2014中考数学专题训练：直角三角形存在性问题专项训练(一)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
2014年解直角三角形中考试题集锦
解直角三角形练习题姓名_____________网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=____.2、已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为_____.3、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如下图以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B，设AB=80km，BC=20km。
∠ABC=120°，请你帮助小明解=）。
决以下问题：（1）求A、C之间的距离； 4.6（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由。
（不计候车时间）4、（黄冈）如图在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均受到故障船C的1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在求救信号，已知A、B相距船B的东南方向上，MN上有一观察点D，测得船C正好在观察点D的南偏东75°方向上。
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果结果有根号，请保留根号）。
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去=）5、某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件，假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同。
（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？6、某海域有A 、B 、C 三艘船正在捕鱼作业，C 船突然出现故障，向A 、B 两船发出紧急求救信号，此时B 船位于A 船的北偏西72°方向，距A 船24海里的海域，C 船位于A 船的北偏东33°方向，同时又位于B 船的北偏东78°方向。
直角三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)
直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点轴上找一点C 使得△ ABC 是直角三角形，求点A 坐标为（1,1 ），点B 坐标为（5,3），在x C坐标．几何法】两线一圆得坐标1）若∠ A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；2）若∠ B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；3）若∠C 为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）构造三垂直】BN NC2由A、B坐标得AM=2 ，BM=4 ，NC2=33代入得：BN=213故C2坐标为（，0）2重点还是如何求得点坐标，C1、C2 求法相同，以C2为例：易证△AMB ∽△BNC 2AM MBAM MC3易证△AMC3∽△C3NB，C3N= NB由A、B坐标得AM=1，BN=3，设MC3=a，C3N=b1a代入得：= ，即ab=3 ，又a+b=4，故a=1 或3 b3故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1 ：1）表示点：设C1坐标为（2）表示线段：AB 2 5，AC13）分类讨论：当BAC1 为直角时，24）代入得方程：20 m 1 122222m11，BC1m 532AB2AC12BC12；m5222 32，解得： 3 m．2C3、C4 求法相同，以C3为例：m，0），又A（1，1）、B（5，3）；还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB 互相垂直，k AC1 k AB 1，可得：k AC1 2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，33所以与x 轴交点坐标为3,0 ，即C1坐标为3,0 ．22 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C 坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论① AB2+AC2=BC2、② AB2+BC2=AC2、③ AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性， 则同样可采取上述方法， 只不过三垂直得到的不是相 似，而是全等．三垂直构造等腰直角三角形】 中考真题（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 模型呈现】如图，在 Rt △ABC ，∠ACB=90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 AD ，过点 D 作DE ⊥AC 于点 E ，可以推理得到△ ABC ≌△ DAE ，进而得到 AC=DE ，BC=AE ． 我们把这个数学模型成为 “K 型 ”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数 y ax 2 bx 2的图像交 x 轴于点 A （ -1,0）， B （ 4,0）两点，交 y 轴于点 C ．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作MN x 轴交直线 BC 于点 N ，交抛物线于点 D ，连接 AC ，设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数 y ax 2 bx 2 的表达式；（2）在直线 MN 上存在一点 P ，当 PBC 是以 BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时 点 D 的坐标．E A C分析】1 2 3 1）yx x 2 ； 222）本题直角顶点 P 并不确定，以 BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为 P 点，再 过点P 作水平线，得三垂直全等．设 HP=a ，PQ=b ，则 BQ=a ， CH=b ，故 D 点坐标为（ 1,3 ）思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点 M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形， 则第三个顶点即为 P 点．根 据 B 点和 M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2 ，故 P 点坐标易求．由图可知：b aa b 42 ，解得：a1 b3同理可求此时解得： m 1 12 ， m 2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2, 11 2, 1 、 1 6,1中考真题】12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2bx c 与 x 轴交于 A 、B 两点，点 B （3,0），25经过点 A 的直线 AC 与抛物线的另一交点为 C （4, ），与 y 轴交点为 D ，点 P 是直线 AC 下2 方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动， 当 OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的点 P 的坐标．分析】2）①当∠ POQ 为直角时，考虑 Q 点在对称轴上，故过点 Q 向 y 轴作垂线，垂线段长为 垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为 ±1．如下图，不难求出 P 点坐标．13设 P 点坐标为 m,1 m 2 m 3 ，22可得： 1 m 2 m 3 1．2212 3； xx2 21) y1，可知过点 P 向 x 轴作②当∠ OPQ 为直角时，如图构造△ OMP ≌△ PNQ ，可得： PM=QN ． 设 P 点坐标为 m,21m 2 m 32 ，1，若 1m 2 m 3 m 1 ，解得： m 1 5 ， m 25 （舍）．