46东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-两条直线的位置关系与点到直线的距离B
高三数学一轮复习精品教案2：两直线的位置关系教学设计
第二节 两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．1．(人教A 版教材习题改编)过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0『解析』 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行， ∴所求直线的斜率为12，又直线过(1，0)点，则直线方程为x －2y －1＝0. 『答案』 A2．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋1『解析』 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a ＞0，∴a ＝2－1. 『答案』 C3．(2013·深圳模拟)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133『解析』 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m.又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，解得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故舍去；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意，故选A.『答案』 A4．(2013·金华调研)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．『解析』 ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×(－2m )＝－1，∴m ＝1. 『答案』 15．若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值为________．『解析』 由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝|c 2＋1|13，解得c ＝2或－6. 『答案』 2或－6两条直线的平行与垂直(1)a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1『思路点拨』 (1)根据两直线垂直的充要条件，先求a 值，再判断；(2)根据两直线平行或重合的充要条件，求出a 值再检验．『尝试解答』 (1)由a (a －2)＝－1得a 2－2a ＋1＝0， ∴a ＝1，故a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的充要条件． (2)由3a －(a －2)a 2＝0得a (a 2－2a －3)＝0，∴a ＝－1或0或3.检验当a ＝0或－1时两直线平行， 当a ＝3时两直线重合．『答案』 (1)C (2)D ,1．解答本题(2)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a 值后，应代入原直线方程检验出两直线平行时的a 值．2．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. (2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)若l 3∥l 1，则l 3可设为A 1x ＋B 1y ＋m ＝0(m ≠C 1)． (4)若l 3⊥l 1，则l 3可设为B 1x －A 1y ＋n ＝0.已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 『解析』 ∵直线l 2的斜率为－2， 又l 1∥l 2，则4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8，因为l 2⊥l 3，则－1n ＝12得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10. 『答案』 A两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．『思路点拨』 (1)可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．(2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解．②结合图形分析l ⊥OP 时满足条件．『尝试解答』 (1)法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.,运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．『解』 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0. ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成4x －8y －2＝0. ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.对称问题已知点A 的坐标为(－4，4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．『思路点拨』 (1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．『尝试解答』 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6， ∴A ′点的坐标为(2，6)．(2)法一 在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4，4)的对称点(－8－x ，8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0， 所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二 由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0， 由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.,1．本题考查是点关于线对称及线关于点对称的问题．2．在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0『解析』 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0x －x 0＝－（y －y 0）得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 『答案』 A一条规律一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.两点注意1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 三种对称1.点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)．2．设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.3．直线关于直线的对称．可化归为点关于直线的对称．从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几乎每年都有涉及，其中有关直线和导数的交汇创新，是近年命题的热点．创新探究之十 以点到直线距离为载体的新定义题(2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________．『解析』 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－（－4）|2－r ＝22－2＝2，对于y ＝x 2＋a ，y ′＝2x ＝1， 故切点为(12，14＋a )，切点(12，14＋a )到直线l ：y ＝x 的距离为|12－14－a |2＝2，解得a ＝94或－74.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋a ， 消去y ，得x 2－x ＋a ＝0.由Δ＝1－4a ＜0可得a ＞14，故a ＝94.『答案』 94创新点拨：(1)利用曲线C 到直线l 的距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙地与导数知识交汇．(2)考查对新定义、新概念的理解和运用，同时考查思维的创新，考查转化和化归能力． 应对措施：(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系．(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉．1．(2013·广州模拟)已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』 设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，且S △ABC ＝2. 则△ABC 中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2.∴t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． 『答案』 A2．(2013·潍坊模拟)已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．『解析』 法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时， 由k 1·k 2＝－1得t ＝－1.(2)若l 1的斜率不存在，此时 t ＝1. l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件．若l 2的斜率不存在，此时 t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上可知t ＝－1或t ＝1.法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0， 解之得t ＝1或t ＝－1. 『答案』 －1或1。
