排列组合中的最短路径问题
排列组合题型全归纳 专题16 分解与合成模型和最短路径问题(解析版)
专题16分解与合成模型和最短路径问题【方法技巧与总结】分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，AB段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（）条．A ．23B ．24C ．25D ．26【答案】D【解析】由M 到N 的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有3735=C 条路，由M 到A 的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有13C =3条路，由B 到N 的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有13C =3条路，所以由M 到N 不经过AB 的最短路径有31173326-=C C C .故选：D.例3．（2023秋·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（）A ．23条B ．24条C ．25条D ．26条【答案】D【解析】先假设CD 是实线，则从A 到B ，向上3次，向右4次，最短路径有773434A 35A A =条，其中经过CD 的，即先从A 到C ，然后C 到D ，最后D 到B 的最短路径有339⨯=条，所以，当CD 不通时，最短路径有35926-=条.故选：D例4．（2023·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A 点出发，沿着竹棍到达B 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（）A ．48种B ．60种C ．72种D ．90种【答案】D【解析】由题意可知，从A 到B 最少需要6步完成，其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有222642C C C 90=种.故选：D.例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（）A ．20条B ．21条C ．22条D ．23条【答案】D【解析】由题意知从A 到B 的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有37C 35=种，又因为经过CD 段的走法有1224C C 12⋅=种，故不经过CD 段的最短路径有351223-=条.,故选:D例6．（2023春·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【解析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法.故选：C.例7．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角.18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸.令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是10928'︒，所有的锐角都是7032'︒.后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度.从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路径数为(),A n m .例如：()3,11A =，()4,23A =.则不等式()10,81A m ≤的解集为（）A ．{}1,2,3,7,8,9B ．{}1,2,3,8,9,10C ．{}1,2,3,9,10,11D ．{}4,5,6,7,8【答案】B【解析】由题可知(),11A n =，(),1A n n =，且()()(),1,11,A n m A n m A n m =--+-，可推得，()11,C m n A n m --=，所以()10,81A m ≤，即19C 81m -≤，所以1m -可能取到0，1，2，7，8，9，所以解集为{}1,2,3,8,9,10，故选：B例8．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 、5A 是道路网中的5个指定交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有30种B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的方法有6种C ．甲、乙两人在3A 处相遇的概率为6225D ．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为81225【答案】D【解析】对于A ，甲从M 到N 的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6步，2步向上，4步向右，共有C 2615=种，故A 错；对于B ，第一步，甲从M 到3A ，有C 133=种走法，第二步，从3A 到N ，有C 133=种走法，所以共有33=9⨯种走法，故B 错；对于C ，由B 可知甲、乙经过3A 的走法都有9种，所以在3A 处相遇共有99=81⨯种走法，而甲、乙两人的总走法有1515=225⨯种，所以两人在3A 处相遇的概率为81225，故C 错；对于D ，因为甲、乙两人只能在3A 处相遇，由C 可知D 对.故选：D.例9．（2023·高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（）A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种【答案】D【解析】如图所示，由题意知在A 点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．故选：D例10．（2023春·广东惠州·高二校考期中）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A．14条B．12条C．9条D．7条【答案】B【解析】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计⨯⨯=条路径.算原理可得从①→⑧共有32212故选：B例11．（2023·高二单元测试）如图为某旅游区各景点的分布图,图中一条带箭头的线段表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H不同的旅游路线的条数,这个数是()A．15B．16C．17D．18【答案】C【解析】如果一条一条地去数,由于道路错综复杂,哪些已经算过,哪些没有算过就搞不清楚了,所以我们换一种思路,用分析法试试.要到H点,需从F,E,G点走过来,F,E,G各点又可由哪些点走过来……这样一步步倒推,最后归结到A点,然后再反推过去得到如下的计算法:A到B,C,D的路线条数记在B,C,D圆圈内,B,C,D分别到F,E,G的路线条数亦记在F,E,G圆圈内,最后F,E,G内的路线条数之和即为从A到H的路线的总条数,如下图所示.故答案为C.例12．（2023·全国·高三专题练习）如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M 、N ，则M N -的值为（）A ．