22若 1m 2 m 3 m 1，解得： m 1 2 5， m 2 2 5（舍） 22对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点， 构造出三垂直后， 表示出一组对应边， 根据相等关系列方程求解即可．则PM 01 2 3 mm2212 m 23， QN= m 21， 如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5中考真题】如图，抛物线y ax2 bx 2交x轴于点A( 3,0)和点B(1,0)，交 y轴于点C． (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点 D的坐标为( 1,0) ，点 P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．( 3)点 M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．x备用图分析】2 2 41) y x x 2 ；332) 连接AC，将四边形面积拆为△ APC 和△ADC 面积，考虑△ ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解；过点N 作NE⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于易证△OEN≌△ NFM ，可得：NE=FM．22 m3当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．3)F 点，设N 点坐标为m, 24 m3，则NE22m3 ，FM m 1 ，22m34m 2=m31，解得：m17 731) m27 737 73（图4）4对应N 点坐标分别为3 734734m 2=31，解得：m373(图2)、m41 73（图3）4 对应N 点坐标分别为7343 7343 734一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．对称轴上寻找点】（中考真题）如图，已知抛物线y ax2 bx c（a 0）的对称轴为直线x 1 ，且抛物线与x 轴交于 A、B两点，与 y轴交于C点，其中A（1,0），C （0,3）．（1）若直线y mx n 经过 B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x 1上找一点 M ，使点 M 到点 A的距离与到点C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P为抛物线的对称轴x 1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P坐标．分析】1）直线BC：y x3抛物线：y x2 2x3；2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点B ，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C 三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）；3）两圆一线作点P：yx以 P 1 为例，构造△ PNB ∽△ BMC ，考虑到 BM =MC =3，易求 P 2 坐标为（ 1,4）．P 3、 P 4求法类似，下求 P 3：已知 PN=1， PM=2，设 CN=a ，BM=b ， 1a，即 ab=2，由图可知： b-a=3， b2∴BN=PN=2，故 P 1 点坐标为（ -1， -2）． xx舍），对应 x故可解： 类似可求P 3坐标为1,3217．2由相似得：2 抛物线 y ax 2 2x c 与 x 轴交于 A( 1,0) ，B (3,0)两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点．1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；2）请在 y 轴上找一点 M ，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；3）试探究：在拋物线上是否存在点 P ，使以点 A ， P ， C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线上寻找点】中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，分析】1）抛物线：y x2 2x 3 ，直线AC：y=3x+3；2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．3）考虑到AC 为直角边，有如下两种情况，故分别过A、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，xP：x先求过A 点所作垂线得到的点设P 点坐标为 m, m22m3，则PM=m+1，AM= 0 m22m2m3，易证△ PMA∽△ ANC，且AN =3，m 1 m2 2m 3 ∴ ，解得：31CN=1，m110，3m21（舍），故第1个P点坐标为130, 193再求过点C 所作垂线得到的点PM 3m2m 2m故第2 个P 点坐标为综上所述，P 点坐标为3 2 m2m，CN=m，m17，m2（舍）37,203,910137, 20或3939P：3，解得：1m22m动点还可能在⋯⋯】中考真题)如图，抛物线y ax2 bx 2(a 0)与x轴交于A( 3,0) ，B(1,0)两点，与 y轴交于点C ，直线 y x 与该抛物线交于 E ， F 两点．1)求抛物线的解析式．2) P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH EF 于点 H ，求 PH 的最大值．3) 以点C 为圆心，1 为半径作圆，e C 上是否存在点 M ，使得BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说明理由．分析】CM 为直角边，故点C 可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点．①当 BCM 为直角时，如图：1)22x32；2) 过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q，所谓PH 最大，即PQ 最大，易解．3)M 1 ：不难求得 CF=1，BF=2，故 M 1 坐标为同理可求 M 2 坐标为【总结】 对于大部分直角三角形存在性问题， 构造三垂直全等或相似基本上可解决问题， 牢 记构造步骤：（ 1）过直角顶点作水平或竖直线；（ 2）过另外两端点向其作垂线．∴ EM 1 : EC 1: 2，又 CM 1 1， 可得： EM 155，EC525 5BOCM 44M 3 ：不难发现 CM=1，BC= 5 ，∴ BM 2，即△ MEC ∽△ BFM ，且相似比为 1：2， 设 EC=a ， EM=b ，则 FM=2a ， BF=2b ， 2a 由图可知： 2a2b22，解得：13 54 5故点M 3 的坐标为至于 M 4坐标，显然 1, 2．综上所述， M 点坐标为或 255, 2或 1, 2 ．如图： yBO放大C②当∠ BMC 为直角时，y。
全国各地2014年中考数学试卷解析版分类汇编 解直角三角形
解直角三角形一、选择题1. （2014•某某某某，第3题，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B 的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．2. （2014•某某某某，第10题，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=考点：轴对称的性质；解直角三角形．分析：连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由轴对称性得，AB=AE，设为1，则BE==，∵点E与点F 关于BD对称，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四边形ABCE 是正方形，∴BC=AB=1，1+tan ∠ADB=1+=1+﹣1=，故A选项结论正确；CF=BF﹣BC=﹣1，∴2BC=2×1=2，5CF=5（﹣1），∴2BC≠5CF，故B选项结论错误；∠AEB+22°=45°+22°=67°，在Rt△ABD中，BD===，sin∠DEF===，∴∠DEF≠67°，故C选项结论错误；由勾股定理得，OE2=（）2﹣（）2=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴4cos∠AGB===，故D选项结论错误．