1几何意义
1
世界上没有失败，只有放弃！ 例题 2.已知函数 f ( x)
x2 , g ( x) 2a ln x(e 为自然对数的底数） e
（1）求 F ( x) f ( x) g ( x) 的单调区间，若 F ( x) 有最值，请求出最值； （2）是否存在正常数 a ，使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的 切线？若存在，求出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。
4
4
.
【2..若直线 y=kx 与曲线 y x3 3x2 2x 相切,则 k= 【3.如图,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以 9 cm /s 的速度向该容器注水,则水深 10 cm
3
时水面上升的速度为
cm/s.
【4．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝________. 【5.若点 P 是曲线 y x lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为
1 (a, b Z ) ，曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 xb y 3。 （1）求 y f ( x) 的解析式； （2）证明：曲线 y f ( x) 的图像是一个中心对称图形，并求 其对称中心； （3）证明：曲线 y f ( x) 上任一点处的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形在曲线 y
4 上 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是 x e 1
.
7.若曲线 f ( x) ax lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
3
【典型例题】 例题 1（2008 海南理 21） 设函数 f ( x) ax
f ( x) 2 的图象在 g ( x)
x 5 处的切线方程为 5. .等比数列 {an } 中， a1 1, a2012 9 ，函数 f ( x) x( x a1 )( x a2 ) ( x a2012 ) 2 ，则曲线
y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为
6. 已知直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 有公共点，则 k 的最大值为 π sin x 1 ，0 7. 曲线 y＝ － 在点 M 4 处的切线的斜率为 2 sin x＋cos x
2
3.【2012 高考真题陕西理 14】设函数 f ( x)
ln x, x 0 ， D 是由 x 轴和曲线 y f ( x) 及该曲 2 x 1, x 0
.
线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域，则 z x 2 y 在 D 上的最大值为 4. 已知函数 f x , g x 满足 f (5) 5, f '(5) 3, g (5) 4, g '(5) 1, 则函数 y
例题 3. 求y e 和y
x
1 的公共的切线l的方程。 ex
【巩固练习】 1、曲线 f ( x)
f (1) x 1 e f (0) x x 2 在点(1，f(1))处的切线方程为 e 2
．
2 3 2、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 和 y ax
15 x 9 都相切，则 a = 4
世界上没有失败，只有放弃！
高二年级数学导学案（20 13 年 月
周次 教学目标 教学重点 课题 导数的概念与运算 1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义
日）
2．掌握幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式； 导数的定义，求导公式．理解导数的物理、几何意义 课堂结构
【课前预习】 1. 1.已知函数 f(x)=f′ ( ) cosx+sinx,则 f ( ) 的值为
定积分的几何意义1
义，可得阴影部分的面积为 A
b a
dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
解：（①4）在图④中②，被积函数f
(x)
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
课堂小结
定积分的几何意义及简单应用
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：
利用定积分的几何意义说明等式
2
sin
xdx
0
2
成立。 y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
22
2
1
2
A1
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
定积分的几何意义 (1)讲解
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
复习回顾 如何求曲边梯形面积 定积分的概念是怎样的。
定积分表达式：
积分上限
被积式
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (i )xi.
积分下限
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：
利用定积分的几何意义说明等式
2
sin
xdx
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
1）．
2
sin xdx 0
0
2）.
