1.3.1单调性与最大最小值练习题及答案解析
2013年高一必修一单调性与最大(小)值能力提高题
人教新课标版（A ）高一必修一 1.3.1单调性与最大（小）值能力提高题综合能力提升训练1. （创新题）已知函数3x x )x (f --=，R c ,b ,a ∈且0b a >+，0c b >+，0c a >+，则)c (f )b (f )a (f ++的值（ ）A. 一定大于零B. 一定小于零C. 等于零D. 正负都有可能提示：函数3x y =单调递增。
2. （学科内综合题）已知函数)A x )(x (f y ∈=，若对任意A b a ∈、，当b a <时，都有)b (f )a (f <，则方程0)x (f =的根有（ ）A. 有且只有1个B. 有2个可能C. 至多有1个D. 有2个以上3. （学科内综合题）函数1px x )x (f 2++=对任意x 均有)x 1(f )x 1(f -=+，那么)1(f ),1(f ),0(f -的大小关系是（ ）A. )0(f )1(f )1(f <-<B. )1(f )1(f )0(f <-<C. )1(f )0(f )1(f -<<D. )1(f )0(f )1(f <<-提示：1x =是函数图象的对称轴4. （开放题）若二次函数11211c x b x a )x (f ++=和22222c x b x a )x (f ++=，使得)x (f )x (f 21+是R 上的增函数，请给出满足上述要求的一组。
____________)x (f 1=，__________)x (f 2=。
提示：考虑)x (f )x (f 21+函数应该是哪一种函数类型。
5.（创新题）定义在+R 上的函数)x (f ，对于任意的+∈R n m 、都有)n (f )m (f )m n (f +=成立，当1x >时，0)x (f <。
（1）计算)1(f ；（2）证明：)x (f 在+R 上是单调函数； （3）比较⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f 与2)n (f )m (f +的大小并证明。
2014年高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修1
2014年高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝1x 2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( ) A.14B ．－1C ．4D ．－4解析： ∵函数y ＝1x 2在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数， ∴y max ＝1⎝⎛⎭⎫122＝4. 答案： C2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，(x ∈[1，2])x ＋7，(x ∈[－1，1))则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 解析： f (x )在[－1,2]上单调递增，∴最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.答案： A3．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析： f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a .∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[0,1]上单调递增．又∵f (x )min ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2.∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.答案： C4．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0)C ．(－∞，0]D ．(0，＋∞)解析： a <－x 2＋2x 恒成立，则a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值为0，故a <0.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝x x ＋2在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________． 解析： ∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2， ∴函数f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23.答案： 23 126．在已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (x )在[1,2]上的值域________．解析： 由题意知x ＝－2是f (x )的对称轴，则m 2×4＝－2，m ＝－16， ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1＝4(x ＋2)2－15.又∵f (x )在[1,2]上单调递增．f (1)＝21, f (2)＝49，∴在[1,2]上的值域为[21,49]．答案： [21,49]三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈A ，当A 为下列区间时，分别求f (x )的最大值和最小值．(1)A ＝[－2,0]；(2)A ＝[2,3]．解析： f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.(1)A ＝[－2,0]为函数的递减区间，∴f (x )的最小值是2，最大值是10；(2)A ＝[2,3]为函数的递增区间，∴f (x )的最小值是2，最大值是5.8．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]， (1)判断函数f (x )的单调性并证明．