故选A．点评：本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．3. （2014•某某某某,第9题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A ．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4. （2014•某某某某,第13题3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，答：∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．5．（2014•某某凉山州，第5题，4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．20m D．10m考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m ，∴AB==20m．故选C．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. （2014•某某，第12题4分）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．2. （2014•某某潍坊，第17题3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：根据AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解题．解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG∵CD=DG=2，AB=BG∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4 ∴BH=2AB∴BH=2BG=2GH∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=54，∴AB=BG=GH=54.故答案为：54点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键．3．（2014•某某某某，第13题，3分）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=30 °．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案为：30．点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．落千丈4．（2014•某某内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．5.6.7.8.三、解答题1. （2014•某某某某，第27题9分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）°．考点：解直角三角形的应用．分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，BE=20米，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．2. （2014•某某枣庄，第21题8分）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）考点：解直角三角形的应用分析：（1）根据三角函数分别表示出OE和DE，再根据点D到点O的距离为30cm 可列方程求解；（2）在Rt△BDE中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．解答：解：（1）在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE=，则+=30，解得BE≈10.6cm．故B点到OP的距离大约为10.6cm；（2）在Rt△BDE中，BD=≈25.3cm．故滑动支架的长25.3cm．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．3. （2014•某某潍坊，第21题10分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是600，求两海岛间的距离AB ．考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：首先过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，易得四边形ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得AB =EF ，AE =BF ．由题意可知：AE =BF =100米，CD =500米，然后分别在Rt △AEC 与Rt △BFD 中，利用三角函数即可求得CE 与DF 的长，继而求得岛屿两端A 、B 的距离．解答：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF 上CD ，交CD 的延长线于点F ， 则四边形ABFE 为矩形，所以AB =EF ， AE =BF ， 由题意可知AE =BF =1100—200=900，CD =19900．∴在Rt △AEC 中，∠C =450, AE =900, ∴90045tan 900tan 0==∠=C AE CE在Rt △BFD 中，∠BDF =600，BF =900，BF =900 ∴330060tan 900tan 0==∠=BDF BF DF∴ AB =EF =CD +DF －CE =19900+3300－900=19000+3300 答：两海岛之间的距离AB 是(19000+300√3）米点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．4. （2014•某某某某，第21题7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．考点：解直角三角形的应用．分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB ﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．解答：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=•=（米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的关键．5．（2014•某某某某，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图分析：（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠D=45°，分别在Rt△CMD中和Rt△D中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．解答：解：（1）答图如图：（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠D=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==；∵在Rt△D 中，=tan∠M，∴ND==CD；∵MN=2（+1）km ，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km．∴点C到公路ME的距离为2km．点评：本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大．6.（2014•某某某某，第21题，8分）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C的距离最近，进而表示出AB的长，再利用速度不变得出等式求出即可．解答：解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C的距离最近，设CD长为x，在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=，∴AD=x，在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，设渔政船从B航行到D需要t小时，则=，∴=，∴（﹣1）t=0.5，解得：t=，∴t=，答：渔政310船再按原航向航行小时后，离渔船C的距离最近．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出等式是解题关键．