高中数学 第一节 绝对值不等式
绝对值不等式
结 束
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5． 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}， f(x)<－1
ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔______________________
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
绝对值不等式
结 束
[小题体验]
1． 若不等式|kx－4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ， 则实数 k＝________．
3 3 综上知，原不等式的解集为x|－2≤x≤2 ．
课前·双基落实
课堂·考点突
课后·三维演
绝对值不等式
1 1 法二：原不等式可化为x－2＋x＋2≤3，
结 束
1 1 其几何意义为数轴上到 ， － 两点的距离之和不超过 3 的点的集 2 2 3 3 1 1 合，数形结合知，当 x＝ 或 x＝－ 时，到 ，－ 两点的距离之 2 2 2 2 3 3 和恰好为 3，故当－ ≤x≤ 时，满足题意，则原不等式的解集 2 2
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 ，∴k＝2． 答案：2
课前·双基落实
课堂·考点突
课后·三维演
绝对值不等式
结 束
2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8
虚数i的几何意义是什么？
虚数i的几何意义是什么？展开全文虚轴上的单位长度。
相当于实轴上的1，其在四则运算里的作用，也相当于1，只是换了说法，结果就是不想学复数的存在开始胡思乱想了，虚的，不存在这个世界里吧等等。
另外，难道说虚数很高大上么？怎么我看到的复数问题，都冠以虚数这个词呢？前代数学多聪明啊，把complex number翻译成复数。
复数，就不是一个数能处理的了。
整天说虚数，基本上不明白复数，高中课本里就有，看看不就得了。
愿意看的深刻点，读读数系的扩充。
这个问题其实和问负数的几何意义一样，是等价的。
当时负数怎么理解的，纯虚数就怎么理解。
算了，为了公益，我再从数系的扩充和代数方程的根这两方面来说一次，就当对另外一个复数问题的补充。
来到原始社会或者小学时代。
今天我采到4个苹果，你采到3个。
挺好，一共是4+3=7个。
这里隐含一个自然数的性质，就是自然数集N对于加法这种运算而言，是封闭的。
具体点说，4是自然数，3是自然数，它们的和7，仍然是自然数，仍然在自然数集里。
抽象点说就是如果a∈N，b∈N，那么a+b∈N。
结果，问题来了，除了有+这个运算，还有一个＋的逆运算-。
采到7个苹果，要分给8个人吃，这怎么办？分不开啊！用式子说，7-8=？用方程说，8+x=7的解不存在。
(注意，这时在原始社会或者小学1年级的)。
好吧，我们总结一下这个问题的实质：减法对自然数集N不封闭，或者说方程8+x=7的解不在自然数集N里。
为了使得上述方程有解，或者说，对“-”这种运算封闭，就引入了负数，并把这种新的数也放入自然数集N里，这样自然数集N就扩充成整数集Z。
继续，随着生产力提高/年龄增大，又有一种新的运算产生了，就是乘法“×”，可以容易的看出，两个数的乘积，仍然在整数集里，当时乘的逆运算除➗，又出现了刚才在说减法时的状况。
具体点说，无论是3÷4或者4÷3，产生的新数，都不在整数集Z里！用方程说4x=3和3x=4在整数集内都无解。
二重积分被积函数为1的几何意义
二重积分被积函数为1的几何意义二重积分是微积分中的重要概念，它描述了一个平面区域上的某种性质的总量。
当被积函数为1时，二重积分的几何意义体现了这个平面区域的面积。
让我们来思考一个简单的问题：如何计算一个平面区域的面积？如果这个区域是一个矩形，我们可以通过将矩形的长乘以宽来计算面积。
但是，如果这个区域的形状复杂一些，我们就需要借助二重积分来求解了。
假设有一个平面区域D，我们可以将这个区域划分为无数个微小的矩形区域。
这些微小的矩形区域的面积可以近似看作是一个常数，记为ΔA。
然后，我们可以通过计算每个微小矩形的面积之和来得到整个区域的面积。
具体地说，我们可以将区域D划分为n个小矩形，每个小矩形的面积记为ΔA_i，其中i取值为1到n。
然后，我们可以计算每个小矩形的面积之和：S = ΔA_1 + ΔA_2 + ... + ΔA_n当我们让这个划分趋向于无穷细小的时候，即n趋向于无穷大，这个和就会趋近于一个定值，我们将其记为A。
这个定值就是区域D 的面积。
而二重积分就是用来求解这个面积A的工具。
当被积函数为1时，二重积分的计算公式为：A = ∬_D 1 dA其中，D表示平面区域，dA表示微小面积元素。
这个公式的意义是对平面区域D中每个微小面积元素的面积进行累加，从而得到整个区域的面积。
通过二重积分，我们可以计算出各种复杂形状的平面区域的面积。
无论是圆形、椭圆形、三角形还是其他形状，只要我们能够确定被积函数为1的区域范围，就可以通过二重积分来求解其面积。
除了计算面积，二重积分还可以应用于其他几何问题。
例如，可以用二重积分来计算平面区域D的质心坐标、转动惯量等性质。
这些性质在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
二重积分被积函数为1的几何意义是描述平面区域的面积。
通过将区域划分为无数个微小的矩形，然后计算每个微小矩形的面积之和，可以得到整个区域的面积。
二重积分不仅可以用于计算面积，还可以应用于其他几何问题，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具。
立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体
曲顶柱体的体积，x
o
y
D
•
(i ,i )
i
n
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
立体的体积
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
z
z f (x, y)
V f ( x, y)d .
