上海市奉贤区2020学年第一学期期中调研测试高一数学试卷(2020.11)
2020学年奉贤区调研测试——高一数学试卷
（完卷时间120分钟，满分150分）
2020.11
一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1、集合{}21，的真子集的个数为__________________；
2、若幂函数a
x y =的图象经过点)3,3(，则=a ________________；3、已知方程042
=-+x x 的两个根为21,x x ，则=2
1)
2(x x
_______________；
4、已知“1-<x 或5>x ”是“4+≤≤a x a ”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________________________；
5、设,1,0≠>a a 若24log =a ，则=32
a a
__________________；
6、设集合{
}{}
032|,0,2|2
>+-=>==x x x B a x x A a
，则=B A _____________；7、若b a ==3lg ,2lg ，则=16log 9____________________；（用b a ,的代数式表示）8、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若没批生产x 件，则平均仓储时间为
8
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品___________件；
9、设0,0>>y x ，若y
x
e e 、的几何平均值为e （e 是自然对数的底），则2
2
y x 、的算术平均值的最小值是___________________；
10、已知集合{}{}k ky x y x B k y kx y x A 2|),(,1|),(=+=+=+=，其中k 为实数，当
≠B A Ø时，则k 满足的条件_____________；
11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+++>-++322234120
22a
a b ax x a ax x 的解集为[]a b ,，则实数a 的值是
______________________；
12、已知实数z y x 、、满足z y x >>，且,1,12
2
2
=++=++z y x z y x ，则y x +的取值范围为____________________；
二、选择题（满分20分，每题5分）
13、若,0,0,1,0>>≠>N M a a ，下列运算正确的是()
A、M N
M a N
a
log 1
log =
B、M N M a N
a log )(log =C、)
(log )(log )(log N M N M a a a -=÷D、)
(log log log N M N M a a a +=+
14、若非空集合N M 、满足N M ⊂，则下列集合中表示空集的是()
A、N
M B、N
M C、N
M D、N
M 15、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为361
3，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为80
10，则下列各数中与N
M
最接近的是()
A、33
10
B、53
10
C、73
10
D、93
10
16、对于区间)10000,1(内的任意两个正整数n m 、，定义某种运算“※”如下：当n m 、都为正偶数时，m ※n
m n =；当n m 、都为正奇数时，m ※n n m log =.则在此定义下，集合{a b a M |),(=※}4=b 中的元素个数是()
A、3个
B、4个
C、5个
D、6个
三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17、已知关于x 的不等式
01
≥+-x x
a 的解集为P ，不等式1)1(2<-x 的解集为Q .（1）若3=a ，求集合P ；
（2）求集合P ，并求当P Q P = 时a 的取值范围.
18、每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”，声强级是表示声强度相对大小，其值为y [单位：dB（分贝）]定义为0
lg 10I I
y =.其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为2
/m W （瓦/平方米），212
0/10
m W I -=为基准值.
（1）如果一辆小桥车内的声音是50dB，求相应的声强度；
（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？
19、设1
,2413,02+=++=≥x x
B x x A x .（1）求证：
22
1
<≤A ，并指出等号成立的条件；（2）比较A 与B 的大小关系，并说明理由.
20、我们知道当0>a 时，n m n
m a a a
⋅=+对一切R n m ∈、恒成立，学生小贤在进一步研究
指数幂的性质时，发现有这么一个等式111
1222+=+，带着好奇，他进一步对n
m n
m 222+=+进行深入研究.
（1）当2=m 时，求n 的值；
（2）当0≤m 时，求证：n 是不存在的；
（3）求证：只有一对正整数对),(n m 使得等式成立.
21、已知代数式2+x 和b ax -.（1）若2
3
,0=
=b a ，求不等式b ax x -<+2的解集（用区间表示）；（2）若,1,1==b a 用反证法证明：2+x 、b ax -中至少有一个数不小于2
3；（3）若0>a ，不等式12
3
2+≥-++x b ax x 对任意实数x 恒成立，试确定实数b a 、满足的条件.。
2020-2021学年上海市奉贤区奉贤中学高一数学理测试题含解析
2020-2021学年上海市奉贤区奉贤中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则的值是（）A．6 B．5 C．D．参考答案：A=，则的值是6故选A2. 若向量a与b的夹角为，，则向量a的模为A.2 B．4 C.6 D．12参考答案：C略3. 下列函数中，值域为(0,+)的是（▲）A.y=B.C.D.参考答案：D略4. 已知角α的终边在射线y=﹣上，那么sinα等于( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】在角α的终边上任意取一点（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得结果．【解答】解：∵角α的终边在射线y=﹣上，∴在角α的终边上任意取一点（﹣1，），则x=﹣1，y=，r=2，∴sinα==，故选：A．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，任意角的概念，考查计算能力，是基础题．5. 已知数列，则是它的()A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项参考答案：B6. 已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f （﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．画出f（x）在[﹣1，1]上的图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）在区间[﹣3，3]上的图象，即可得出交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．7. 若，则等于（）A． B． C． D．参考答案：B解析：8. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A． m B． m C． m D． m参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB 【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选A9. 若集合，则中元素的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A略10. 下列各式中，其值为的是A. B. C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=﹣lg（x+1）的定义域为．参考答案：{x|x≥1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥1，故答案为：{x|x≥1}．12. 函数y=sin2x+2cosx在R上的值域是．参考答案：[﹣2，2]【考点】函数的值域．【分析】根据同角三角函数关系，将函数的解析式化为y=1﹣cos2x+2cosx，结合函数的cosx为[﹣1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，结合余弦函数及二次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，∵cosx∈[﹣1，1]，cosx﹣1∈[﹣2，0]，∴﹣（cosx﹣1）2∈[﹣4，0]，∴﹣（cosx﹣1）2+2∈[﹣2，2]．∴y∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，考查二次函数在定区间上的最值问题，是解答本题的关键．13. 设是定义在区间D上的函数，对于区间D的非空子集I，若存在常数，满足：对任意的，都存在，使得，则称常数m是函数在I上的“和谐数”。