7. （2014•某某抚州，第21题，9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图 2.晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED20cm ,且===20cm .AH DE EG⑴ 当∠CED =60°时，求C 、D 两点间的距离；⑵ 当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少cm ?(结果精确到)⑶ 设DG x =cm ,当∠CED 的变化X 围为60°~ 120°(包括端点值)时，求x 的取值X 围 .(结果精确到)(参考数据.≈31732，可使用科学计算器) 解析：(1)如图1，∵每个菱形的边长都是20㎝，且DE=20㎝, ∴CE=DE, ∵∠CED=60°， ∴⊿CED 是等边三角形，∴CD=20cm, ∴C 、D 两点之间的距离是20cm. (2)如图2，作EH ⊥CD 于H,图1图2在⊿CED中，CE=DE ，∠CED=120°∴∠ECD=30°,∴EH=12CE=10,∴CH=103 , ∴CD=203,∴点C向左移动了(203－20),∴点A向左移动了(203－20)×3≈ .(3)如图1，当∠CED=60°时，∵ED=EG, ∠CGD=30°，在Rt⊿CGD中，DGCGcos︒=30，∵CG=40,∴DG=203≈34.6；如图2，当∠CED=120°时，∠CGD=60°,∴DG=12CG=20, ∴20≤x≤34.6.8．（2014•某某聊城，第21题，8分）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的某某大道和风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸某某大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）考点：解直角三角形的应用．分析：如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后根据图示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程﹣=100．通过解该方程求得ED的长度．解答：解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．∵在Rt △EAD 中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt △EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．则ED=≈≈323（米）．答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．点评：本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9.(2014年某某黔东南)黔东南州22．（10分）某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点A作AM⊥EF于M，过点C作⊥EF于N，则MN=0.25m．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠E==，代入、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．解答：解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作⊥EF于N，∴MN=0.25m，∵∠EAM=45°，∴AM=ME，设AM=ME=xm，则=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，∵∠E=30°，∴tan∠E===，解得：x≈8.8，则EF=E M+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．答：旗杆的高EF为10.3m．点评：本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．10.（2014•某某21．（8分））如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E 作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt △AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．11.（2014•某某15．（3分））如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24海里．（结果精确到个位，参考数据：，，）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD 中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣35°=45°．在直角△ABD 中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．12.（2014•某某22．（8分））如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：，）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45，∵∠CAP=60°，∴tan60°==，∴AP=15，∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．13.（( 2014年某某) 19.9分）在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。
中考数学考前专题复习直角三角形存在性问题
中考数学考前专题复习直角三角形存在性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的坐标及PMAM的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且ABD的面积为254，求点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，若APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．3．如图，已知直线y ＝﹣2x +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，且点A (1，4)为抛物线的顶点，点B 在x 轴正方向上．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 在抛物线第三象限的图象上，且到x 轴、y 轴的距离相等，①证明：POB ①POC ；①直接写出OP 的长；(3)若点Q 是y 轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段MB 上一个动点，且点P 的横坐标为m ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交抛物线于点E ，求线段PE 的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，若在线段MB 上存在点P ，使得PCD 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．参考答案：1．（1）2134y x x =--；（2）15(3,)4P -，916；（3）(3,6)或(3,9)-或353(3,)22--或353(3,)22- 【解析】【分析】（1）将(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)C -代入2y ax bx c =++即可求解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴交直线BC 于点E ，过P 作PF x ⊥轴交直线BC 于点F ，由//PF AE ，可得MP PF AM AE =，则求PF AE的最大值即可； （3）分三种情况讨论：当90CBD ∠=︒时，过点B 作⊥GH x 轴，过点D 作DG y ⊥轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH y ⊥轴，CH 与GH 交于点H ，可证明DBG BCH ∆∆∽，求出(3,6)D ；当90BCD ∠=︒时，过点D 作DK y ⊥轴交于点K ，可证明OBC KCD ∆∆∽，求出(3,9)D -；当90BDC ∠=︒时，线段BC 的中点3(3,)2T -，设(3,)D m ，由12DT BC =，可求353(3,)22D -或353(3,)22D --． 