江苏2018届南京数学三模附加题加答案

南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学 2018.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =．-----2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为----．3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为---．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为．-----5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为．-----6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx 的取值范围为------．7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β．其中真命题为----（填所有真命题的序号）．S ←1 I ←1While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S(第3题图)(第4题图)8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．9．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．12．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为▲________． 13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则ca bb ac 22+++的最小值为▲________． 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α,β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ,Q ．已知点P 的横坐标为772，点Q 的纵坐标为1433．（1）求α2cos 的值；（2）求βα-2的值.16.（本小题满分14分）PO(第15题图)Qx如图，在三棱锥ABC P -中，6=PA ，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证: 平面⊥PBC 平面ABC ；（2）若//PD 平面AEM ，求PM 的长．17．(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）．（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)AB CDFE(第17题图)(第16题图)AC BMDEP xyO(第18题图) MBA已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），记f'(x )为f (x )的导函数．（1）若f (x )的极大值为0，求实数a 的值；（2）若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值；（3）若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2，a +22]上有解，求满足条件的正整数a 的集合．20．(本小题满分16分)若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”；（2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n}的通项公式．南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中， AC ＝12AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ，求证：CM 是∠ACB 的平分线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 CABMN(第21A 题图)文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2．（1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1An －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A nn ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．南京市2018届高三年级第三次模拟考试· F(第22题图)xyO A M N数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③ 8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，4e] 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ………………………………2分所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ………………………………4分（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ………………………………6分又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ………………………………8分因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， ……………………………10分所以sin(2α－β) ＝ 437×1314－17×3314＝32． ……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． …………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，所以PE ⊥BC ， ……………………2分且PE ＝3，同理AE ＝3．因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE ．……4分因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ．因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分（2）解法一如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ， ……………………………………9分所以PM PC ＝DODC ． ……………………………………11分因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． …………………………………14分解法二如图2，取BE 的中点N ，连接PN ．因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点，所以DN ∥AE ．又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ，所以DN ∥平面AEM ．又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ，所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC ． ………………………………11分因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，(图2)PAM DEC B N(图1)OB P ACMDE所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． ………………………………14分17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………………………………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． ………………………………4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)， ………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， ………………………………8分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． …………………………………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． ……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， …………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分（2）解法一设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →⋅NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………………………………6分当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ……………………………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………10分所以NA →⋅NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 …………………………………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． …………………………………16分解法二设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………6分所以NA →⋅NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2 ＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 ＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ……………………………………12分若NA →⋅NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →⋅NB →＝12． ……………………………………14分当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………………………2分当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………………………4分（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0），则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a 2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分 h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －a ＋22)2－a 2＋44]，因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2＜0，所以h (x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h (a 2)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0． …………………………………12分设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2－6a －6，当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减；当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， …………………14分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)，所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． …………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分（2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |．因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |．…………6分 ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |，②若d ＜0，则m ＝n －1．此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0． ……………………………………8分（3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”，所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋1 2t 2－t ，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0．同样根据②式可得t －2t 2≥0，所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． ………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ， ………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ． ………………………………4分所以AB AC ＝BN MN ． ………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BN MN ＝2，即BN ＝2MN ． ………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线． ………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． ………………………………4分设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ，………………………………6分即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ， y 0＝y ．② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线ρsin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． ………………………………4分因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2， ……………………………6分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ． ……………………………10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， ………………………………8分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ. ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )． ……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9， ……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3. ……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p 2＋1＝2，所以p ＝2. ……………………………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16． ……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0，即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A n n ＋1×2×…×n ＝2×n !，所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑k A k ＋1－i k ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1) ＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －i k x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k ) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． …………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n }． ……………………………10分。

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江苏省南京市2017-2018学年高三下学期三模数学试卷Word版含解析