D
o
y
xD
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
z y
2
R, R2 x2
Dxy ： x2 y2 R2 ( x 0, y 0)
AⅠ
D xy
Dxy
1z xຫໍສະໝຸດ 2z y2
dxdy y
R dxdy R2 x2
R y
Dxy
R2 x2
当x R时， R
,
o
Rx
R2 x2
AⅠ
D xy
1
z x
2
z y
2
dxdy
y
R y R2 x2
解 显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。
而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体
的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体可以看
z
成是一个曲顶柱
z
体，它的曲顶为
R
R
z R2 x2 ,
o
它的底为
R
R
x
o
R
yx
Ry
0 x R,
D: 0 y
R2 x2 .
y
R y R2 x2
D
o
Rx
它的曲顶为
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1-1复数的概念课件北师大版必修第二册
【对点练习】❷ m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得mm2＋－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠－5或3.m＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm2＋－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
[解析] 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3.
(1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数， ∴m≠5 且 m≠－3. (3)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝≠00. ， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝＝00. ， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(√)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数
的相等．
(√)
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的
a2－3a－1＝3， ∴a2－5a－6＝0. 解得 a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－__3__. m2－9＝0
[解析] ∵z<0，∴m＋1<0 ，∴m＝－3.
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
041向量数乘运算及其几何意义(1)
高一数学041 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1）学习目标：理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律 学习过程 一．复习二．新课学习1、向量数乘运算：与数的乘法类似a+a+a=3a 一样a a a 3a =++实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()()2a λμ→+= ()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ， a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
三．新知应用练习1、下面给四个命题：①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n a③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a（m 、n ∈R ），则m = n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练习2、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b｜= ．练习3、下列各式计算正确的有（ ）(1) (－7)6a →= —42a →(2) 7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4) 若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b →A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、化简（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+（3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习4、如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交于O ，AB =a ，AD =b ，用a ，b表示向量OA ，OBB CABCACFB EDGAB 图1例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC练习5、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =三、课堂小结四、课外作业一、选择题1、 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ- 的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ 的方向相同 D ．||=||a a λλ-2、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA +3、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中∙∙∙不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=4、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心5、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ．().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈二、填空题6、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________．7、四边形ABCD 中，若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 .三、解答题8、△ABC 中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，AM 为△ABC 的中线．设,,AB a AC b == 用,a b 分别表示向量,AM AE9、 已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4。
1导数的概念及其几何意义-中档难度-讲义 - 副本
