2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：阶段复习课 第四课 复数
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.4 数学归纳法
【证明】(1)当n=1时，左边=12，
右边= 1 ×1×(4×12-1)=1，
3
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+，k≥1)时，等式成立， 即12+32+52+…+(2k-1)12= k(4k2-1)，
3
则当n=k+1时，
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
= 1 k(4k2-1)+(2k+1)2=1 k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
【解析】1.观察可知等式的左端是n个和式的积，当n=k时为
(k+1)·(k+2)·…·(k+k)，那么当n=k+1时，等式的左端应为
[(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)]，
和(k+1)·(k+2)·…·(k+k)比较会发现，
左端增乘的代数式为［
k
1
k
1］［k
1
k］
【典例】用数学归纳法证明对一切n∈N+，
1＋
1 22
＋1 32
＋＋
1 n2
增加了一项. ( )
(3)用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+n2= n4＋n2 (n∈N*)时，从n=k到n=k+1
2
左边应添加的项为(k+1)2.
()
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：2.4.2 导数的乘法与除法法则
2.函数f(x)=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于
A.1
B.2
C.3
【解析】选D.f(x)=(x+1)2(x-1)=x3+x2-x-1,
f′(x)=3x2+2x-1,f′(1)=3+2-1=4.
() D.4
3.函数f(x)=exsin x的图像在点(0,f (0))处的切线的倾斜角为
.
ex 1
【思路导引】根据导数的几何意义,利用导数的除法法则求导数,即得切线的斜 率,进而求其最小值和直线方程.
【解析】y′= ex = 1 ,
（ex 1）2
ex
1 ex
2
因为ex>0,所以ex+ 1 ≥2
ex
ex
1 ex
=2(当且仅当ex=
1 ex
,即x=0时取等号),
则ex+ 1 +2≥4,
ex
提示:(1)×.f′(x)=(x2)′·sin x+x2·(sin x)′=2x·sin x+x2·cos x.
(2)×.“
f g
=x x
导数,且g(x)≠0.
g（x）f（ x”）成f（立x） 的g条（ x件）是 f(x),g(x)都有
g（2 x）
(3)×.[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若f(x)=x2·sin x,则f′(x)=(x2)′·(sin x)′=2x·sin x.( )
(2)“
f x
g
x
=
g（x）f（ x） f（x）g（ x） ”对任意的函数g(x)都成立.(
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：5.1.2 复数的有关概念
________. 2.已知复数z= 3x 1-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值. 【思路导引】1.等号左右两边式子相等,即左右式子实部和虚部均相等,而左 边只有实部,右边只有虚部,则左右均为0. 2.z>0,则z∈R,虚部为0.
【解析】1.设方程的实数根为x=m,
则原方程可变为3m2-a m -1=(10-m-2m2)i,
【解析】1.选A.由题意得
m m
13解00，，得-3<m<1.
2.(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上,则2m=0,即m=0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限,
则2m(4-m2)>0,解得m<-2或0<m<2.
(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,则 4m2 (4 m2)2＝4， 即m4-4m2=0,
A.4或0
B.-4或0
C.2或0
D.-2或0
【解析】选A.由z1=z2,得n2-3m-1=-3且n2-m-6=-4,解得m=2,n=±2,所以m+n=4或 0.
【补偿训练】
已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+3+(y2-1)i,试求实数x,y的范围.
y 1＝0，
【解析】由题意知x2-1+(y+1)i与2x+3+(y2-1)i均为实数,即
(3)解方程组得解. 提醒:根据两个复数相等的意义,可知在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么 a+bi≠c+di. 所以两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.