2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知复数z=﹣1，其中i为虚数单位，则z的模为．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．3．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．6．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2﹣=1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是．8．已知正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为．9．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则?的值为．10．记等差数列{a n}的前n项和为S n．若S k﹣1=8，S k=0，S k+1=﹣10，则正整数k= ．11．若将函数f（x）=|sin（ωx﹣）|（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是．12．已知x，y为正实数，则+的最大值为．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C 相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．14．已知a，t为正实数，函数f（x）=x2﹣2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[﹣a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．17．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x=m+1与x轴的交点为B，BF2=m．（1）已知点（，1）在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A（﹣2，0）．①若椭圆C上存在点T，使得=，求椭圆C的离心率的取值范围；②当m=1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若=λ，=μ，求证：λ+μ为定值．19．已知函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（1）令h（x）=f（x）+g（x），求证：h（x）是增函数；（2）直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，且对任意的m，n∈N*，都有（S m+n+S1）2=4a2m a2n．（1）求的值；（2）求证：{a n}为等比数列；（3）已知数列{c n}，{d n}满足|c n|=|d n|=a n，p（p≥3）是给定的正整数，数列{c n}，{d n}的前p项的和分别为T p，R p，且T p=R p，求证：对任意正整数k（1≤k≤p），c k=d k．选修4-1：几何证明选讲21．如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE?CD=BD?CE．选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，直线l：x﹣y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x﹣y+2a=0．（1）求实数a的值；（2）求A2．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，设圆C：ρ=4cosθ与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知实数x，y满足x＞y，求证：2x+≥2y+3．七、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=，AB=1，BD=PA=2．（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．26．已知集合A是集合P n={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．（1）求f（3），f（4）；（2）求f（n）（用含n的式子表示）．。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题

南京市、盐城市 2018 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．．．．21．【选做题】在 A、 B、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题10 分，共计卷纸指20 分．请在答．．．．定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D， DE⊥ AC 且交 AC 的延长线于点 E，求证： DE 是圆 O 的切线．B．选修 4— 2：矩阵与变换已知α＝11a为矩阵 A＝－1属于实数λ的一个特征向量，求λ和 A2．12C．选修 4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为x＝ t，(t 为参数 )，圆 C 的参数方程为x＝ acosθ，y＝3t＋ 2y＝ asinθ(a＞ 0，θ为参数 )，点 P 是圆 C 上的任意一点．若点P 到直线 l 距离的最大值为3，求 a 的值．D．选修 4—5：不等式选讲对任意 x， y∈R，求 |x－ 1|＋ |x|＋ |y－1|＋ |y＋ 1|的最小值．高三数学附加题第1页（共 2页）【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）甲，乙两人站在P 点处分别向A，B，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A， B， C 的概率分别都为1，1， 1．234（ 1）设 X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ 2）求甲乙两人共击中目标数为 2 个的概率．23．（本小题满分10 分）已知 n∈N * ，且 n≥ 4，数列 T： a1，a2，，a n中的每一项均在集合M＝ {1 ，2，，n }中，且任意两项不相等．（ 1）若 n＝ 7，且 a2＜ a3＜a4＜ a5＜ a6，求数列T 的个数；（ 2）若数列T 中存在唯一的a k（ k∈N *，且 k＜n），满足a k＞ a k＋1，求所有符合条件的数列T 的个数．高三数学附加题第2页（共 2页）。