北师大版高三数学(理)一轮复习：第9章 第2节 两条直线的位置关系
第二节 两条直线的位置关系[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [常用结论]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1与l 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0) 垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交．( ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) [答案] (1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材改编1．已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1D.2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1,即|a ＋1|＝2,又a>0,∴a ＝2－1.]2．已知P(－2,m),Q(m,4),且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0,则m ＝________. 1 [由题意知m －4－2－m ＝1,所以m －4＝－2－m,所以m ＝1.]3．若三条直线y ＝2x,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．－9 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m×1＋2×2＋5＝0,所以m ＝－9.]4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行,则它们之间的距离是________． 2 [由两直线平行可知36＝4m,即m ＝8.∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0, 则它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16＝2.]考点1 两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 前思 在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分类讨论 后想 在解题后要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解1.设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时,显然l 1∥l 2, 若l 1∥l 2,则a(a ＋1)－2×1＝0, 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直,则实数a 的值为( ) A.12 B.32 C.14D.34D [由已知得3(a －1)＋a ＝0,解得a ＝34.]3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0,l 2：4x ＋3y ＋5＝0,l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23D [∵三条直线不能构成一个三角形, ∴①当l 1∥l 3时,m ＝23；②当l 2∥l 3时,m ＝－43；③当l 1,l 2,l 3交于一点时,也不能构成一个三角形,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13,代入mx －y －1＝0,得m ＝－23.故选D.]直接运用“直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论．考点2 两条直线的交点与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程．(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ①求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式．②求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y 的系数对应相等．(1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点,且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________(2)直线l 过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________．(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0, 则1＋2×3＋c ＝0,∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k(x ＋1),即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1, 即|3k －1|＝|－3k －3|,∴k ＝－13,∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1),即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝－1,也符合题意．]1.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x 0,y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k(x －x 0)(k 是参数,直线系中未包括直线x ＝x 0),也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R,但不包括l 2)．2．动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算．[教师备选例题]1．已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0,x ＋y －7＝0,2x －7y －14＝0,求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程．[解] 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x＋y －7)＝0,即(2＋λ)x＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0,可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0, 解得λ＝115,所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.2．求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点,且和A(－3,1),B(5,7)等距离的直线方程． [解] 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x－21y －1)＝0, 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0, 由点A(－3,1),B(5,7)到所求直线等距离,可得 |2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2＝|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2,整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|,解得λ＝2935或λ＝13,所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.1.当0<k<12时,直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k<12,∴x ＝k k －1<0,y ＝2k －1k －1>0,故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．]2．若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910D.295C [因为36＝48≠－125,所以两直线平行,将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910.]考点3 对称问题中心对称问题 中心对称问题的解法(1)点关于点：点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．过点P(0,1)作直线l,使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P平分,则直线l 的方程为________．x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A(a,8－2a),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l 2上,代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0,解得a ＝4,即点A(4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题,利用中点坐标公式求解． 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4,－2)B [直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2恒过定点(0,2)．]轴对称问题 轴对称问题的解法(1)点关于线：点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n), 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)已知直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线,若点A,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2,－4)C ．