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试(一模)试题(答案不全)
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试（一模）试题（答案不全）一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：32lim21n n n →∞-=+2. 在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =，则△ABC 的面积是3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于4. 设3(,sin )2a α=r ，1(cos ,)3b α=r ，且a r ∥b r ，则cos2α=5. 在252()x x-二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答）6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选 法种数为7. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 8. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为1()f x -=9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，||6ON =uuu r ，ON =uuu r r，过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设 11OT M M N N =+uu u r uuuu u r uuuu r，则点T 的轨迹方程是10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为 属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rxp p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则 此人饮酒后需经过 小时方可驾车（精确到小时）11. 给出下列一组函数：212()log (23)f x x x =++，22()ln(258)f x x x =++，23()lg(3813)f x x x =++，240.3()log (7.46551713.931034)f x x x =++，⋅⋅⋅，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式2log ()a y Ax Bx C =++（0a >，1a ≠）：12. 已知直线1y x =+上有两个点11(,)A a b 、22(,)B a b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足1212|a a bb +=，若12a a >，||2AB =，则这样的点A 有个二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知点(,)P a b ，曲线1C 的方程21y x =-，曲线2C 的方程221x y +=，则“点(,)P a b 在曲线1C 上“是”点(,)P a b 在曲线2C 上“的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 无穷多个 15. 复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ） A. [3,7] B. [0,5] C. [0,9] D. 以上都不对16. 由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列， 且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ） ① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，14AA =，点M 是棱11C D 上 的动点.（1）求三棱锥11D A B M -的体积；（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与 平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）.18. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市 时间x 的变化关系并说明理由：① y ax b =+；② 2y ax bx c =++；③ log b y a x =⋅； ④ x y k a =⋅；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.19. 平面内任意一点P 到两定点1(F 、2F 的距离之和为4.（1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点1M 、2M ，判别12PM PM ⋅uuuu r uuuu r是否有最大值和最小值，请说明理由？20. 函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.21. 有限个元素组成的集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，*n ∈N ，集合A 中的元素个数记为()d A ， 定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()(()1)()2d A d A d A A ⋅++=时，称集合A 具有性质Γ.（1）设集合{1,,}M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列， 请说明理由；（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前 2020项：1232020,,,,d d d d ⋅⋅⋅组成的集合1232020{,,,,}d d d d ⋅⋅⋅记作D ，将集合D D +中的所有元素123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅（*k ∈N ）从小到大排序，即123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅满足123k t t t t <<<⋅⋅⋅<，求2020t ； （3）已知集合12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由.参考答案一. 填空题1.322. 3 4. 0 5. 80- 6. 1807. 2219y x -=± 8. 2log (1)x - 9. 22536x y +=(0x ≠且5x ≠10. 8 11. 23log (4710)y x x =++（答案不唯一） 12. 3二. 选择题13. A 14. D 15. A 16. C三. 解答题17.（1）1164433V =⨯⨯=；（2）. 18.（1）②；（2）21(20)264y x =-+，上市20天，最低价26元.19.（1）(；（2）222212()PM PM x y m n ⋅=+-+uuuu r uuuu r ，最大值224()m n -+，最小值221()m n -+.20.（1）奇函数；（2）略；（3）sin(tan )1tan 2(tan1.50,tan1.57)2k πωωπ=⇒=+∈，∴1.99199.6k <<，∴2,3,4,,199k =⋅⋅⋅，∴ω的个数为198个.21.（1）否；（2）123n n d -=，(1)22k k k t +=，∴6320162t =，63202028t =+；（3）具有性质Γ.。
