高中数学北师大版选修2-1课件：第二章 空间向量运算的坐标表示
15
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 4 4
15 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4
北师大版高中数学选修2-1第 二章《空间向量与立体几何》 空间向量运算的坐标表示
1 法门高中姚连省制作
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a b , a b , a b ) ; 1 1 2 2 3 3
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
7
三、应用举例
A 例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 (1, 0 , 5) ，求： B
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
1 1 3 O OM (OA OB ) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 y | BE1 | C , | DF1 | . 4 4 15 B BE DF1 15 16 1 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 11 4 4
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C D1A1的中点， 求 AB, EF 1) 2)求点A到直线EF 的距离。 (用向量方法）
F A1 B1 E D1 C1
D
C
12
A B
练习三：
CA＝CB＝ ，BCA＝90 ，棱AA1＝2，M、 1
o
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值；A 3)求证：A1B C1M。
2 2
2
5
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， 与 b 同向； a
2 | a | a a a12 a22 a32 2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
4
（2）空间两点间的距离公式
A( x 1 , y 1 , z ) 1
B( x2
在空间直角坐标系中，已 知 、
B
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
d A, B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
8
（2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解：点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则
2
已知＝(3,-2,4)，＝(-2,5,-3)，则
a b __________
a b __________
3a 5b __________ ______
a b __________
(2a b) (a 2b) ____
3
二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
N C
1
C1 B1 M
A
B
13
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
14
思考题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 方法求ABC 的面积S。
, y2 , z2 )
终点坐标减 起点坐标
，则
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 | AB | ABAB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
a （2）当 cos a , b 1 时， 与
思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
时，的夹角在什么范围内？
9
例2
B 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， 1 E1
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
( x 3)2 ( y 3)2 ( z 1)2 ( x 1)2 ( y 0)2 ( z 5)2 ,
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
3 1 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
10
例2
B 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， 1 E1
6
练习一： 1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3)
(2) a (1, 1, 1) ,
,
b (1, 0 , 0) ;
b (1, 0 , 1) ;
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C (3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
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高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示课件北师大版选修2_1
3．已知 A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标 是(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量O→A与O→B的 夹角是________．
解析： ∵O→A＝(－1，－2,6)，O→B＝(1,2，－6) ∴O→A·O→B＝－1－4－36＝－41 ∴|OA|＝ －12＋－22＋62＝ 41
则 C 的坐标是( )
A.－56，－45，－85
B.65，－45，－85
C.－56，－45，85
D.65，45，85
解析： 由 A(3,4,5)，B(0,2,1)，得A→B＝(－3，－2， －4) ∴25A→B＝－65，－45，－85 ∴O→C＝－56，－45，－85 答案： A
2．a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果 a 与 b 为共
线向量，则( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝12，y＝－12
C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32
解析： ∵a＝(2x,1,3)与 b＝(1，－2y,9)共线， 故有21x＝－12y＝39， ∴x＝16，y＝－32.故选 C. 答案： C
a⊥b
_a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0___
|a|
__a_21_＋〈a，b〉
a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22＋__a_23__b_21_＋__b_22_＋__b_23 ___
[强化拓展] (1)空间两个向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的 和(差)． (2)实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对 应坐标的乘积． (3)如果向量 b 与三个坐标平面都不平行时(即： x2y2z2≠0)，空间向量 a∥b 的充要条件可以表达成 为 a∥b⇔xx12＝yy12＝zz12.
北师大版选修2-1高中数学2.3《向量的坐标表示和空间向量基本定理》(第1课时)ppt课件
v的值；如果不存在，请给出证明．
[解析] 假设存在实数 λ，μ，v，使 a4＝λa1＋μa2＋va3， 则 3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)，
∴2－λ＋λ＋μ－ 3μ2＋v＝ v＝32， ，解得λμ＝＝－1 2 ，
λ－2μ－3v＝5
O→P＝O→A′＋O→B′＋P′ →P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
∴p＝xa＋yb＋zC．
• 3．空间直角坐标系与单位正交基底的关系
• 在 以 立空 点 三间 条O为选 数原一轴点点：，Ox分和轴别一、以个y轴单e1、、位ze正轴2、交，e基它3的底们方{都e向叫1，为坐e正2标，方轴e向3，}建，这 样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫 原 标点 轴， 的向 平量面叫e1、做e坐2、标e平3都面叫，坐它标们向分量别，是经xO过y每平两面，个坐 xOz平面，yOz平面．
[解析] P→G＝23P→N＝23[12(P→C＋P→D)] ＝13(P→A＋A→B＋A→D＋A→D－A→P)＝13A→B＋23A→D－23A→P ＝13i＋23j－23k.B→G＝B→C＋C→N＋N→G＝B→C＋C→N＋13N→P ＝A→D－12D→C－13P→N＝A→D－12A→B－(16A→B＋13A→D－13A→P) ＝23A→D－23A→B＋13A→P＝－23i＋23j＋13k.