【详解】 解：（1）将点(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)C -代入2y ax bx c =++，得42036603a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得1413a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，2134y x x ∴=--； （2）如图1，过点A 作AE x ⊥轴交直线BC 于点E ，过P 作PF x ⊥轴交直线BC 于点F ，//PF AE ∴，∴MP PF AM AE=， 设直线BC 的解析式为y kx d =+，∴603k d d +=⎧⎨=-⎩， ∴123k d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，132y x ∴=-， 设21(,3)4P t t t --，则1(,3)2F t t -， 221113332442PF t t t t t ∴=--++=-+， (2,0)A -，(2,4)E ∴--，4AE ∴=，∴22213131942(3)41681616t t MP PF t t t AM AE -+===-+=--+，∴当3t =时，MP AM 有最大值916， 15(3,)4P ∴-； （3）15(3,)4P -，D 点在l 上，如图2，当90CBD ∠=︒时，过点B作⊥GH x 轴，过点D 作DG y ⊥轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH y ⊥轴，CH 与GH 交于点H ，90DBG GDB ∴∠+∠=︒，90DBG CBH ∠+∠=︒，GDB CBH ∴∠=∠，DBG BCH ∴∆∆∽，∴DG BG BH CH =，即336BG =， 6BG ∴=，(3,6)D ∴； 如图3，当90BCD ∠=︒时，过点D 作DK y ⊥轴交于点K ，90KCD OCB ∠+∠=︒，90KCD CDK ∠+∠=︒，CDK OCB ∴∠=∠， OBCKCD ∴∆∆∽，∴OB OC KC KD =，即633KC =， 6KC ∴=，(3,9)D ∴-；如图4，当90BDC ∠=︒时，线段BC 的中点3(3,)2T -，35BC =，设(3,)D m ，12DT BC =， 335||22m ∴+=， 35322m ∴=-或35322m =--， 353(3,)22D ∴-或353(3,)22D --； 综上所述：BCD ∆是直角三角形时，D 点坐标为(3,6)或(3,9)-或353(3,)22--或353(3,)22-． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将MP AM 的最大值问题转化为求PF AE的最大值问题是解题的关键． 2．(1)抛物线的函数表达式为265y x x =-+；(2)点D 的坐标为4267,2622⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或4267,2622⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭； (3)点P 到抛物线对称轴的距离为32或24914+或24914-． 【解析】【分析】（1）根据题意中一次函数与坐标轴的交点得出()5,0A ，()0,10B ，()0,5C ，将点A 、C 代入二次函数解析式求解即可确定二次函数解析式；（2）联立两个函数可得直线与抛物线的交点()1,12-和()5,0，设()2,65D m m m -+，15m -<<，作出相应函数图象，过点D 作DE ①x 轴，交直线AB 于点E ，得(),210E m m -+，245DE m m =-++，结合三角形面积得出关于m 的方程求解，即可确定点的坐标；（3）设点()2,65P n n n -+，根据坐标系中两点之间的距离可得()()2222565AP n n n =-+-+，()22226510BP n n n =+-+-，222125AB AO OB =+=，根据题意，分两种情况进行讨论：①当点A 为直角顶点时；①当点B 为直角顶点时；根据勾股定理求解即可得出结果．(1)解：在直线210y x =-+中，令0x =，则10y =，令0y =，则5x =，①()5,0A ，()0,10B ．①点C 是OB 中点，①()0,5C ，将()5,0A 和()0,5C 代入抛物线2y x bx c =++中，得02555b c c =++⎧⎨=⎩， 解得65b c =-⎧⎨=⎩，①抛物线的函数表达式为265y x x=-+；(2)解：联立221065y xy x x=-+⎧⎨=-+⎩，解得112xy=-⎧⎨=⎩或5xy=⎧⎨=⎩，①直线AB与抛物线交于点()1,12-和()5,0，①点D是直线AB下方抛物线上的一点，①设()2,65D m m m-+，15m-<<，如下图，过点D作DE①x轴，交直线AB于点E，①(),210E m m-+，①()222106545DE m m m m m=-+--+=-++，①()21125545224ABDS OA DE m m=⋅=⨯⨯-++=，解得：14262m+=，24262m-=，当4262m+=时，7262y=-，当4262m-=时，7262y=+，①点D的坐标为4267,2622⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭或4267,2622⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭；(3)解：设点()2,65P n n n-+，①()5,0A，()0,10B，①()()2222565AP n n n=-+-+，()22226510BP n n n=+-+-，222125AB AO OB=+=，①APB是以AB为直角边的直角三角形，①如下图，当点A为直角顶点时，222BP AB AP=+，即()()()2222226510125565n n n n n n+-+-=+-+-+解得32n=或5（舍去），①抛物线对称轴为直线3x=，∴33322-=；①如下图，当点B为直角顶点时，222AP AB BP=+，即()()()2222225656510125n n n n n n-+-+=+-+-+解得132494n+=或132494-，①抛物线对称轴为直线x＝3，则132492491344++-=，132492491344+--=，综上所述，点P到抛物线对称轴的距离为32或24914+或24914-．【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法确定二次函数解析式，直线与抛物线交点问题，二次函数的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图象，综合运用这些知识点，进行分类讨论是解题关键．3．(1)223y x x ++＝﹣(2)①见解析；①713OP =-(3)Q (0，3.5)或Q (0，﹣1.5)或Q (0，1)或Q (0，3)【解析】【分析】（1）由待定系数法确定函数解析式；（2）①先确定出点C 坐标可推导OB ＝OC ，进而利用点P 到x 轴、y 轴的距离相等设(,)P n n ， 则222(3)PB n n =-+，222(3)PC n n =+-，即PB PC =，最后利用SSS 求证即可；①设(,)P m m ，将点P 坐标带入到抛物线解析式中，即可求解；（3）分类讨论：①如图，当190Q AB ∠︒＝时，作AE ①y 轴于E ，证1DAQ DOB ∽△△，得1DQ AD OD DB =，即221221(64)636DQ +-=+；①当290Q BA ∠︒＝时，2BOQ DOB ∽△△，证22290DBO OBQ OBQ OQ B ∠+∠∠+∠︒＝＝，得2OQ OB OD OB=，2363OQ =；①当390AQ B ∠︒＝时，3390AEQ BOQ ∠∠︒＝＝，证33BOQ Q EA ∽△△，33OQ OB Q E AE =，即33341OQ OQ =-． (1)解：（1）把A （1，4）代入y ＝﹣2x +m ，得﹣2+m ＝4，①y ＝﹣2x +6，①B （3，0）①A （1，4）为顶点，①可设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2+4，把B （3，0）代入得，4a +4＝0，得a ＝﹣1，①y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x +3；(2)解：①当x ＝0时，y ＝3，①C （0，3），①B （3，0），①OB OC ＝，①点P 到x 轴、y 