南京市2018届高三年级第三次模拟考试(数学)参考答案

南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．236．[211，2] 7．①③8． 5 9．4 10．2 11．x＋2y－4＝012．－3 13．25914．[e2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝277，………………………………2分所以cos2α＝2cos2α－1＝17．………………………………4分（2）因为点Q的纵坐标为3314，所以sinβ＝3314．………………………………6分又因为β为锐角，所以cosβ＝1314．………………………………8分因为cosα＝277，且α为锐角，所以sinα＝217，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，……………………………10分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32．……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3．…………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，……………………2分且PE＝3，同理AE＝3．因为P A＝6，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，所以PE⊥平面ABC．因为PE平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分（2）解法一如图1，连接CD交AE于O，连接OM．因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，所以PD∥OM，……………………………………9分所以PMPC＝DODC．……………………………………11分因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为ABC重心，所以DODC＝13，所以PM＝13PC＝23．…………………………………14分解法二如图2，取BE的中点N，连接PN．因为D，N分别为AB，BE的中点，所以DN∥AE．又DN平面AEM，AE平面AEM，所以DN∥平面AEM．又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，所以ME∥PN，所以PMPC＝NENC．………………………………11分因为E，N分别为BC，BE的中点，所以NENC＝13，所以PM＝13PC＝23．………………………………14分(图2)PAMD ECBN(图1)OBPA CMD E17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23．………………………………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ．………………………………4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DFsin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)，………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF=4－4cos 2θ，………………………………8分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3 ＝2 sin(2θ－π6)＋3．…………………………………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大．…………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ，…………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．…………………………………4分（2）解法一设N(n ，0)，当l 斜率不存在时，A(25，y)，B(25，－y)，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →NB →＝(25－n)2－y 2＝(25－n)2－2425＝n 2－45n －45，…………………………………6分当l 经过左?右顶点时，NA →NB →＝(－2－n)(2－n)＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4．……………………………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k(x －25)，恒有NA →NB →＝12．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 24＋y 2＝1，y ＝k(x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，…………………………………10分所以NA →NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k2…………………………………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →NB →为定值．…………………………………16分解法二设N(n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k(x －25)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 24＋y 2＝1，y ＝k(x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，…………………………………6分所以NA →NB →＝(x 1－n)(x 2－n)＋y 1y 2＝(x 1－n)(x 2－n)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k2……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k2＋1)4k 2＋1＋n 2＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2．……………………………………12分若NA →NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k2－4＝4λｋ2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →NB →＝12．……………………………………14分当直线l 斜率不存在时，A(25，y)，B(25，－y)，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →NB →为定值．………………………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为 f (x)＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x)＝6x 2－6ax ＝6x(x －a)．令f'(x)＝0，得x ＝0或a ．………………………………2分当x ∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增；当x ∈(0，a)时，f'(x)＜0，f (x)单调递减；当x ∈(a ，＋∞）时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23．………………………………4分（2）g (x)＝f (x)＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0），则g ′（x)＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′（x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x 的值为1．……………………………6分②当a ＞2时，g ′（x)的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a)＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′（x)在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x∈(0，x0)时，g′（x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′（x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝a－a2－42．………………………………8分综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为a－a2－42．……………………………9分（3）设h (x)＝f (x)－f ′（x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，则h (x)≥0在[a2，a＋22]有解．………………………………10分h′（x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－a＋22)2－a2＋44]，因为h′（x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h′（x)＜h′（a2)＝－32a2＜0，所以h (x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h(a2)≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋2)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋2，＋∞）时，t′　(a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，…………………14分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以a n＝4n－2．…………………………………2分所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{a n}的第n＋1项，因此数列{a n}为“T 数列”．…………………………………4分（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．…………6分①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．……………………………………8分（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．…………………………………10分设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a2n＋1－a2n＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，………………………………12分整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞t2－3t＋12t2－t，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝1 2．经检验当t＝12时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋12(n－1)＝n＋12．………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ，………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ．………………………………4分所以AB AC ＝BN MN．………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ．………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线．………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝1 20 1，B ＝2 00 1，所以AB ＝2 20 1．………………………………4分设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P(x ，y)．因为P 0(x 0，y 0)在直线l: x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0．①由ABx 0y 0＝x y ，即2 20 1x 0y 0＝x y ，得2 x 0＋2 y 0＝x ，y 0＝y ，………………………………6分即x 0＝12x －y ，y 0＝y ．②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线sin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C(2，0)．………………………………4分因为圆C 经过点P(2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2，……………………………6分所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ．……………………………10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C(2，0)，………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2，………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，………………………………8分所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ.……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b)2＋(2b ＋c)2＋(2c ＋a)2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a)2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a)2≤9(a ＋b ＋c)．……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a)2≤9，……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为 3.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF=2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2.……………………………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．……………………………6分因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16．……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2)(y 2－2)＝0．……6分又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4)(y 22－4)＋16( y 1－2)(y 2－2)＝0，即[( y 1＋2)(y 2＋2)＋16]( y 1－2)(y 2－2)＝0．因为( y 1－2)(y 2－2)≠0，所以( y 1＋2)(y 2＋2)＝－16，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16．……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x)＝i ＝1∑n －1A n －in x(x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －in ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n!＝(n －1)×n!，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n!，所以(n －1)×n!＝14×n!，解得n ＝15．……………………………3分（2）因为f 2(x)＋g 2(x)＝2x ＋2＋x(x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x)＋g 3(x)＝6x ＋3x(x ＋1)＋6＋x(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．……………………………5分下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x)＋g k (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)，因为f k ＋1(x)＝i ＝1∑kA k ＋1－ik ＋1x(x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x(x ＋1)…(x ＋i －1)＋A1k ＋1x(x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k+1) f k (x)＋(k+1) x(x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x)＋g k ＋1(x)＝(k+1) f k (x)＋(k+1) x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k+1)[ f k (x)＋x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k+1)[ f k (x)＋g k (x)]＋x(x ＋1)…(x ＋k) ＝(k+1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)＋x(x ＋1)…(x ＋k) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．…………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x)＋g n (x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．……………………………10分。