10B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】由题意得从A 到B 需要走6格，向上、向右分别走3格，因此甲只需在6次选择中3次选择向右走，剩下的3次选择向上走即可，336320M C C =⋅=，乙只能在对角线AB 下方（包括AB ）走，所以，乙的走法的所有可能情况为：（右上右上右上）、（右上右右上上）、（右右上上右上）、（右右上右上上）、（右右右上上上），即5N =，则15M N -=，故选：C.例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位A 处出发到达B 处和C 处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是A B C →→，也可以是A C B →→，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（）A ．31条B ．36条C ．210条D ．315条【答案】CD【解析】设小矩形的长为a ，宽为b ，则从A B →的最近路线为24a b +，从A C →的最近路线为32a b +，若2a b <，则选择行走顺序为A C B →→，先从A C →，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有3252C C 10=种，从C B →，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有5272C C 21=种，所以从A C B →→的不同路线有1021210⨯=种；若2a b >，则选择行走顺序为A B C →→，先从A B →，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有2464C C 15=种，从B C →，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有5272C C 21=种，所以从A B C →→的不同路线有1521315⨯=种.综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.故选：CD.例14．（多选题）（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，某城市,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，某同学从M 处沿道路走到N 处，他随机地选择一条沿街的最短路径，则下列说法正确的是（）A ．他从M 处到达N 处有12种走法B ．他从M 处到达N 处有35种走法C ．他从M 处经过A 处到达N 处有18种走法D ．他从M 处经过A 处到达N 处有30种走法【答案】BC【解析】对于AB 选项：向右4次，向上3次，故走法有4735C =种，B 选项正确.对于CD 选项：M 到A 有3种走法，A 到N 有6种走法根据分步乘法计数原理可知，共有1863=⨯种走法，C 选项正确.故选：BC例15．（多选题）（2023春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）在某城市中，A ，B 两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地．下列结论正确的有（）A ．不同的路径共有31条B ．不同的路径共有61条C ．若甲途经C 地，则不同的路径共有18条D ．若甲途经C 地，且不经过D 地，则不同的路径共有9条【答案】ACD【解析】由图可知，从A 地出发去往B 地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，则不同的路径共有122133434331C C C C C ++=条．若甲途经C 地，则不同的路径共有123418C C =条．若甲途经C 地，且不经过D 地，则不同的路径共有11339C C =条．故选：ACD ．例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ，2A ，3A ，4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ，N 处的甲､乙两人分别要到N ，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ，M 处为止，则下列说法正确的有（）A ．甲从M 到达N 处的走法种数为120B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的走法种数为9C ．甲，两人能在3A 处相遇的走法种数为36D ．甲，乙两人能相遇的走法种数为164【答案】BD【解析】对于A ，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从M 到达N 处的走法种数为36C 20=，故A错误.对于B ，甲从M 到达3A ，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有13C 3=种走法，从3A 到达N ，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有13C 3=种走法，所以甲从M 必须经过3A 到达N 处的走法种数为339⨯=，故B 正确.对于C ，甲经过3A 的走法种数为1133C C 9⨯=，乙经过3A 的走法种数为1133C C 9⨯=，所以甲，乙两人能在3A 处相遇的走法种数为9981⨯=，故C 错误.对于D ，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在1A ，2A ，3A ，4A 处相遇，若甲，乙两人在1A 处相遇，甲经过1A 处，必须向上走3格，乙经过1A 处，必须向左走3格，两人在1A 处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在2A 或3A 处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在4A 处相遇，甲经过4A 处，必须向右走3格，乙经过4A 处，必须向下走3格，则两人在4A 处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为181811164+++=，故D 正确.故选：BD .例17．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中12345,,,,A A A A A 是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M ，N 处的甲、乙两人分别要到N ，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ，M 处为止，则（）A ．甲从M 到达N 处的走法有70种B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的走法有12种C ．若甲、乙两人途中在3A 处相遇，则共有144种走法D ．