(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析： (1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x －1x ＋2在x ∈[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值为f (3)＝25； 当x ＝5时，函数f (x )取得最大值为f (5)＝47. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问：每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间笼舍最大面积为多少？解析： 设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ， 即y ＝12x (30－3x ) ＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)． 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。
若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。
A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。
【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：1.3.1单调性与最大(小)值第2课时(含答案解析)
第 2 课时 函数的最值课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．1．函数的最大值、最小值最值最大值 最小值设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：(3) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．条件(1) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．(4) 存在 x 0∈ I ，使得 __________ ．(2) 存在 x 0∈ I ，使得 __________.结论 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值2.函数最值与单一性的联系(1) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为________．(2)若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ，b]上单一递减， 则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．一、选择题1．若函数 f(x) ＝x 2＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A ． a ≤－ 3B ．a ≥－ 3C ． a ≤ 5D ．a ≥32．函数 y ＝ x ＋ 2x － 1()A ．有最小值 1，无最大值21，无最小值B ．有最大值 2C ．有最小值 1，最大值 22D ．无最大值，也无最小值3．已知函数 y＝x2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 () A． [1，＋∞ ) B ． [0,2]C． ( －∞， 2]D． [1,2]4．假如函数 f(x) ＝ x2＋ bx＋ c对随意的实数x，都有 f(1＋ x)＝ f( － x)，那么 ()A． f(－ 2)<f(0)<f(2)B． f(0)<f( － 2)<f(2)C． f(2)<f(0)<f( －2)D． f(0)<f(2)<f( －2)5．函数 y＝ |x－ 3|－ |x＋ 1|的 ()A．最小值是 0，最大值是 4B．最小值是－ 4，最大值是 0C．最小值是－ 4，最大值是 4D．没有最大值也没有最小值1的最大值是 ()6．函数 f(x) ＝1－x(1－x)45A. 5B. 434C.4D. 3题号 1 2 3 4 56答案二、填空题2的值域是 ________．7．函数 y＝|x|＋18．函数 y＝－ x2＋ 6x＋ 9 在区间 [a，b](a<b<3) 有最大值9，最小值－ 7，则 a＝ ________，b＝ __________.9．若 y＝－2， x∈ [－ 4，－ 1]，则函数y 的最大值为 ________．x三、解答题10．已知函数f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2.(1)求f(x) 在区间[1， 3]上的最大值和最小值；2(2)若g(x) ＝ f(x) －mx在 [2,4] 上是单一函数，求m 的取值范围．11．若二次函数知足f(x ＋1)－ f(x) ＝ 2x 且 f(0) ＝1.(1)求 f(x) 的分析式；(2)若在区间 [ －1,1] 上不等式f(x)>2x ＋m 恒建立，务实数m 的取值范围．能力提高12．已知函数 f(x) ＝ 3－ 2|x|， g(x) ＝ x2－ 2x，结构函数 F(x)，定义以下：当f(x) ≥g(x)时，F(x) ＝ g(x) ；当 f(x)<g(x) 时， F(x) ＝f(x) ，那么 F(x)()A．有最大值 3，最小值－ 1B．有最大值 3，无最小值C．有最大值 7－ 2 7，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数 f(x) ＝ ax2－ |x|＋ 2a－ 1，此中 a≥0， a∈R.(1)若 a＝ 1，作函数 f(x) 的图象；(2)设 f(x) 在区间 [1,2] 上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式．1．函数的最大(小 )值(1)定义中 M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x) ＝－ x2(x∈ R)的最大值为 0，有 f(0)＝ 0，注意对“存在”的理解．(2)关于定义域内随意元素，都有 f(x) ≤M或 f(x) ≥M建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y＝ f(x) 的最值，可简记以下：最大值： y max或 f(x) max；最小值： y min或 f(x) min.2．