2018届南京市、盐城市高三一模数学附加题

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B E D F O · 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想． M A CD O P 第22题图。

优质金卷：江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题(解析版)

1．【解析】分析:先化简集合A,B,再求得解.详解：由题得，，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模,意在考查学生对复数基础知识的掌握能力及基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.3．【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=150．故答案为：150点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.4．【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．详解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7点睛：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键．点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.6．【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O连线的斜率求解．详解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2．由解得B（）.∴k OB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率，要记住这个差之比的结构表示的是两点所在直线的斜率.7．①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.8．【解析】分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．详解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质、离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)求双曲线的离心率一般方法是根据已知找关于离心率的方程，所以在求离心率时，要想方设法找到方程.9．【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化简再利用通项公式即可得出．详解：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化为：q3+1=3，即q3=2，∴a7=q6=4．故答案为：4点睛：(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（2）等比数列的前n项和，所以在利用等比数列前n项和公式计算时，一般都要就和分类讨论,否则容易出错.点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.11．【解析】分析：设直线l：y=k(x-4).先求出,,再根据求出k的值得解. 详解：由题得圆M的方程为：令y=0得或x=4,所以A(4，0),B(2，0).则圆N的方程为：因为(3)解（1）（2）（3）得k=.所以直线l的方程为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.12．【解析】分析：先建立直角坐标系，设C(2cosa,2sina),D(x,y),再求出x和cosa,最后求的值.详解：建立如下的直角坐标系,所以所以=故答案为：-3点睛：(1)本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算、坐标法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. （2）本题的关键有两个，其一是要想到坐标法分析解答，设C(2cosa,2sina),D(x,y),其二是要善于从已知里找到方程求出x和cosa的值.13．【解析】分析：先利用2b=a+c消掉b得到,再令5a+c=x,2a+c=y，消去a,c，利用基本不等式求最小值.详解：因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的关键是得到后，要想到转化，令5a+c=x,2a+c=y，则所以，把关于a，c的转化成关于新变量x,y的最值问题.转化是高中数学最普遍的数学思想，要灵活运用.14．【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出cosα＝，再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，cosβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．16．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．详解：（1）证明：如图，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，且PE＝，同理AE＝．因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ⊂平面ABC，所以PE ⊥平面ABC．因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．所以PM＝PC＝．点睛：（1）本题主要考查面面垂直的证明和线面平行的性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)对平面的转化是本题的关键，由线面平行得到线线平行PD∥OM，首先必须找到一个平面经过直线PD，且这个平面和平面AEM相交，再找到这两个平面的交线OM，对这个性质定理，学生要理解掌握并灵活运用.17．（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，所以，所以DF＝4cosθsin(＋θ)，且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3．因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．（2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，当l经过左､右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－n－＝n2－4，得n＝4．下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2＝＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．19．（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x的值为1．②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.20．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出a n＝4n－2，再利用“数列”证明.(2)利用“数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{a n}为等差数列，再转化a n＜a－a＜a n＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t ＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a－a＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋ (n－1)＝．点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，① ，n(t－2t2)＞2t －t2－1，② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21．证明见解析.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. 22．.【解析】分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由AB，即，得, 即,②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.23．.【解析】分析：先求出点P的直角坐标，再求出直线与极轴的交点C(2，0)，再求出圆C 的半径PC＝2，最后求圆的极坐标方程．点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力.24．.【解析】分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式.25．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答. 26．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．详解：（1）因为f n(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，所以f n(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，g n(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．面用数学归纳法证明：当n＝2时，命题成立；假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，即n＝k＋1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．点睛：(1)本题主要考查排列组合的运算，考查求和，考查数学归纳法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)在利用数学归纳法证明时，必须要利用到前面的归纳假设f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x ＋2)…(x＋k)，否则就不是数学归纳法,为了利用这个假设，后面的f k＋1(x)＋g k＋1(x)必须分解出f k(x)＋g k(x)，f k＋1(x)＋g k＋1(x)=(k+1)[ f k(x)＋g k(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).。