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法【答案】AD【解析】甲由道路网M 处出发，随机地选择一条沿街的最短路径到达N 处需走8步，共有4870C =种走法，故A 正确；甲由道路网M 处出发，随机地选择一条沿街的最短路径到达3A 处需走4步，有246C =种走法，从3A 处沿街的最短路径到达N 处需走4步，有246C =种走法，所以共有6636⨯=种走法，故B 错误；由B 可知，甲从M 必须经过3A 到达N 处的走法有36种，同理乙从N 必须经过3A 到达M 处的走法也有36种，则甲、乙两人在3A 处相遇，共有36361296⨯=种走法，故C 错误；甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在12345,,,,A A A A A 处相遇，他们在1,2,3,(,)45i A i =处相遇的走法有()414i C -种，则()()()()()4444401234444441810C C C C C ++++=，故D 正确．故选：AD ．例18．（2023·高二课时练习）5400的正约数有______个【答案】48【解析】由3325400235=⨯⨯，所以5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，设正约数为235x y z ⨯⨯，其中x 取值为0，1，2，3共有4种；y 取值为0，1，2，3共有4种；z 取值为0，1，2共有3种；所以正约数个数为44348⨯⨯=．故答案为：48例19．（2023秋·上海嘉定·高二校考期中）正整数2022有______个不同的正约数．【答案】8【解析】因为202223337=⨯⨯，故2022所有的正约数有：01233333C C C C 8+++=个.故答案为：8.例20．（2023秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【解析】如图，由已知可得，应从A 点，先到E 点，再到F 点，最后经点G 到B 点即可.第一步：由A 点到E 点，最短路径为4步，最短路径方法种类为1343C C 4⋅=；第二步：由E 点到F 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为1232C C 3⋅=；第三步：由F 点经点G 到B 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为111121C C C 2⋅⋅=.根据分步计数原理可得，最短路径有43224⨯⨯=种.故答案为：24.例21．（2023·高二课时练习）图中的连线是A B C D 、、、四地之间可走通的不同路径，若每段路只能经过一次，则从A 地到C 地不同的走法种数为______．【答案】7【解析】如图，从A 地到C 地不同的走法有：,,,AEBHC AEBHGFC AEGHC AEGFC ，,,ADFC ADFGHC ADFGEBHC ，共7种，所以，从A 地到C 地不同的走法种数为7.故答案为：7例22．（2023春·湖北·高二校联考期中）如图为某地街道路线简图，甲从街道的A 处出发，先到达B 处与乙会和，再一起去到C 处，可以选择的最短路径条数为___________．【答案】18【解析】分2步，第一步从A 到B ，第二步从B 到C ，方法数为341218C C ⨯=．故答案为：18．例23．（2023春·河北石家庄·高二统考阶段练习）如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 、5A 是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N 、M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N 、M 处为止．若甲、乙两人途中在2A 处相遇，则共有______种走法（用数字作答）．【答案】256【解析】由已知，甲从M 必须经过2A 到达N 处，最短路径为先走到2A 需走4步，横向1步，纵向3步，再走到N 需走4步，横向3步，纵向1步，走法有31314141()()16C C C C ⨯=种，同理得，乙从N 必须经过2A 到达M 处，最短路径为先走到2A 需走4步，横向3步，纵向1步，再走到M 需走4步，横向1步，纵向3步，走法有31314141()()16C C C C ⨯=种，若甲，乙两人在2A 处相遇，共有1616256⨯=种走法.故答案为：256.例24．（2023·全国·高三专题练习）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【解析】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210例25．（2023春·上海宝山·高二统考期末）640的不同正约数共有______个【答案】16【解析】因764025=⋅，于是得640的正约数形如25r k ⋅，其中{0,1,2,3,4,5,6,7},{0,1}r k ∈∈，所以640的一个正约数是25r k ⋅中r ，k 各取一个值代入计算的结果，而r 有8种取法，k 有2种取法，由分步乘法计数原理知25r k ⋅形式的数有8216⋅=个，所以640的不同正约数共有16个.故答案为：16例26．（2023秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）动点P 从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，沿着棱运动到顶点1C 后再到A ，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为__________．（用数字作答）【答案】18【解析】从A 点出发有3种走法，走B 或C 或A 1点，假设走A 1点，那么下一步有2种走法，走A 1或B 1，假设走B 1，下一步有1种走法，走C 1，下一步有2种走法，走C 或D 1，若走C ，然后有2种走法最后到A ，若走D 1，最后只有1种走法到A ，所以一共有()322118⨯⨯+=种.例27．（2023·全国·高三专题练习）如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）【答案】1750【解析】甲从A 到B ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，乙从C 到D ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径4488C C ⋅对，甲从A 到D ，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A 到D 共有410C 种走法,乙从C 到B ，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C 到B 共有26C 种走法,所以相交路径共有42106C C ⋅对，因此不同的孤立路一共有4442881067070210151750C C C C ⋅-⋅=⨯-⨯=对.故答案为：1750例28．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有_____种．【答案】80【解析】分步计算，第一步A C →最近走法有2种；第二步C D →最近走法有3620C =种；第三步D B →最近走法有2种，故由A B →最近走法有220280⨯⨯=种．故答案为：80．例29．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）30030能被______个不同正偶数整除．