写出N个方程：
第十四章 最小二乘法辨识
差分方程模型辨识问题包括模型阶的确定和参数估计两个 方面。本章只讨论单输入－单输出系统在模型结构已知情 况下的最小二乘法参数估计问题,例如水箱液面的控制系统。
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1
这里对各种估计方法都按离线辨识和在线辨识两种情况进 行讨论。离散辨识是把观测数据集中起来同时处理,得到 参数估值。而在线辨识是在辨识过程中按递推计算方法不 断地给出参数估计。这些估计方法都可推广到多输入－多 输出系统的参数估计问题,例如导弹稳定系统控制。
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2
第一节 最小二乘法辨识与递推最小二乘法辨识
一个单输入－单输出线性定常系统可用图14-1表示。系统的差 分方程为
x k a 1 x k 1 a 2 x k 2 a n x k n b 0 u k 1 b 1 u k 2 b n u k n k 1 ,2 , (14-1)
是一个含有2n 1个未知参数的N个方程组成的联立方程组。如果 N2n1，则方程组是不定的，不能唯一地确定参数向量。如 果 N＝ 2n1，则当测量误差 0 时，就能准确地解出参数向量， 即
1y
如果测量误差不等于零，则
(14-10)
1y1
(14-11)
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从上式可看出，随机测量噪声 对参数 的估计值有影响，为了
i 1
i 0
(14-15)
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12
把k n 1 ， n 2 ， ， n N 分别代入式(14-14)，可得残差 en1， e n 2 ， ， e n N 把这些残差写成向量形式：
en 1
e
e
n
2
y
yˆ
e
n
N
(14-16)
最小二乘法估计要求残差的平方和为最小，即按照指标函数
பைடு நூலகம்
n
n
yn1 ai yn1ibiun1in1
i1
i0
n
n
yn2 ai yn2ibiun2in2
i1
i0
n
n
ynN ai ynNibiunNinN
i1
i0
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6
上述N个方程可写成下列向量－矩阵形式
a
y Y
U
b
(14-7)
式中y 为N个输出值组成的向量；a为 a1， a2， ， an所组成的维向量
即
n
n
n
y k a iy k i b iu k i v k a iv k i (14-3)
i 1
i 0
i 1
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4
假设vkk 1 ,2 , ,n是均值为零的独立分布的平稳随机序列，且与 序列ukk 1 ,2 , ,n相互独立。设
则式(14-4)变成
n
kvkaivki
yn yn 1
Y U yn 1
yn
ynN 1 ynN 2
y1 un 1 un y2 un 1 un 1
yN unN unN 1
u1 u2
uN
(14-8)
式(14-7)也可写成
y
(14-9)
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8
式中
a
Y U
，
b
为N2n1维测量矩阵， 为2n1维参数向量。因此，式(14-9)
k n 1 ， n 2 ， ， n N
(14-13)
11
设e k 表示y k 与yˆ k 之差，通常称它为残差。
ekyky ˆkyk i n1aiyki i n0biuki
kn1 ， n2， ， nN
(14-14)
由式(14-14)得
n
n
yk a iyk i b iu k i ek
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10
设 ˆ 表示 的最优估值，yˆ 表示y 的最优估值，则有
yˆ ˆ
式中
yˆ n 1
yˆ
yˆ
n
2
,
aˆ
ˆ
yˆ
n
N
bˆ
(14-12)
写出式(14-12)的某一行，得
n
n
y ˆ k a iy k i b i u k i
i 1
i 0
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JeTey ˆTy ˆ
(14-17)
为最小确定估值 ˆ。
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13
可按
J ˆ
0
来求
的最小二乘法估计值 ˆ 。
Jˆ2T yˆ 0
即
TˆTy
由此式用 T 1左乘等号的两边，得
ˆT1Ty
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(14-18)
14
J为极小值的充分条件是
2J
ˆ2
T 0
(14-19)
，b为 b0， b1，， bn所组成的n 1 维向量；为 n 1 ， n 2 ， ， n N
所组成的N维噪声， 即
a1
y n 1
n 1
y
y
n
2
,
a
an
，
n
2
y
n
N
b
b0
n N
bn
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Y 为输入值 y 1 ， y 2 ， ， y n N 1 所组成的 N n 阵块；U 为输 入值 u 1 ， u 2 ， ， u n N 所组成的 Nn1矩阵块。即