(2,4)D ．(2,－4)(2)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________．(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C(2,4)．(2)设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0.]在求对称点时,关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解．1.若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m ＋n ＝________.345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y ＝2x －3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.]2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程． [解] (1)设A′(x ,y),则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a ,b),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N 关于点A 的对称点P′,N′均在直线l′上．易知P′(－3,－5),N′(－6,－7),由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q(x,y)为l′上任意一点,则Q(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为Q′(－2－x,－4－y), ∵Q′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0.。
2025年高考数学一轮复习-第2课时-两直线的位置关系【导学案】
第二节两条直线的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【核心素养】数学运算、直观想象、逻辑推理.【命题说明】考向考法两条直线的位置关系在高考中一般不单独成题,点到直线的距离公式时常与圆相结合出现在选择题或填空题中.预测预计2025年高考两直线平行、垂直仍会出现.一般在选择题、填空题中出现,也可能在解答题中交汇出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.两条直线的位置关系(1)位置关系项目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0(2)交点坐标若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0( 12+ 12≠0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0( 22+ 22≠0)相交,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组 1 + 1 + 1=0,2 + 2 + 2=0的解.2.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件:点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).②结论:|P 1P 2|=( - ) +( - ) .③特例:点P (x ,y )到原点O (0,0)的距离|OP |= 2+ 2.(2)点到直线的距离点P (x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0间的距离d 微点拨点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x ,y 的系数对应相等.常用结论1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(12+ 12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0( 22+ 22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:点的坐标对称直线对称点的坐标点P(x0,y0)y=x(y0,x0) y=-x(-y0,-x0) x+y+t=0(-t-y0,-t-x0) x-y+t=0(y0-t,x0+t)基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,34,51.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等,则两直线平行.(×)提示:(1)两直线有可能重合,故(1)错误.(2)若l1∥l2,则k1=k2.(×)提示:(2)可能出现两直线斜率不存在情况,故(2)错误.(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.(√)提示:(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,则该直线垂直于x轴,另一条直线的斜率存在,则该直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故(3)正确.(4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合.(√)提示:(4)两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故(4)正确.2.(选择性必修一人AP57例5变形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形【解析】选D.直线AB的斜率k AB=1-(-1)1-5=-12,直线BC的斜率k BC=3-12-1=2,由k AB·k BC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.3.(选择性必修一人AP57练习T2变条件)若直线3x-2y-1=0与3x-ay+6=0平行,则a=()A.-2B.-1C.12D.2【解析】选D.由题意32=3 ,则a=2.经检验两条直线不重合.4.(忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时,m=2m,m+1=1,故得m=0,此时AB ∥CD;当k AB=k CD,即m≠0时, +1 =3 ,解得m=2,此时AB∥CD.5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为()A.8B.4C.85D.32【解析】选D.因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d =32.【核心考点·分类突破】考点一两条直线的平行与垂直[例1](一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断a为何值时,l1与l2平行;【解析】(1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=- 2x-3,l2:y=11- x-(a+1),l1∥解得a=-1,综上可知,当a=-1时,l1∥l2.l2⇔- 2=11- ,-3≠-( +1),方法二:显然a≠0,l1∥l2,则1 = -12≠ 2-16⇔ ( -1)-1×2=0,( 2-1)-1×6≠0⇒ 2- -2=0,( 2-1)≠6,可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.(2)当l1⊥l2时,求a的值.【解析】(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:y=- 2x-3, l2:y=11- x-(a+1),由(- 2)·11- =-1,得a=23.方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23.解题技法1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法A提醒:在判断两直线的位置关系时,比例式 1 2与 1 2, 1 2的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.对点训练1.(2024·合肥模拟)直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,则a=()A.0B.1C.-1D.1或-1【解析】选B.因为直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.当a=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·贵阳模拟)已知直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则m的值为()A.12B.13C.2D.3【解析】选A.因为直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则2m-1=0,解得m=12.【加练备选】若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为________.【解析】由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22 ,ab≤12,当且仅当a=1,b=12时,等号成立,故ab的最大值为12.答案:12考点二距离问题[例2](1)已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是() A.4 B.1020 C.104 D.71020【解析】选D.由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,|12+3=71020.(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为____________________.【解析】当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.解得k=-34,因此所求直线的方程为3x+4y-5=0.