轴的距离相等，设(,)P n n ，①222(3)PB n n =-+，①222(3)PC n n =+-，即PB PC =，又OP OP ＝，①POB POC SSS ≌（）； ①①点P 在抛物线上，则有223n n n =--+，解得1132n ±=， ①点P 在第三象限，①113113(,)22P --， ①22113113(0)(0)71322OP --=-+-=-． (3)解：①如图，当①Q 1AB ＝90°时，作AE ①y 轴于E ，①E （0，4）①①DAQ 1＝①DOB ＝90°，①ADQ 1＝①BDO①①DAQ 1①①DOB ，①1DQ AD OD DB =，即221221(64)636DQ +-=+， ①DQ 1＝52， ①OQ 1＝72， ①Q 1（0，72）；①如图，当①Q 2BA ＝90°时，①DBO +①OBQ 2＝①OBQ 2+①O Q 2B ＝90°①①DBO ＝①O Q 2B①①DOB ＝①B O Q 2＝90°①①BOQ 2①①DOB ，①2OQ OB OD OB =， ①2363OQ =， ①OQ 2＝32， ①Q 2（0，32-）； ①如图，当①AQ 3B ＝90°时，①AEQ 3＝①BOQ 3＝90°，①①AQ 3E +①E AQ 3＝①AQ 3E +①B Q 3O ＝90°①①E AQ 3＝①B Q 3O①①BOQ 3①①Q 3EA ，①33OQ OB Q E AE =，即33341OQ OQ =-， ①OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，①OQ 3＝1或3，①Q 3（0，1）或（0，3）． 综上，Q 点坐标为（0，72）或（0，32-）或（0，1）或（0，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，全等三角形的判定，相似三角形的性质与判定，构造相似三角形，数形结合分类讨论是关键．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）最大值为1，E ()2,3；（3）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(332,1262)-+- 【解析】【分析】（1）将B 、C 坐标滴入抛物线的解析式求解b 、c 即可；（2）先求出顶点M 坐标，再利用待定系数法求得直线BM 的表达式，用m 表示点P 、E 坐标，由2223(26)43PE m m m m m =-++--+=-+-和二次函数求最值方法求解即可；（3）根据题意可得PDC ∠不可能为90︒，分（i ）当90DPC ∠=︒时；（ii ）当90PCD ∠=︒时进行求解即可．【详解】解：（1）将点(3,0)B ，(0,3)C 分别代入抛物线2y x bx c =-++中，得9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ①抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+，①()1,4M ，设直线BM 的解析式为y kx n =+，把点()3,0B ，()1,4M 分别代入，得304k n k n +=⎧⎨+=⎩，解得26k n =-⎧⎨=⎩， ①直线BM 的解析式为26y x =-+．①点P 的横坐标为m ，①(,26)P m m -+，2(,23)E m m m -++，①22223(26)43(2)1PE m m m m m m =-++--+=-+-=--+，①当2m =时，PE 有最大值，最大值为1，此时点E 的坐标为()2,3；（3）点P 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(332,1262)-+-， 根据题意可得PDC ∠不可能为90︒；（i ）当90DPC ∠=︒时，则3PD OC ==，即2m 63-+=，解得32m =，此时点P 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭； （ii ）当90PCD ∠=︒时，则222PC CD PD +=，即22222(23)3(26)m m m m +-+++=-+整理得：2690m m +-=，解得：332m =--（舍去）或332m =-+，当332m =-+时，261262y m =-+=- ，此时点P 的坐标为(332,1262)-+-，综上，满足题意的点P 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(332,1262)-+-． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、坐标与图形、两点间的距离公式、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，会运用分类讨论和数形结合法等数学思想解决数学问题．。
初中数学专题01直角三角形的存在性问题(原卷版)
专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N 旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三 【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －2的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等．(1)求实数a ，b 的值；(2)如图①，动点E ，F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF .①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m ≠0）与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点． （1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ． （1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线，交BC 于点F ，若S △BOD ＝4S △EBF ，求点E 的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△BPD 是以BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆P AC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学压轴题专题1《直角三角形的存在性问题》
中考数学压轴题专题一《直角三角形的存在性问题》【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c 与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y 轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m≠0）与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考）如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使P A+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2 ．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．【典例指引】类型一 【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（1172+，﹣2）117-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【解析】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P 点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩，∴13 kb=-⎧⎨=-⎩，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得，即P，﹣2）或P，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（1172+，﹣2）或（1172-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）372；（3）P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o由222AC PC PA +=，列出方程即可解决．