2019-2020年四川省高考理科数学模拟试题word版
2019年四川省高考数学理科试题含答案(Word版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（ ） （A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+第II卷（非选择题100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2019年四川省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
高考数学精品复习资料2019.5普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2019-2020学年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合 A={x|x＞1}，函数 y=lg（2﹣x）的定义域为 B，则（ ）
A．A∪B={x|1＜x＜2} B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1} D．A∩B={x|x＜2}
∴M（﹣ ， ），
∴ + =1，①
∵a2﹣b2=c2=1，②， 由①②可得 4a4﹣8a2+1=0，
解得 a2=
＜1（舍去），a2=
，
∴a2=
=
=（
∴a=
=
，
∴e= =
= ﹣1，
）2，
！ 功
故选：C．
成
到
马
考
高
您
11．（5 分）已知 SC 是球 O 的直径，A，B 是球 O 球面上的两点，且
，
祝若三棱锥 S﹣ABC 的体积为 1，则球 O 的表面积为（
）
A．4π B．13π C．16π D．52π
【解答】解：∵SC 是球 O 的直径，A，B 是球 O 球面上的两点，且
，
∴∠SAC=∠SBC=90°，
cos∠ACB=
=﹣ ，
∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°， ∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB= ，
∴SC=
=2，
∴球半径 R=1，
的斜率
考 和截距的最小二乘估计公式分别为： =
，=
．
高 20．（12 分）如图，ABCD 是菱形，∠ABC=60°，AC 与 BD 相交于点 O，平面 AEFC
⊥平面 ABCD，且 AEFC 是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．
【精品高三数学试卷】2019-2020成都市高三(上)7月摸底(理科)+答案
2019-2020学年四川省成都市高三（上）7月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z 满足(1)(i z i i +=是虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12B ．12-C ．12iD ．12i -2．（5分）已知集合{1A =，2，3，4}，2{|60}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}3．（5分）如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是( )A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数4．（5分）若实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩„……，则2z x y =-的最小值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．65．（5分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67(a a =) A ．1B ．3C ．6D ．96．（5分）已知函数sin(),0()621,0.x x x f x x ππ⎧+⎪=⎨⎪+>⎩„，则(2)f f -+（1）(= ) A 63+ B 63- C ．72D ．527．（5分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若向量(,cos )m a A =-rg ，(cos ,2)n C b c =-r ，且0m n =r r g ，则角A 的大小为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．89．（5分）若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410O 的表面上，且3OO '=O 的表面积的最小值为( ) A ．3223πB ．6423πC ．32πD ．48π10．（5分）已知函数22()(1)x f x x a x e =++，则“2a ()f x 在1x =-处取得极小值”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，又点23(,)2b N c a-．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足2||||4MF MN b +>，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．13(5) B ．(5,13)C ．(1)+∞UD ．)+∞U 12．（5分）若关于x 的不等式210xlnx kx k -++>在(2,)+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．（5分）某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为ˆˆ9ybx =+，则ˆb 的值为 ．14．（5分）已知曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:20l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为 ．15．（5分）已知()f x 是定义在(,)22ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，()8f π=，且当(0,)2x π∈时，()sin 22()cos20f x x f x x '+>．则不等式()sin 21f x x <的解集为 ．16．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且||||1||AF AF BF -=，则抛物线C 的标准方程为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x 的图象关于y 轴对称，2(1)3f =-．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 18．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（Ⅰ）试估算这三类行业中每类行业的单位个数；（Ⅱ）若在A 类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=︒，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面//BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，3CD =，求平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，且经过点1(3,)2A ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(4,0)B 作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．若直线P Q '与x 轴相交于点D ，求DPQ ∆面积的最大值． 21．（12分）已知函数2()22x x f x e ae ax =--，其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分)22．（10分）在直角坐标系xOy 中，过点(1,1)P 的直线l 的参数方程为1cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB的最小值．2019-2020学年四川省成都市高三（上）7月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【解答】解：由(1)i z i +=， 得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i -+====+++-， 则z 的虚部为：12． 故选：A ．【解答】解：{|23}B x x =-<<Q ，{1A =，2，3，4}， {1A B ∴=I ，2}．故选：B ．【解答】解：甲所得分数的极差为331122-=，A 正确； 乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C 正确； 故选：D ．【解答】解：作出实数x ，y 满足220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩„……表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选：A ．【解答】解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且3132312log log log 12a a a ++⋯+=，即31212log ()12a a a ⋯=g g g ，所以1212123a a a ⋯=g g g ， 所以61267()3a a = ，所以26739a a ==， 故选：D ．【解答】解：Q 1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=， 故选：C ．