【跟踪训练】
若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n= ( )
2020-2021学年北师大版数学选修2-2课件：第一章 4 数学归纳法
探究二 用数学归纳法证明不等式 [例 2] 求证：当 n∈N＋，n≥2 时，n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n>1234. [证明] (1)当 n＝2 时，2＋1 1＋2＋1 2＝172＝1244>1234，不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即 k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234，
§4 数学归纳法
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
[自主梳理]
一、数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与_正__整__数__n_有关的数学命题的一种方法． 二、数学归纳法的证明步骤 1．基本步骤
(1)验证：__n_＝__1___时，命题成立； (2)在假设当_n_＝__k_(_k_≥__1_)时命题成立的前提下，推出当_n_＝__k_＋__1_时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数 n 都成立．
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)．
答案：B
5．用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋2n－1 1＜n(n∈N＋且 n＞1)第一步
要证明的不等式是________，从 n＝k 到 n＝k＋1 时，左端增加了 ________项． 解析：当 n＝2 时，1＋12＋13＜2. 当 n＝k 时到第 2k－1 项， 而当 n＝k＋1 时到第 2k＋1－1 项， 所以 2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k. 答案：1＋12＋13＜2 2k
1．本题证明第一步 n 不是取 1，而是取 2.
2．在运用数学归纳法证明不等式时，经常需要在证明过程中(从 k 到 k ＋1 的过程中)与证明不等式的其他方法(如基本不等式法，放缩法，分 析法等)相结合．
北师版数学高二-选修2-2教案章末复习课
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．知识点一 复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面．________叫作实轴，________叫作虚轴．实轴上的点都表示________；除了原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫做复数z 的模或绝对值，记作________．显然，|z |＝________.两个复数一般不能比较大小，但可以比较它们模的大小． 知识点二 复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一,对应,复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一,对应,平面向量OZ →. 知识点三 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________________________________________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝_________________________________________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝____________________________________________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝____________.类型一 复数的概念 例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0. 引申探究例1中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，说明理由．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数．类型二 复数的运算例2 已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i2－i 为纯虚数(i 为虚数单位)．(1)求复数z ；(2)求z1－i 的模．反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z 时要注意是把z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用． 跟踪训练2 已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，求z 2.类型三 数形结合思想的应用例3 在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．跟踪训练3 已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z . (1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．1．若复数z ＝cos θ－513＋(1213－sin θ)i(i 是虚数单位)是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．－125B.125C ．－512D ．±1252．设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i3．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B ．－45C ．4D.454．计算：2－(1＋i 2)20.5．已知复数z＝(m2－2m)＋(m2＋m－6)i所对应的点分别在(1)虚轴上；(2)第三象限．试求以上实数m的值或取值范围．1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．答案精析知识梳理知识点一(1)实部虚部b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝d(3)a＝c，b＋d＝0(4)x轴y轴实数纯虚数(5)|z|a2＋b2知识点三(1)①(a＋c)＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d)i③(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3)题型探究例1 解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2. (1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0， 得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数． (2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0， 得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数． (3)由a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15＝0，得a ＝3， ∴当a ＝3时，z ＝0. 引申探究解 由a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15≠0，且a 2－4≠0， 得a 无解，∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．跟踪训练1 解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0，解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．例2 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3. 又∵a －2i 2－i ＝2a ＋2＋(a －4)i 5为纯虚数，∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.(2)z1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋2i 2＝－2＋i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5. 跟踪训练2 解 z 1＝z 2(2＋i)， (3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ， 因为|z 2|＝52，所以|z 2(5＋5i)|＝50， 所以z 2(5＋5i)＝±50，所以z 2＝±505＋5i ＝±101＋i ＝±(5－5i)．例3 A跟踪训练3 解 (1)由题意得z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋(cos2θ－1)i ＝－1－2sin 2θ·i. (2)由(1)知，点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12，∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6.当堂训练 1．A 2.D 3.D 4．解2－(1＋i 2)20＝2－(2i )10210＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.5．解 (1)由m 2－2m ＝0， 解得m ＝0或m ＝2.∴若复数z ＝(m 2－2m )＋(m 2＋m －6)i 所对应的点在虚轴上，则m ＝0或2. (2)由复数z ＝(m 2－2m )＋(m 2＋m －6)i 所对应的点在第三象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m <0，m 2＋m －6<0，解得0<m <2.。
北师大版选修2-2高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件
n∈N+).
