概率论1.1习题资料
概率论第1章的基本概念习题及答案
第一章随机变量习题一_______ 系 ____ 班姓名 ________ 学号________1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和11 =〈3,4, ,18(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数= 「10 ,11 , 1(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
用“0” 表示次品，用“ 1”表示正品。
门={ 00,100 , 0100 , 0101 , 0110,1100,1010,1011, 0111 ,1101 ,1110,1111 }⑷在单位圆内任意取一点，记录它的坐标门={(x,y)|x2 y 2 :: 1}(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度1 1 ={(x ,y , z ) | x 0, y 0,z 0, x y z = 1}其中x,y,z分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10 只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回)，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的基本空间U =“在(6 ) 中，改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间U =解:(1 ) U = { e3 ，e4 ，, e10 。
}其中ei 表示“抽取i 次”的事件。
i = 3 、4、10(2 ) U = { e3 ，e4 ，, }其中e i 表示“抽取i 次”的事件。
i = 3 、4、2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系⑴〔x-aZ：与|x-a|八互不相容(2) x 20与x空20对立事件(3) x 20与x叮8 互不相容(4) x 20与x乞22相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件解：互不相容：AB「；对立事件：(1)AB「且A - B =门3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件7、设一个工人生产了四个零件，A i 表示事件“他生产的第i 个零件是正 品” (i =123,4)，用人,2,宀,4的运算关系表达下列事件•(1)没有一个产品是次品； ⑴ B 1 =几人2人3人4⑵ 至少有一个产品是次品；(2) B 2二A - A 2 - A s - A 4二人人2人傀 (3)只有一个产品是次品；(3) B 3 =几人人代2人人人代1 AAAA t^ AAAA⑴A 发生，B 与C 不发生- ABC (2)A 与B 都发生，而C 不发生-ABC(3)A,B,C 中至少有一个发生 A_. B_. C (4)A,B,C 都发生-ABC(5)A,B,C 都不发生-ABC (6)A,B,C 中不多于一个发生-ABAC 一 BC(7)A,B,C 中不多于两个发生-(8)A,B,C 4、盒内装有 到的球的号码为偶数” 中至少有两个发生- AB _ AC BC10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件 A 表示“取 ，事件B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表示“取到 的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.A B(1) 必然事件AB不可能事件C取到的球的号码不小于51或2或3或4或6或8或10AC 2 或 4ACB C 6或8或105、指出下列命题中哪些成立, (8)哪些不成立BC2 或4或5或6或7或8或9或10(1) A B = AB B 成立 ⑵AB =A B 不成立(3) A B C = A B C 不成立(4)(AB)(AB)二 成立⑸若A B ，则A 二AB 成立 ⑹若AB 「•，且C A ，则BC = '成立 ⑺若A B ，则B A 成立(8)若B A ，则A B = A 成立(4) 至少有三个产品不是次品B^A 1A 2A 3A^ AA 2A 3A 4 一 AA 2A 3A 4 A 1A>A 3A^ AA 2A 3A 4 8•设E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式(1)E M''J EF (2) E F /〔E F 丁 [E F ( 3) E F F G解：(1)原式=E E E F E F F F = E (2)原式=E F fl ：i.E F i 〕：i E F = F E F = F E(3) 原式=E F E G F F F G = F E G 9、设代B 是两事件且P(A) =0.6, P (B) =0.7，问(1)在什么条件下P( AB )取到最大值，最大值是多少？ (2)在什么条件下P(AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：(1) A - B, P(AB) = 0.6(2) A _ B = S, P(AB) = 0.310. 设事件A ，B ，C 分别表示开关a ，b ，c 闭合，D 表示灯亮， 则可用事件 A, B, C 表示：(1) D = AB C ； (2) D = A B C 。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S ________________ ;(2) —枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= ________________________ ;2. (1) 丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= ___________ ;B:数点大于2，则B=(2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，则A= _____________ ;B:两次出现同一面，则= __________ ; C :至少有一次出现正面，则C=§ 1 .2随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件，用A B、C的运算关系表示下列各事件：(1) A、B C都不发生表示为：.(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3) A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2. 设S {x:0 x 5}, A {x: 1 x 3}, B {x: 2 4}:贝U(1) A B,(2) AB,(3) A B(4) A B =(5) AB =o§ 1.3概率的定义和性质1.已知P(A B)0.8, P(A)0.5, P(B) 0.6，贝U(1)P(AB),(2)(P(A B))= ,⑶P(A B)2.已知P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1. 某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个，求:(1)正好有2个女同学的概率，(2) 最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7，则其中一颗为1的概率是____________ 。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.1-1.3参考答案