2020-2021学年上海市某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市某校高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1. 当a <b 时，化简√(a −b)2=________． 【答案】 b −a 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据a −b 的符号，去绝对值求出答案即可． 【解答】a <b 即a −b <0，故√(a −b)2=|a −b|＝b −a ，2. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{x|x 2−3x +2≤0, x ∈Z}，则A ¯=________． 【答案】 {0, 3, 4} 【考点】 补集及其运算 【解析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 【解答】∵ 全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，A ＝{x|1≤x ≤2, x ∈Z}＝{1, 2}， ∴ A ¯={0,3,4}．3. 已知a >1，比较大小√a √a ________1log 312+2log 122．【答案】 >【考点】对数值大小的比较 【解析】根据a >1及指数函数的单调性可得出√a √a >1，根据对数的运算即可得出1log 312+2log 122=1，然后即可得出答案． 【解答】∵ a >1，∴ √a √a =a 34>a 0=1，1log 312+2log 122=log 33log 312+log 124=log 123+log 124＝1，∴ √a √a >1log 312+2log 122．4. 命题“设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a <2或b ≤2”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真【考点】四种命题的真假关系 【解析】根据不等式的性质即可直接判断． 【解答】设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a ，b 至少有一个小于等于2，故若a +b <4，则a <2或b ≤2是真命题，5. 已知x >0，y >0，且2x +5y =20，则lg x +lg y 的最大值为________． 【答案】 1【考点】 基本不等式 对数的运算性质【解析】利用基本不等式先求出xy 的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵ x >0，y >0，且2x +5y =20， ∴ 2x +5y =20≥2√10xy ，即xy ≤10， 当且仅当2x =5y ，即x =5，y =2时取等号． ∴ lg x +lg y =lg xy ≤lg 10=1，即最大值为1． 故答案为：1．6. 设不等式|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，当m >0时，用根式表示m ab ＝________． 【答案】√m 34【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】先根据|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，求出a ，b 的值，再用根式表示m ab 即可． 【解答】由|x −a|<b ，得−b +a <x <a +b ， ∵ |x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}， ∴ −b +a ＝−1且a +b ＝2，∴ a =12，b =32， ∴ 当m >0时，m ab =√m 34．7. 已知关于x 的不等式kx 2−kx +1≥0的解集为R ，则实数k 的取值范围是________．【答案】 [0, 4] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】根据题意讨论k ＝0和k ≠0时，求出不等式解集为R 时实数k 的取值范围． 【解答】k ＝0时，不等式为1≥0，解集为R ，满足题意； k ≠0时，应满足{k >0△=(−k)2−4k ×1≤0 ，解得0<k ≤4；综上知，实数k 的取值范围是[0, 4]．8. 测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A −lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的________倍．【答案】 10000 【考点】对数的运算性质 【解析】根据题意中的假设，可得M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9＝lg x +3，5＝lg y +3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 【解答】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此次地震的里氏震级恰好为6级，则M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝3−lg A 0＝6，解得：lg A 0＝−3， 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9＝lg x +3，5＝lg y +3，解得x ＝106，y ＝102， ∴ xy =106102=10000．9. 若关于x 的不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】 a ≥1 【考点】其他不等式的解法 【解析】先求出不等式(2x −3)(x +1)≤0的解集，然后确定不等式组的解集，进而确可求a 的范围． 【解答】由(2x −3)(x +1)≤0可得−1≤x ≤32，其中有整数−1，0，1，因为不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，故不等式组的解集a <x ≤32且其范围内没有整数，故a ≥1．10. 已知M =m 2+1m−1，其中m >1，则M 的最小值为________．【答案】2√2+2 【考点】基本不等式及其应用 【解析】 M =m 2+1m−1=(m −1)+2m−1+2，根据基本不等式即可求出．【解答】 ∵ m >1 ∴ M =m 2+1m−1=(m−1)2+2(m−1)+2m−1=(m −1)+2m−1+2≥2√2+2，当且仅当m −1=2m−1时，即m ＝1+√2时取等号， 故M 的最小值为2√2+2，11. 定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有(m −x)∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有________个．【答案】 15【考点】元素与集合关系的判断 【解析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x ∈A 及(m −x)∈A 可以得到两个数之和为m 的元素必须同时出现在集合A 中． 【解答】①含有1个元素的“8和集合”：{4}；②含有2个元素的“8和集合”：{1, 7}，{2, 6}，{3, 5}；③含有3个元素的“8和集合”：{1, 4, 7}，{2, 4, 6}，{3, 4, 5}；④含有4个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6}，{1, 7, 3, 5}，{2, 6, 3, 5}；⑤含有5个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 4}，{1, 7, 3, 5, 4}，{2, 6, 3, 5, 4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5, 4}．12. 研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(1, 2)，则关于x 的不等式cx2−bx+a>0有如下解法：由ax2−bx+c>0⇒a−b(1x )+c(1x)2>0，令y=1x，则y∈(12,1)，所以不等式cx2−bx+a>0的解集为(12,1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1<0的解集________(−12,−13)∪(12,1)．【答案】(−12,−13)∪(12,1)【考点】类比推理【解析】先明白题目所给解答的方法：ax2−bx+c>0化为a−b(1x )+c(1x)2>0，类推为cx2−bx+a>0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．【解答】关于x的不等式ka+x +b+xc+x<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，用−1x 替换x，不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1<0可得−1x∈(−2,−1)∪(2,3)可得12<x<1−12<x<−13二、选择题：（每小题4分，满分16分）如果a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab <1 B.a2>ab C.1b2<1a2D.−1a<1b【答案】B【考点】不等式的概念不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐一判断即可．【解答】若a<b<0，则ab>1，故A错误；若a<b<0，则a2>ab，故B正确；若a<b<0，则a+b<0，a−b<0，所以1b2−1a2=a2−b2a2b2=(a+b)(a−b)a2b2>0，即1b2>1a2，故C错误；若a<b<0，则−1a >0>1b，故D错误．下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)已知a，s，t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（）A.a s+a t＝a s+tB.a s a t＝a s+tC.log a s+log a t＝log a(s+t)D.log a s⋅log a t＝log a(st)【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据指数幂的运算性质以及对数的运算性质判断即可．