当直线的斜率不存在时,直线x=-1满足题意.综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1.答案:3x+4y-5=0或x=-1一题多变[变式1]将例(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.【解析】由题意得63= 1≠-1-3,解得m=2,将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),解得t=-72,因此所求直线的方程为6x+2y-72=0.[变式2]将例(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,由题意知,两直线3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离=104.可知( 1- 2)2+( 1- 2)2的最小值为58.解题技法距离问题的求解策略(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.②利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.对点训练1.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,则实数a的值为()A.-1B.85C.-1或85D.1或-85【解析】选C.因为点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,可得=( -3)2+(3-3 -3)2=( -3)2+(-3 )2=5,整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=85.2.(2024·北京模拟)设d为动点P(cosθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离,则d的最大值为()A.2-1B.322C.1+2D.3|2cos( +π4)【解析】选C.点P(cosθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离d因为-1≤cos(θ+π4)≤1,则-2-2≤2cos(θ+π4)-2≤2-2,所以当cos(θ+π4)=-1时,d max=1+2.3.(2024·青岛模拟)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为()A.32B.2C.2D.4【解析】选A.由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x+y+c=0,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,=32.【加练备选】(2024·遂宁模拟)抛物线y=x2上的点P到直线x-y-2=0距离的最小值为() A.328 B.528 C.728 D.2【解析】选C.设抛物线y=x2上一点为P(x0,02),点P(x0, 02)到直线x-y-2=0的距离d| - -2|( 0-12)2+所以当x0=12,即P(12,14)时,到直线x-y-2=0的距离最短,为728.考点三对称问题考情提示对称问题常常涉及中点坐标、两条直线的垂直关系及直线方程的求解等问题,其中掌握中心对称及轴对称满足的几何条件是解决此类问题的关键.角度1中心对称问题[例3]直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是__________.【解析】设所求直线上任一点(x,y),则关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.答案:x-2y+11=0解题技法中心对称问题的解法(1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则 '=2 - ,'=2 - .(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.角度2轴对称问题[例4](1)已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,则点A关于直线l的对称点A'的坐标为______________.(2)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是__________________.【解析】(1)设点A'的坐标为(x,y).=13, -42+ +42-2=0,解得 =2, =6,所以点A'的坐标为(2,6).(2)设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),- + 02+2=0,=-( - 0),得 0= -2,0= +2.因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.答案:(1)(2,6)(2)x-2y+3=0解题技法轴对称问题的解法(1)若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m,n),则有=-1,· + 2+ =0.(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.对点训练1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是()A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0【解析】选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.2.(多选题)(2024·徐州模拟)光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为()A.(14,98)B.(9,-15)C.(-3,15)D.(13,2)【解析】选BC.由题意知,k=tan45°=1,设点(4,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n),=-1= +42+1,解得 =1 =5,所以反射光线所在的直线方程为y=0-53-1(x-3)=-52(x-3),所以当x=9时,y=-15;当x=-3时,y=15.。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 3.3.1两条直线的
3.3.1 两条直线的位置关系第一课时 两条直线相交、平行与重合的条件一、复习：直线方程的一般式和斜截式是怎样的？二、自主学习：已知两条直线的方程为0:1111=++C y B x A l0:2222=++C y B x A l自学8381P P -回答：1．1l 与2l 相交⇔ 。
2．1l 与2l 平行⇔ 。
3．1l 与2l 重合⇔ 。
4．若两直线方程分别为111:b x k y l +=，222:b x k y l +=则 1l 与2l 相交⇔ 。
1l ∥2l ⇔ 。
1l 与2l 重合⇔ 。
三、典型例题：自学83P 例1、例2补充例题1．求与直线0743=+-y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为1的直线方程；例2．已知直线023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l ，当m 为何值时，直线1l 和2l ：① 相交；②平行；③重合；例3．求经过两直线0332=--y x 和02=++y x 的交点且与直线013=-+y x 平行的直线方程。
四、学生练习：84P 练习A 、B五、小结：六、作业：1． 已知下列语句：① 若两条直线平行，则其斜率相等； ②. 若两条直线斜率相等，则两直线平行； ③.过点（-1，-1）且斜率为2的直线方程为211=++x y ； ④.垂直于x 轴的直线平行于y 轴； 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a=（ ）A. –3B. –6C. –3/2D. 2/33．直线023=+-m y x 和033)1(2=-++m y x m 的位置关系是（ ）A. 平行B. 重合C. 相交D. 不确定4．两直线023)2(:0:21=++-=++m y x m l b my x l 与的交点唯一，则（ ）A. 1-≠mB. 3-≠mC. 1-≠m 且 3-≠mD. 3≠m 且1-≠m5．方程04939622=-++++y x y xy x 表示的图形是（ ）A. 两条重合的直线B. 两条互相平行的直线C. 两条斜交的直线D. 两条互相垂直的直线5． 经过A(-1,m),B(2m,1)两点的直线，当m=_______时，该直线平行于x 轴；当m=_______时，该直线平行于y 轴；7. 直线03135=-++-=y x b x y 与的交点在第一象限，则b 的取值范围是_____________.8．三条直线032013,012=-+=-+=+-y ax y x y x 与共有两个不同的交点，则 a=__________;9．如果直线01)13(:012:21=---=-+my x m l my x l 与平行，那么实数m 的值为___________;10．已知直线1l 和直线063:2=+-y x l 平行，1l 与两坐标轴围成的三角形的面积是8，求直线1l 的方程.。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 空间位置关系-垂直导学案 文
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习空间位置关系-垂直导学案文一、知识梳理1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
2．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二、题型探究[题型探究1]：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
[题型探究2]：线面垂直问题例2．（1）（2006北京文，17）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
变式2、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE[题型探究3]：面面垂直问题例3．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。