南京三模(十四)数学答案整理后

2018届南京高三年级第三次模拟考试(十四)数学参考答案1. {－3，－2，2}2. 53. 1504. 75. 236. ⎣⎡⎦⎤211，27. ①③8. 59. 4 10. 211. x ＋2y －4＝0 12. －3 13. 25914. [e 2，4e ] 15. 解：(1) 因为点P 的横坐标为277，点P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277，(2分) 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17.(4分) (2) 因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314.(6分) 因为β为锐角，所以cos β＝1314.(8分) 因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，(10分) 所以sin (2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.(12分) 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜π2. 又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3.(14分) 16. 解：(1) 如图，连结PE.因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，所以PE ⊥BC ，(2分)且PE ＝3，同理AE ＝ 3.因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE.(4分)因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC.因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(7分)(2) 如图，连结CD 交AE 于点O ，连结OM.因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ，(9分)所以PM PC ＝DO DC.(11分) 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为△ABC 的重心，所以DO DC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23.(14分) 17. 解：(1) 连结DC.在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4(百米)，BC ＝23(百米)．(2分) 因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ(百米)．(4分)(2) 在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝BF sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝BD sin π3，所以DF ＝4cos θsin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ，(6分) 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF ＝4－4cos 2θ，(8分)所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4cos θsin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝3sin 2θ－cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋3.(12分)因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时点E 与点C 重合．(13分) 故当点E 与点C 重合时，两条栈道长度之和最大．(14分)18. 解：(1) 因为离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ，(2分)所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1. 因为椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫85，35，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (2) 设N(n ，0)，当l 斜率不存在时，A ⎝⎛⎭⎫25，y ，B ⎝⎛⎭⎫25，－y ，则y 2＝1－⎝⎛⎭⎫2524＝2425，则NA →·NB →＝⎝⎛⎭⎫25－n 2－y 2＝⎝⎛⎭⎫25－n 2－2425＝n 2－45n －45，(6分) 当l 经过左、右顶点时，NA →·NB →＝(－2－n)(2－n)＝n 2－4.令n 2－45n －45＝n 2－4，解得n ＝4.(8分) 下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －25，恒有NA →·NB →＝n 2－4＝12. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －25，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，(10分) 所以NA →·NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2⎝⎛⎫x 1－25⎝⎛⎭⎫x 2－25 ＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝⎛⎭⎫4＋25k 2(x 1＋x 2)＋16＋425k 2(12分) ＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－⎝⎛⎭⎫4＋25k 2165k 24k 2＋1＋16＋425k 2 ＝（k 2＋1）⎝⎛⎭⎫1625k 2－4－165k 2⎝⎛⎭⎫4＋25k 2＋4k 2＋1425k 2（4k 2＋1）4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12，所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →·NB →为定值．(16分)19. 解：(1) 因为f(x)＝2x 3－3ax 2＋3a －2(a ＞0)，所以f′(x)＝6x 2－6ax ＝6x(x －a)．令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝a.(2分)当x ∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增；当x ∈(0，a)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．故f(x)极大值＝f(0)＝3a －2＝0，解得a ＝23.(4分) (2) g(x)＝f(x)＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2(a ＞0)，则g′(x)＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，Δ＝36(a 2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0，1]上单调递增，所以当g(x)取得最大值时x 的值为1. (6分)②当a ＞2时，g ′(x)的对称轴x ＝a 2＞1，且Δ＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a)＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42. 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增；当x ∈(x 0，1)时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，则g(x)取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42.(8分) 综上，当0＜a ≤2时，g(x)取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g(x)取得最大值时x 的值为a －a 2－42.(9分) (3) 设h(x)＝f(x)－f′(x)＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h(x)≥0在⎣⎡⎦⎤a 2，a ＋22上有解．(10分) h ′(x)＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a]＝6⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －a ＋222－a 2＋44. 