【解答】根据指数幂的运算性质得：A错误，B正确；根据对数的运算性质得：C，D错误；已知a1，a2，b1，b2，c1，c2均为非零实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0与a2x2+b2x+c2＝0解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据方程的性质，我们可以判断“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”⇒“关于x 的方程a 1x 2+b 1x +c 1=0与a 2x 2+b 2x +c 2=0解集相同”；根据方程的解集可能为空集，可判断“M ＝N ”⇒“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”的真假，进而得到答案．【解答】∵ “a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”时，对应项系数成比例，对应方程的解集相同，即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M＝N ”的充分条件但当“M ＝N ＝⌀”时，不等式a 1x 2+b 1x +c 1＝0和a 2x 2+b 2x +c 2＝0可能是不同的方程，则“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”不一定成立即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的不必要条件，故“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的充分不必要条件．三、解答题（共5大题，满分48分）解不等式组{|4x +1|>21x≥3 ．【答案】 由题意可得，{4x +1>21−3xx ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13 ，解得，14<x ≤13． 故不等式的解集(14,13]．【考点】其他不等式的解法 【解析】由已知结合绝对值不等式及分式不等式分别求解即可． 【解答】由题意可得，{4x +1>21−3x x ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13，解得，14<x≤13．故不等式的解集(14,13 ]．艺术中心要用木料制作如图所示的框架，框架下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米，问：总用料最省时，用料为多少米？此时x，y分别为多少米？（最后结果精确到0.01）【答案】故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，确保有意义求出x的范围得到定义域；根据解析式进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．【解答】由题意得：x⋅y+12x⋅12x=8(x>0, y>0)，∴y=8x −x4，∵y>0，即8x −x4>0，∴0<x<4√2，设框架用料长度为l，则l＝2x+2y+√2x=( 32+√2)x+16x≥2√16(32+√2)=4√6+4√2，当且仅当(32+√2)x=16x，即x＝8−4√2时，取等号，已知p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立，求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立，求实数m的取值范围．【答案】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）由题意利用判别式大于零，求得m的范围．（2）求出命题q正确时，m的范围，再分别求得p成立而q不成立、q成立而p不成立时，m的范围，综合可得结论．【解答】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．已知有限集A＝(a1, a2,……,a n)(n≥2, n∈N)，如果中A元素a i(i＝1, 2,…,n)满足a1+a2+...+a n＝a1×a2×……×a n，就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，求log√5b的值．（2）利用反证法证明：若a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，则a1，a2至少有一个大于2．【答案】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．【考点】反证法与放缩法【解析】（1）设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，然后根据条件得到x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，再求出b即可得到log√5b的值；（2）假设0<a1≤2且0<a2≤2，然后根据条件得到a1+a2>4或a1+a2<0，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．【解答】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．已知一元二次函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0, c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c, 0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．时，求出不等式f(x)<0的解；（1）当a＝1，c=12（2）求出不等式f(x)<0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．试卷第11页，总12页【答案】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c16+c 2≤2√16c=18故a ∈(0,18]． ∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0，又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，由此能求出 f(x)<0的解集．（2）f(x)的图象与x 轴有两个交点，由f(c)＝0，设另一个根为x 2，由此能求出f(x)<0的解集．（3）由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，由此能求出a 的取值范围．（4）由f(c)＝0，知ac 2+bc +c ＝0，由c >0，知ac +b +1＝0，由此能求出实数m 的取值范围． 【解答】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，试卷第12页，总12页f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a,0),(0,c)这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c 16+c≤2√16c=18故a ∈(0,18]．∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0， 又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2．。
2020-2021学年高一数学新教材(必修一)上学期期中测试卷01(沪教版)(全解全析).pdf
当 (x2 1) (x 4)…1时,解得 x… 3 或 x„ 2 ,
g(x) x 4 , (x… 3 或 x„ 2) ,
函数
y
g
x
x2 1, x 4,
2 x 3 x… 3或x„ 2 的图象如图所示：
由图象得： 2„ k 1 ,
函数 y g(x) 与 y k 的图象有 3 个交点,
价形式：函数 y f (x) g(x) 的零点 函数 y f (x) g(x) 在 x 轴的交点 方程 f (x) g(x) 0 的 根 函数 y f (x) 与 y g(x) 的交点.
14．A
【分析】根据分段函数的概念,求得 f 1 的值.
【详解】
f 1 11 0
依题意
.
故参考答案为 2x6
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的应用,考查函数的解析式的求法,意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.
3
5． (0, )
【解析】
【分析】
1 t 1 0
当
3 时,
f
t
1 3
sin
2
t
1 3
1 2
,解三角不等式即可,当
0
t
1 3
时,
f
t
1 3
f (x)
即函数
x2 1 (4 x) k 的图象与 x 轴恰有三个大众点；
故参考答案为： 2 k 1 ．
