数形结合百般好——数形结合思想在解题中的应用
用 计 算 的方 法 ， 要 解 决 的 形 的 问 题 转 化 为 对 数 量 关 系 的 把
标 系 这一 舞 台来 进 行 着 数 与 形 最 完 美 的结 合 ．
例 ２ 已 知 一 次 函 数 Ｙ＝ｈ ＋ｂ的 图 像 经 过 （一１ ｍ） 。 ， （ １ 两 点 ， ｍ ＞１ 则 ， 满 足 的 条 件 是 （ ｍ。 ） 且 ， ６应
读 题 一 边 用 图示 或 图 表 来 直 观 地 表 示 其 中 的 量 ， 可 方 便 就
地 发 现 等 量 关 系 ， 而解 决 问题 ． 从
４ ．利 用 几 何 定 理 、 型 来 反 映 数 量 关 系 模
。
是 指 把 代 数 的 精 确 刻 画 与 几 何 的 形 象 直 观 相 统 一 ， 抽 象 将 思 维 与 形 象 直 观 相 结 合 的 一 种 思 想 方 法 ． 学 家 华 罗 庚 教 数
三角 形 的三边 关 系 ， 口＋ Ｃ的 最小 值 就 是线 段 Ｂ Ｐ Ｐ Ｃ的 长． 长 延 Ｂ ， ｃ 作 ｃ 上 Ｂ ， ＡＢ Ｃ 中 ， ｃ ＝ Ｂ ｃ ２＝ Ａ过 Ｅ Ｅ 在 Ｅ Ｂ Ｅ ＋ Ｅ
：
、
用 形 来 反 映 数 量 关 系
１ ．数
轴
数 轴 是初 中数 学 教 材 中 数 形 结 合 的 第 一 个 实 例 ， 充 它 分发 挥 了数 的准 确 、 的 直 观． 的 建 立 ， 仅 使 直 线 上 的 形 它 不 点 与 实数 间建 立 了 一 一 对 应 关 系 ， 揭 示 了数 形 之 间 的 内 还 在联 系 ， 实 数 的 许 多 性 质 可 由数 轴 上 相 应 点 的 位 置 关 系 使 得 到形 象 生 动 的说 明 ， 为 以 后 学 习 相 反 数 、 对 值 、 理 也 绝 有
ｃ ３ ｍ一１ ．（ ）
总结
Ｄ÷ （ ． ｍ一２ ）
关 系 ， 函数 与 其 图 形 的 数 形 结 合 成 为 必 然 ． 中 阶 段 所 学 使 初
习 的 一 次 函数 、 比例 函 数 、 次 函 数 无 疑 都 是 通 过 直 角 坐 反 二
一 些 几 何 问 题 如 果 借 用 了代 数 方 法 去 解 决 ， 采
形 ， 何 图形 是 画 下 来 的 公 式 ． “ ” “ ” 几 ” 数 与 形 的辩 证 统 一 关
系 ， 得 “ 形 结 合 ” 观 点 成 为 进 行 数 学 学 习 和 研 究 的 一 使 数 的 个 基 本 观 点．
分 析 此 题 的 一 般 思 路 是 解 关 于 ｋ ６ 的 方 程 组 ，
原教 育 学 院 学报 ，９ ９ １ ． １９ （ ）
［ ］ 景超 ． 形 结 合 思 想在 解题 中 的应 用 ［］ 中学 生 ３王 数 Ｊ．
因 为 ｍ ＞ ， 以 不 妨设 ｍ ＝ 于是 直 线 Ｙ＝ ｘ＋ｂ １所 ２， ｋ 数理 化 （ 三版 ） ２ ０ （ ） 高 ，０ ６ ３ ． ［ ］ 怀 山． 数 形 结 合 思 想 ” 解 题 中 的 应 用 ［ ］ 福 ４吴 “ 在 Ｊ．
Ａ．ｋ＞ ０， ＞０ ６ Ｃ． ＞０ 。 ｂ＜０ Ｂ． ＜０， ６＞０ Ｄ． ＜０ 。 ＜０ ｂ
研 究 ， 使 解 题 思 路 明确 ， 题 过 程 简 便 ． 会 解
杰 出 的数 学家 希 尔 伯 特 说 过 ： 算 术 记 号 是 写 下 来 的 图 “ ） ．
决 实 际 问 题 是 学 生 的 一 个 难 点 ． “ 程 问 题 …‘ 赶 问 如 行 追
题 ” 其 中 的数 量 关 系 较 多 ， 师 在 教 学 中应 引 导 学 生 一 边 ， 教
【 关键 词 】 形 结 合 ； 数 以数 助 形 ； 学 问题 数
数 形 结 合 思 想 是 研 究 数 学 的一 种 重 要 的 思 想 方 法 ， 它
｛一 Ｏ ｍ． 由 ｍ ＞１确 定 ， 取 值 范 围． 这 种 解 法 ｒ ＋ ＝ ’ 再 ６的 但
， ． ．
【 考文献 】 参 ［ ］ 金 海 ． 形 结 合 思 想 在 解 题 中的 应用 ［ ］ 青 海 教 １关 数 Ｊ．
育 ，０ ７ ８ ． ２０ （ ）
【 ＋ｂ：１ ｍ ．
●
解 题 技 巧 与 方 法
。 鼯 ●
。 ７ 。 ５
． ， ． － Ｉ
