高考数学一轮总复习 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件
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解析 AB的中点为(1,2)，故所求直线方程为y－2＝－ 3 (x－ 1)．
答案 C
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5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距
为1，则实数m是( )
A．1
B．2
C．－12
D．2或－12
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解析
当2m2＋m－3≠0时，即m≠1或m≠－
答案 (1)× (2)× (3)√
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2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为
() A．1
B．4
C．1或3
D．1或4
解析 由－m2－－4m＝1，得m＝1. 答案 A
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3.如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为 k，则( )
A．ksinα＞0 B．kcosα＞0 C．ksinα≤0 D．kcosα≤0
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(2)由k＝
y2－y1 x2－x1
得k＝
a a－2
，因为直线l的倾斜角为钝角，所以
k<0，即a－a 2<0，解之得0<a<2.
与x轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂 直的直线
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名称 几何条件 截距式 纵、横截距 一般式
方程
适用条件
ax＋by＝1
不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
所有直线
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2.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点
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备考知考情 直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择 题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知 识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综 合考查.
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
知识点一
直线的倾斜角与斜率
M的坐标为(x，y)，则
x＝x1＋2 x2， y＝y1＋2 y2，
此公式为线段P1P2的中点坐
标公式．
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对点自测 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1.判一判 (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.( ) (3)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为－2.( )
第八章 平面解析几何
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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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高考明方向
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率 的计算公式．
2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3.掌握确定直线位置的几何要素． 4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)， 了解斜截式与一次函数的关系.
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解析 显然k＜0，π2＜α＜π， ∴cosα＜0，∴kcosα＞0.
答案 B
ppt精选14ຫໍສະໝຸດ 知识点二直线的方程
4.已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直
线方程是( )
A．y－2＝ 3(x－1)
B．y－1＝－ 3(x－2)
C．y－2＝－ 3(x－1)
D．y－1＝ 3(x－2)
(2)斜率公式：y经2－过y两1 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线 的斜率公式为k＝ x2－x1 .
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知识点二
直线的方程
1.直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
适用条件
斜截式 纵截距、斜率 点斜式 过一点、斜率
两点式 过两点
y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) yy2－－yy11＝xx2－－xx11
1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为 0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
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2．直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值 tanα 叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα；
3 2
时，在x轴上截
距为2m42m＋－m1－3＝1，即2m2－3m－2＝0，故m＝2或m＝－12.
答案 D
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6．已知△ABC的三个顶点A(3，－1)，B(5，－5)，C(6,1)， 则AB边上的中线所在的直线方程为________．
解析 易知AB边的中点坐标为D(4，－3)，因为AB边上的中
线所在的直线经过点C，D，由两点式得
y－1 －3－1
＝
x－6 4－6
，化简得
2x－y－11＝0.
答案 2x－y－11＝0
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R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题1 直线都有倾斜角，但是不是都有斜率？倾斜角越 大，斜率k就越大吗？ 倾斜角α∈[0°，180°)，当α＝90°时，斜率k不存在；因为k＝ tanθ θ≠π2 .当θ∈ 0，π2 时，θ越大，斜率k就越大，同样θ∈ π2，π 时也是如此，但当θ∈(0，π)且θ≠π2就不是了．
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问题2 直线方程有哪些形式，他们又有怎样的限制条件？ 直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方 程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由 它推导．直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有 一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率； 截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程 的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它们各自适 用的范围，以避免漏解．
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高频考点
考点一
直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)直线xcosα＋ 3 y－5＝0的倾斜角的取值范围是 ________．
(2)经过两点A(2,1)和B(a，a＋1)的直线l的倾 斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
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听 课 记 录 (1)已知直线的斜率 k＝－cos3α∈－ 33， 33， 当k∈－ 33，0时，倾斜角θ∈56π，π； 当k∈0， 33时，倾斜角θ∈0，π6. 所以已知直线的倾斜角的取值范围是0，π6∪56π，π.