【点睛】本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,根据
7
定义求出 g(x) 的表达式是解决本题的关键,属于中档题．
9． (2,3) (3, 4) (4, )
g x x2 f (x) 2x2
2020-2021上海奉贤区实验中学高三数学上期中模拟试卷含答案
1) 4n
2 3
，
4
∴ k 2 ．故 k 的取值范围是[ 2 , ) ．选 D．
3
3
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由 ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列，得出 B , A C 2 ,又因为 sin A 、
3
3
sin B 、 sin C 成等比数列，所以 sin2 B sin Asin C 3 ，整理计算即可得出答案. 4
1．D
解析：D 【解析】
设等比数列an的公比为 q ，则 q3
a4 a1
1 8 ，解得 q
1 2
，
∴ an
1 2n1
，
∴ anan1
1 2n1
1 2n
1 22n1
，
∴数列{anan1} 是首项为
1 2
，公比为
1 4
的等比数列，
∴ a1a2
a2a3
anan1
1 2
(1
1 4n
1 1
)
2 (1 3
三、解答题
21．在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sinB sinC msinAmR ,且
a2 4bc 0 ． (1)当 a 2, m 5 时,求 b, c 的值;
4 (2)若角 为锐角,求 m 的取值范围． 22．设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a cos B (2c b)cos A． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ， BC 边上的中线 AM 2 2 ，求 ABC 的面积．
选项 A 错误， x 可能为负数，没有最小值；
选项 B 错误，化简可得 y 2
上海市奉城高级中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题
奉城高级中学2020学年第一学期高一年级数学月考试卷1. 若集合{}21,A x =，则x 的取值范围是____________1x ≠±利用集合元素的互异性可得结果．由集合中元素的互异性可得：21x ≠，解得1x ≠± 故答案为：1x ≠±．2. 函数()28xf x =-的定义域是___________ (3,)+∞要使函数有意义，则30280x x -≥⎧⎨-≠⎩，据此即可求出函数的定义域．由题意可知，30280x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得3x >，()f x ∴的定义域为(3,)+∞. 故答案为：(3,)+∞.3. 若lg lg 2x y +=，则22x y +的最小值是___________ 200由条件得100xy =，再由基本不等式可得最值.. 由lg lg lg()2x y xy +==，可得100xy =， 所以222200x y xy +≥=.当且仅当10x y ==时取等，即22x y +的最小值是200.故答案为：2004. 设幂函数()(),kf x x k Q =∈的图像过点()2,8，则()f x 的值域是____________R由图像过点()2,8，可得3k =，进而可得值域.幂函数()(),kf x x k Q =∈的图像过点()2,8，所以28k =，解得3k =，所以()3f x x =，因为()3f x x R =∈，所以()f x 的值域是R . 故答案为：R .5. 函数() 2(,),01x f x a a a +=>≠的图像恒过定点___________()2,1-根据指数函数过定点()0,1,结合函数图像平移变换,即可得() 2(,),01x f x a a a +=>≠过的定点. 因为指数函数()xf x a =（0a >,且1a ≠）过定点()0,1() 2(,),01x f x a a a +=>≠是将()xf x a =向左平移2个单位得到所以() 2(,),01x f x a a a +=>≠过定点()2,1-.故答案为：()2,1-.6. 已知集合{}2|log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是 ．试题分析：由{}{}{}222|log 2|log log 4|04A x x x x x x =≤=≤=<≤,(,)B a =-∞,又因为A B ⊆,则由数轴得4a >,即.考点：1.对数不等式;2.集合运算7. 已知15,x x a x R ++-≥∈恒成立，则a 的取值范围是____________4a ≥或6a ≤-利用绝对值不等式可求1x x a ++-的最小值，从而得到|1|5a +≥，进而得解. 令()1f x x x a =++-，则由绝对值不等式有()()1|1|f x x x a a ≥+--=+，当且仅当()()10x x a +-≤时等号成立， 因为不等式15x x a ++-≥对任意x ∈R 恒成立， 所以()min |1|5f x a =+≥，解得4a ≥或6a ≤-， 故答案为：4a ≥或6a ≤-..8. 设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B 且=∈⋃∉⋂，{}22A x y x x ==-，14B y y x -⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B *=________________．{}0(2,)⋃+∞由题意，得：[]0,2A =，()0B ，∞=+ ∴)0A B ∞⎡⋃=+⎣，，](02A B ⋂=， ∴{}()*02,A B =⋃+∞点睛：理解新定义的含义，*A B 是由属于集合A B ⋃的元素，且不属于A B ⋂的元素构成的，借助数轴答案显而易见.9. 设函数()()1,1011lg ,1x a x f x a x x -⎧≥=<<⎨-<⎩，则关于x 的不等式()1f x <的解集为___________ ()1,+∞利用数形结合思想，分别画出两段的函数图象，根据函数的性质判断即可. 分别画出两段函数的图象，当1x =时，1101a a -==，1lg1101-=-=，所以函数图象是连续的，且()11f = 又()101x y aa -=<<在()1,+∞上单调递减，所以不等式()1f x <的解集为()1,+∞．故答案为：()1,+∞．10. 若函数()31f x x =+的定义域为{}1,3,k ，值域为{}424,,3a a a +，且,a k 为自然数，则a k +=_________ 7根据定义域求函数值，得4210331a a a k ⎧=⎨+=+⎩或4231310a k a a ⎧=+⎨+=⎩，再结合,a k 为自然数可得解.函数()31f x x =+的定义域为{}1,3,k ，所以()4,(3)10,()131f f f k k ===+，值域为{}424,,3a a a +，所以4210331a a a k ⎧=⎨+=+⎩或4231310a k a a ⎧=+⎨+=⎩，又因,a k 为自然数，410a =无解，所以2310a a +=，解得2,5a k ==， 所以7a k +=. 故答案为：7.11. 若()f x 是奇函数，且x ∈R ，当0x >时，()24xf x =-，则()0f x <的解集是____________.()(),20,2-∞-分析出()()()2200f f f =-==以及函数()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的单调性，分0x >和0x <两种情况解不等式()0f x <，综合可得出原不等式的解集. 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，当0x >时，()24xf x =-，则()22240=-=f ，()()220f f -=-=，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，由()()02f x f <=可得02x <<； 当0x <时，由奇函数的性质可知，函数()f x 在(),0-∞上也为增函数， 由()()02f x f <=-可得2x <-.综上所述，不等式()0f x <的解集是()(),20,2-∞-.故答案为：()(),20,2-∞-.方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.12. 已知函数()()1,2xf x x ag x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是________1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别求出()f x x a =+在[]0,1x ∈的值域是[],1a a +，12xg x在[]1,1x ∈-的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由题意知[]1,2,12a a ⎡+⊆⎤⎢⎥⎣⎦，可得1212a a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩即可求解.