【解答】解：由0m n =r rg 得，0(,cos )(cos )cos )cos a A C c a C c A =--=--g ，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +=，即sin cos 0B B A =， 由于sin 0B ≠，∴cos A = ∴4A π=，故选：B ．【解答】解：模拟程序的运行，可得③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m = ⑤123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =故选：B ．【解答】解：如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O 'e 的半径22a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=+=+值不等式得，2222a ba b ++„222()202a b a b ++=…， 所以222220(3)33844a b R r ++=++=…10a b == 所以球O 的表面积的最小值为2432R ππ=， 故选：C ．【解答】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++． 令()0f x '=，得1x =-或21x a =--．①当0a =时，2()(1)0x f x x e '=+…． 故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴ “2a =”是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选：A ．【解答】解：双曲线C 左支上的任意一点M 均满足2||||4MF MN b +>， 即2(||||)4min MF MN b +>，又22123||||2||||2||22b MF MN a MF MN a NF a a++++=+厖 2223244382b a b a b ab a∴+>⇒+>34802b a ba b a ⇒+->⇒>g 或23b a <2221b e a∴=+，5e >或131e << 故选：D ．【解答】解：关于x 的不等式210xlnx kx k -++>在(2,)+∞内恒成立，即关于x 的不等式(2)1xlnx k x >--在(2,)+∞内恒成立，即函数(2)y xlnx x =>的图象恒在直线(2)1y k x =--的上方．当直线(2)1y k x =--与函数(2)y xlnx x =>相切时，设切点为0(x ，0)y ，则()0000000(2)211y x lnx x y k x lnx k =>⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(2)1x lnx k x =--，把③代入得00(1)(2)1x k k x -=--，化简得021x k =+．由02x >得，12k >． 又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k …．因此函数(2)y xlnx x =>的图象恒在直线(2)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2，故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 【解答】解；由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为：6.5．【解答】解：把曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-=的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===．【解答】解：已知()f x 是定义在(,)22ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，()8f π=令()()sin 2(0)2F x f x x x π=<<，且当(0,)2x π∈时，()sin 22()cos20f x x f x x '+>．则()()sin 22()cos20(0)2F x f x x f x x x π''=+><<，所以()()sin 2F x f x x =在(0,)2π上为单调递增，且()()sin(2)1888F f πππ=⨯=，所以()()sin 2()8F x f x x F π=<，解得08x π<<，由()f x 是定义在(,)22ππ-上的奇函数得，()()sin 2F x f x x =在(,)22ππ-为偶函数，所以不等式()sin 21f x x <的解集为：(,)88ππ-，故答案为：(,)88ππ-．【解答】解：如图所示，设(0)2AFO παα∠=<<，过点B 作BB l '⊥与点B '，由抛物线的定义知，||||BF BB '=，||FC p =，ABB AFO α'∠=∠=；在Rt ABB '∆中，||||cos ||||BB BF AB AB α'==，||||cos BF AB α=， 从而||||||||(1cos )AF BF AB AB α=+=+； 又||||1||AF AF BF -=，所以||(1cos )||1||cos AB AF AB αα+-=， 即1cos ||1cos AF αα+-=，所以1||cos AF α=； 在Rt AFC ∆中，||cos ||||CF pAF AF α==，||cos p AF α=， 所以1cos 1cos p αα==g ， 所以抛物线C 的标准方程为22y x =． 故答案为：22y x =．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【解答】解：2()()2I f x x mx n '=++．1⋯⋯分Q 函数()f x 的图象关于y 轴对称，0m ∴=．2⋯⋯⋯分又12(1)333f n =++=-，解得4n =-．3⋯⋯⋯分0m ∴=，4n =-．4⋯⋯⋯⋯分（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围． 由()I ，得31()433f x x x =-+．2()4f x x '∴=-．⋯⋯⋯．．5分 令()0f x '=，解得2x =±．6⋯⋯⋯⋯分Q 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增．7⋯⋯分 又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在(2,2)-上单调递减，．．8分()f x ∴的极大值为25(2)3f -=，极小值为7(2)3f =-．⋯⋯⋯．．10分 ∴由图可知，实数λ的取值范围为725(,)33-．⋯⋯⋯．12分【解答】解：()I 由题意，抽取的三类行业单位个数之比为3:3:4． 由分层抽样的定义，有A 类行业单位个数为32006010⨯=（个)， B 类行业单位个数为32006010⨯=（个)， C 类行业单位个数为42008010⨯=（个)． A ∴，B ，C 三类行业单位的个数分别为60，60，80．（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M 在A 类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有：{85，82，77}，{85，82，78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，87}，{78，83，87}．共20种．7⋯分这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有：{85，82，83}，{85，82，87}，{85，83，87}，{82，83，87}．共4种．这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种，∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种． ∴选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率为：44()1205P M =-=． 【解答】解：()I 证明：连接BD ，AB AD =Q ，60BAD ∠=︒，ABD ∴∆为正三角形．M Q 为AD 的中点，BM AD ∴⊥．AD CD ⊥Q ，CD ，BM ⊂平面ABCD ，//BM CD ∴．又BM ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//BM ∴平面PCD ．M Q ，N 分别为AD ，PA 的中点，//MN PD ∴．又MN ⊂/平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，//MN ∴平面PCD ．又BM ，MN ⊂平面BMN ，BM M N M =I ，∴平面//BMN 平面PCD ．（Ⅱ）解：连接PM ．Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PM ⊂平面PAD ，又PM AD ⊥，PM ∴⊥平面ABCD ．又BM AD ⊥，MB ∴，MD ，MP 两两互相垂直．以M 为坐标原点，MB u u u r ，MD u u u u r ，MP u u u r的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -．6AD =Q ，CD =，则(0M ，0，0)，(0P ，0，3)，(0A ，3-，0)，33(0,,)22N -，B ，C ．设平面BMN 的一个法向量111(,,)m x y z =r ，平面BCP 的一个法向量222(,,)n x y z =r．Q (33,0,0)MB =u u u r ，33(0,,)22MN =-u u u u r ，∴由00m MB m MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，得11133033022x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩．∴取(0,1,1)m =r ． Q (23,3,0)BC =-u u u r ，(33,0,3)BP =-u u u r，∴由00n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，得222223303330x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩．∴取(3,2,3)n =r ． ∴52cos ,||||821642n m n m n m <>====r rg r rr r g g ．∴平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值为52．【解答】解：()I 由椭圆的定义，可知212112||||(23)()422a AF AF =+=+=．1⋯⋯⋯分解得2a =．2⋯⋯⋯⋯分 又222(3)1b a =-=．3⋯⋯分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．⋯⋯⋯．4分（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为4x my =+，0m ≠．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得22(4)8120m y my +++=．5⋯⋯⋯⋯分 因为△216(12)0m =->，所以212m >所以12284m y y m -+=+，122124y y m=+．⋯⋯⋯．6分 因为21212121()P Q y y y y k x x m y y '++==--，所以直线P Q '的方程为211121()()y y y y x x m y y ++=--．7⋯⋯⋯⋯分令0y =，可得211112()4m y y y x my y y -=+++．8⋯⋯⋯分所以21212212222444441884m my y m m x m y y m m +=+=+=+=-+-+g ，所以(1,0)D ．9⋯⋯⋯⋯分 所以2212121213612||||||()422DPQ BDQ BDPm S S S BD y y y y y y ∆∆∆-=-=-=+-=g ．10⋯⋯分 令212t m =-，(0,)t ∈+∞． 则266316164DPQ t S t t t∆==++…，当且仅当4t =即27m =±时等号成立， 所以DPQ ∆面积的最大值为34．12⋯⋯分【解答】解：()I 当1a =时，2()22x x f x e e x =--，2()222x x f x e e '∴=--．00(0)2222f e e '∴=--=-， 又00(0)201f e e =--=-，∴曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为(1)2y x --=-，即210x y ++=；（Ⅱ）法一：22()2222()x x x x f x e ae a e ae a '=--=--，令(0,)x t e =∈+∞，则2()()2()f x g t t at a '==--， 0a >Q ，∴函数()y g t =在(0,)+∞仅有一个零点，∴存在0(0,)t ∈+∞，使得0()0g t =．即存在0x 满足00x t e =时，0()0f x '=， ∴当0(0,)t t ∈，即0(,)x x ∈-∞时，()0f x '<．()f x ∴在0(,)x -∞上单调递减；当0(t t ∈，)+∞，即0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>．()f x ∴在0(x ，)+∞上单调递增， 又当x →-∞时，220x x e ae -→，2ax -→+∞，()f x ∴→+∞；当0x >时，x e x >，22()2222(4)x x x x x x x f x e ae ax e ae ae e e a ∴=-->--=-．Q 当x →+∞时，(4)x x e e a -→+∞，∴当x →+∞时，()f x →+∞．∴由题意，函数()f x 有唯一零点时，必有00200()220x x f x e ae ax =--=．①，又0020x x e ae a --=，②由①②消去a ，得00210x e x +-=．令()21x h x e x =+-．()20x h x e '=+>Q ，()h x ∴单调递增， 又(0)0h =，∴方程00210x e x +-=有唯一解00x =． 将00x =代入0020x x e ae a --=，解得12a =．∴当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为12． 法二：问题等价于关于x 的方程2220(0)x x e ae ax a --=>有唯一解时，求a 的值． 令(0)x e t t =>，则x lnt =． 问题等价于关于t 的方程11(1)(0)2lntt a t t=+>有唯一的解时，求a 的值． 令21()(1)lnt lnt t g t t t t +=+=，则312()t lntg t t --'=．令()12(0)h t t lnt t =-->，则22()10(0)t h t t t t+'=--=-<>． ()h t ∴在(0,)+∞单调递减，而h （1）0=，∴当(0,1)t ∈时，()0h t >，当(1,)t ∈+∞时，()0h t <． ∴当(0,1)t ∈时，()0g t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '<．从而()g t 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．注意到：g （1）1=，当1t >时，()0g t >，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴的唯一极大值为g （1）1=．结合()g t 的图象知，112a =或102a<时，关于t 的方程11(1)(0)2lnt t a t t =+>有唯一的解， 而0a >，所以12a =． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分)【解答】解：()I 曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．4cos ρθ=Q ，24cos ρρθ∴=．∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）代入曲线C 的方程， 并整理得2(2sin 2cos )20t t αα+--=．Q △2(2sin 2cos )80αα=-+>，∴可设．1t ，2t 是方程的两个实数根，则1t +．22cos 2sin t αα=-，1220t t =-<．∴1212121212||||||1111||||||||||||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+=====，当4πα=时，等号成立．∴11||||PA PB +。
四川省成都市2019-2020学年高考数学仿真第一次备考试题含解析
四川省成都市2019-2020学年高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】 【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用. 2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解 【详解】 因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题3．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18， 如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x'=. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ，则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=. 又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e=. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.选D. 点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数. 【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）. 故选：D. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题7．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B 到直线()310x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】由于,n n A B到直线()10x n n ++=的距离和等于,n n A B 中点到此直线距离的二倍，所以只需求,n n A B 中点到此直线距离的最大值即可。
2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020学年四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则 A∪B=（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
∴
考 ，解得 a=1．
故选：C．
高
您 3．（5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（
A．
，
B．
，
）
祝C．
，
D．
，
【解答】解：对于 A，
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．
对于 B， ， 是两个不共线向量，故可作为基底．
对于 C，
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．．
对于 D， 故选：B．
上单调递减，
则
，可得
φ
，k∈Z．
∴φ= 故选：C
7．（5 分）已知 α 是锐角，若 A． B． C． D． 【解答】解：∵已知 α 是锐角，若
，则 cos2α=（ ）
！
功 ， ∴ cos （ α ﹣ ）