导数的概念及其几何意义知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． 函数的导数：“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．2.求曲线的切线方程方法：若曲线()y f x =在点00(,)P x y 及其附近有意义，给横坐标0x 一个增量x ，相应的纵坐标也有一个增量00()()y f x x f x =+-，对应的点00(,)Q x x y y ++.则PQ 为曲线()y f x =的割线.当0x →时Q P →,如果割线PQ 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()y y k x x -=-.典型例题一．选择题（共2小题）1．（2018•海南三模）已知函数f （x ）=﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f′（x ）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1=0，解得a=1，∴f（x）=﹣x4+2x2，∴f′（x）=﹣4x3+4x；设g（x）=f′（x），则g′（x）=﹣12x2+4，令g′（x）=0，解得x=±，∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＜0；∴g（x）在x=时取得极大值为g（）=﹣4×+4×=＜2，∴导函数f′（x）的图象大致为选项A所示．故选：A．2．（2018•邯郸二模）若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y=xe x相切，则m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，）C．（0，+∞）D．（，）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线程为，代入点P坐标化简为m=，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）=（﹣x﹣1）（x+2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即，故选：D．二．填空题（共10小题）3．（2018•天心区校级一模）已知f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1）的整数a共有n个，（x≥0）的最大值为m，且m+n=3，则实数k的取值范围为[，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣2018|+|﹣x﹣2017|+…+|﹣x﹣1|+|﹣x+1|+…+|﹣x+2017|+|﹣x+2018|=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f （x），即函数f（x）是偶函数；若f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则a2﹣3a+2=a﹣1①，或a2﹣3a+2=﹣（a﹣1）②；由①得a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）=a﹣1，即（a﹣1）（a﹣3）=0，解得a=1或a=3；由②得a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）=﹣（a﹣1），即（a﹣1）（a﹣1）=0，解得a=1；综上a=1或a=3；又f（0）=f（1）=f（﹣1）∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，即n=3；又m+n=3，∴m=0；∴g（x）=﹣kx=﹣kx的最大值为m=0，可得≤kx（*）恒成立，其中x≥0，h（x）=设直线y=kx与曲线y=h（x）=相切于点（m，n），∵h′（x）=，∴k=h′（m）=，n=km，n=，解得cosm=1，∴k=由于≤kx（*）恒成立，其中x≥0，∴k≥故答案为：[，+∞）4．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P在曲线y=sinx上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：y′=cosx∴tana=cosx∵﹣1≤cosx≤1即﹣1≤tanα≤1∵0≤α≤π∴0≤α≤或≤α＜π故答案为：[0，]∪[，π）．5．（2014春•三亚校级期中）点P在曲线y=x3﹣x+2上移动，设曲线在点P处切线的倾斜角是α，则α的取值范围是，，．【解答】解：∵y=x3﹣x+2，∴y′=f′（x）=3x2﹣1≥﹣1，则tanα≥﹣1，解得α∈，，，故答案为：，，6．（2014•淮阴区校级模拟）已知f（x）=x3﹣3x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：已知点（1，m）在直线x=1上；由f'（x）=3x2﹣3=0得两个极值点x=±1；由f''（x）=6x=0；得一个拐点x=0；在（﹣∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'（0）=﹣3，方程为：y=﹣3x；L与直线x=1的交点为（1，﹣3）设过点（1，m）的直线为l当m＞﹣2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；当m＜﹣3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；当﹣3＜m＜﹣2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=﹣3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条所以m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2故答案为：（﹣3，﹣2）7．（2016春•全州县校级期中）正弦曲线y=sinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：根据题意得f′（x）=cosx，∵﹣1≤cosx≤1，则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率﹣1≤k≤1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈[0，]∪[，π），故答案为：[0，]∪[，π）．8．（2015春•湛江校级期中）已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=，C=f′（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是A＞B＞C．【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），则由于，表示直线MN的斜率；A=f'（a）表示函数f（x）=log a x在点M处的切线斜率；C=f'（a+1）表示函数f（x）=log a x在点N处的切线斜率．所以A＞B＞C．故答案为：A＞B＞C．9．（2016春•邯郸期中）已知f′（2）=2，则=﹣1．【解答】解：∵则==﹣f′（2）=﹣1，故答案为：﹣1．10．（2014秋•巫溪县校级月考）若函数f（x）=x2+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线相互垂直，则x2﹣x1的最小值为1．【解答】解：根据导数的几何意义，得：f′（x1）f′（x2）=﹣1，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1（x1＜x2＜0），所以（2x1+2）＜0，（2x2+2）＞0，且[﹣（2x1+2）]（2x2+2）=1，因此x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，当且仅当﹣（2x1+2）=（2x2+2）=1，即，时等号成立；所以x2﹣x1的最小值为1．故答案为：1．11．（2014秋•肥东县校级月考）若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|x2﹣x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出以下四个函数①f（x）=②f（x）=|x|③f（x）=④f（x）=x2其中是完美函数的序号是①．【解答】解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．对于①：f（x）=，|f（x2）﹣f（x1）|=|﹣|=||＜|x2﹣x1|（因为x1，x2在区间（1，2）上，故x1x2大于1）故成立．