②当90CAP ∠=︒时，由222AC PA PC +=， 列出方程即可解决．③当90APC ∠=︒ 时，由222PA PC AC +=，列出方程即可； 试题解析：(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++，得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+ (2)如图1中，∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ，--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--，，∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0， ∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2 (3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=， ∴22222(52)2(5)3m m ++-=+， 解得m =7， ∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=， ∴22222(52)32(5)m m ++=+-， 解得m =−3， ∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=， ∴2222232(5)(52)m m ，+++-= 解得m =6或−1， ∴P 3(−2,6),P 4(−2,−1)，综上所述,满足条件的点P 坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三 【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －2的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等．(1)求实数a ，b 的值；(2)如图①，动点E ，F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．【解析】试题分析：（1）根据抛物线图象经过点A 以及“当x =﹣2和x =5时二次函数的函数值y 相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．（2）①首先由抛物线解析式能得到点A 、B 、C 三点的坐标，则线段OA 、OB 、OC 的长可求，进一步能得出AB 、BC 、AC 的长；首先用t 表示出线段AD 、AE 、AF （即DF ）的长，则根据AE 、EF 、OA 、OC 的长以及公共角∠OAC 能判定△AEF 、△AOC 相似，那么△AEF 也是一个直角三角形，及∠AEF 是直角；若△DCF 是直角，可分成三种情况讨论：i ）点C 为直角顶点，由于△ABC 恰好是直角三角形，且以点C 为直角顶点，所以此时点B 、D 重合，由此得到AD 的长，进而求出t 的值；ii ）点D 为直角顶点，此时∠CDB 与∠CBD 恰好是等角的余角，由此可证得OB =OD ，再得到AD 的长后可求出t 的值；iii ）点F 为直角顶点，当点F 在线段AC 上时，∠DFC 是锐角，而点F 在射线AC 的延长线上时，∠DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意． ②此题需要分三种情况讨论：i ）当点E 在点A 与线段AB 中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF ；ii ）当点E 在线段AB 中点与点O 之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；iii ）当点E 在线段OB 上时，重叠部分是个小直角三角形．试题解析：解：（1）由题意得： 16420{4222552a b a b a b +-=--=+-，解得：a =12，b =32-．（2）①由（1）知二次函数为213222y x x =--.∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA =4，OB =1，OC =2，∴AB =5，AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°．∵AE=2t，AF，∴2AF ABAE AC==.又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=12AE=t．假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，∴AE=12AB=52t=52÷2=54；ⅱ）若D为直角顶点，如图3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=32，∴t=34；当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=34或t=54．②ⅰ）当0＜t≤54时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S=12×2t×t=t2；ⅱ）当54＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=m，则BH= 12m，DH=2m，∴DB=32m．∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴32m=4t﹣5，∴m=23（4t﹣5），∴S=S△DEF﹣S△DBG=12×2t×t﹣12（4t﹣5）×23（4t﹣5）=2134025333t t-+-；ⅲ）当2＜t≤52时，重叠部分为△BEG，如图5．∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S=12×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．综上所述：2225(0)41340255{(2)3334542025(2)2t tS t t tt t t<≤=-+-<≤-+<≤．【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在． 【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）；（2）存在．S △PBC 最大值为2716；（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--．设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）．∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716．（3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =-,22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【详解】解：（1）令y=0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧。
中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练 -答案版