= 则 cos2α=sin（
=， ﹣2α）=﹣sin（2α﹣
）=﹣2sin（α﹣
成）cos（α﹣
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．
4．（5 分）下列说法中正确的是（ ）
A．先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名
学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150…
四川省成都市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析
四川省成都市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题. 2．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=Q ，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos cos cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】解: )()())1111112i i i z ii i ---=====++-， 故选：C 【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题. 4．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.5．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥r r，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥r r，b ∥α，则a α⊥【分析】根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【详解】A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r，b α⊥，故本命题不正确；C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r，b ∥α，故本命题不正确.故选：C 【点睛】本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2B ．2CD【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y=kx1k ∴=， ， 得双曲线的一条渐近线的方程为3y =∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有： b c e a a ==＝ ②当焦点在y 轴上时有：2a c e b a ==；∴求得双曲线的离心率 2．本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 7．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤ D ．21,2n n n ∃>≤【答案】C 【解析】根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2nn n ∀>≤，所以选C.8．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D 【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．9．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x=+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫=⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题 10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x '=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =，该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 11．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可. 【详解】 因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=，则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.12．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，22113,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是
（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6
2.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为
（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 4
3.为了得到函数πsin(2)3
y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点
（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3
个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A ）24（B ）48（C ）60（D ）72
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，学科&网则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年
6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为
（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35
7.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
则p 是
q 的
（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为
（A ）33（B ）23
（C ）22（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值
范围是
（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)
10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r ﹒DB u u u r =DB u u u r ﹒DC u u u r =DC u u u r ﹒
DA u u u r =-2，动点P ，M 满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u u u r ，则2BM u u u u u r 的最大值是
（A ）434（B ）494
（C ）3734+（D ）372334+
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.cos 2π8–sin 2π8
=.
12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是.
13.已知三棱镜的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。
14.已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f （x ）
=，则f （）+ f （1）=。
15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是
原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(
,)y x P x y x y -++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月
用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，学科.网通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I ）求直方图中a 的值；
（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且
cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；
（II ）若22265
b c a bc +-=，求tan B .
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD. 学.科.网E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90
°.
（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N ∈.
（I ）若2322,,2a a a +成等差数列，求a n 的通项公式；
(ii)设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（II ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，学.科网使得∣PT ∣2=λ∣PA ∣·∣PB ∣，并求λ的值.
21.（本小题满分14分）
设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.
（I ）讨论f (x )的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。