因为()f x x a =+，[]0,1x ∈，所以()[],1f x a a ∈+，12xg x，当[]1,1x ∈-时，()1,22g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦若任意[]10,1x ∈，存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =成立，则[]1,2,12a a ⎡+⊆⎤⎢⎥⎣⎦，即1212a a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩解得：112a ≤≤，故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题13. 条件甲21x =;条件乙:1x =，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 当21x =时，有1x =±，不一定有1x =.但1x =时，一定有21x =， 所以p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.14. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ()0f x x =与()1g x =B. ()f x x =与()2x g x x=C. ()f x x =与()2g x x = D. ()2x f x x=与()2g x x =D分别判断选项中的两个函数的定义域与对应法则是否都相同，从而可得结果.()0f x x =定义域为{|0}x x ≠，()1g x =定义域为实数集，定义域不同，不是同一个函数；()f x x =定义域为实数集，与()2x g x x=定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，不是同一个函数；2()||g x x x ==定义域为实数集，()f x x =定义域为实数集，对应关系不同，不是同一个函数；21,0()1,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩和21,0()1,0x g x x x >⎧==⎨-<⎩，定义域与对应法则都相同，表示同一个函数， 故选：D.15. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 A. 222a b ab +> B. 2a b ab +≥C.11a b ab+> D.2b aa b+≥ D试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．考点：不等式的性质16. 已知函数()()()()0340x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，实数的取值范围是（ ）A. ()0,1B. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D由条件可得()f x 在R 上单调递减，然后可得001304a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，进而得解.因函数()(),0,34,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立 所以()f x 在R 上单调递减所以001304a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，解得104a <≤故选：D. 三.解答题：17.（1）已知0x y <<，比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小（2）在给出的直角坐标系中， 画出函数()()()2010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图像.（1）()()22x yx y +->()()22xy x y -+；（2）见解析.（1）直接作差，和0比较大小即可得解； （2）根据分段函数的解析式直接作图即可.（1）()()()()()()()()2222222x y x y x y x y x y x y x y x y +---+=+---+()()()222[]x y x y x y =-+-+()(2)x y xy =--,因为0x y <<，属于0,20x y xy -<-<，所以()()()()22220x yx y xy x y +---+>，即()()22x y x y +->()()22x y x y -+.（2）根据解析式直接作图：18. 已知集合P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，S ＝{x||x －1|≤m}． (1)若(P ∪S)⊆P ，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得“x ∈P”是“x ∈S”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．（1）(－∞，3] （2）不存在，见解析解：由x 2－8x －20≤0解得－2≤x≤10，∴P ＝{x|－2≤x≤10}． 由|x －1|≤m 可得1－m≤x≤1＋m ，∴S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)要使(P ∪S)⊆P ，则S ⊆P ， ①若S ＝∅，此时，m<0.②若S≠∅，此时0{12110m m m ≥-≥-+≤，解得0≤m≤3.综合①②知实数m 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意“x ∈P”是“x ∈S”的充要条件，则S ＝P ，则12{110m m -=-+=∴3{9m m == ∴这样的m 不存在． 19. 已知函数()2x f x x a+=-，常数a R ∈ （1）已知()()lg g x f x =⎡⎤⎣⎦，若()g x 的定义域关于原点对称，求实数a 的值; （2）当1a =-时，判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并利用定义证明您的结论. （1）2a =；（2）见解析.（1）根据真数大于0，结合定义域关于原点对称可直接得解；（2）当1a =-时，()21111x f x x x +==+++为减函数，利用单调性定义证明即可. （1）()2x f x x a +=-，()2lg x g x x a+=-，则20x x a +>-，若()g x 的定义域关于原点对称，则2a =， 此时定义域(,2)(2,)-∞-+∞；（2）当1a =-时，()21111x f x x x +==+++减函数，证明如下：设120x x <<， 则()()21121221121111(1)1111(1))1(1x x x x x x x x x x f f --+=-=+=+++++-+， 因为120x x <<，所以122110,100,x x x x -+>>>+，所以21120(1)(1)x x x x ->++，即()()12f x f x >， 所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数.20. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?（2）设每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?（1）该单位每月处理量为400吨时，才能便每吨的平均处理成本最低； （2）国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.（1）二氧化碳的每吨平均处理成本为21200800002x x y x x -+=整理后利用基本不等式即可求解；（2）设该单位每月获利为S ，100S x y =-，利用二次函数的基本性质求出S 的最大值，即可得出结论.（1）由题意可得：二氧化碳的每吨平均处理成本为21200800008000022002002002x x y x x x x -+==+-≥=， 当且仅当800002x x=，即400x =时等号成立，所以该单位每月处理量为400吨时，才能便每吨的平均处理成本最低为200元； （2）设该单位每月获利为S ，则()2211020000101003008480000000060202S x y x x x x x x -⎝⎛⎫=-=-=-+-≤≤ ⎪⎭+二次函数21300800002S x x =-+-的图象开口向上，对称轴为直线300x =，所以，函数21300800002S x x =-+-在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，S 有最大值为2max140030040080000400002S =-⨯+⨯-=-， 故该单位需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.关键点点睛：第一问关键点是求出每吨平均处理成本为21200800002x x y x x-+=，利用基本不等式即可求最值；设该单位每月获利为S ，21003008000120x S x y x =-==-+-，利用二次函数的性质以及400600x ≤≤可求利润最大值，即可判断是否获利以及是否需要国家补贴. 21. 