函数的最值与值域、单一性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有1最值，如函数y＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x) 在闭区间 [a， b]上单一，则f(x) 的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b) ，最小值是f(b) 或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝ f(x) 的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小 )值不必定在极点处获得．第 2 课时函数的最大 (小)值知识梳理1． (1)f(x) ≤M (2)f(x 0)＝ M (3)f(x)≥M (4)f(x 0)＝ M2． (1)f(b) f(a)(2)f(a) f(b)作业设计1．A [ 由二次函数的性质，可知 4≤－ (a －1) ，解得 a ≤－ 3.]2．A [ ∵ y ＝ x ＋2x － 1在定义域 [1，＋ ∞)上是增函数，21 1 1∴ y ≥f( )＝ ，即函数最小值为，无最大值，选 A.]2223．D[ 由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3＝ (x － 1)2＋ 2 知，当 x ＝1 时， y 的最小值为 2，当 y ＝ 3 时， x 2－2x ＋ 3＝ 3，解得 x ＝0 或 x ＝ 2.由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3 的图象知，当 m ∈ [1,2] 时，能保证 y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [ 依题意，由f(1＋ x)＝ f( － x)知，二次函数的对称轴为x ＝ 1，由于 f(x) ＝ x 2＋ bx2＋ c 张口向上，且 f(0) ＝ f(1)， f(－ 2)＝ f(3) ，由函数 f(x) 的图象可知， [1，＋ ∞)为 f(x) 的2 增区间，因此 f(1)<f(2)<f(3) ，即 f(0)<f(2)<f( － 2)． ]－4(x ≥3)5． C [y ＝ |x － 3|－ |x ＋ 1|＝ － 2x ＋2(－ 1≤x<3) .4 (x< －1)由于 [－1,3)是函数 y ＝－ 2x ＋ 2 的减区间，因此－ 4<y ≤4，综上可知 C 正确． ]6．D [f(x) ＝ 1 41 23 ≤ .]＋ 3(x － ) 42 7． (0,2]分析 察看可知 y>0 ，当 |x|取最小值时， y 有最大值，因此当 x ＝ 0 时， y 的最大值为 2，即 0<y ≤2，故函数 y 的值域为 (0,2] ．8．－2 0分析y ＝－ (x －3) 2＋ 18，∵ a<b<3，∴函数 y 在区间 [a ， b]上单一递加，即－b 2＋ 6b ＋ 9＝9，得 b ＝0(b ＝ 6 不合题意，舍去 )2－ a ＋ 6a ＋9＝－ 7，得 a ＝－ 2(a ＝8 不合题意，舍去 )．分析函数 y ＝－ 2x 在 [ － 4，－ 1]上是单一递加函数，2故 ymax＝－－1＝2.10．解(1)∵ f(x) ＝ x 2 －2x ＋ 2＝ (x －1) 2＋1， x ∈ [1， 3]，2∴ f(x) 的最小值是 f(1) ＝ 1，又 f(1)＝ 54， f(3) ＝ 5，2因此， f(x) 的最大值是 f(3)＝ 5，即 f(x) 在区间 [ 1，3] 上的最大值是 5，最小值是 1.2 (2)∵ g(x) ＝ f(x) － mx ＝ x 2－ (m ＋ 2)x ＋ 2，∴ m ＋ 2m ＋ 2≥4，即 m ≤2或 m ≥ 6.2 ≤2或2 故 m 的取值范围是 (－ ∞， 2]∪ [6，＋ ∞)．11．解(1) 设 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 1，∴ c ＝ 1，∴ f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋1.∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ，2a ＝ 2 ，∴a ＝ 1 2－ x ＋ 1.∴，∴ f(x) ＝ x a ＋ b ＝ 0b ＝－ 1(2)由题意： x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [ － 1,1] 上恒建立，即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－1,1] 上恒建立．令 g(x) ＝ x 2－ 3x ＋ 1－ m ＝ (x －3)2－ 5－m ， 2 4其对称轴为 x ＝32，∴ g(x) 在区间 [－ 1,1]上是减函数，∴ g(x) min ＝ g(1)＝ 1－ 3＋ 1－ m>0，∴ m<－1.12．C [绘图获得 F(x) 的图象：射线 AC 、抛物线 AB 及射线 BD 三段， y ＝ 2x ＋3， 联立方程组y ＝ x 2－ 2x ，得 x A ＝ 2－ 7，代入得 F(x) 的最大值为 7－ 2 7，由图可得 F(x) 无最小值，进而选C.]13．解 (1)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2x 2＋x ＋ 1， x<0－ |x|＋ 1＝2－x ＋ 1，.x x ≥0作图 (如右所示 )．(2)当 x ∈ [1,2] 时， f(x) ＝ ax 2－ x ＋2a － 1.若 a ＝0，则 f(x) ＝－ x － 1 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝－ 3.若 a>0，则 f(x) ＝ a(x － 2a 1)2＋ 2a － 4a 1－ 1，f(x) 图象的对称轴是直线x ＝ 1 .2a 1 1时， f(x) 在区间 [1,2] 上是增函数， 当 0<<1 ，即 a>2a2g(a)＝ f(1) ＝3a － 2.当 1≤111时，≤2，即 ≤ a ≤2a42g(a)＝ f( 1) ＝ 2a － 1－ 1，2a 4a当 2a 1>2，即 0<a<14时， f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝6a － 3.6a－ 3，1 0≤ a<4综上可得 g(a)＝2a－1－1，11≤ a≤4a4213a－ 2， a>2。