中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练评卷人得分一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．5．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．7．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．8．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图1，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S，求点E的坐标；△CGO（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的顶点A在x轴上，交y轴于B，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于C，D，顶点为E（1，4）．（1）求点B的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M在原抛物线上，平移后的对应点为N，若OM＝ON，求点M的坐标；（3）如图2，直线CB与平移后的抛物线交于F．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以C，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB＝4OA，tan∠BCO＝2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？18．已知抛物线y＝﹣x2﹣x的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．21．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．25．如图1，抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB 于点E，使PE＝DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B（3，0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）过点P作PE⊥AC，垂足为点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式．（3）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．30．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0）．与y轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．31．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M 是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）经过两点A（2，4），B（4，4），交x轴正半轴于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx的解析式．（2）过点B作BD垂直于x轴，垂足为点D，连接AB，AD，将△ABD以AD为轴翻折，点B的对应点为E，直线DE交y轴于点P，请判断点E是否在抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OC（不包含端点）上一动点，过点Q垂直于x轴的直线分别交直线DP及抛物线于点M，N，连接PN，请探究：是否存在点Q，使△PMN 是以PM为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C 的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．35．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接P A、PB，设点E运动的时间为t（0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．解决问题：①若直线y＝3x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，求m的值；②抛物线上是否存在点P，使得△P AB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB 的距离的最大值．38．已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y＝x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△P AB为等腰三角形．39．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．41．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．42．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD＝k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．43．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△P AE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．44．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N 从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N 从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．46．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．47．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．48．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．49．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．50．如图，在矩形OABC纸片中，OA＝7，OC＝5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y＝﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．（1）求点E，F的坐标；（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当△AOC∽△AEB时，＝（）2＝（）2＝，求出y E＝﹣，由△AOC∽△AEB得：，即可求解；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，即可求解；（4）①当点Q为直角顶点时，由Rt△QHM∽Rt△FQM得：QM2＝HM•FM；②当点H为直角顶点时，点H（0，2），则点Q（1，2）；③当点F为直角顶点时，同理可得：点Q（1，﹣）．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由题，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，即可求解；（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式，即可求解）；②分∠BMD为直角、∠MBD为直角、∠MDB为直角三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax ﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+1）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝，当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．。
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直角三角形存在性问题专项训练（一）
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图，已知点在直线上，P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
2.如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.如图，已知A(0，2)，B(4，0)，点C在x轴上，CD⊥x轴，交线段AB于点D，且点D不与A，B两点重合，将△ABO沿CD折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当△ADE为直角三角形时，x的值为( )
A. B.
C. D.1
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两邻边OA，OC分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（5，2），D是点A右侧的x轴上一点，E是y轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t．连接BD，BE，DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )
A.4
B.
C. D.。