证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立. (2)假设 n=k 时,等式成立,即 k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k). 那么当 n=k+1 时, k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)
=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
点评
理解等式的特点:在等式左边,当 n 取一个值时,对应两项,即2���1���-1 − 21������; 在等式右边,当 n 取一个值时,对应一项.无论 n 取何值,应保证等式左边有 2n 项,而等式右边有 n 项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.
(������ + 1) + 1,
所以当 n=k+1 时,不等式成立.
故由(1)(2)知,对一切 n>2(n∈N+),不等式成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)假设当 n=k 时等式成立,即
1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
=������+1 1 + ������+1 2+…+21������.
那么,当 n=k+1 时,
左边=1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
根据①②可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据①,验证了 当 n=1 时命题成立;根据②可知,当 n=1+1=2 时命题成立.由于当 n=2 时命 题成立,再根据②可知,当 n+1=3 时命题也成立,这样递推下去,就可以知道
北师大版高中数学选修2-2数学归纳法习题课件
项和的公式推导中,应注意由n=k到n=k+1时中间的过渡项是什么.
证明:(1)当 n=1 时,a1=4,b1=1-4=-3,b1=21×-21×+11=-3,等式成立.
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即 bk=21���-���2+���1��� ,则当 n=k+1 时,
(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即
(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1).
则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)
(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什 么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定 义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入, 否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.
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AYIJIEHUO
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 利用数学归纳法证明对一切大于 1 的正整数 n,不等
北师版数学高二选修2-2课件 1.4 数学归纳法
(2)用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1 ＋n＋1 2＋…＋21n.
证明
反思与感悟
数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点,奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的 过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄 清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假 设，即必须把归纳假设“当n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋ 1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最 后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
解 因为a1＝1，an＋1＝f(an)， a
所以 a2＝f(a1)＝f(1)＝a＋a 1，a3＝f(a2)＝f(a＋a 1)＝aa＋·aa＋＋a11＝a＋a 2， a
a4＝f(a3)＝f(a＋a 2)＝aa＋·aa＋＋a22＝a＋a 3，猜想 an＝a＋an－1(n∈N＋).
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3) ＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1.
证明
类型二 利用数学归纳法证明不等式 例 2 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N＋).
证明
引申探究 把本例改为求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n>2114(n∈N＋).
解答
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
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核心整合·思维导图
考点突破·素养提升
素养一 数学抽象 角度 复数的概念与分类 【典例1】(1)如果复数 2 bi (其中i为虚数单位,b为实数)是纯虚数,则
1 i
b=________. (2)如果复数 2 bi (其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为倒数,
1 i
则b=________.
【解析】(1)由复数
2 bi 1 i
（（21bi）i）（（11i）i）（2
b）（ 2
2
b）i
是纯虚数,得b=2.
答案:2
(2)由复数 2 bi （2 bi）（1 i）（2 b）（ 2 b）i
1 i （1 i）（1 i）
2
的实部和虚部互为倒数,得
2 b =2 1b,b2-4=4⇒b2=8,得b=±2
【解析】(1)由z∈R,得a2-3a+2=0,
解得a=1或a=2.
(2)z为纯虚数,
a a
2 2
2a＝即0，
3a 2
0，
故aa＝a0=1或且0aa.＝22，.
(3)z对应的点在第一象限,则
a
所以
a a
0或a所 2以，a<0或a>2.a
1或a 2，
2 2
2a 3a
0， 2 0，
所以a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
(4)依题得(a2-2a)-(a2-3a+2)=0,所以a=2.
素养二 数学运算
角度1 复数的四则运算
【典例2】(1)计算:（2
i）（1 1 2i
i）2
（1
i）（1 i5
i）2
1
i2 1
019
i
.
(2)计算: 2 3 i (
2
)2
020
（4
8i）2 （
4
8i）2 .