金榜e讲堂高三人教版数学理一轮复习直线的倾斜角与斜率直线的方程优质课赛课一等奖市公开课获奖课件
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：8.1直线的方程
，
创新体验：直线方程与平面几何知识结合的创新题目
• 【典例】 (2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)， B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 ________．
【规范解答】
6－2 5－－1 由已知得 kAC＝ ＝2，kBD＝ ＝－1， 3－1 1－7
题型三 直线方程的综合应用
• 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、 B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方 程．
【解】 由题可设 A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线 l 的方程 x y 为a＋b＝1， 3 2 ∵l 过点 P(3,2)，∴a＋b＝1， 2a b＝ 且 a＞3，b＞2. a－3
针对训练 2．(2014· 北京海淀一模)已知点 A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|
＝ 3，则直线 AB 的方程为 ( A．y＝ 3x＋ 3或 y＝－ 3x－ 3 3 3 3 3 B．y＝ 3 x＋ 3 或 y＝－ 3 x－ 3 C．y＝x＋1 或 y＝－x－1 D．y＝ 2x＋ 2或 y＝－ 2x－ 2 )
此公式为线段 P1P2 的中点坐标
• 直线的倾斜角与斜率的关系 • (1)斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜 角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． • (2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存 在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距是否为 0 ， 若不确定，则需分类讨论．
• 【归纳提升】 利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形 式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点 斜式；已知截距选择截距式．
[广东理数一轮]8.1倾斜角与斜率、直线的方程
![[广东理数一轮]8.1倾斜角与斜率、直线的方程](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/6fc10b3c31126edb6f1a10d2.webp)
2 . 已Leabharlann 直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B（3,0)为端点的线段相交， 求直线l的斜率的取值范围.
题型二
求直线的方程
3. 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A(-1,-3),且倾斜角等于直线y=3x的倾 斜角的2倍. （3）过点A(2,1)和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的 交点.
1.直线的倾斜角
倾斜角：平面直角坐标系中，一条与 x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点 按逆时针旋转到和直线重合所转的最 小正角，叫做直线的倾斜角. 规定：与x轴平行或重合的直线倾 斜角为0. 范围：0 180
2.直线的斜率 (1)斜率： 90, k tan ;
90, k不存在.
y y1 y 2 y1
斜率存在 斜率存在 且不为0 截距存在 且不为0,
=
截距式
一般式
在两坐标轴 上的截距
x + y =1 a b
x x1 x2 x1
Ax+By+C=o
4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y), x x1 x2 2 则 , 此公式为线段 P P 的中 1 2 y y1 y2 2 点坐标公式.
考纲 1.在平面直角坐标系 中，结合具体图形， 掌握确定直线位置的 几何要素． 2． 理解直线的倾斜角 和斜率的概念，掌握 过两点的直线斜率的 计算公式． 3． 掌握直线方程的几 种形式，了解斜截式 与一次函数的关系.
解读 1.从考查形式上看， 主 要以选择题、填空题 出现． 2．从结合点看，直线 的斜率、方程以及两 直线的位置关系是高 考的重点；另外，常 与圆锥曲线综合命 题，重点考查函数与 方程思想和数形结合 思想.
一轮复习：直线的倾斜角、斜率与直线的方程
授课主题直线的倾斜角、斜率与直线的方程教学目标1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 4．掌握两点间的距离公式．教学内容1． 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点间的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2． 直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3． 直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4． 直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方程 局限性 点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为ky －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ，纵截距为by ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 2≠x 1，y 2≠y 1) 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0平面直角坐标系内的直线都适用题型一 直线的倾斜角与斜率例1、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．方法点拨：数形结合，由斜率公式求得k P A ，k PB . 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．【冲关针对训练】已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案 －23≤m ≤12解析 如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.题型二 直线方程的求法又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4. 此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2. 此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. 方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 【冲关针对训练】已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k )， 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示． 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时取“＝”)．一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3 C.2π3 D.3π4答案 DA ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. 9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2. 故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13. 12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：1112 ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.方法与技巧1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．1． 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D 解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.13。
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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18
对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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19
【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课件(39张)
,解得 m=.
2.直线 2xcos α-y-3=0(α∈
A.
C.
,
,
B.
D.
,
)的倾斜角的变化范围是( B )
,
,
解析:直线 2xcos α-y-3=0 的斜率 k=2cos α.
由于α∈
, ,所以≤cos α≤ ,因此 k=2cos α∈[1, ].
x=ty+b.