三、方法提升：1、证明线线垂直：如果一条直线l 和一个平面α垂直，那么l 和平面α内的任意一条直线都垂直。
（线面垂直⇒线线垂直）2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
高三数学一轮 9.2 两条直线的位置关系导学案 理 北师大版
学案48 直线与直线的位置关系导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离； ②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 自我检测1．(2011·济宁模拟)若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为( )A ．7B ．－7C ．3D ．－32．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)3．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则am bn＝－1是直线l 1⊥l 2的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________.探究点一 两直线的平行与垂直例1 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求满足以下条件的a 、b 的值：(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且原点到这两条直线的距离相等．变式迁移1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0， (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．探究点二 直线的交点坐标例2 已知直线l 1：4x ＋7y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x ＋3my －4＝0.当m 为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．探究点三 距离问题例3 (2011·厦门模拟)已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0 (a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0.且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．转化与化归思想的应用例(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【答题模板】解(1)设A′(x，y)，再由已知∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.[4分] (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.[6分]设直线m 与直线l 的交点为N ，则由 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.[8分] (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，[10分]再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0 (C ≠1)，∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 |－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，[10分] ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分] 方法三 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，[10分] ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[12分] 【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．【易错点剖析】(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线3x ＋2y ＋4＝0与2x －3y ＋4＝0( ) A ．平行 B ．垂直C ．重合D ．关于直线y ＝－x 对称2．(2011·六安月考)若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或03．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．24．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)5．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.24，12B.2，22C.2，12D.22，12二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：3x －3y ＋2＝0，若l 1∥l2，则m的值为______．7．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·福州模拟)k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．10．(12分)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．11．(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．学案48 直线与直线的位置关系自主梳理1．(1)k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(2)－1 0 2．解 交点 唯一解 3.(1)x 2－x 12＋y 2－y 12(2)|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 (3)②|C 1－C 2|A 2＋B2自我检测1．D 2.B 3.A 4.C 5. 5课堂活动区例1 解题导引 运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则a ＝1.由l 1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b＝0. 又l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，∴b＝3a －4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1＝ab ，k 2＝1－a.由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝ab(1－a)＝－1.由l 1过(－3，－1)，得－3a ＋b ＋4＝0， 解之得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即ab＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a、b 的值为2和－2或23和2.变式迁移1 解 (1)方法一 当a ＝1时， l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不平行；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不平行；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a(a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0aa 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6.∴a＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直；当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.例2 解题导引 ①转化思想的运用三条直线l 1、l 2、l 3不能构成三角形⇐l 1、l 2、l 3交于一点或至少有两条直线平行⇐三条直线交于一点⇐l 2与l 3的交点在l 1上⇐l 2与l 3对应方程组的解适合l 1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形． ①三条直线共点时，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝0，2x ＋3my ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42－3m 2y ＝－4m2－3m2(m 2≠23)，即l 2与l 3的交点为⎝⎛⎭⎪⎫42－3m 2，－4m 2－3m 2，代入l 1的方程得4×42－3m 2＋7×－4m2－3m2－4＝0，解得m ＝13，或m ＝2.②当l 1∥l 2时，4＝7m ，∴m＝47；当l 1∥l 3时，4×3m＝7×2，∴m＝76；当l 2∥l 3时，3m 2＝2，即m ＝±63. ∴m 取集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B(7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得C(－2，－1)，所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.例3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x 与y 的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．如本例中求两条直线2x －y ＋a ＝0与－4x ＋2y ＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x ＋2y －2a ＝0，或将后一条直线化为2x －y －12＝0后，再应用平行线间的距离公式．解 (1)∵l 1：4x －2y ＋2a ＝0 (a>0)，l 2：4x －2y －1＝0，∴两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝|2a ＋1|25，由已知，可得|2a ＋1|25＝7510.