（3）由定义条件 2，知 A1 ,A2 , L , An ∈ F ，根据（2）小题结论，可得 U Ai ∈ F ，
i =1
n
再由定义条件 2，知 U Ai ∈ F ，即 I Ai ∈ F ；
i =1 i =1
n
n
（4）由定义条件 2，知 A1 , A2 , L , An , L ∈ F ，根据定义条件 3，可得 U Ai ∈ F ，
n n −1 n （3）由二项式展开定理 ( x + y ) n = ⎜ ⎜0⎟ ⎟x + ⎜ ⎜1⎟ ⎟x y + L + ⎜ ⎜n⎟ ⎟ y ，令 x = y = 1，得 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n ⎜ ⎜0⎟ ⎟+⎜ ⎜1⎟ ⎟ +L+ ⎜ ⎜n⎟ ⎟=2 ； ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛n⎞ (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! n! ⎟ ⎟ ⎟ [ r + (n − r )] = +⎜ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟； r!(n − r )! ⎜ ⎝ r − 1⎠ ⎝ r ⎠ (r − 1)!(n − r )! r!(n − 1 − r )! r!( n − r )! ⎝r⎠ ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛n⎞
2
Ω A
B C (A − B )∪C
Ω
证： （1） AB U AB = A( B U B ) = AΩ = A ； （2） A U A B = ( A U A )( A U B ) = Ω( A U B ) = A U B ． 11．设 F 为一事件域，若 An ∈F ，n = 1, 2, …，试证： （1）∅ ∈F ； （2）有限并 U Ai ∈ F ，n ≥ 1；
大学概率论与数理统计习题及参考答案
Ω 0 ,1,2. Ω 10,11,12.
（４）
3
五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、…、9中的任一个 （但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 解:
9 P96 P ( A) 0.0605. 6 9 10
六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 解:
P( AB) 0.4; P( A B) 0.7.
5. 设 P( AB) P( AB), 且 P ( A) p, 则 P( B) 1 p.
8
二、
设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B) 用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”，则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
P( AB) P( BC ) 0， 则：
（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 （2）A、B、C中都发生的概率为 0 ； 。 （3）A、B、C都不发生的概率为 0.375 ；
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。
（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
概率论1至7章课后答案
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
(高等教育出版)概率论与数理统计教程课后习题答案
4
P ( A) = 1 - P ( A) = 1 −
94 ⎛9⎞ = 1− ⎜ ⎟ 10000 ⎝ 10 ⎠
4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案 4 2 为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本 空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ，则该 数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后两位数 字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a = 7 ，因此 A 所包含的样本 点只有 71 这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接， 6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。 并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另 一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对 头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，所以样本点总数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。 用 A 表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种连接法，而 对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一 尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环， 故 尾 的 连 接 法 为 4 ⋅ 2 。 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ (3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为 ⎜ ⎝ m − 1 ⎠⎝
