1几何意义
定积分的几何意义1
义，可得阴影部分的面积为 A
b a
dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
解：（①4）在图④中②，被积函数f
(x)
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
课堂小结
定积分的几何意义及简单应用
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：
利用定积分的几何意义说明等式
2
sin
xdx
0
2
成立。 y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
22
2
1
2
A1
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
定积分的几何意义 (1)讲解
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
复习回顾 如何求曲边梯形面积 定积分的概念是怎样的。
定积分表达式：
积分上限
被积式
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (i )xi.
积分下限
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：
利用定积分的几何意义说明等式
2
sin
xdx
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
1）．
2
sin xdx 0
0
2）.
高中数学 第一节 绝对值不等式
绝对值不等式
结 束
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5． 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}， f(x)<－1
ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔______________________
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
绝对值不等式
结 束
[小题体验]
1． 若不等式|kx－4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ， 则实数 k＝________．
3 3 综上知，原不等式的解集为x|－2≤x≤2 ．
课前·双基落实
课堂·考点突
课后·三维演
绝对值不等式
1 1 法二：原不等式可化为x－2＋x＋2≤3，
结 束
1 1 其几何意义为数轴上到 ， － 两点的距离之和不超过 3 的点的集 2 2 3 3 1 1 合，数形结合知，当 x＝ 或 x＝－ 时，到 ，－ 两点的距离之 2 2 2 2 3 3 和恰好为 3，故当－ ≤x≤ 时，满足题意，则原不等式的解集 2 2
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 ，∴k＝2． 答案：2
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绝对值不等式
结 束
2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8
虚数i的几何意义是什么？
虚数i的几何意义是什么？展开全文虚轴上的单位长度。
相当于实轴上的1，其在四则运算里的作用，也相当于1，只是换了说法，结果就是不想学复数的存在开始胡思乱想了，虚的，不存在这个世界里吧等等。
另外，难道说虚数很高大上么？怎么我看到的复数问题，都冠以虚数这个词呢？前代数学多聪明啊，把complex number翻译成复数。
复数，就不是一个数能处理的了。
整天说虚数，基本上不明白复数，高中课本里就有，看看不就得了。
愿意看的深刻点，读读数系的扩充。
这个问题其实和问负数的几何意义一样，是等价的。
当时负数怎么理解的，纯虚数就怎么理解。
算了，为了公益，我再从数系的扩充和代数方程的根这两方面来说一次，就当对另外一个复数问题的补充。
来到原始社会或者小学时代。
今天我采到4个苹果，你采到3个。
挺好，一共是4+3=7个。
这里隐含一个自然数的性质，就是自然数集N对于加法这种运算而言，是封闭的。
具体点说，4是自然数，3是自然数，它们的和7，仍然是自然数，仍然在自然数集里。
抽象点说就是如果a∈N，b∈N，那么a+b∈N。
结果，问题来了，除了有+这个运算，还有一个＋的逆运算-。
采到7个苹果，要分给8个人吃，这怎么办？分不开啊！用式子说，7-8=？用方程说，8+x=7的解不存在。
(注意，这时在原始社会或者小学1年级的)。
好吧，我们总结一下这个问题的实质：减法对自然数集N不封闭，或者说方程8+x=7的解不在自然数集N里。
为了使得上述方程有解，或者说，对“-”这种运算封闭，就引入了负数，并把这种新的数也放入自然数集N里，这样自然数集N就扩充成整数集Z。
继续，随着生产力提高/年龄增大，又有一种新的运算产生了，就是乘法“×”，可以容易的看出，两个数的乘积，仍然在整数集里，当时乘的逆运算除➗，又出现了刚才在说减法时的状况。
具体点说，无论是3÷4或者4÷3，产生的新数，都不在整数集Z里！用方程说4x=3和3x=4在整数集内都无解。
二重积分被积函数为1的几何意义
二重积分被积函数为1的几何意义二重积分是微积分中的重要概念，它描述了一个平面区域上的某种性质的总量。
当被积函数为1时，二重积分的几何意义体现了这个平面区域的面积。
让我们来思考一个简单的问题：如何计算一个平面区域的面积？如果这个区域是一个矩形，我们可以通过将矩形的长乘以宽来计算面积。
但是，如果这个区域的形状复杂一些，我们就需要借助二重积分来求解了。
假设有一个平面区域D，我们可以将这个区域划分为无数个微小的矩形区域。
这些微小的矩形区域的面积可以近似看作是一个常数，记为ΔA。
然后，我们可以通过计算每个微小矩形的面积之和来得到整个区域的面积。
具体地说，我们可以将区域D划分为n个小矩形，每个小矩形的面积记为ΔA_i，其中i取值为1到n。
然后，我们可以计算每个小矩形的面积之和：S = ΔA_1 + ΔA_2 + ... + ΔA_n当我们让这个划分趋向于无穷细小的时候，即n趋向于无穷大，这个和就会趋近于一个定值，我们将其记为A。
这个定值就是区域D 的面积。
而二重积分就是用来求解这个面积A的工具。
当被积函数为1时，二重积分的计算公式为：A = ∬_D 1 dA其中，D表示平面区域，dA表示微小面积元素。
这个公式的意义是对平面区域D中每个微小面积元素的面积进行累加，从而得到整个区域的面积。
通过二重积分，我们可以计算出各种复杂形状的平面区域的面积。
无论是圆形、椭圆形、三角形还是其他形状，只要我们能够确定被积函数为1的区域范围，就可以通过二重积分来求解其面积。
除了计算面积，二重积分还可以应用于其他几何问题。
例如，可以用二重积分来计算平面区域D的质心坐标、转动惯量等性质。
这些性质在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
二重积分被积函数为1的几何意义是描述平面区域的面积。
通过将区域划分为无数个微小的矩形，然后计算每个微小矩形的面积之和，可以得到整个区域的面积。
二重积分不仅可以用于计算面积，还可以应用于其他几何问题，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具。
立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体
曲顶柱体的体积，x
o
y
D
•
(i ,i )
i
n
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
立体的体积
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
z
z f (x, y)
V f ( x, y)d .