v＝－3
故有 a4＝－2a1＋a2－3a3. [总结反思] 本题的意思是 a4 能否用 a1、a2、a3 线性表示．其 实，只要 a1、a2、a3 不共面，就可以表示空间任一向量．线性运 算在向量运算中具有十分重要的作用．
易混易错辨析
对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB，CD 的中点，则E→F、A→D、B→C的关系为共面(填“共面”，“不共面”)．
[解析] 假设存在实数 λ，μ，v，使 a4＝λa1＋μa2＋va3， 则 3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)，
∴2－λ＋λ＋μ－ 3μ2＋v＝ v＝32， ，解得λμ＝＝－1 2 ，
λ－2μ－3v＝5
O→P＝O→A′＋O→B′＋P′ →P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
∴p＝xa＋yb＋zC．
• 3．空间直角坐标系与单位正交基底的关系
• 在 以 立空 点 三间 条O为选 数原一轴点点：，Ox分和轴别一、以个y轴单e1、、位ze正轴2、交，e基它3的底们方{都e向叫1，为坐e正2标，方轴e向3，}建，这 样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫 原 标点 轴， 的向 平量面叫e1、做e坐2、标e平3都面叫，坐它标们向分量别，是经xO过y每平两面，个坐 xOz平面，yOz平面．
[解析] P→G＝23P→N＝23[12(P→C＋P→D)] ＝13(P→A＋A→B＋A→D＋A→D－A→P)＝13A→B＋23A→D－23A→P ＝13i＋23j－23k.B→G＝B→C＋C→N＋N→G＝B→C＋C→N＋13N→P ＝A→D－12D→C－13P→N＝A→D－12A→B－(16A→B＋13A→D－13A→P) ＝23A→D－23A→B＋13A→P＝－23i＋23j＋13k.
v＝－3
故有 a4＝－2a1＋a2－3a3. [总结反思] 本题的意思是 a4 能否用 a1、a2、a3 线性表示．其 实，只要 a1、a2、a3 不共面，就可以表示空间任一向量．线性运 算在向量运算中具有十分重要的作用．
易混易错辨析
对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB，CD 的中点，则E→F、A→D、B→C的关系为共面(填“共面”，“不共面”)．
2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 精品
[探究共研型] 空间直角坐标系的特征
探究1 在建立空间直角坐标系时，空间向量的坐标运算与坐标原点的位置 有关系吗？
【提示】 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确 定的几何体，其“线线夹角”、“点点距离”是固定的，坐标系的位置不同，只 会影响其计算的繁简．
(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系转化为坐标运算，一般按 照右手系建系，如图所示．
又∵A→C1∥A→M，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa， 即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.② 由①②得x＝23a，y＝a3，z＝a3. ∴M23a，a3，a3.
法二：设A→M＝λA→C1＝(－aλ，aλ，aλ)， ∴B→M＝B→A＋A→M＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ) ＝(－aλ，aλ－a，aλ)． ∵BM⊥AC1， ∴B→M·A→C1＝0
【解析】 2a＋b＝2(1,2，－3)＋(5，－7,8)＝(2,4，－6)＋(5，－7,8)＝(7，
－3,2)．
【答案】 A
2．在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则 A→B ＝ ________.
【解析】 A→B＝O→B－O→A＝(4,5,6)－(1,2,3)＝(3,3,3)．
(2)∵a＝A→B＝(1,1,0)，b＝A→C＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－52.
(2)a－b＝ (x1－x2，y1－y2，z1－z2) ， 即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的 差 ．
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示课件
·|bb|＝
2－2 5×
6＝0，〈a，b〉∈[0°，180°].
∴〈a, b〉＝90°.
解析答案
12345
2.设A(3, 3, 1), B(1, 0, 5), C(0, 1, 0), 则AB的中点M到C的距离CM的值为 ( )C
A.
53 4
B.523
C.
53 2
D.
∴线段 BN 的长为 3.
解析答案
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
解 依题意得A1(1,0,2), C(0,0,0), B1(0,1,2),
∴B→A1＝(1,－1,2)，C→B1＝(0,1,2)， ∴B→A1·C→B1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
又DF∩BF＝F, 且DF ∴AM⊥平面BDF.