【答案】32【解析】先把30030分解成质因数的形式：3003023571113=⨯⨯⨯⨯⨯；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为012345555555C C C C C C 32+++++=个．故答案为：32.例30．（2023春·高二课时练习）如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A 爬到相对顶点C 1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？【解析】经过AB ，有m 1=1×2=2条；经过AD ，有m 2=1×2=2条；经过AA 1，有m 3=1×2=2条.根据分类加法计数原理，从顶点A 到顶点C 1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.例31．（2023秋·湖北武汉·高二武汉二中校考期末）用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2346⨯⨯⨯即144的所有正约数的和.（注：每小题结果都写成数据形式）【解析】（1）百位数子只能是2、3、4、6中之一，百位数字确定后，十位和个位数字的组成共有24A 种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有12144C A 48N ==个；（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成.共有12312222322C A +2A +C A 20N ==个；（3） 4214423=⨯，∴144的所有正约数的和为()()2342312222133403N =++++++=.例32．（2023·高二课时练习）某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走(2)n m +-段，而这些段中，必须有东西方向的()1n -段，其余的为南北方向的(1)m -段，所以共有1122m n m n m n C C --+-+-=种走法.例33．（2023·高二课时练习）如图，某地有南北街道5条、东西街道6条．一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B 地，且途经C 地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？【解析】由题意可知，从A 经C 到B 的最短路程，只能向西、向南运动；从A 到C ，最短路程需要向南走3次，向西走2次，即从5次中任取2次向西，剩下3次向南，有2510C =种不同的走法，从C 到B ，最短路程需要向南走2次，向西走2次，即从4次中任取2次向西，剩下2次向南，有246C =种不同的走法，故从A 经C 到B 的最短路程，共有10660⨯=种不同的走法.例34．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，已知C 地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段DE 不通），一邮电员从该地东北角的邮A 局出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C 地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程DE 无法通行，一邮递员该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】（1）由题意，由A 到B 的最短距离需要9步完成，其中向下走5步，向左走4步，由组合知识可知，不同的走法共有49126C =种.(2)若先经过C 再到B ，需向下走3步，向左走2步，有25C 种走法，由C 到B 需向下运动2步，向左运动2步，有24C 种走法，故先经过C 再到B 共有2254C C ，所以不经过C 共有4229541266066C C C -=-=种走法.(3)经过ED,需要3步由A 到D ，再需要5步由E 到B ，由A 到D 共有13C 种走法，由E 到B 共有25C 种走法，所以经过ED 的走法共有2153C C 种，故不经过ED 的走法共有4219531263096C C C -=-=种.(4)由A 经过DE 到C 的走法共有13C ，再由C 到B 需要向下、向左各2步共有24C 种走法，故经过DE 到C 再到B 的走法共有2143C C 种走法，所以不经过DE 也不经过C 的走法共有4222121954534354C C C C C C C --+=种.例35．（2023春·湖北·高二石首市第一中学校联考阶段练习）在某城市中，A ，B 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地，则不同的路径共有__________条，其中途径C 地的不同路径共有__________条．【答案】21090【解析】由图可知，从A 地出发去往B 地的最短路径共10步，其中4步向上，6步向右，则不同的路径共有41010987C 2104321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯条．途径C 地，则不同的路径共有2264C C 90=条．故答案为：210；90。
排列组合中的最短路径问题
两个计数原理的应用一、选择题1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G⨯=，故处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318选B.【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．2．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ B ）条A. 40B. 60C. 80D. 120【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.考点：分步计数乘法原理.二、解答题3．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往H .(1)列出此人从小区A 到H 的所有最短路径(自A 至H 依次用所经过的小区的字母表示)；(2)求他经过市中心O 的概率．【答案】(1)见解析 （2）23【解析】解：(1)此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４ Ｍ Ｎ A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H 共6条．(2)记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H共4个，∴P(M)＝46＝23， 即他经过市中心O 的概率为23. 【考点定位】概率、统计4．如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。
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学会套用排列组合，10秒搞定最短路线数题！
下图中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线?
说解法前，先来看看这个最短路线怎幺确定?