函数单调性和求最小值、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求最小值、最值(知识点及相关练习)知识点1. 函数的单调性：函数在给定定义域内的数值变化趋势2. 单调递增和单调递减：函数随着自变量的增大而递增或递减3. 最小值和最大值：函数在给定定义域内的最小和最大的函数值4. 求最小值和最大值的方法：使用导数和找到驻点或边界点练题1. 判断以下函数的单调性：- $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$- $g(x) = \frac{1}{x}$2. 求以下函数在给定定义域内的最小值和最大值：- $h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, 在$[-1, 3]$的区间内3. 判断以下函数在给定定义域内是否有最小值或最大值：- $k(x) = e^x$, 在$(-\infty, \infty)$的区间内- $l(x) = |x|$, 在$(-\infty, \infty)$的区间内解答1. 判断以下函数的单调性：- $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$$f'(x) = 6x + 2$$f'(x)$是正数，因此$f(x)$在整个实数域内都是单调递增的。
- $g(x) = \frac{1}{x}$$g'(x) = -\frac{1}{x^2}$$g'(x)$在定义域内的值符号不定，因此$g(x)$在定义域内既有单调递增的部分，也有单调递减的部分。
2. 求以下函数在给定定义域内的最小值和最大值：- $h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, 在$[-1, 3]$的区间内首先计算$h'(x)$，并令其等于零求得驻点：$h'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$3x^2 - 12x + 9 = 0$$(x - 1)(x - 3) = 0$得到驻点$x = 1$和$x = 3$然后计算$h(x)$在边界点$x = -1$和$x = 3$处的值：$h(-1) = -8$, $h(3) = 2$比较这些值，最小值为$h(-1) = -8$，最大值为$h(3) = 2$。
《1.3.1函数的单调性(1)》同步练习2
《1.3.1函数的单调性（1）》同步练习2一、选择题1．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( ) A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＞f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不能确定[答案] D2．下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是( ) ①y ＝2x ②y ＝x 2＋2x －1 ③y ＝|x ＋2| ④y ＝|x |＋2 A ．①② B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0在R 上是( )A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性[答案] B4．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等实数a ，b ，总有f a －f b a －b＞0成立，则必有( )[来源:学.科.网] A ．函数f (x )是先增加后减少 B ．函数f (x )是衔减少后增加 C ．f (x )在R 上是增函数 D ．f (x )在R 上是减函数[答案] C5．已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1，2]上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－4，8] B ．(－∞，－4]C ．[8，＋∞]D ．(－∞，－4]∪[8，＋∞)[答案] D[解析] 由已知得二次函数f (x )＝2x 2－ax －1的对称轴为x ＝a4，若在[－1，2]上单调则满足：a 4≤ －1或a4≥2，∴a ≤－4或9≥8，故选D .6．(2013～2014南阳市一中月考试题)若在[1，＋∞)上函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 都单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0≤a ≤1D ．0＜a ＜1[答案] D[解析] 由于两函数在(1，＋∞)上递减应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0a ＞0∴0＜a ＜1.故选D .二、填空题7．写出下列函数的单调区间． (1)y ＝|x |＋1________________. (2)y ＝－x 2＋ax ________________. (3)y ＝|2x －1|________________. (4)y ＝－1x ＋2________________.[答案] (1)增区间[0，＋∞)，减区间(－∞，0]；(2)增区间(－∞，a 2]，减区间[a2，＋∞)；(3)增区间[12，＋∞)，减区间(－∞，12]；(4)增区间 (－∞，－2)和(－2，＋∞)，无减区间．8．若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________． [答案] m ≤－4[解析] 由条件知－m2×－2≤－1，∴m ≤－4.9．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34)[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f(34)． 三、解答题10．