因为h′(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋22上单调递减，所以h′(x)＜h′⎝⎛⎭⎫a 2＝－32a 2＜0，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋22上单调递减，所以h ⎝⎛⎭⎫a 2≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0. (12分) 设t(a)＝a 3－3a 2－6a ＋4(a ＞0)，则t′(a)＝3a 2－6a －6，当a ∈(0，1＋3)时，t ′(a)＜0，t(a)单调递减；当a ∈(1＋3，＋∞)时，t ′(a)＞0，t(a)单调递增．因为t(0)＝4＞0，t(1)＝－4＜0，所以t(a)存在一个零点m ∈(0，1)，(14分)因为t(4)＝－4＜0，t(5)＝24＞0，所以t(a)存在一个零点n ∈(4，5)，所以t(a)≤0的解集为[m ，n]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}．(16分)20. 解：(1) 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2.又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2，(2分)所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，所以数列{a n }为“T 数列”．(4分)(2) 因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d|.因为数列{a n }为“T 数列”，所以对于任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1)d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |.(6分) ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |；②若d ＜0，则m ＝n －1，此时，当n ＝1时，m ＝0，不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上所述，实数d 的取值范围是[0，＋∞)．(8分)(3) 因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1.因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”，所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．(10分)设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则a n ＝1＋(n －1)t .由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，(12分)整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1, ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1. ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t ，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0.同理根据②式可得t －2t 2≥0，所以2t 2－t ＝0.又t ＞0，所以t ＝12. 经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.(16分) 21. A. 证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA .(2分)又∠MBN ＝∠CBA ，所以△MBN ∽△CBA ，(4分)所以AB AC ＝BN MN.(6分) 因为AC ＝12AB ，所以BN MN＝2，即BN ＝2MN .(8分) 因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线．(10分)B. 解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201.(4分) 设P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，点P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到点P (x ，y )．因为点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0. ①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y .② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.(10分)C. 解：在直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)．(4分)因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π3，所以圆C 的半径PC ＝22＋22－2×2×2×cos π3＝2，(6分) 所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ.(10分) D. 解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )．(4分)因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9，(6分) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3.(10分)22. 解：(1) 因为A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2，所以p 2＋1＝2，所以p ＝2.(3分)(2) 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x.因为A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2.(4分)设直线AM 方程为x －1＝m(y －2)(m ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m （y －2），y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my ＋8m －4＝0，即(y －2)(y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2.(6分)因为AM ⊥AN ，所以－1m 代替m ，得y 2＝－4m－2，(8分) 所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝|4m ×⎝⎛⎭⎫－4m |＝16.(10分) 23. 解：(1) 因为f n (x)＝∑n －1i ＝1A n －i n x(x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝∑n －1i ＝1A n －i n ×1×…×i ＝∑n －1i ＝1n ！＝(n －1)×n ！，g n (1)＝A n n ＋1×2×…×n ＝2×n ！，所以(n －1)×n ！＝14×n ！，解得n ＝15.(3分)(2) 因为f 2(x)＋g 2(x)＝2x ＋2＋x(x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x)＋g 3(x)＝6x ＋3x(x ＋1)＋6＋x(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．(5分)下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )．因为f k ＋1(x )＝∑k i ＝1A k ＋1－i k ＋1x(x ＋1)…(x ＋i －1) ＝∑k －1i ＝1(k ＋1)A k －i k x(x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x(x ＋1)…(x ＋k －1) ＝(k ＋1)f k (x)＋(k ＋1)x(x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x)＋g k ＋1(x)＝(k ＋1)f k (x)＋(k ＋1)x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k ＋1)[f k (x)＋x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k ＋1)[f k (x)＋g k (x)]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k ＋1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)＋x(x ＋1)·…·(x ＋k)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)(x ＋k ＋1)，即当n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )．(9分)所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n }．(10分)。

