高等数学曲线积分与曲面积分习题课非常有用

曲线积分 当Σ → R3上空间曲线Γ时,
∫Σ f (M )dσ = ∫Γ f ( x, y, z)ds.
曲面积分 当Σ → R3上曲面S时,
∫Σ f (M )dσ = ∫∫ f ( x, y, z)dS. S
高等数学十
1100//228★8
计算上的联系
∫∫ ∫ ∫ f ( x, y)dσ =
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (dσ面元素)
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
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77//228★8
f2 x
+
f
2 y
)dσ
D
∫+ f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
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2222//228★8
2
2
例 3 求柱面 x 3 + y 3 = 1在球面 x2 + y2 + z2 = 1内
的侧面积.
解 由对称性
∫ S = 8 zds L ∫= 1 − x2 − y2ds L
Q
2
L: x3 +
2
y3
间的关系
∫L
Pdx
+
Qdy
=
∫∫
D
(
∂∂QxAr−(∂∂MPy )d)为xdy平或面∫向L −量Qd场x +
Pdy
=
∫∫
D
(
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
)dxdy
∫LAr
⋅
dsr = ∫∫
D
推广
(
rotAr
⋅
kr)dxdy
∫L
(
r A
r A(
M
)为空间向量场
⋅
nr)ds
=
∫∫
r divAdxdy
D
推广
∫ΓA ⋅ dS = ∫∫ ( rot Ar ⋅ nr )dS
o
∫∫ = m dxdy = m πa2,
D
8
∫ ∫= a 0 ⋅ dx + (e x − m) ⋅ 0= 0, OA 0
M
x
A(a,0)
∫ ∫ ∴ I =
−
= m πa2 − 0 = m πa2.
AMOA OA
8
8
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曲面面积的计算法
z
z = f (x, y)
S
2200//228★8
z
z = f (x, y)
[P(ξi ,ηi
)Δxi
+Q(ξi
, ηi
)Δyi
]
联
系
∫LPdx+Qdy= ∫L(Pcosα +Qcosβ)ds
计 ∫L f (x, y)ds
∫=
β
f [ϕ, ψ]
ϕ′2 + ψ′2dt
α
算 三代一定
(α < β)
∫LPdx + Qdy
∫=
β
[
P
(ϕ,
ψ)ϕ′
+
Q(ϕ,
ψ
)ψ′]dt
α
二代一定 (与方向有关)
∂R
−
∂Q
r )i
+
(
∂P
−
∂R)
r j
+
(∂Q
−
∂P
r )k
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
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1166//228★8
∫ 例 1 计算I = ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy, L
其中L为由点O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 y = sin π x. 2
思路:
L
a
∫ ∫ f ( x, y)dx = b f [ x, y( x)]dx, (dx线元素(投影))
L
a
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1111//228★8
∫∫ f ( x, y, z)ds = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′x2 + z′y2dxdy
Σ
Dxy
(ds面元素(曲))
∫∫ R( x, y, z)dxdy = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)]dxdy
解 由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
知 ∂P = ∂ ( x2 + 2xy) = 2x
y
∂y ∂y
1
A
∂Q = ∂ ( x2 + y4 ) = 2x
∂x ∂x
o
即 ∂P = ∂Q , ∂y ∂x
x
1
故原式
=
∫1 x2dx + 0
∫1(1 + 0
y4 )dy
=
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2277//228★8
例５ 计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z2dxdy, 其中 ∑ 为 ∑
锥面 z = x2 + y2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
Σ
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 ∫L Pdx + Qdy = ∫ (P cos α + Q cosβ)ds
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
= ∫∫ (P cosα + Q cos β + Rcosγ )ds Σ
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1122//228★8
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
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55//228★8
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域 D 上 P( x, y),Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
价 (2) ∫C Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ⊂ D
命 (3) 在D内存在U ( x, y)使du = Pdx + Qdy 题 (4) 在D内, ∂P = ∂Q
,
−
f
′
y
,
1
,
I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
= ∫∫ {P,Q, R}⋅ {dydz,dzdx,dxdy}= ∫∫ Ar ⋅ nr0ds
Σ
Σ
=
∫∫
{P
,Q,
R}
⋅
{−
f
′
x
,−
f
′
y
,1}dxdy
Σ
将Σ在xoy面投影∫∫ {P, Q, R}⋅ {− f x′, − f y′, 1}dxdy. Σ
∂y ∂x
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66//228★8
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
∫∫ ∑ Σ
f (x, y,z)ds= lim λ→0 i=1
f (ξi ,ηi ,ζi )Δsi
n
∫∫ ∑ Σ
R(x,
y,z)dxdy= lim λ→0 i=1
R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔSi )xy
联 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(Pcosα +Qcosβ + Rcosγ )dS
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
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Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
23 . 15
高等数学十
例 2 计算
∫ I = (e x sin y − my )dx + (e x cos y − m)dy , L
其中 L为由点(a ,0)到点(0,0)的上半圆周 x 2 + y2 = ax, y ≥ 0.
解
Q
∂P = ∂ (e x sin y − my) = e x cos y − m ∂y ∂y
∂Q = ∂ (e x cos y − m) = e x cos y ∂x ∂x
即 ∂P ≠ ∂Q ∂y ∂x
(如下图)
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1188//228★8
Hale Waihona Puke 1199//228★8∫ ∫ ∫ ∫ I = − = −
y
L+OA O A AMOA OA
∫ ∫∫= (∂Q − ∂P )dxdy
AMOA D ∂x ∂y
（三）场论初步
梯度 gradu = ∂u ir + ∂u rj + ∂u kr ∂x ∂y ∂z
通量 散度
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ divAr = ∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z