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2＞x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1)＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4， 即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2b －1x ＋b －1，x ＞0－x 2＋2－b x ，x ≤0在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．[分析] 分别考虑两个分段解析式的单调性→再根据整体的单调性求b 的取值范围 [来源:学科网][解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞02－b ≥0b －1≥f 0，解得1≤b ≤2①[注释] ①本题在列不等式组时很容易忽略b －1≥f (0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f (x )在整个定义域上的单调性．[方法探究] 解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子．12．(能力拔高题)(1)写出函数y ＝x 2－2x 的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y ＝|x |的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4，8]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，y ＝f (x )的部分图象如图所示，请补全函数y ＝f (x )的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)[解析] (1)函数y ＝x 2－2x 的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x ＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x ＝1对称，函数y ＝x 2－2x 在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x ＝0对称，在其两侧单调性相反．.(3)函数y ＝f (x )，x ∈[－4，8]的图象如图所示．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2，5]；单调递减区间是[5，8]，[－1，2]；区间 [－4，－1]和区间[5，8]关于直线x＝2对称．区间[－1，2]和区间[2，5]关于直线x ＝2对称，函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．。
单调性与最大(小)值练习(解析版)
3.2.1 单调性与最大（小）值一、选择题1．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）函数()()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是( )A.(,0],(,1]-∞-∞B.(,0],[1,)-∞+∞C.[0,),(,1]+∞-∞D.[0,),[1,)+∞+∞【答案】C 【解析】 函数(),00,0x x f x x x x ≥⎧==⎨<⎩，该函数的单调递增区间为[)0,+∞；二次函数：()22g x x x =-+开口向下，对称轴为1x =，该函数的单调递增区间为(],1-∞； 本题选择C 选项.2．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．21y x =+ B ．231y x =+ C ．2y x= D ．221y x x =++ 【答案】C【解析】A 选项在R 上是增函数；B 选项在(],0-∞ 是减函数，在[)0,+∞ 是增函数；C 选项在()(),00,-∞⋃+∞是减函数；D 选项221721248y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 在1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是减函数，在1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭是增函数；故选C. 3．（2017·全国高一课时练习）设函数f(x)的定义域为R ，有下列四个命题： (1)若存在常数M ，使得对任意的x∈R，有f(x)≤M，则M 是函数f(x)的最大值(2)若存在x 0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x 0，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (3)若存在x 0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (4)若存在x 0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 这些命题中，正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有()f x M ≤，则有可能取不到，不一定是最大值，所以(2)，(4)是正确的. 故选C.4．（2017·全国高一课时练习）设c<0，f(x)是区间[a ，b]上的减函数，下列命题中正确的是( ) A ．f(x)在区间[a ，b]上有最小值f(a) B ．f(x)＋c 在[a ，b]上有最小值f(a)＋c C ．f(x)－c 在[a ，b]上有最小值f(a)－c D ．cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a) 【答案】D【解析】因为f(x)是区间[a ，b]上的减函数，所以f(x)在区间[a ，b]上有最大值f(a)，f(x)＋c 在[a ，b]上有最大值f(a)＋c ，f(x)－c 在[a ，b]上有最大值f(a)－c ，cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)，所以选D. 5．