对于②：f（x）=|x|，|f（x2）﹣f（x1）|=||x2|﹣|x1||=|x2﹣x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．对于③：f（x）=（）x，|f（x2）﹣f（x1）|=|（）x2﹣（）x1|＜|x2﹣x1|，故不成立．对于④：f（x）=x2，|f（x2）﹣f（x1）|=|x22﹣x12|=（x2+x1）|x2﹣x1|＞|x2﹣x1|，故不成立．故答案为：①．12．（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为，，计算=2012．【解答】解：∵，则f′（x）=x2﹣x+，f″（x）=2x ﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．由于函数的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012，故答案为（，1），2012．三．解答题（共4小题）13．（2018春•小店区校级月考）已知函数f（x）=x﹣1+．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得f′（1）=1﹣=0，解得a=e（Ⅱ）f′（x）=1﹣①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增；在（lna，+∞）上单调递减．∴f（x）在x=lna处取得极da值，且极da值为f（lna）=lna，无极小值综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取得极大值lna，无极小值．14．（2017秋•吕梁期中）吕梁市在创建全国旅游城市的活动中，对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，其中弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，△OBD区域用于儿童乐园出租，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；（2）如果该市规划办邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．【解答】解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．∴g′（θ）=100cosθ+50∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）15．（2016春•广安校级月考）水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．【解答】解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t又V=πr2h由图知∴r=∴V=π•（）2•h3=h3∴20t=h3，∴h=于是h′=．当h=10时，t=π，此时h′=．∴当h=10米时，水面上升速度为米/分．16．（2016春•泸州期末）已知函数f（x）=x3﹣2x．（1）若将函数f（x）的图象向下平移个单位长度得函数h（x）的图象，求函数h（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x+m在[﹣2，4]上有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣=x3﹣2x﹣，∴h′（x）=x2﹣2，∴切线的斜率k=h′（1）=﹣1，又h（1）=﹣2，∴h（x）的图象在x=1处的切线方程为y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3x+m，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，令g′（x）=0得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3．∴当x＜﹣1或x＞3时，g′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，g′（x）＜0．∴g（x）在[﹣2，﹣1]上为增函数，在[﹣1，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数．∵g（﹣2）=﹣+m，g（﹣1）=+m，g（3）=﹣9+m，g（4）=﹣+m，∴g（x）在[﹣2，4]上的最大值为为+m，最小值为﹣9+m，∵函数g（x）在[﹣2，4]上有零点，∴，解得﹣≤m≤9．。
一个代数结构,三种几何意义
一个代数结构，三种几何意义数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.数形结合是中学数学的一种重要思想方法，对某些代数问题，通过数中思形，数形结合，借助直观可以迅速、准确地找到解题的途径.对于代数式aa2+b2，笔者注意到在中学数学有以下三种几何意义：（1）若角α终边过点p（a，b）（异于原点），则cos α=aa2+b2；（2）记oa=（a，b），ob=（1，0），则cos=aa2+b2；（3）点（1，0）到直线ax+by=0的距离为|a|a2+b2.下面一个高考题很多人认为是“偏”题，倘若能发现式子具有aa2+b2的结构特点，利用其几何意义求解将使解题变得势如破竹. 例题函数f（x）=sin x-13-2cos x-2sin x（0≤x≤2π）的值域是（）.a.-22，0b.［-1，0］c.［-2，0］d.［-3，0］策略1：常规亦好，花时稍多将y=f（x）的表达式变形为f（x）=sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2，易知f（x）≤0.因为f 2（x）=（sin x-1）2（sin x-1）2+（cos x-1）2，所以，当sin x=1时，f 2（x）=0；当sin x≠1，f 2（x）=11+（cos x-1sinx-1）2，求得（cos x-1sin x-1）2的值域为［0，+∞），所以0<f 2（x）≤1，综上可知，-1≤f（x）≤0，故选b.策略2：饮水思源，巧用定义将y=f（x）的表达式变形为f（x）=sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2，由三角函数定义知sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2表示终边过点p（sin x-1，cos x-1）的角θ的余弦值.易知点p（sin x-1，cos x-1）的轨迹方程是（x+1）2+（y+1）2=1，由图得θ∈π+2kπ，3π2+2kπ，k∈z，因此cos θ∈［-1，0］，f（x）的值域为［-1，0］.策略3：构造向量，开辟新路将y=f（x）的表达式变形为f（x）=sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2，记oa=（sin x-1，cos x-1），ob=（1，0）（其中点o为原点），则sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2表示平面上oa与ob 两个向量夹角的余弦值.易知点a的坐标满足圆方程（x+1）2+（y+1）2=1.可知oa与ob夹角∠aob∈π2，π，所以cos∠aob∈［-1，0］，f（x）值域为［-1，0］.策略4：点线距离，巧求值域将y=f（x）的表达式变形为f（x）=-|1-sin x|（1-sin x）2+（1-cos x）2，根据点到直线的距离公式，1-sin x（1-sin x）2+（1-cos x）2表示点p（1，0）到过原点的动直线l：（1-sin x）x+（1-cos x）y=0的距离d.当直线l过点p（1，0）时，dmin=0；当直线l与op垂直时，dmax=1，因此d∈［0，1］，f（x）值域为［-1，0］.引导学生关注代数式的几何意义，一方面可以简化求解的过程，一方面也可以拓宽学生的数学思维，培养学生综合运用知识来解决问题的能力.此外，还能将数形结合思想的运用在教学中完美的体现出来.附同类型题目两个，供读者思考：1、求函数f（x）=4sin x5+4cos x（0≤x≤2π）的值域.2、求函数f（x）=2-cos x+sin x3-2cos x+2sin x（0≤x≤2π）的值域.。