又a>0，可解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(x ，y)， 由条件①，可知x>0，y>0. 由条件②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －y ＋3|5＝|4x －2y －1|455·|2x －y ＋3|5＝2·|x ＋y －1|2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4|2x －y ＋3|＝|4x －2y －1||2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，于是可得，4|x ＋y －1|＝|4x －2y －1|，也就是4(x ＋y －1)＝4x －2y －1，或4(x ＋y －1)＝－4x ＋2y ＋1，解得y ＝12，或8x ＋2y －5＝0.当y ＝12时，代入方程|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，解得x ＝－3<0或x ＝－23<0，均舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，化简得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0x －2y ＋4＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝03x ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝19y ＝3718或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－23<0y ＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718. 变式迁移3 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋1＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4kk ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9kk ＋1.由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9kk ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.方法二 因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5，设直线l 与两平行线的夹角为θ，则sin θ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为0.又因为直线l 过点P(3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.课后练习区1．B 2.C 3.B 4.C 5.D6．－1 7.3x －2y ＋5＝0 8.①⑤9．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3k －2x ＋4y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12－12k 4k ＋1y ＝7k －24k ＋1.(5分)∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12－12k 4k ＋1>07k －24k ＋1>0，∴27<k<1.(11分) 即当27<k<1时， 两直线的交点在第一象限．(12分)10．解 设所求直线为l ，由于l 过点A 且与点P 1，P 2距离相等，所以有两种情况，(1)当P 1，P 2在l 同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；(5分) (2)当P 1，P 2在l 异侧时，l 必过P 1P 2的中点(－1,4)，此时l 的方程为x ＝－1.(10分) ∴所求直线的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. (12分)11．解 设点A(x ，y)在l 1上，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，∴点B(6－x ，－y)，(6分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝113，y ＝163，∴k＝163－0113－3＝8.(12分) ∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. (14分)。
高三数学 两直线的位置关系复习教案高三全册数学教案
城东蜊市阳光实验学校两直线的位置关系课题两直线的位置关系备注三维目的掌握直线平行，垂直的位置关系的内在关系，能纯熟求点到直线的间隔，能灵敏应用知识培养学生的数形结合思想和良好的思维品质重点直线平行，垂直的位置关系的内在关系，点到直线的间隔难点灵敏应用知识辨析(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)假设两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，假设直线l1⊥l2，那么A1A2＋B1B2＝0.(√)(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的间隔为.(×)(5)直线外一点与直线上一点的间隔的最小值就是点到直线的间隔．(√)(6)假设点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，那么直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(√)考点自测1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝02．点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的间隔为1，那么a等于()A. B．2－C.－1 D.＋13．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y ＝8平行，那么实数m的值是()A．－7 B．－1 C．－1或者者－7 D.4．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的间隔是，那么直线l1的方程为________________．知识梳理1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：②两条直线垂直：(2)两条直线的交点2．几种间隔(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的间隔|P1P2|＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的间隔d＝(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的间隔d＝.例题选讲题型一两条直线的平行与垂直例1两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b ＝0，求满足以下条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的间隔相等变式训练两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.题型二两直线相交例2求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．变式训练如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．题型三间隔公式的应用例3正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．变式训练点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点间隔为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点间隔最大的直线l的方程，并求出最大间隔．(3)是否存在过P点且与原点间隔为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由．题型四对称问题例4直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．变式训练在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．假设光线QR经过△ABC 的重心，那么AP等于()A．2 B．1 C. D.高考链接假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y ＋3＝0所截得的线段的长为2，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．每日一练,1，直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．2，三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的间隔是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足以下三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的间隔是点P到l2的间隔的；③点P到l1的间隔与点P到l3的间隔之比是∶.假设能，求点P的坐标；假设不能，说明理由．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．后记。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第2节 点与直线、两条直线的位置关系
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组
2 + 2 + 2 = 0
的解.
l1与l2相交⇔方程组有
唯一解
l1与l2平行⇔方程组 无解 ;
无数个解
l1与l2重合⇔方程组有
;
.