（2017·全国高一课时练习）若函数y ＝kx在区间[2，4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．5 B ．8 C ．20 D ．无法确定 【答案】C【解析】∴0{ 52k k <=或0{ 54k k >=∴k＝20.选C. 6．（2017·全国高一课时练习）函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( ) A ．0 B ．32C ．2D ．3【答案】B 【解析】 y ＝x －1x 在[1，2]上单调递增，所以当x=2时，取最大值为32，选B. 二、填空题7．（2018·全国高一课时练习）如图表示某人的体重与年龄的关系： ①体重随年龄的增长而增加； ②25岁之后体重不变；③体重增加最快的是15岁至25岁； ④体重增加最快的是15岁之前． 上述判断正确的是__________．(填序号)【答案】④【解析】根据函数图像,体重有递增,也有递减的年龄段,故①错误.25岁以后,体重还是有增有减的,故②错误.增长最快的在0~15岁,故③错误, ④正确.8．（2017·全国高一课时练习）函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是_______，单调递减区间是________． 【答案】 [3，＋∞) (－∞，3]【解析】()3,3{ 3,3x x f x x x -≥=-+<，其图象如图所示，则()f x 的单调递增区间是[)3∞，＋ ，单调递减区间是(]3∞－，． 9．（2017·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)________． 【答案】≥25【解析】由()y f x ＝ 的对称轴是直线8m x =，可知()f x 在8m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，由题设知只需2168mm ≤⇒≤－－ ，所以()1925f m ≥＝－ . 10．（2017·全国高一课时练习）若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)． 【答案】>【解析】∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)． 又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．三、解答题11．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）已知函数2()1f x x =-+（，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．【答案】证明见解析；最小值是()02f ＝－ ，最大值是()223f =－ 【解析】解：设1202x x ≤≤＜ ，则()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎝⎭－＝－. 由1202x x ≤≤＜ ，得()()21120110x x x x －＞，＋＋＞ ，所以()()120f x f x －＜ ，即()()12f x f x ＜ ， 故f (x )在区间[]0,2 上是增函数. 因此，函数()21f x x +＝－在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是()02f ＝－ ，最大值是()223f =－.12．（2019·全国高一课时练习）已知一元二次函数224422y x ax a a =-+-+． （1）写出该函数的顶点坐标；（2）如果该函数在区间[]0,2上的最小值为3，求实数a 的值.【答案】（1）,222a a ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（2）1a =-5a =. 【解析】（1）由二次函数顶点的坐标公式，顶点横坐标482a a x -=-=顶，顶点纵坐标()221622162216a a a y a -+-==-+顶. 所以抛物线的顶点坐标为,222a a ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（2）二次函数图象开口向上，对称轴为2ax =，在区间[]0,2上的最小值，分情况： ①当02a≤时，即当0a ≤时，二次函数在区间[]0,2上随着x 的增大而增大， 该函数在0x =处取得最小值，即2223a a -+=，解得1a =0a <，所以1a =- ②当022a <<时，即当04a <<时，二次函数在区间0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上随着x 的增大而减小，在区间,22a ⎛⎤⎥⎝⎦上随着x 的增大而增大，该函数在2ax =处取得最小值，即223a -+=， 解得12a =-，舍去； ③当22a≥时，即当4a ≥时，二次函数在区间[]0,2上随着x 的增大而减小， 该函数在2x =处取得最小值，即2168223a a a -+-+=，解得5a =4a ≥，解的5a =综上，1a =5a =。
1.3.1单调性与最大(小)值
• [分析] 由定义作差f(x1)－f(x2)，通过a的 不同取值对差的符号的影响进行讨论．
[解析]
设－1＜x1＜x2＜1，
a(x1x2＋1)(x2－x1) ax1 ax2 则 f(x1)－f(x2)＝ 2 － ＝ 2 x1－1 x2 － 1 (x2 2 1－1)(x2－1) 因为－1＜x1＜x2＜1，
课题导入
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了 解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象， 能说出它们的变化规律吗？ y
2 -2
y
2 2
0
-2
x
-2
0
-2
2
x
保持量（百分数）
100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6
天数
某市一天的温度变化图:
y＝f(x)，x∈[0，24]
说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?
2 所以 x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x2 － 1 ＜ 0 ， x 1 2－1＜0.