D
o
y
xD
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
z y
2
R, R2 x2
Dxy ： x2 y2 R2 ( x 0, y 0)
AⅠ
D xy
Dxy
1z xຫໍສະໝຸດ 2z y2
dxdy y
R dxdy R2 x2
R y
Dxy
R2 x2
当x R时， R
,
o
Rx
R2 x2
AⅠ
D xy
1
z x
2
z y
2
dxdy
y
R y R2 x2
解 显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。
而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体
的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体可以看
z
成是一个曲顶柱
z
体，它的曲顶为
R
R
z R2 x2 ,
o
它的底为
R
R
x
o
R
yx
Ry
0 x R,
D: 0 y
R2 x2 .
y
R y R2 x2
D
o
Rx
它的曲顶为
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1-1复数的概念课件北师大版必修第二册
【对点练习】❷ m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得mm2＋－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠－5或3.m＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm2＋－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
[解析] 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3.
(1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数， ∴m≠5 且 m≠－3. (3)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝≠00. ， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝＝00. ， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(√)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数
的相等．
(√)
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的
a2－3a－1＝3， ∴a2－5a－6＝0. 解得 a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－__3__. m2－9＝0
[解析] ∵z<0，∴m＋1<0 ，∴m＝－3.
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
041向量数乘运算及其几何意义(1)
高一数学041 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1）学习目标：理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律 学习过程 一．复习二．新课学习1、向量数乘运算：与数的乘法类似a+a+a=3a 一样a a a 3a =++实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()()2a λμ→+= ()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ， a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
三．新知应用练习1、下面给四个命题：①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n a③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a（m 、n ∈R ），则m = n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练习2、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b｜= ．练习3、下列各式计算正确的有（ ）(1) (－7)6a →= —42a →(2) 7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4) 若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b →A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、化简（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+（3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习4、如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交于O ，AB =a ，AD =b ，用a ，b表示向量OA ，OBB CABCACFB EDGAB 图1例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC练习5、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =三、课堂小结四、课外作业一、选择题1、 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ- 的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ 的方向相同 D ．||=||a a λλ-2、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA +3、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中∙∙∙不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=4、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心5、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ．().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈二、填空题6、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________．7、四边形ABCD 中，若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 .三、解答题8、△ABC 中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，AM 为△ABC 的中线．设,,AB a AC b == 用,a b 分别表示向量,AM AE9、 已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4。
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1
世界上没有失败，只有放弃！ 例题 2.已知函数 f ( x)
x2 , g ( x) 2a ln x(e 为自然对数的底数） e
（1）求 F ( x) f ( x) g ( x) 的单调区间，若 F ( x) 有最值，请求出最值； （2）是否存在正常数 a ，使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的 切线？若存在，求出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。
4
4
.
【2..若直线 y=kx 与曲线 y x3 3x2 2x 相切,则 k= 【3.如图,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以 9 cm /s 的速度向该容器注水,则水深 10 cm
3
时水面上升的速度为
cm/s.
【4．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝________. 【5.若点 P 是曲线 y x lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为
1 (a, b Z ) ，曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 xb y 3。 （1）求 y f ( x) 的解析式； （2）证明：曲线 y f ( x) 的图像是一个中心对称图形，并求 其对称中心； （3）证明：曲线 y f ( x) 上任一点处的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形在曲线 y
4 上 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是 x e 1
.
7.若曲线 f ( x) ax lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
3
【典型例题】 例题 1（2008 海南理 21） 设函数 f ( x) ax
f ( x) 2 的图象在 g ( x)
x 5 处的切线方程为 5. .等比数列 {an } 中， a1 1, a2012 9 ，函数 f ( x) x( x a1 )( x a2 ) ( x a2012 ) 2 ，则曲线
y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为
6. 已知直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 有公共点，则 k 的最大值为 π sin x 1 ，0 7. 曲线 y＝ － 在点 M 4 处的切线的斜率为 2 sin x＋cos x
2
3.【2012 高考真题陕西理 14】设函数 f ( x)
ln x, x 0 ， D 是由 x 轴和曲线 y f ( x) 及该曲 2 x 1, x 0
.
线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域，则 z x 2 y 在 D 上的最大值为 4. 已知函数 f x , g x 满足 f (5) 5, f '(5) 3, g (5) 4, g '(5) 1, 则函数 y
例题 3. 求y e 和y
x
1 的公共的切线l的方程。 ex
【巩固练习】 1、曲线 f ( x)
f (1) x 1 e f (0) x x 2 在点(1，f(1))处的切线方程为 e 2
．
2 3 2、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 和 y ax
15 x 9 都相切，则 a = 4
世界上没有失败，只有放弃！
高二年级数学导学案（20 13 年 月
周次 教学目标 教学重点 课题 导数的概念与运算 1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义
日）
2．掌握幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式； 导数的定义，求导公式．理解导数的物理、几何意义 课堂结构
【课前预习】 1. 1.已知函数 f(x)=f′ ( ) cosx+sinx,则 f ( ) 的值为