3.三种距离公式
(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练2(2022上海虹口二模)设a∈R,k∈R,三条直线l1:ax-y-2a+5=0,
l2:x+ay-3a-4=0,l3:y=kx,则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为
答案:5+ 2
解析:∵a×1+(-1)×a=0,∴l1⊥l2.
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1 = k 2
b1 ≠ b2
重合
k1 = k 2
b1 = b2
A1 B2 -A2 B1 = 0,
A1 B2 -A2 B1 = 0,
或
B1 C2 -B2 C1 ≠ 0
A1 C2 -A2 C1 ≠ 0
A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1=0
微点拨解析几何中的两条直线的位置关系含有重合,而立体几何中空间两
2
2
2
(3-0) + (4-0) + 2=5+ 2.
.
考点三
对称问题(多考向探究)
考向1 点关于点的对称
例5过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段
被点P平分,则直线l的方程为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| 23 8 | 2 7
2 2
14 53 . 53
解：设直线的方程为y－2=k(x+1)，则kx－y+2+k=0, 所以
|2k | k 2 1
2 ，解得k=－1或k=－7， 2
故所求的直线方程为x+y－1=0或7x+y+5=0.
三、 方法提升：
四、反思感悟
4
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
五、课时作业（一）
1． 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行， 那么系数a的值为 （ B ） 3 2 （A）－ （B）－6 （C）－3 （D） 2 3 2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则 （ C ） （A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－ 3．如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值 范围是（ A ） （A）－1<a<2 （B）a>－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>2 4．直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条件是（ D ） 1 （A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= 4 1 1 （C）A=－12，C≠－ （D）A=－12，C=－ 4 4 5．若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个 公共点，则（ B ） （A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 （C）
2 3 y 4 3 则由直线 l 的斜率为 k=－ ， 得 k AA ' ， 即 0 得 3x0－2y0=－11， ， 3 2 x0 1 2
因为 AA1 的中点在直线 l 上，所以 2( 联立方程组解得 x0
x0 1 y 4 ) 3( 0 ) 6 ，得 2x0+3y0=2 2 2
3x 4 y 2 0 x 2 解：解方程组 得 ，所以两直线的交点是(－2，2). 2x y 2 0 y 2
[探究四]．已知直线的位置关系，求参数值 例 5．直线 l1：(m+2)x+(m2－3m)y+4=0，l2：2x+4(m－3)y－1=0 如果 l1//l2， 求 m 的值.
| Ax1 By1 C | A2 B 2
；
（4）给出d的值. 6、两平行线间的距离
两条平行线 l1：Ax+By+C1=0 与 l2：Ax+By+C2=0 之间的距离是 d
| C1 C2 | A2 B 2
.
2
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
平面两条直线的位置关系与点到直线的距离(教案)A 一、知识梳理： 1、 （1） ．两条直线相交、平行与重合条件 已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0 l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0；或
A x B1 y C1 0 若方程组 1 有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两 A2 x B2 y C2 0
条直线的交点； 若方程组无解时，说明 l1 与 l2 平行； 若方程组有无数个解时，说明 l1 与 l2 重合。 2、两条直线垂直的条件 （1） ．已知两条直线的方程为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1、l2 垂直 的条件是 A1A2+B1B2=0； （2） ．若 l1 的斜率是 k1
(m 2) 4(m 3) (m2 3m ) 2 0 解： ：若 l1//l2.，则有 ，解得：m=4 或 2 (m 3m) ( 1) 4 4(m 3) 0
m=－3.
3
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
即前两条直线的交点为 (
5
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
9．光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射 62 光线过点B(3， )，求反射光线所在直线的方程. 13 解：设点 A 关于直线 l：2x+3y－6=0 的对称点 A’的坐标为(x0，y0)，
| Ax1 By1 C | A2 B 2
.