●
数 形 结 合 百 般 好
数形 结合 思想在 解题 中的应 用
◎陈 雪君 （ 江 宁 波 市 第 七 中学 浙 ３ ５４ ） １０ ０
【 要 】 形 结 合 是 数 学 解 题 中 一 种 常 用 的・ 想 方 法 ， 摘 数 思
数 与形 二 者 相 结 合 往 往 能 使 抽 象 问 题 具 体 化 ， 杂 问题 简 复 单 化． 文 就 数 学 中常 见 的几 种 题 型 ， 数 形 结 合 的角 度 来 本 从
谈 谈 自 己的做 法和 体 会 ．
３ ．列 方 程 （ ） 决 实 际 问 题 组 解
方 程 （ ） 初 中 阶段 的 一 个 重 要 数 学 模 型 ， 它 来 解 组 是 用
中 的 具体 应 用 ．
一
解
构 造 如 图 所 示 的 图形 ， Ｂ上Ａ Ａ Ｄ，
Ｃ ＿ Ｄ， 足 分 别 为 点 Ａ， Ａ ＝ Ｐ ＝１ ， Ｄ ＝１ ， ＤｊＡ 垂 Ｄ， Ｐ ， Ｄ ２一 Ａ ２
Ａ Ｂ＝２ Ｃ ，Ｄ：３ 贝 ＋Ｐ ４＋ ＋￣９＋（２ ）． ，０ Ｐ Ｃ＝ ／ １ 一 根据
解
过 （一１ ２ ，２， ） ， ） （ １ 两点 ， 出 图像 可 知 ， 线 经 过 一 、 、 画 直 二 四 象限 ， 以 ＜ ， ０ 故选 Ｂ 所 ０ ６＞ ， ．
建 中 学数 学 ，０ ５ ８ ． ２０ （ ）
数 学 学 习 与研 究
２ １． ／ ０ ０ ２＂
授 曾作 诗 ： 形 本 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ； 缺 形 时 少 数 焉 数
是
—
＋ ＋ ｖ ＋（２ ） 的 最 小 值 厂 ＝ ］ ＋ ／ 一 ９ １ ＝ ＝
．
—
Ｌ 一
直觉 ， 少数时难入微． 形结合 百般好 ， 裂分 家万事非． 形 数 割 下 面 就 通 过几 个例 子来 说 说 数 形 结 合 思 想 在 初 中 数 学 解 题
数 的大 小 比较 、 数 的相 关 概 念 等 做 好 准 备 ． 实
例 １ 已知 数 轴 上 的 Ａ 点 到 原 点 的距 离是 ２ 那 么在 数 ， 轴 上 到 Ａ点 的 Ｂ ２个 ． Ｃ ３个 ．
例 ４ 如 图 ， Ａ， Ｃ 在 一 次 函 数 Ｙ＝ 点 Ｂ，
１． ３
上 述 例 子 说 明 了 构 造 图 形 可 以 将 “ ” 问 题 转 化 为 数 的
“ ” 解 决 ． 然 ，数 形 结 合 ” 想 不 仅 仅 是 这 一 方 面 ， 形 来 当 “ 思 它 也 包 括 将 “ ” 问题 转 化 为 “ ” 解决 ． 形 的 数 来
二 、 数 量 关 系来 研 究 几 何 问 题 用
运 算 繁 难 ， 时 费力 ． 果 我 们 能 作 出一 条 直 线 Ｙ＝ｋ 耗 如 ｘ＋ｂ ，
再 由直 线 的 位 置判 断 ， 取 值 范 围 ， 运 算 简 捷 明 了 ， ｂ的 则 省
时省力．
［ ］ 玉凤 ． 数 形 结 合 ” 想 在 解 题 中 的 应 用 ［ ］ 太 ２贾 “ 思 Ｊ．
２ ＋ｍ 的 图像 上 ， 它们 的 横 坐 标 依 次 为 一１ １ ，， ２ 分 别过 这 些 点 作 轴 与 Ｙ轴 的 垂 线 ， 图 中 ， 则
阴 影 部 分 的 面 积 之 和是 （
Ａ．１ Ｂ． ３
） ．
Ｄ． ４个
） ．
２ ．直 角 坐标 系 在 直 角 坐 标 系 中 ， 序 实 数 对 与 平 面 内点 的一 一 对 应 有
“数形结合”思想在小学中高年级数学教学中的应用
“数形结合”思想在小学中高年级数学教学中的应用摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
“数”是侧重于数量关系，是符号的表达，而“形”则是侧重于空间形式，是直观的表达，二者各有各的特点、各有各的优势。
“数”和“形”不是独立存在的，充分利用两者之间的内在关联，以“数”研究“形”，以“形”表示“数”，就形成了数形结合。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。
”由此可见，数形结合思想在数学中的地位之重。
关键词：数形结合；小学；高年级；应用引言数形结合思想应用在小学中高年级数学教学实践中，对引领学生深入到数学学科之中，能够起到重要作用。