若函数()f x 定义域的为R ，对任意的12,x x R ∈，恒有()()()1212f x x f x f x +≤+，则称()f x 为“V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否为“V 形函数”.并说明理由:（2）当()()2lg 2f x x =+时，证明:()f x 是“V 形函数”（3）当()()lg 2xf x a =+时，若()f x 为“V 形函数”，求实数a 的取值范围.（1）见解析；（2）见解析；（3）1a ≥或0a =. （1）可以举反例说明；（2）由()()()12121222122)2],lg[(lg(lg(2)2)f x x x x f x f x x x ++=+++++=，作差比较大小即可证得；（3）根据题意得212(22)0x x a a a ++-≥恒成立，分0a =、0a >和0a <依次求解即可.（1）当()2f x x =时，()f x 不是为“V 形函数”.取121,2x x ==()()()12129,145f x x f x f x +=++==，不满足()()()1212f x x f x f x +≤+；（2）当()()2lg 2f x x =+时，()()()12121222122)2],lg[(lg(lg(2)2)f x x x x f x f x x x ++=+++++=， ()()()121212122222)2))2]lg(lg(lg[(f x f x f x x x x x x +-+=++++-+2222222222222121212121212121212122222)2)22422lg lg)222((lg (()2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++==+++++=++22222222121212121212122222)22lg l ((g )2)2(x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++≥=++ 2212212(2lg[1]0)2x x x x ++++>， 所以()()()1212f x x f x f x +≤+，所以()f x 是“V 形函数”；（3）当()()lg 2xf x a =+时，若()f x 为“V 形函数”，则()()()1212f x x f x f x +≤+，即()()()()122211212lg 2lg 2lg 2lg 2(22)x x x x x x x x a a a a a +++≤+++=+++则212(22)0x x a a a ++-≥恒成立， 当0a =时，上式成立；当0a >时，21(22)10x x a ++-≥，因为12220x x +>，所以10a -≥，解得1a ≥；当0a <时，21(22)10x x a ++-≤，显然21(22)1x x a ++-无最大值，所以无解. 综上：1a ≥或0a =.关键点点睛：本题的解题关键是利用“V 形函数”.的定义，利用作差法比较()12f x x +和()()12f x f x +的大小.。
2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．109316．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为3．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的真子集一共有：22﹣1＝3个．故答案为：3．【点评】本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），∴＝3a，解得a＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，属基础题．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，再对所求式子化简代入即可求出结果．【解答】解：∵方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，∴由根与系数的关系得：x1x2＝﹣4，∴（2）＝＝2﹣4＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，考查了指数幂的运算，是基础题．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【分析】根据“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，得到不等式组，解出即可．【解答】解：若“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则由“a≤x≤a+4”⇒“x＜﹣1或x＞5”，∴a≥5或a+4≤﹣1，解得：a≤﹣5或a≥5，故答案为：（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．【分析】先把对数式化为指数式，求出a的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入a的值即可求出结果．【解答】解：∵log a4＝2，∴a2＝4，又∵a＞0，a≠1，∴a＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝{x|x＞1}．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝R，∴A∩B＝{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）【分析】利用对数的换底公式、运算法则直接求解．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log916＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品80件．【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x•＝800+x2这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f（x）＝＝（x为正整数）由基本不等式，得f（x）≥2＝20当且仅当，即x＝80时，f（x）取得最小值、∴x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为80【点评】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是1．【分析】由题意可得e x e y＝e2，即x+y＝2，x＞0，y＞0，然后结合即可求解．【解答】解：由题意可得e x e y＝e2，∴x+y＝2，x＞0，y＞0，∴＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是k≠±1．【分析】根据题意可得出：方程组有解，然后可得出方程（1﹣k2）x＝k﹣k2有解，从而可得出k需满足的条件．【解答】解：∵A∩B≠∅，∴方程组有解，消y得（1﹣k2）x＝k﹣k2，∴1﹣k2≠0，即k≠±1．故答案为：k≠±1．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．【分析】结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，然后结合方程的根与系数关系可求．【解答】解：因为关于x的不等式组的解集为[b，a]，结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，所以，解可得，或或（舍），当a＝1，b＝﹣3时，不等式组为，解得﹣3≤x≤1且x≠﹣1不合题意；当a＝，b＝﹣1时，不等式组，解得﹣1，此时符合题意．故a＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了方程与二次不等相互转化关系的应用．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为（，）．【分析】利用基本不等式和题设求得结果即可．【解答】解：令x+y＝t，则z＝1﹣t，∵x＞y＞z，且x+y+z＝1，∴z＝1﹣t＜⇒t＞，t2＝（x+y）2＜2（x2+y2），即x2+y2＞，∵x2+y2+z2＝1，∴1＞+z2＝+（1﹣t）2，即3t2﹣4t＜0，解得：0＜t＜，综上，＜t＜，即x+y∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：由a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，知：对于A，log a＝＝log a M，故A正确；对于B，（log a M）N≠N log a M＝，故B错误；对于C，（log a M）÷（log a N）≠log a（M﹣N），故C错误；对于D，log a M+log a N＝log a MN≠log a（M+N），故D错误．故选：A．【点评】本题考查对数式化简求值、对数运算法则，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N【分析】可以用Venn图来表示集合M，N，U，结合图形即可找出表示空集的选项．【解答】解：可用Venn图表示集合M，N，U如下：∴M∩（∁U N）＝∅，即M∩＝∅，故选：A．