从A到B要最短，至少要走过三条横向马路，两条纵向马路，因此需要走5步(如图)。
注意，每一步的方向都是由A向B移动，即往右走和往上走，不走回头路，那幺，才会形成最短路线，其中，满足5步的路线非常多条，如何确定它的具体数量? 要算出数量有两种解法，一种简单粗暴，名为“标数法”;一种逻辑严谨、高大上，名为“排列组合”。
本文主要分析高大上但速度快的排列组合法。
思路1：分类原理
我们知道，只要确定了A到B的纵向上是走的哪2条马路，就能确定最短路线的数量。
但这2条纵向马路不能是随机从现有的8条中选出2条。
如上图，如果不巧选了DF和CE，那幺，整体的路线是AD— DF— FC— CE— EL— LM— MB(共7步5步)，由于其中走了DF— FC这段回头路，所以路线就变为了7步，显然不是最短路线。
所以，根据实际情况，最短路线的数量需要分类考虑：
1) 纵向路线，下方选择AC，那幺，第二条纵向马路可以是上方四条中任意一条，共4种最短路线。
2) 纵向路线，下方选择DF，那幺，第二条纵向马路只能选择FL、GM、KB中一条，共3种。
3) 纵向路线，下方选择HG，那幺，第二条纵向马路只能选择GM、KB中一条，共
1。
几种常用的最短路径算法
简述几种常用的最短路径算法摘要：随着社会的发展，最短路径问题在现实生活中占据的地位越来越重要。
求解这一类问题的方法有很多，包括Floyd算法、Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、动态规划算法和智能优化算法。
其中较为常用的是Floyd算法、Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
本文将简单介绍这三种最短路径算法，通过比较各种方法的优劣使对其有更进一步的认识和学习。
关键字：最短路径；最短路径算法；Floyd算法；Dijkstra算法；Bellman-Ford算法随着计算机科学的发展，人们生产生活效率要求的提高，最短路径问题逐渐成为计算机科学、运筹学、地理信息科学等学科的一个研究热点。
也正因为最短路径问题在实际生产生活中应用广泛，优化该算法和提高算法的求解效率具有重大的现实意义。
1.最短路径概述最短路径问题是指在一个赋权图的两个节点之间找出一条具有最小权的路径，这是图论的描述，也是图论中研究的一个重要问题。
现实生活中我们可以看到这些最短路径问题的例子，公交车辆的最优行驶路线和旅游线路的选择等；军事领域中也有应用，作战部队的行军路线等问题就与寻找一个图的最短路径密切相关，因此对最短路径问题的深入研究和广泛应用具有重要意义和实用价值。
在线路优化问题中，如果优化指标与路程的相关性较强，而和其他因素相关性较弱时，即以最短路程为准则，则考虑转化为最短路径问题。
比如军事行军线路选取时，假如从出发地到目的地之间有多种线路可以选取，危险指数在预测概率相等时，就要考虑最短路径问题。
2.最短路径算法概述最短路径算法问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。
确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
排列组合最短路径技巧
排列组合最短路径技巧排列组合中的最短路径技巧，就像是在一个迷宫里找最快出去的路一样。
你想想，迷宫里弯弯绕绕，可你要是知道了最短路径，那不就一下子就走到出口啦。
咱先说这个排列组合是啥。
就好比你有一堆不同颜色的球，要把它们按照不同的顺序放在盒子里，这就是排列；要是只关心有哪些球在盒子里，不管顺序，那就是组合。
这就像你穿衣服，排列就像是你要考虑上衣、裤子、鞋子按照不同顺序搭配出来的各种样子，组合呢，就只是看你选了哪几件衣服，不管谁先谁后。
那最短路径技巧呢？这就像是在这个衣服搭配的大迷宫里找到最快能穿好出门的方法。
比如说，从一个点到另一个点，中间有好多条路可以走。
如果把这些路看成是排列组合的各种可能性，最短路径就是那个最省事、最快的选择。
我给你讲个实际例子吧。
你去超市买东西，你站在入口，想买面包、牛奶和水果，超市的布局就像是排列组合的各种情况。
你要是瞎逛，可能要走好多冤枉路，就像在排列组合里乱试各种顺序一样。
但要是你知道最短路径技巧，你就能直接朝着离你最近的面包区走去，拿了面包再去旁边的牛奶区，最后去水果区，然后直奔收银台。
这就是在众多的路径里找到了最短的那个。
再举个例子，你要从家里去学校，中间可能有好几条街道可以走。
如果把每条街道看成是一种排列组合的选择，你肯定想选那条最近的路，这样既能节省时间又不会太累。
这就跟在排列组合里找到最短路径是一个道理。
那怎么才能找到这个最短路径呢？有时候你得画图。
就像你要去旅游，你把你想去的景点在地图上标出来，然后把各个景点之间的路线也画出来。
这时候你就可以看到哪些路线是最短的了。
在排列组合里也是一样，你可以把各种情况用图表示出来，然后一眼就能看出来哪条是最短路径。
还有一种情况，就是利用一些数学规律。