尽管教师对该思想应用的价值和意义有充分认识，但是在具体应用的过程中还面临诸多问题，这严重制约了小学数学教学的有效性。
改变这一教学现状，需要教师认真对相关问题进行全面分析，以此来优化和改进教学活动。
一、数形结合思想的应用价值（一）有助于学生掌握知识点通过图像的方式将抽象、复杂的数学问题进行表达，使得相关概念的表达更为准确，信息传播更为高效。
在教师层面上，多了一种知识呈现方式，使课堂元素更为多元，课堂氛围更加活泼。
在学生层面上，有助于学生对于相关概念的理解，此种方式不仅具有数字和文字展示，更可通过图像的方式进行视觉展示，尤其是在数学的动态过程理解上更是具有不可替代的优势，在多脑区协调的条件下建立更为立体的信息维度，便于学生加深对于概念及知识的理解。
（二）有助于学生提高解题能力通过图形的方式建立更为直观的展现体系，进而在对比大小关系、数量关系、比例关系等方面取得实际的效果。
数形结合的优势还在于其信息密度的显著增加。
在传统的应用题中，需要通过很多文字对已知条件进行描述，而一张图表可对全部的已知条件进行展现。
针对部分图表类题目，也能够使学生更为快速地获取已知条件以及问题指向，客观上提高了解决问题的速度与准确性，更利于建立有效的解题思维。
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用作者：暂无来源：《教育家》 2016年第44期文/ 卜朝辉“数缺形时少知觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
” 这几句话形象而贴切地解读了数形结合的数学思想。
“数”与“形”是数学中两大研究对象。
那何为数形结合呢？所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化，也可以使某些直观的数学问题抽象化，是抽象思维与形象思维的相互转化过程，有助于把握数学问题的本质。
根据对人类大脑的研究发现，人类大脑的两半球具有不同的功能，其中，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭。
而人的右半脑功能则偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散。
左右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。
数形结合思想就同时运用了左右半脑的功能，在解决问题的同时，能达到既培养形象思维能力，又促进逻辑思维能力发展的效果。
我的疑问——数形结合是先有数，还是先有形？数形结合的数学思想是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
我不禁深深地思考一个问题：数形结合到底是先有数后有形，还是先有形后有数呢？很多人说法不一。
根据对小学阶段的数学教材进行分析，一般认为在小学的两个学段中，这两种情况各有侧重。
第一学段，由于学生以具体形象思维为主，一般是先有形，从形中抽象出数。
比如：学习“100 以内数的认识”时，在了解“十”与“百”之间的十进制关系，认识计数单位“百”这个教学环节时，可先让学生先从学具盆中拿出10 块糖放成一堆，问：“10 个一是多少？”接着又拿出“1 个十”，问：“现在是几个十？”把剩下的十个一堆摆出来，并要求学生十个十个地数，得出：10 个十是一个百。
然后出示10 个小正方体，说明10 个一是1 个十，接着继续出示小正方体又让学生十个十个地数到一百。
浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用
浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用——从2003年全国数学高考题看数学解题中的“数形结合”思想数学是研究现实世界的空间形式和数学关系的一门学科。
数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维而产生的结果，是对数学事实与理论的本质认识。