（1） ．从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的 连线的最短距离； （2） ．使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方 程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式方程； （3） ．若点P在直线上，则点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立。 5、求点到直线的距离的步骤 求点P(x1，y1)到直线l：Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离的计算步骤是： （1）给点的坐标赋值：x1=？；y1=?； （2）给A、B、C赋值：A=？，B=?；C=？； （3）计算 d
A1 B1 ； A2 B2 A1 B1 C1 . A2 B2 C2
l1与l2平行的条件是A1B2－A2B1=0且C1B2－C2B1≠0；或
l1与l2重合的条件是A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2，或
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
（2） ．判定两直线相交、平行、重合的步骤； 已知两条直线的方程为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则判断 l1、l2 是否平行相交与重合的步骤如下： ①给 A1、A2、B1，B2、C1、C2 赋值； ②计算 D1=A1B2－A2B1，D2=B1C2－B2C1； ③若 D1≠0，则 l1 与 l2 相交； ④若 D1=0，D2≠0，则 l1 与 l2 平行； ⑤若 D1=0，D2=0，则 l1 与 l2 重合. （3） ．设两条直线的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
二、题型探究： 、 [探究一]：判断或证明直线的平行关系 例 1．已知直线 l1：3x+6y+10=0，l2：x=－2y+5，求证：l1//l2. 1 5 1 5 证法一：把 l1 与 l2 的方程写成斜截式 y x ， y x ， 2 3 2 2 因为 k1=k2，b1≠b2，所以 l1//l2. 证法二：把 l2 的方程写成一般式 x+2y－5=0， 因为 A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1≠0，所以 l1//l2. 例 2．已知两直线 l1：mx+8y+n=0，l2：2x+my+1=0，试确定 m、n 的值，使 l1//l2. 解：由 m· m－8· 2=0，得 m=±4，由 8· (－1)－mn≠0，得 n≠±2， 即 m=4，n≠－2 或 m=－4，n≠2 时 l1//l2. [探究二]．根据平行或垂直条件求直线方程 例3．求直线l的方程： （1）过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6=0平行； （2）过点P(1，－1)且与直线2x+3y+1=0垂直； 解： （1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x－2y+C=0， 由点P(2，－1) 在直线上解得C=－8，故所求直线方程为3x－2y－8=0. （2） 因已知直线与所求直线垂直， 故所求直线可设为3x－2y+C=0， 由点P(1， －1)在直线上解得C=－5，故所求直线方程为3x－2y－5=0. [探究三]．求直线交点 例4．求下列两直线的交点l1：3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0
1 2
3x 时，
时，l1⊥l2.
8．设三条直线：x－2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值.
k 6 x x 2y 1 k4 解：解方程组： ，解得 2 x ky 3 y 1 k4
k 6 1 , )， 因为三直线交于一点， 所以第三条直 k 4 k 4 k 6 1 16 ) 4( ) 5 ，解得k=1或k= 。 线必过此定点，故 3k ( k 4 k 4 3
| 3 3 4 (2) 1| 18 . 5 32 (4)2
（2）因为直线 y=6 平行于 x 轴，所以 d=|6－(－2)|=8 （3）d=|3|=3. [探究六]．求两平行线间的距离 例 8．求平行线 2x－7y+8=0 和 2x－7y－6=0 间的距离. 解：在直线 2x－7y－6=0 上任取一点，不妨取(3，0)，则点(3，0)到直线 2x －7y+8=0 的距离就等于两平行线间的距离。因此 d= [探究七]．根据距离求直线方程 例9．求过点A(－1，2)且与原点的距离为
29 28 , y0 ，所以反射光线 A’B 所在直线的方程为： 13 13
62 28 62 13 13 y ( x 3) ，得 13x－26y+85=0. 12 3 29 13 课时作业（二） 1．过两直线3x+y－1=0与x+2y－7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线 方程是（ B ） （A）x－3y+7=0 （B）x－3y+13=0 （C）2x－7=0 （D）3x－y－5=0 2． 过点P(1， 4)和Q(a， 2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行， 则a的值 （ B ） （A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－1 3．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关 4．经过两条直线2x+y－8=0和x－2y+=0的交点，且平行于直线4x－3y－7=0 的直线方程是 4x－3y－6=0 . 5．直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= 10 ， c= －12 ，m= －2 .