比如说有些固定的算法，就像你知道一个公式，只要把数字套进去就能算出结果一样。
在排列组合的最短路径里，也有一些这样的规律，只要你掌握了，就能很快找到最短的那个组合或者排列。
这就好比你是个厨师，你要做一道菜，你有好多食材可以选择，也有好多不同的烹饪方法。
高中排列组合最短路径问题(二)
高中排列组合最短路径问题(二)高中排列组合最短路径问题什么是高中排列组合最短路径问题？高中排列组合最短路径问题是一个经典的数学问题，涉及到组合数学以及图论的知识。
该问题描述了一个图，其中包括多个顶点和边，要求找到从起点到终点的最短路径。
相关问题在高中排列组合最短路径问题中，还存在许多相关问题，包括：1.如何表示图中的顶点和边？2.如何使用排列和组合的知识来解决最短路径问题？3.如何使用算法来解决最短路径问题？4.最短路径问题存在什么应用场景？5.与最短路径问题相关的数学公式和定理有哪些？解决问题的方法在解决高中排列组合最短路径问题时，可以采用以下方法：1.构建图：将问题抽象为一个图的模型，其中顶点表示路径上的节点，边表示节点之间的连接关系。
2.确定起点和终点：根据具体问题，确定起点和终点的位置。
3.应用排列和组合知识：使用排列和组合的知识，对图中的节点进行排列组合，生成所有可能的路径。
4.使用算法求解：采用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法或Bellman-Ford算法，来找到最短路径。
5.实践应用：将解决方案应用到具体实际问题中，例如在地图导航、网络路由等领域。
应用场景高中排列组合最短路径问题的解决方法可以应用于多个领域，例如：•地图导航：在导航系统中，需要找到最短路径来指导驾驶员到达目的地。
•网络路由：在网络中，需要将数据包从源地址传输到目的地址，需要找到最短路径来确保数据传输的效率。
•机器人路径规划：在机器人的行走路径规划中，需要找到最短路径以节省时间和能源。
•物流配送路径规划：在物流配送中，需要确定最短路径以提高配送效率和降低成本。
相关数学公式和定理高中排列组合最短路径问题与数学中的排列组合有关，与图论中的最短路径算法有关。
其中涉及到一些常用的数学公式和定理，例如：•排列数：用于计算从n个元素中取出m个元素进行排列的情况。
•组合数：用于计算从n个元素中取出m个元素进行组合的情况。
2017上海公务员考试备考排列组合之最短路径解题方法
最全汇总>>>上海公务员历年真题2017上海公务员考试备考排列组合之最短路径解题方法通过最新上海公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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上海市公务员考试的一种必考题型是排列组合问题，因为排列组合问题不仅可以自身单独出题，还可以结合概率相关的知识进行出题。
纵观上海市考历年真题我们发现，在上海市考中有一种题型，在国考及其他省考中从未出现过的一种出题方式，那就是最短路径问题。
什么是最短路径呢?顾名思义，从一个地点到达另一个地点，路径要求最短，问的是这时候方法总数是多少，也就是说最短路径不只是一条也不是一种走法，这种题型应该怎么来解题呢?我们通过一道例题来看一下这类题的解法。
例：某城市街区由16个矩形组成，如图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，那么从A点到B点的最短路径有多少条?A.20B.36C.70D.126解析：看到这种题目，大部分人的做法就是开始各种数，各种算，发现根本数不清楚到底多少，这时候怎么做呢?那我们可以来看一下，要想从A点到达B点应该怎么做，从A到到B肯定要向左走，也要向上走，走法挺多，但是题目中既然问的是最短路径，肯定要数最短路径的数量，肯定不能往回走，那么既然这么限制了，那么就意味着向上至少要走4步，向左也要走4步，也就是说最短路径肯定是要走8步，而且必须左4步，上4步，区别就是哪4步向上走哪4步向右走，只要选定了4步向右走或者向上走，那么另外的4步走法就已经确定了，选法不同也就是意味着走法不同，题目瞬间转化为8步里面任意选出4步向上走，就转化为一个组合问题，8个里面任意选4个的方法数是多少就等于最短路径有多少种，所以最段路径的条数为，答案为C选项。
标数法最短路线 排列组合
标数法最短路线排列组合
标数法是一种求解最短路径问题的有效方法，尤其适用于有多个起点和终点的情况。
这种方法的基本思想是在图上标出从起点到终点的所有路径，并比较它们的长度，选择最短的一条。
具体步骤如下：
1. 从起点开始，将起点标记为已访问，并将起点到终点的距离设为0。
2. 遍历与起点相邻的节点，如果该节点未被访问过，则标记为已访问，并计算从起点到该节点的距离。
3. 对于每个已访问的节点，将其作为新的起点，重复步骤2，直到所有节点都被访问过。
4. 在每条路径上标记从起点到终点的距离，选择最短的一条作为最短路径。
这种方法可以应用于多种问题，如旅行商问题、最短路径问题等。