数学思想是数学学科的精髓，是素质教育的要求，是数学素养的重要内容，是获取知识、发展思维能力的重要工具，同时也是数学解题中的良方。
“数”和“形”是数学研究的两个基本的对象。
是在数学解题中，通过建立坐标系，使数和形互相渗透，互相转化，以“数解形”与以“形助数”的思想方法得到极佳的效果，寻求解题中的技巧和捷径。
这就是数学思维中所谓的“数形结合”思想。
“数形结合”思想是高中数学众多数学思想中最重要的，也是最基本的思想之一，它在高中数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效思想。
数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重研究物体数量方面，具有精确性；形侧重研究物体形的方面，具有直观性。
数和形互相联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系，“数形结合”就是将两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题。
以“数解形”是从特殊到一般，从直观到抽象的发展过程，以“形助数”是利用图形的直观帮助探求解题思路。
通过已知条件和探求目标联想甚至是构造出一个恰当的图形，可利用图形探索解题思路，甚至有时能估计出结果。
历年来，数学高考中都十分重视考查学生对数形结合思想的运用。
2003年数学高考试题中对运用这种方法的考查体现得十分突出。
如试题中第1题、第2题、第3题、第5题、第6题、第8题、第11题、第12题、第15题、第16题、第17题、第18题、第19题、第20题、第21题等，都可以借助这种思想方法求解，在整个试题中占分值达108分。
可见必须充分重视“数形结合”方法的运用。
一、“数形结合”思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一，通过坐标系把“数”和“形”结合起来，利用函数图像研究函数的性质，由函数的解析式画出其几何图形，由此相互依托，可以解决许多问题。
数形结合思想在小学数学问题解决中的应用
数形结合思想在小学数学问题解决中的应用作者：陈卫飞来源：《教学研究与管理》2015年第05期【摘要】数形结合思想是一种在小学数学教学中常用的数学思想。
从自己的数学教学实践出发，利用数形结合，促进形象思维和抽象思维的和谐发展，培养学生的数学思维能力和解决数学问题的能力。
【关键词】数形结合；思维；问题著名数学家华罗庚说过这样一句的话来形容数形结合思想：“数与形本是相依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难。
”数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的数学教学问题来讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究。
一、数形结合，促进两种思维和谐发展1. 充分感知，积累表象，发展形象思维教学新知时，必须加强直观教学，为学生提供足够的感性材料，让学生运用多种感官充分感知，丰富学生的表象储备，提高表象的概括性。
在教学过程中，用图片、教具或电教手段组织教学，把抽象知识形象化，让学生充分感知所学材料，有了定量的感性材料，才能在脑中留下鲜明的印象。
例如：教学“圆的认识”，教师可以先让学生画出一个圆，剪下来折一折探究圆的特征。
探究圆的特征后，为了使学生牢固地掌握圆的特征，教师提问：“同学们回忆一下，我们见过的各种各样的车轮都是什么是形状的？”学生回答后，运用多媒体显示自行车、摩托车、小汽车的图片，思考：“车轮为什么是圆形的？车轴应该装在什么位置上？”学生交流反馈得出：车轴应该装在圆心上，车轴到车轮上的距离是相等的，也就是半径相等，这样滚动起来是均匀的、稳定的。
然后再问：“如果将圆形的车轮换成椭圆形，会出现什么情况？”随着多媒体的演示，学生很快得出结论：椭圆形的车轮，在行驶过程中无法保持稳定。
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
运用数形结合思想，提高学生解决问题能力