概率论习题第一章(答案)
第一章一、填空题1、设事件A,B 满足AB AB =,则()P A B = 1 ，()P AB = 0 。
2、已知P(A)0.5,P(B )0.6,P(B A)0.8,===则()P A B = 。
3、已知()()()1P A P B P C 4===，()P AB 0=,()()1P AC P BC 6==，则事件A,B,C 都不发生的概率为712。
4、把10本书随意放在书架上，其中指定的3本书放在一起的概率为115。
5、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为16。
二、选择题1、下列命题成立的是（ B ）A ：()()ABC A B C --=- B ：若AB ≠∅且A C ⊂，则BC ≠∅ C ：A B B A -=D ：()A B B A -= 2、设A,B 为两个事件，则（ C ）A ：()()()P AB P A P B ≥+ B ： ()()()P AB P A P B ≥C ：()()()P A B P A P B -≥-D ：()()()()P A P A B P B0P B ≥>3、设A,B 为任意两个事件，且A B ⊂，P(B )0>，则下列选项必然成立的是（ D ）A ：P(A)P(AB )< B ：P(A)P(A B )>C ：P(A)P(A B )≥D ：P(A)P(A B )≤4、袋中装有2个五分，3个贰分，5个壹分的硬币，任取其中5个，则总币值超过壹角的概率（ B ）A ：14B ：12C ：23D ：34三、解答题1、某班有50名同学，其中正、副班长各1名，现从中任意选派5名同学参加假期社会实践活动，试求正、副班长至少有一个被选派上的概率。
()248248142347P A 502455⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭或者()()48547P A 1P A 1502455⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭2、一批产品共200个，有6个废品。
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则 A B， A B， A B， A B 分别表示什么事件？
例2、从一批产品中每一次取一个产品检验（不放回）
A 表示第i次取到合格品，试用事件的运算符号表示下列事件 i 1.三次都取到合格品 2.三次中至少有一次取到合格品 3.三次中恰好有两次取到合格品 4.三次中最多一次取到合格品
例2、医学统计分析，人群中患有某种病菌引起的疾病人数 占总人数的0.5%，一种血液化验以95%的概率将患有此疾病 的人检查出阳性，但也有1%的概率误将不患此疾病的人检验 出呈阳性。现设某人检查出呈阳性反应， 问他确有患此疾病的概率是多少？
练习：假设在某时期内影响股票价格的因素为存款利率变化。 经分析，该时期利率不会上调，下调概率为0.6， 不变概率为0.4。根据经验，下调时某股上涨概率为0.8， 不变时上涨概率为0.4。求股票上涨的概率。 若已知股票上涨，问由利率下调引起的概率是多少？
且P B 0.3, P A B 0.6, 求P AB
练习：某校招生录取率为55%， 其录取标准有两条：总分超过500分，不及格门数不超过2门， 估计各有70%的考生打到第一、第二条标准， 求两条标准均未达到的考生比率。
条件概率 例1：10个产品，里面有4个次品， 第一次取出次品，问第二次取出次品的概率是多少？
先下手为强
例3、三个人独立破译密码，A破密码的概率为 1， 3
B破密码的概率为 1，C破密码的概率为 1，
4
5
问密码被破译的概率？
例4、甲乙两人射击水平相当，于是约定比赛规则： 双方对同一目标轮流射击，若一方失利， 另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止。 命中的一方为该轮的获胜者，你认为先射击者是否一定沾光？ 为什么？
练习：一、设A,B,C为样本空间中的三个随机事件， 试用A,B,C的运算表示下列随机事件
1、A发生而B,C不发生；
2、A,B,C都不发生； 3、A,B,C中恰好一个发生；
4、A,B,C中至少两个发生；
5、A,B,C中至少有一个发生；
6、A,B,C中恰好两个发生。
二、设袋内有10个编号为的球，从1 10中任取一个，观察其号码，
例2、设在10件产品中有4件一等品和6件二等品， 现在随意从中取出两件已知其中至少有一件是一等品， 试求两件都是一等品的条件概率。
思考题科学美国人1952 weaver 有三张牌：一张两面都是点， 一张两面都是圈，一张一面点，一面圈。 规则：三张牌放在帽子里，拿一张出来，可以看到一面， 如果是点，打赌他说另一面也是点，算他赢，如果是圈，算你赢， 问这个赌博公平不公平？
1.作放回抽样，求第i(i 1, 2, , k)? 人取到白球的概率k a b。
2.作不放回抽样，求第i(i 1, 2, , k)人?取到白球的概率。
加法公式例题： 例1：一个袋内装有大小相同的7个球，4个白球， 3个黑球从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率。
例2：设A, B为两事件，
全概率公式 引例：保险公司认为人可以分为两类， 第一类容易出事故，第二类比较谨慎， 统计数字表明： 第一类人在一年内某一时刻出一次事故的概率为0.4， 第二类人在某一时刻出一次事故的概率为0.2， 若第一类人占30%， 问：1.一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率是多少？ 2.如果该客户在购买保险后一年内出了一次事故， 他是第一类人的概率？
例2、两封信随机地标号为1，2,3, 4的四个邮筒投寄， 求第二个邮筒恰好被投入一封信的概率。
例3、将n个不同的球，投入N个不同的盒中，n N
设每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A 恰有n个盒子各有一球，求P A。
例4、抽签问题袋中有a个白球，b个红球， k个人依次在袋中任取一个球，
1、写出此试验的样本空间；
2、设A 取到球号码为奇数， B 取得球号码为偶数，C=取到球号码小于5
问：A B, AB, C, B C, A \ C各表示什么事件？
古典概型例题
例1、一个袋中有8个球到每个球的可能性相同，
从中随机摸一球，设A 摸到红球，求P A； 若不放回的摸两球，B=两球恰好一红一黄，求P B。
乘法公式 例1、一袋中有a个白球和b个红球， 现依次不放回地从袋中取两球， 试求两次均取到白球的概率。
例2、polya罐子模型 一个罐子中装有b个黑球和r个红球， 从罐中随机地摸取一球，观察颜色后放回罐中， 并且再加c个与所取出的球具有相同颜色的球， 这种过程进行四次， 试求第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球的概率。