1 2 3i 1 i
11 7i
22
.2
答案:±2 2
【解题策略】 正确区分复数的实部和虚部 (1)将复数进行计算或化简,化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,那么a与b分别叫作复 数z的实部和虚部. (2)实数的虚部是0,0的实部和虚部都是0,纯虚数的实部为0且虚部不为0.
【补偿训练】 当实数a为何值时,z=a2-2a+(a2-3a+2)i. (1)为实数. (2)为纯虚数. (3)对应的点在第一象限. (4)复数z对应的点在直线x-y=0上. 【解题指南】解答本题可根据复数的分类标准,列出方程(不等式)求解.
1i
（1 i）（1 i）
2
=i2 019=(i4)505(i)-1=1505·(-i)=-i.
答案:-i
(2)设S=i+2i2+3i3+…+100i100,①
所以iS=i2+2i3+…+99i100+100i101,②
①-②得
(1-i)S=i+i2+i3+…+i100-100i101
= i（1 i1-010）00i101=0-100i=-100i.
110+0=-1+i.
【解题策略】
(1)灵活应用i2=-1化简计算:
形如 ai b 或 b ai 的复数运算,常常利用i2=-1
a bi a bi
化简,即 ai b i（ai b） i，
a bi ai b b ai i（b ai） i. a bi ai b
【补偿训练】
若x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则|x|+|y|=________.
【解析】因为x,y为共轭复数,所以x+y,xy∈R, 由设复 x=数a+相b等i(的a,b条∈件R得),则（yx3=xyay＝）-2b＝i64,，所， 以（a22a）2b＝2＝4，2， 所以|x|+|y|= 2 a2 b2＝2 2. 答案:2 2
素养三 直观想象 角度 复数与轨迹问题 【典例4】已知复数z1=i(1-i)3. (1)求|z1|. (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2 . 2 (2)如图所示,
由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1 对应着坐标系中的点Z1(2,-2). 所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|z-z1|max=|z1|+1=22 +1.
【解题策略】 常见的复数方程的轨迹 (1)圆的轨迹 设Z(x,y)是圆心为Z0(x0,y0),半径为r的圆上任意一点,则|ZZ0|=r (r>0).则 圆向量形式的方程| ZZ0 |=r(r>0), 圆复数形式的方程是|z-z0|=r(r>0). 圆代数形式的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0).
a bi
＝（a bi）（a2 b2 1 2abi）
1 z2 1 a2 b2 2abi （a2 b2 1）2 （2ab）2
＝（a3
ab2 （a 2
a） b（a2 b2 1）i b2 1）2 4a2b2
R，
所以b(a2+b2-1)=0.所以b=0或a2+b2=1.
【解题策略】 注意共轭复数的代数形式 (1)互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数,所以复数问题的解 题关键是复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)先设参数再运用待定系数法求解,这是常用的数学方法.
(2)注意类比数列的求和公式计算复数的乘方,
如1+i+i2+i3+…+in= 1 in1 .
1i
【补偿训练】
(1)计算: (1 i)2 019 =________.
1i
(2)化简i+2i2+3i3+…+100i100.
【解析】(1) (1 i )2 019＝（[ 1 i）（1 i）]2 019＝( 2i )2 019
1i
所以S= 100i＝ 100i（1 i）＝10（0 1 i）
1 i （1 i）（1 i）
2
=50-50i.
所以i+2i2+3i3+…+100i100=50-50i.
角度2 共轭复数
【典例3】设z=a+bi(a,b∈R),若 z ∈R,则a,b应满足什么条件?并说明理由.
1 z2
【解析】 z ＝
【解析】(1)（2
i）（1 1 2i
i）2
（1
i）（1 i5
i）2
1
i2 1
019
i
＝（2 i）（ 2i）（1 i） 2i 1 i
1 2i
i
1i
＝2 4i 1 3i （1 i）2
1 2i i
2
=2-(i+3)-i=-1-2i.
(2)原式= i（1 2 3i） [( 2 )2]1 010 （4 8i 8i 4）（4 8i 4 8i）