教学篇•方法展示运用数形结合思想，提高学生解决问题能力金孝芬（江苏省淮安市人民小学，江苏淮安）小学时期是学生思维启蒙的黄金时期，在此阶段对学生及时地传授良好的数学思维，对学生今后的学习起着至关重要的作用。
一、建立数与形一一对应，构建解题方法数形结合在小学数学学习和解决问题的过程中是一种重要的手段，能够帮助小学生加快解题速度并提高准确率。
小学数学教师应积极引导学生来树立这种思维，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系有机结合起来，深入推动两者之间相互辅助的关系，各自展现自己的价值。
通过“以形助数”或“以数助形”，即抽象思维与形象思维的结合，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，使其更容易地理解数学题目，进而将题目中的信息进行有效分析和联系，从而达到优化解题途径的目的。
例如以下这个数学题目：五年级同学参加投篮比赛。
按规定每投进一个球得5分，记作+5分；投不进一个球扣2分，记作-2分。
投进一个球与投不进一个球相差几分？教学时可以在直线上描出+5和-2的位置从直线上可以清楚地看出+5和0之间有5个格，-2和0之间有2个格，每个格都表示1分，共相差7分，所以投进一个球与投不进一个球相差7分。
这种教学方式最主要的就是让学生找出“数”和“形”相互对应在一起，就可以把问题中抽象的意境直观形象地表达出来，将数据之间的关系有逻辑地分析出来，才能够在解决问题的过程中更具有逻辑性，不至于混淆数据，甚至产生厌倦的学习心理和烦躁的学习态度。
在这个过程中，教师要时刻引导学生的思维，充分发挥教育工作者指导和引导的作用，做一个合格的“领路人”，引导学生不断提高逻辑思维和使用数形结合方法解决问题的能力。
为了进一步促进课堂活动的顺利开展，要求教师必须要做好充分的课前准备，通过提前备课对图形进行细致的讲解、传授、分析，帮助学生加深对问题和结论的印象。
针对一些需要丰富教学工具的课程活动，也要提前准备好，因为教学工具在一定程度上起到了辅助教学的作用，对提高教学效率有重要作用。
浅谈数形结合在小学数学教学中的应用
浅谈数形结合在小学数学教学中的应用陈邵峰摘要：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”那么反映了事物两个方面的属性就是“数”与“形”。
而数形结合在实际中的应用是把研究数量关系和空间形式结合起来，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化成图形问题来讨论并解决，或者把图形问题转化成数量关系来讨论并解决，或者把数与形结合起来解决实际的问题。
由此可以达到化难为简，化繁为易的目的。
关键词：数形结合数学教学应用正文：数与形是数学中两个最友好的朋友，也是数学中最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
小学数学所学的知识大致可以分为两大部：一部分是数，一部分是形,因此数与形是存在联系的，这种联系称之为数形结合。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过把抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，作为一种数学思想方法。
因此数形结合可以帮助学生理解数量关系的好帮手，能帮助学生形成解题策略，能帮助发展数学思想，养成良好的思维习惯。
下面本人先来说说个人对数形结合思想的意义，然后以数形结合在北师大版五年级数学教学中的应用为例，谈谈数形结合在数学教学中的应用。
一、数形结合的教学意义1、有利于理清数量关系。
由于数量关系本身过于抽象，而图形具有直观、形象、便于操作的特点，所以学生在解决数量关系问题时学会借助图形罗列信息，分析条件和问题，分析数量关系，准确地找出数量间的对应关系。
因此，要求教师在课堂教学中，要善于利用教材中的主题图，让学生从具体情境中抽象出数学问题。
在平时的教学中，引导学生主动而有效利用课本中的图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题。