当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函 数． 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函 数．
• 已知函数f(x)＝－x2＋(3a－1)x＋1－2a在区 间 ( － ∞ ， 4] 上是增函数，求实数 a 的取值 范围． • [分析] 二次函数的二次项系数小于0，其 图象开口向下，因而只要区间(－∞，4]在 对称轴的左侧，即可满足题设要求．
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D
上是减函数 ,如图2.
y
y=f(x) f(x1) f(x2) x x2
y
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♦ •同步测控• ♦
1. 函数 f(x)= 2x 2- mx + 3,当 x € [ — 2,+^ )时，f(x)为增函数，当 x € ( — ^，― 2]时， 函数f(x)为减函数，贝U m 等于( )
A . — 4
B .— 8
C . 8
D .无法确定
解析：选B •二次函数在对称轴的两侧的单调性相反.
由题意得函数的对称轴为 x =— 2, 则m =— 2,所以 m = — 8.
2.
函数f(x)在R 上是增函数，若 a + b w 0,则有(
) A . f(a) + f(b)<— f(a)— f(b)
B. f(a)+ f(b)>— f(a)— f(b)
C. f(a) + f(b) w f( — a) + f( — b)
D. f(a) + f(b)>f(— a)+ f( — b)
解析：选C.应用增函数的性质判断.
a +
b w 0,.°. a w — b , b w — a.
又•••函数f(x)在 R 上是增函数，
••• f(a)w f(— b), f(b)w f(— a).
f(a) + f(b) w f(— a) + f (— b).
m , 0)上为减函数的是(
) A .①
B .④
C .①④
D .①②④ 解
析： 选A.①丫=亠=红灶=1 +丄. x — 1 x — 1 x — 1
其减区间为(一a, 1), (1 , + m ).
11 1
② y = x 2 + x = (x + 2)— 4,减区间为(一a,— 2).
③ y =— (x + 1)2，其减区间为(一1 ,+a ),
④ 与①相比，可知为增函数.
4.若函数f(x) = 4x 2— kx — 8在［5,8］上是单调函数，则 k 的取值范围是 ________ .
解析：对称轴x = k ，则k w 5,或8，得k w 40,或k >64,即对称轴不能处于区间内. 8 8 8
答案：( — a, 40］ U ［64 ,+a )
♦少谍时训缘*・
1 .函数y =— x 2的单调减区间是(
) A . ［0,+a ) B . (— a, 0］
C . ( —a, 0)
D . (— a,+a )
解析：选A.根据y = — x 2的图象可得.
2.若函数f(x)定义在［—1,3］上，且满足f(0)<f(1)，则函数f(x)在区间［—1,3］上的单调性 是
()
A .单调递增
B .单调递减
C .先减后增
D .无法判断 解析：选D.函数单调性强调 ％ ,
［ — 1,3］，且％ , X 2具有任意性，虽然f(0)<f(1)，但
不能保证其他值也能满足这样的不等关系.
3.
已知函数y = f(x), x € A ，若对任意a , b € A ，当a<b 时，都有f(a)<f(b),则方程f(x) =0的根( )
A .有且只有一个
B .可能有两个 3.下列四个函数：① y = x :② y = x 2 + x ；
x — 1 ③ y =— (x + 1)2:④ y =^ + 2•其中在(一 1 — x
C.至多有一个
D.有两个以上
解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数.若y= f(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)= 0至多有一个根.
4. 设函数f(x)在(-m,+m )上为减函数，则()
A . f(a)> f(2a) B. f(a2)v f(a) C. f(a2+ a)v f(a) D . f(a2+ 1)v f(a) 解析：选D. •/ a2+ 1 —a= (a-》2
+ 3> 0,
•・• a? + 1 > a,
••• f(a2+ 1) v f(a),故选D.
5. 下列四个函数在(一a, 0)上为增函数的是()
①y=凶；②y=凶;③y=—右;④y= x+右.
X |X| |x|
A .①②
B .②③
C.③④ D .①④
解析：选C.①y=|x| =—x(x v 0)在(-a, 0)上为减函数；
②y=凶=—1(x v 0)在(-a, 0) 上既不是增函数，也不是减函数；
x
2
x
③y=—门=x(x v 0)在(—a, 0)上是增函数；
凶
④y= x+ x= x—1(x v 0)在(—a, 0)上也是增函数，故选C.
|x|
6. 下列说法中正确的有()
①若X1, X2€ I，当X1< X2 时，f(X1) v f(X2)，则y= f(x)在I 上是增函数；
②函数y= x2在R上是增函数；
③函数y=—1在定义域上是增函数；
X
1
④y=—的单调递减区间是(一a, 0) u (0,+a ).