1.(选择性必修第一册 P58 T7 改编)若直线经过两点 A(5,-m),B(-m,2m-1),且倾斜角为,
则 m 的值为( C )
A.2
B.3
C.-1
D.-
-+
--
解析:由题意可知 kAB=
=tan =1,解得 m=-1.
2.过点(1,0)且与直线 y=x-1 倾斜程度相同的直线方程是( A )
A.y=x-
B.y=x+
C.y=-2x+2
D.y=-x+
解析:依题意所求直线方程的斜率为 k= ,因此所求的直线方程为 y-0= (x-1),
即 y= x- .
3.直线-=1 在两坐标轴上的截距之和为( B )
A.1
B.-1
C.7
D.-7
解析:直线在x轴上截距为3,在y轴上截距为-4,因此截距之和为-1.
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.1 直线的方程
方法一 由本例方法一知 A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0). 所以|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝2×1＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k， 即k＝－1时取等号.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1. 所以|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B| ＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4).
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A， B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一 设直线l的方程为
倾斜角为θ＋45°， 故 kOA＝tan(θ－45°)＝1t＋antθa－n θttaann4455°°＝21－ ＋12＝13， kOC＝tan(θ＋45°)＝1t－antθa＋n θttaann4455°°＝21＋ －12＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14；
k>0
90° 不存在
90°<α<180° k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
常用结论
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况 是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件文新人教A版
＝
a b
<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜
角的取值范围为π2，π.
(2)当 a＝－1 时，直线 l 的倾斜角为 90°，符合要求；当 a≠－1 时，直线 l 的斜率 为－a＋a 1， 则有－a＋a 1>1 或－a＋a 1<0，解得－1<a<－12或 a<－1 或 a>0.综上可知，实数 a 的 取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．
考点三|两条直线的位置关系 (方法突破)
【例3】 (1)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1
＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
名师点拨 判断两直线平行或垂直的两个策略 (1)设A2B2C2≠0，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条 件为AA12＝BB12≠CC12.更一般地，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行 的充要条件为A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0. (2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系时，注意斜率不存在的情况不 能忽略．
ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
不含直线x＝x1(x1＝x2) 和直线y＝y1(y1＝y2)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 平面直角坐标系内的 直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
=
,
⋅
=
.所以
=
=
= +
≥ ,当且仅当
.所以直线的倾斜角为
=
时取等号，又 ∈ , ，所以 =
− = ，所以的斜率为 = −,又直线过点
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为 ≠ ，则斜率= .
（2）坐标式：设 , ， , 在直线上，且 ≠ ，
率= − − .
如果 = 且 ≠ ，则直线与 轴平行或重合，斜率等于0;
当 = 时，直线方程为 = ，即 − = ；
当 = −时，直线方程为 − + = .
方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 = ，即
− = ;
当直线不过原点时，设直线方程为
+
−
= ≠ ,
因为直线过点 ,
,所以
,
= ∈ [, ].设直线的倾斜角为 ，则有
∈ [, ].又 ∈ [, )，所以 ∈
[ , ].故选B.
D.[ , ]
.由于 ∈ [ , ]，所以
[ , ]，即倾斜角的取值范围是
（2）已知直线过点 , ，且与以 , ， , 为端点的线段有公
+ = .
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
2-1
A( ,0),B(0,1-2k).
∵直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,
∴
2-1
> 0,
解得 k<0.
1-2 > 0,
∴|MA|·|MB|=
1
2
+ 1 ·√4 + 4 2 =
k<0,即 k=-1 时,等号成立.
(4)已知△ABC的顶点A(2,3),边AC,AB的中线方程分别为x-3y=0,5x+6y14=0,求直线BC的方程.
解 (1)当直线过原点时,方程为
当直线 l
3
y= x,即
2
不过原点时,设直线方程为
−
3x-2y=0.
=1.
将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.
+2
上,则 2
−
32-5
=0,解得
4
c=4,所以点 C 的坐标为
(4,-1).
直线 BC 的斜率为
-1-0 1
k= 4-0 =-4,因此直线
BC 的方程为
1
y=-4x,即
x+4y=0.
规律方法 求直线方程的两种方法
考点三
直线方程的综合应用
例题已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B
3
故直线
1
l 的斜率的取值范围是[ , √3].
3
引申探究2(变条件变结论)若将本题组(2)中的B(0, √3 )改为B(2,-1),其他条