BDF, BF
BDF,
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是
△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝
1∶2.
求证: (1)平面GEF⊥PBC；
证明 如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别
13 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
A.(－1,3, －3) B.(9,1,1)
第二章 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
2－2 5×
6＝0，〈a，b〉∈[0°，180°].
∴〈a, b〉＝90°.
解析答案
12345
2.设A(3, 3, 1), B(1, 0, 5), C(0, 1, 0), 则AB的中点M到C的距离CM的值为 ( )C
A.
53 4
B.523
C.
53 2
D.
∴线段 BN 的长为 3.
解析答案
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
解 依题意得A1(1,0,2), C(0,0,0), B1(0,1,2),
∴B→A1＝(1,－1,2)，C→B1＝(0,1,2)， ∴B→A1·C→B1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
又DF∩BF＝F, 且DF ∴AM⊥平面BDF.
BDF, BF
BDF,
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是
△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝
1∶2.
求证: (1)平面GEF⊥PBC；
证明 如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别
13 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
A.(－1,3, －3) B.(9,1,1)
第二章 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章 空间向量运算的坐标表示
[解析] 由已知可得：A→B＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，A→C＝(－2,2,3) －(2，－1,2)＝(－4,3,1)． (1)O→P＝12(A→B－A→C)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，32，－2)，所以 P 点的坐标 为(3，32，－2)．
(2)设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为12(A→B－A→C)＝(3，32，－2)， 所以A→P＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)， 解得：x＝5，y＝12，z＝0，则 P 点的坐标为(5，12，0)．
[解析] (1)∵c∥B→C， ∴c＝mB→C＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝ －2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3， ∴m＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝ 12＋12＋0＝ 2，|b|＝ －12＋0＋22＝ 5， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得 k＝2 或 k＝－52.
3＋y－2z＝0
z＝1
∴向量 a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． (2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝ 22＋22＋32＝ 17，|b＋c|＝ 42＋02＋－12＝ 17， ∴a＋c 与 b＋c 所成角的余弦值为a|a＋＋cc|·|bb＋＋cc|＝157.
解析：(1)以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2， Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)． ∴B→Q＝(1，－1,1)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1＝(1，－1,2)，A→B1＝(－ 1,1,2)，C→1P＝12，12，0， ∴|B→Q|＝ 12＋－12＋12＝ 3.
高中数学 空间向量运算的坐标表示参考课件 北师大版选修21
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) ; a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
第六页，共21页。
二、距离与夹角
1.距离(jùlí)公式 （1）向量(xiàngliàng)的长度 （模）公式
间直角坐标系 O x中yz的坐标，记
作在空a 间(直a1角, a坐2 ,标a3系)． O xyz中，对空间
任一点 ，存A在唯一的有序实数
组 (x, y, z) ，使 OA xi y j zk ，有
序实数组 (x, y, z叫)作向量 O在A空间
直角坐标系 O x中yz的坐标，
记作 标，
叫zA竖(x坐, y标, z．)，x叫横坐标，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F ( 1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3 ,
3 ,1)1 ,0,52,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3.
d A,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
第十一页，共21页。
a // b a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) ; a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
第六页，共21页。
二、距离与夹角
1.距离(jùlí)公式 （1）向量(xiàngliàng)的长度 （模）公式
间直角坐标系 O x中yz的坐标，记
作在空a 间(直a1角, a坐2 ,标a3系)． O xyz中，对空间
任一点 ，存A在唯一的有序实数
组 (x, y, z) ，使 OA xi y j zk ，有
序实数组 (x, y, z叫)作向量 O在A空间
直角坐标系 O x中yz的坐标，
记作 标，
叫zA竖(x坐, y标, z．)，x叫横坐标，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F ( 1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3 ,
3 ,1)1 ,0,52,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3.
d A,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
第十一页，共21页。
2019-2020高中北师版数学选修2-1 第2章 §3 3.3 空间向量运算的坐标表示课件PPT
第二章 空间向量与立体几何
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.3 空间向量运算的坐标表示
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学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重 点) 2.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难 点)
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1．空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ， ②a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ， ③λa＝ (λa1，λa2，λa3) ， ④a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
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2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ②a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ； ③|a|＝ a·a＝____a_21_＋__a_22＋__a_23____； ④cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ab221＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
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1.(变条件)若将本例(2)条件“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为
“若ka＋b与ka－2b互相平行”，求k的值．
[解] 由ka＋b与ka－2b互相平行，得
ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k，2)＝λ(k＋2，k，－4)，
k－1＝λ（k＋2），
所以k＝λk，
解得k＝0.