高三数学-2018届江苏省南京市高三质量检测数学试卷精

江苏省南京市2018届高三质量检测数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第lI 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．每题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）S 锥侧=21cl 如果事件A 、B 相独立，那么其中c 表示底面周长，l 表 P （A·B ）=P （A ）·P （B ）示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那球的表面积公式么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率S 24R π= P n （k ）=C k n P k（1-P ）kn -其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、择题题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选顶中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ={1,2,3, 4,5,6}，集合P ={1,2,3,4}，Q ={3,4,5,6}，则P )(Q C UA ．{1,2}B ．{3,4}C ．23D ．12．已知a =（cos40°，sin40°），b +（sin20°，cos20°），则a ·b 的值为A ．22B ．21 C ．23 D ．13．将函数y =sin2x 的图象按向量a =（-,06π）平移后的图象的函数解析式为 A ．y =sin （2x +3π） B ． y =sin （2x -3π） C ． y =sin （2x +6π） D ． y =sin （2x -6π）4．已知双曲线191622=-y x ,双曲线上的点P 到左焦点的距离与点P 到左准线的距离之比等于A ．54 B ．34 C ．47 D ．45 5．（2x +x ）4的展开式中的x 3系数是A ．6B ．12C ．24D ．486．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．y =x1 B ．y =2x- C ．y =lgxx+-11D ．||x y -=7．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层，第二层，第三层…，则第6层正方体的个数是A ．28B ．21C ．15D ．118．设γβα,,为两两不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若βγα,⊥∥γ，则βα⊥； ②若βγα,⊥∥γ，则α∥β； ③若,,a n a m ∥∥；∥则n m④若βγα,⊥⊥γ，γβ⊥=m m a ，则．其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．49．若的是，则：q p x xq x x p 0|1|1,02:2>-+<--A ．充分不必要条件B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平构成一个“平行线面线”．在一个平行六面体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面线”的个数是A ．60B ．48C ．36D ．24第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．11．一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________12．已知=)(x f log )2(2+x ,函数g （x ）的图象与函数f （x ）的图象关于直线y=x 对称，则g （1）=____________13．已知圆044222=+-++y x y x 关于直线y=2x+b 成轴对称，则b=_________． 14．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是______________．15．一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为1，高为2，则此球的表面积为________． 16．已知抛物线)1,0(,22P y x 过点=的直线与抛物线相交于),(),(221,1y x B y x A 两点，则21y y +的最小值是___________．三、解答题：本大题5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分）已知数列（n a ）是等差数列，（n b ）是等比数列，且a 1=b 1=2,b 4=54,a 1+a 3=b 2+b 3．（1）求数列{n b }的通项公式（2）求数列{n a }的前10项和S 10．18．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。

18届三模数学附加题

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于点D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．A B C D O · 第21（A ）图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n n n n n n n n n N C C C C ++++++≥∈L ．。

高三数学-2018届江苏省南京市高三质量检测数学试卷精品

过 A 作 AN⊥ PD于 N，
∵ PD ＝（ a,2a,-2a） ,
设 PN =λPD ,
∴ AN = AP + PN =（λa,2 λa,2a-2λa）
∵ AN⊥ PD，
∴ AN ·PD =0．
∴ a·aλ+2a·2aλ-2a·（2a-2λa） =0．
解得 λ= 4 ． 9
∴ AN =（ 4 a， 8 a,
17．（本小题满分 12 分，第一小问满分 6 分，第二小问满分 6 分）
已知数列（ an ）是等差数列，（ bn ）是等比数列，且 a1=b1=2,b4=54,a1+a3=b2+b3．
（1）求数列 { b n }的通项公式
（2）求数列 { a n }的前 10 项和 S10 ．
18．（本小题满分 14 分，第一小问满分 6 分，第二小问满分 8 分）
在直角坐标系中， O 为坐标原点，设直线 l 经过点 P（ 3， 2 ），且与 x 轴交于点 F（ 2,0）．
（1）求直线 l 的方程；
（2）如果一个椭圆经过点 P，且以点 F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；
（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情况下，设直线 l 与椭圆的另一个交点 Q，且 PM PQ ,当｜ OM ｜
∴ < ME , NA >=arccos= 10 ． 10
∴二面角 A-PD-E的大小为 arccos 10 ． 10
（ 3）解法一： ∵∠ EAB=∠ABC=∠ DEA=90°,
BC=DE=a,AB=AE=2a,
取 AE 中点 F，连 CF，
10 分
8分 10 分
∵ AF∥ =BC,
∴四边形 ABCF为平行四边形．

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