在求解最短路径问题时，标数法可以有效地处理多个起点和终点的情况，并且可以找到全局最
优解。
对于排列组合问题，标数法同样适用。
可以将问题转化为求从起点到终点的最短路径问题，然后使用标数法求解。
这种方法可以处理多种排列组合问题，如排列、组合、全排列等。
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两个计数原理的应用
一、选择题
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
【解析】
试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G
⨯=，故处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318
选B.
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
2．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ B ）条
A. 40
B. 60
C. 80
D. 120
【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.
考点：分步计数乘法原理.
二、解答题
3．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往H.
(1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示)；
(2)求他经过市中心O的概率．
【答案】(1)见解析（2）2 3
【解析】
解：(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为：
Ａ１
Ａ２
Ａ３ Ａ４ Ｍ Ｎ A→B→C→E→H ，A→B→O→E→H ，A→B→O→G→H ，A→D→O→E→H ，A→D→O→G→H ，A→D→F→G→H 共6条．
(2)记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为：
A→B→O→E→H ，A→B→O→G→H ，A→D→O→E→H ，A→D→O→G→H
共4个，
∴P(M)＝46＝23
， 即他经过市中心O 的概率为
23. 【考点定位】概率、统计
4．如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。
（1）求甲由M 处到达N 处的不同走法种数；
（2）求甲经过2A 的概率； （3）求甲、乙两人相遇经2A 点的概率；
（4）求甲、乙两人相遇的概率；
【答案】（1）20（2）920
（3）81400（4）41100 【解析】甲由道路网Ｍ处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达Ｎ处 需走6步，共有
36C 种，即共有20种。
（2）甲经过2A 到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过2A 的方法数：1
3C 种；第二步：甲从2A 到Ｎ的方法数：13C 种；所以：甲经过2A 的方法数为213)(C ；
所以：甲经过2A 的概率209)(36
213==C C P （3）由（１）知：甲经过2A 的方法数为：213)(C ；乙经过2A 的方法数也为：2
13)(C ；
所以甲、乙两人相遇经2A 点的方法数为： 413)(C ＝８１； 甲、乙两人相遇经2A 点的概率400
81)(3636413==C C C P （4）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇，他们在)4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有413)(-i C 种方法；
所以：433423413403)()()()(C C C C +++＝１６４
甲、乙两人相遇的概率100
41400164==P
三、填空题
5．如图所示是一个由边长为1个单位的12个正方形组成的43⨯棋盘，规定每次只能沿正方形的边运动，且只能走一个单位，则从A 走到B 的最短路径的走法有 种
B A
【答案】35
【解析】要想从A走到B的路径最短，只需走7个单位，并且这7个单位中，有3个横单位和4个竖单位；在这7各单位中，只要3个横单位确定，走法就确定；所以B的
最短路径的走法有3
735
C=种
6．从点A到点B的路径如图所示，则不同的最短路径共有条．
【答案】35
【解析】
试题分析：由于从A,到B走7步，但是这7步中必须走3个垂直的步伐，4个水平的步
伐，那么可知只要确定了水平的4步即可，即为43
7735
C C
==,则不同的最短路径为35. 考点：排列组合的运用
点评：解决的关键是利用分布乘法计数原理得到，属于基础题。