2、有利于形成解题策略。
图形采用了数形结合的形式，把数学问题中的数量关系清楚地呈现出来，一目了然地勾勒出已有信息与待求问题之间的内在联系，便于学生从分析数量关系的角度进行数学思考。
数形结合在解题中的应用
数形结合在解题中的应用咸阳彩虹学校陕西咸阳712000姻文/王常青摘要：众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学。
简单地说，是研究数与形上的科学。
同样，数学高度抽象的特点，也是众所周知的，数学高度的抽象性，带来了数学的难教，难懂和难学。
正是数学科学的研究对象和特点，决定了数形结合是数学思考和研究问题的基本方法。
本文深刻的沿袭了华罗庚教授概括的数形结合方法的内涵：“数于形，本是相倚依，烟能两边分。
数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合万般好，割离分家万事难。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”充分阐述了数形结合在解题中的常用技巧。
关键词：形到数；数到形；形数结合一、数形结合思想数形结合思想是一种很重要的数学思想，数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。
数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。
在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。
特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
二、数形结合思想在解题中的应用2.1数形结合方法在解决集合问题中的应用集合问题多与函数、方程、不等式有关，强化数形结合思想，利用韦恩图、数轴、函数图像帮助分析和理解，提高形象思维能力。
例1 设全集为R ，集合A ={|sin(2),}642y y x x p p p=-££，集合 B ={|a R Î关于x 的方程210x ax ++=的一根在(0,1)上，另一根在(1,2) 上}。
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合百般好,割裂分家万事休—数形结合在初中数学教学中的应用
一
、
在 初 中数 轴教 学 中有 效 应 用数 形 结 合 思 想
数形结合作 为初 中数学教学的重要方法 ， 它对发散学生思维方式、 拓展解题 思路具有重要作用。 关键词 ： 数形结合 ； 教学应用； 数轴教 学 数形结合是一种常用 的教学思想 ， 通俗地说 ， 它是几何与代数 因此 ，在初 中数学教学中 ，图象 内容与函数展示 了数形整合的思 思想的统称 。著名数学家华罗庚先生 曾经说过 ： 数学缺乏形态 ， 就 想 ， 在教学 中， 如果注重思想方式 的渗透 ， 就能取得 良好 的教学效 会少了直观性 ， 难 以理解细微的地方 。 这也说 明了数与形之间的关 果。从 近年 的中考题型来看 ： 函数 占了很 大的比例 ， 所 以在平时教
数学 是一 门基础科学 ， 在数学教学中 ， 很多时候是在验证前人
尤为常见 ， 只要掌握 了数形结合的方法 ， 大多数 函数问题都能解决 。
四、 在 不等式 中应用数形结合思想 从教学经验来 看 ： 很多初中数学关于数的表述都需要形 ， 利用
就能整合直线上 的数与各点 ， 即： 每个实数都有一个数轴 点表示 ， 并且在数轴点上表示实数 ，从而将 数轴上 的各个实数与点联 系起 来， 让学生对相反数与绝对 值有更透彻的领会。当数轴建立好后 ，
学生从数 的角度领会对称性与单 调性 。
例如 ， 已知 函数经过 Ａ（ 一 ６ ， ０ ） 与 Ｂ点 ， 而 Ｂ点在第二象 限 ， 且 的数学理论 ， 教师的教学也 只是在重复前人 的数学发现。 课堂作为 横坐标是一 ４ ， △Ａ Ｏ Ｂ面积 为 １ ５ ， 求 Ｂ点坐标 ， 一次函数解析式 。在 教师教学 、 学生得到知识 的地方 ， 教师在教学 中必须树立科学的教 解这道题 时 ， 为 了让解题 过程更加清 晰 ， 可以先画 出草 图 ： 将Ｏ Ａ