2＝－4λ，
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[解] (1)因为B→C＝(－2，－1，2)，且c∥B→C， 所以设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1. 即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.3 空间向量运算的坐标表示
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学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重 点) 2.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难 点)
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自主预习 探新知
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1．空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ， ②a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ， ③λa＝ (λa1，λa2，λa3) ， ④a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
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2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ②a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ； ③|a|＝ a·a＝____a_21_＋__a_22＋__a_23____； ④cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ab221＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
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1.(变条件)若将本例(2)条件“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为
“若ka＋b与ka－2b互相平行”，求k的值．
[解] 由ka＋b与ka－2b互相平行，得
ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k，2)＝λ(k＋2，k，－4)，
k－1＝λ（k＋2），
所以k＝λk，
解得k＝0.
2＝－4λ，
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[解] (1)因为B→C＝(－2，－1，2)，且c∥B→C， 所以设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1. 即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
2020—2021数学北师大版选修2-1课件：第二章空间向量运算的坐标表示
4．已知向量a＝(2，－1Fra bibliotek1)，b＝(t，1，－1)(t∈R)，若 a∥b，则t＝___－__2___．
1．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原 点时向量的坐标与终点的坐标相同；不在原点时，向量的坐 标加上起点的坐标才是终点的坐标． 2．对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2－ x2y1＝0.但对于空间向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若 a∥b，却无此类的结论．
空间向量的坐标运算
空间向量平行、垂直的坐标表示
B A
空间向量的模及夹角
易错警示
因忽视隐含条件致误
D
2．若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3， n－3，9)(m，n∈R)三点共线，则m＋n＝_____0___．
3．若a＝(2，3，－1)，b＝(－2，1，3)，则a，b为邻边的平 行四边形的面积为________．
对应坐标的和(差) 实数与向量对应坐标
差
x1x2＋y1y2＋z1z2 和
× √ ×
×
√
2．已知a＝(1，2，－3)，b＝(5，－7，8)，则2a＋b的坐标 为( A ) A．(7，－3，2) B．(6，－5，5) C．(6，－3，2) D．(11，－12，13) 解析：2a＋b＝2(1，2，－3)＋(5，－7，8)＝(2，4，－6) ＋(5，－7，8)＝(7，－3，2)．
3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满
足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c－
北师大版选修2-1高中数学2.3《向量的坐标表示和空间向量基本定理》(第2课时)ppt课件
A．(－1,3，－3)
B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
[答案] B [解析] ∵O→M＝A→B＝O→B－O→A，
∴O→B＝O→M＋O→A＝(9,1,1)．故选 B．
2．向量 a＝(－1,2,3)，则向量 a 的模是( )
A．14
B． 14
C．11
D． 11
[答案] B
• 3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形 是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向 量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示 则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、 平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用 向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角， 最后将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不 方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条
• (4)(a＋b)·(a－b)．
• [分析] 利用空间向量的运算法则坐标形式求 解．
• [解析] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
• ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．
• (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
• ＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k－1， k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋ b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k－2＋k2－ 8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
→→ OA·OB →→
＝－1.∴〈O→A，O→B〉＝π.
高二数学北师大版选修2-1课件2.3.3 空间向量运算的坐标表示
题型一
题型二
题型三
(4)cos <p,q>= = =
2 2 2
������ · ������ | ������||������| (2 , 1 , 3)· (2 , 0 ,-6 )
2 2 2
2 +1 +3 × 2 +0 + (-6 ) -14 35 =- . 14×2 10 10
反思 1 .一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段 的终点坐标减去起点坐标. 2 .空间向量进行坐标运算的顺序:首先进行数乘运算,再进行加法或减 法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.
2 .数量积的坐标表示 设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a· b=x1x2+y1y2+z1z2,即空间两个向量的数 量积等于它们对应坐标的乘积之和. 3 .向量的坐标 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则������������=(x2-x1,y2-y1,z2-z1), 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差. 4 .空间向量长度与夹角的坐标表示 设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则: 2 + ������ 2 + ������ 2 ; (1)| a|= ������· ������ = ������1 1 1 ������1 ������2 + ������ 1������ 2+ ������1������2 (2)cos <a,b>= (a≠0 ,b≠0 );
【做一做 2-2】 已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若( a+b)⊥c,则 x 等于( ) A .4 答案 :B B.-4 C.