【点评】本题主要考查Venn图表示集合的方法，以及集合的补集和交集运算．15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质得：3＝10lg3≈100.48，将M化为以10为底的指数形式，计算即可．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093．故选：D．【点评】本题考查了指数形式与对数形式的互化问题，是基础题．16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】当a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，再由a，b∈（1，10000），能求出集合M中元素的个数．【解答】解：∵m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}，∴a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a＝2，b＝2，当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，∵a，b∈（1，10000），∴a＝3，b＝81，或a＝5，b＝625，或a＝7，b＝2401，或a＝9，b＝6561，∴M＝{（2，2），（3，81），（5，625），（7，2401），（9，6561）}．∴集合M中有5个元素．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，P＝{x|≥0}，由此能求出集合P．（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，根据a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1分类讨论，由此能求出集合P，求出Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|0＜x＜2}，由P∪Q＝P，得Q⊆P，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝3时，P＝{x|≥0}＝{x|≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，当a＞﹣1时，P＝{x|﹣1＜x≤a}，当a＝﹣1时，P＝∅，当a＜﹣1时，P＝{x|a≤x＜﹣1}．∵Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，P∪Q＝P，∴Q⊆P，∴当a＞﹣1时，a＞2，当a≤﹣1时，无解，综上，当P∪Q＝P时a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？【分析】（1）直接把y＝50代入y＝10lg，求得I得结论；（2）分别求出声音是120dB和60dB的声强度，作比得结论．【解答】解：（1）由50＝10lg，得，即I＝W/m2．故声音是50dB，相应的声强度是10﹣7W/m2；（2）设声音是120dB的声强度为I1，则120＝10lg，即，设声音是60dB的声强度为I2，则60＝10lg，即，∴．∴前者的声强度是后者的声强度的106倍．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查对数方程的求法，是基础的计算题．19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）把A进行分离常数，再由x的范围求得A的值域，则结论得证，并指出等号成立的条件；（2）利用基本不等式求出B的范围，结合（1）中求得的A的范围，即可比较A与B的大小关系．【解答】证明：（1）A＝＝，∵x≥0，∴x+，8（x+）≥4，，可得＜，即A＜，当且仅当x＝0时等号成立；解：（2）B＜A，证明如下：由（1）知，A＜，B＝，当x＝0时，B＝0，当x＞0时，x2+1≥2x＞0，∴，当且仅当x＝1时取等号，∴0，而A与B中的等号不同时成立，∴B＜A．【点评】本题考查利用分离常数法与基本不等式求函数的值域，考查运算求解能力，是中档题．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．【分析】（1）由题意求解关于n的方程即可确定实数n的值；（2）由题意求得2n的表达式，然后分类讨论即可证得题中的结论；（3）将m，n分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论．【解答】（1）解：当m＝2时，22+n＝22+2n，即3⋅2n＝4，∴；（2）证明：设t＝2m，由于m≤0，故t∈（0，1]，由题意可得：t⋅2n＝t+2n，当m＝0，t＝1时，上述等式明显不成立，当m≠0，t＜1时，，由于2n＞0，t＞0，t﹣1＜0，故上述等式不成立，综上可得，实数n不存在．（3）证明：由2m+n＝2m+2n可得：，当m，n均为正整数时，等式左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，很明显只有2m﹣1＝1，m＝1 时满足题意，此时n＝1，即只有一对正整数对（1，1）使得等式成立．【点评】本题主要考查指数方程的解法，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．【分析】（1）将a＝0，b＝代入|x+2|＜|ax﹣b|中，然后去绝对值解不等式即可；（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|，然后假设|x+2|，|x﹣1|均小于，得到，推出矛盾结论，从而证明原命题成立；（3）根据a＞0时，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，对|x+2|+|ax﹣b|去绝对值，然后分别得到满足条件实数a、b即可．【解答】解：（1）当a＝0，b＝时，由|x+2|＜|ax﹣b|，得|x+2|，∴，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|．假设|x+2|，|x﹣1|均小于，则，∴，∴x∈∅，与假设矛盾，故|x+2|，|x﹣1|中至少有一个数不小于．（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，则①当x≥﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴．②当x⩾﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．③当x≤﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴，将代入中，得，要使与x≤﹣2有交集，则，∴与b≤﹣3矛盾．④当x≤﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．综上，要使不等式在R上恒成立，实数a、b满足的条件为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用反证法证明不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)
高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。
一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
奉贤区 2020 学年第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷(解析版)
黎曼函数 R(x) 为:当 x= = q ( p, q 为正整数,是既约真分数)时 R(x) = 1 ,当 x=0 或 x=1 或 x
p
p
为[0,1] 上的无理数时 R(x) = 0 .已知 a,b, a + b 都是区间[0,1]内的实数,则下列不等式一定正
确的是（ ）
A.R(a + b) R(a) + R(b)
8000m/s(结果精确到 0.1)
【答案】（1） 2197.2 （2） 53.6
【解析】（1）依题意： M = 2 ，则 ev = 32000, v = 2000ln 3 2197.2m / s m
（2）由 ev = (1+ M )2000 ，得 v = 2000ln(1+ M ) ，将 v = 8000 带入，得：
奉贤区 2020 学年第一学期期末教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定得地方解答，否则一律不予评分
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分.考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零 分.
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形
ABC = BAD = , , AD=2, AB= BC=l 2
(1)当四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 时
求异面直线 AC 与 PD 所成角的大小
2)求证:CD⊥平面 PAC
【答案】（1） 3
（2）见解析
B.R(a b) R(a) R(b)