X
A . 0个B. 1个
C. 2个
D. 3个
解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值X1, X2,强调的是任意，从而①不对；②y = X2在x> 0时是增函数，X W 0时是减函数，从而y = x2在整个定义域上不
1
具有单调性；③y=—丄在整个定义域内不是单调递增函数.如—3v 5,而f(—3) >f(5):④y
X
=1的单调递减区间不是(一a, 0)U (0 , + a )，而是(—a, 0)和(0 , + a )，注意写法.
X
7. ___________________________________________________________ 若函数y=——在(0,+a )上是减函数，则b的取值范围是_____________________________________ .
X
解析：设0v x1v x2,由题意知
b b bx1 —X2\ 一
f(X1) —f(X2) =—_+_= > 0,
X1 X2 X1 X2
■/ 0v x1v x2,二x1—x2v 0, x1X2> 0.
• b v 0.
答案：(—a, 0)
&已知函数f(x)是区间(0，+a )上的减函数，那么f(a2—a+ 1)与1)的大小关系为
解析：•••a2-汀1=(-y+4>4,• f(a2—a+ 1) w f©.
ax —k 1
12.设函数y = f(x)= —在区间(一2,+^ )上单调递增，求 a 的取值范围. x + 2
解：设任意的 X 1 , X 2 € (— 2,+ 8 )，且 X 1 v X 2,
“ ax 1 + 1 ax 2+ 1 ■ f(X1) — f(X2) = X 1+ 2 -
X 2+ 2
(ax 1 + 1 弹2+ 2 — (ax ?+ 1 列+ 2 ) (X 1 + 2 ]X 2+ 2 ) =(X 1 — x 2 (2a — 1 . (X 1+ 2 1(X 2+ 2 y
■ f(x)在(—2,+ )上单调递增，
•- f(X 1) — f(X 2) v 0.
答案：f(a 2— a + 1)w
9. y =— (x — 3)|x|的递增区间是
解析：
y =— (x — 3)|x|= —x 2 + 3x
x 2— 3x
为[0，|]. ，作出其图象如图，观察图象知递增区 x W 0
3 2]
10 .若 f(x) = (1) 求b 与c 的值；
⑵试证明函数f(x)在区间(2,+^ )上是增函数.
解：(1) •/ f(1)= 0, f(3) = 0,
1 + b + c = 0
•-
，解得 b = — 4, c = 3.
9+ 3b +c = 0 2
(2) 证明：■/ f(x)= x — 4x + 3,
•••设 x 1, X 2€ (2,+^)且 x 1v x 2,
2 2
f(X 1)— f(X 2)=(X 1 — 4X 1 + 3) —(X 2 — 4X 2 + 3)
2 2
=(x 1 — X 2)— 4(X 1 — X 2)
=(X 1 — X 2)(X 1 + X 2 — 4),
■/ x 1 — x 2v 0, x 1> 2, x 2> 2,
• • X 1 + X 2 — 4> 0.
二 f(x 1)— f(X 2) v 0,即 f(X 1)V f(X 2). •函数f(x)在区间(2 ,+8)上为增函数.
11.已知f(x)是定义在[—1,1]上的增函数，且f(x — 1) v f(1 — 3x)，求x 的取值范围.
—w —W 答案：［0, x 2 + bx + c ,且 f(1) = 0, f(3) = 0.
解：由题意可得 —1 < 1 — 3x w 1,
x — 1 v 1 — 3x
0< x < 2
2 即 0w x w 3，
••• 0 w xv - 2
... XLX2 2a—J V 0, x i+ 2 X2 + 2
X i —X2 V 0, X i+ 2> 0, X2+ 2 > 0, 2a —1 > 0,. a> 二
' 2'。