关于淋雨数学建模

淋雨数学建模
摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三
种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。

并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹
来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan c
a
α<
时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。

关键词：淋雨 直线行走
一 问题重述
人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。

试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB 编程实现。

假设跑步距离d=100米，跑步最大速度为m v =5 m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量为w=2cm/h 。

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ,问跑步速度v 为多大？淋雨量最少。

二 问题的分析
人在雨中行走时可能出现以下三种情形：
情形一：雨垂直下落，人以速度v 前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）
图 1
情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为θ，此
时后背淋不到雨（如图2所示）
图2
情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）
图 3
我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。

为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角θ、α）对总淋雨量的影响。

三合理的假设
3.1 将人体看成一个长方体；
3.2 雨速为常数且方向不变；
3.3 降雨量为一定值；
3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内；
3.5 符号的假定:
a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚
v: 跑步最大速度d: 跑步距离 v: 跑步速度
m
w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量
θ: 雨迎面吹来与人的夹角α: 雨背面吹来与人的夹角
s：有效淋雨面积v：以人为参考系时的相对雨速
四模型的建立
我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为Q stw
=。

若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u变为u u
+∆，则降雨量相对变
化为
u u w u +∆，从而可求得此时的淋雨量为 u u
Q stw
u
+∆=。

若雨速不变，降雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为θ，那么此时的淋雨量为
cos Q stw θ=。

类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨
量如下：
4.1当雨垂直降落时
有效淋雨面积：22s ab ac bc =++ 淋雨时间：d
t v
=
总淋雨量(22)d
Q stw ab ac bc w v
==++ （1） 4.2 当雨迎面吹来时
由假设3.4我们知道，当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为1s ，迎面部分面积为2s ，则12,s bc s ab ==，分别计算其淋雨量如下：
淋雨时间：d
t v
=
雨速垂直分量：θcos u
雨速水平分量：θsin u ，且方向与v 相反，故相对雨速v =v u +θsin 顶部淋雨量：11cos cos d
Q s tw bc w v
θθ== 迎面淋雨量：22sin v d u v Q s tw ab w u v u
θ+== 所以总的淋雨量为：
12cos (sin )cos (sin )
bcduw abdw u v bdw cu a u v Q Q Q uv u v
θθθθ⋅+⋅+++=+=
= （2）
4.3当雨从背面吹来时
同理，当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为3s ，背面部分面积为4s ，则34,s bc s ab ==，分别计算其淋雨量如下：
淋雨时间：d t v
=
雨速垂直分量：αcos u
雨速水平分量：sin u α，方向与v 相同，故相对雨速v =sin u v α- 顶部淋雨量：33cos cos Q s tw bcdw v
α
α== 背面的淋雨量： 44|sin |v abdw u v Q s tw u uv
α-== 总淋雨量为：
()()
34cos (sin )(cos sin ),sin cos (sin )(cos sin ),sin Q Q Q bdw cu a u v bdw u c a av v u a u v u v
bdw cu a v u bdw u c a av v u b u
v u v αααααααααα=+=
+-+-⎧=<⎪⎪⎨
+--+⎪=≥⎪⎩ （3） 五 模型的求解
运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q 与行走速度v 的具体关系如下： 5.1当雨垂直降落时
由（1）式知总淋雨量(22)d
Q stw ab ac bc w v ==++，易知 v 越大，Q 值越
小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。

即：当m v v =时，Q 最小； 5.2当雨迎面吹来时
对（2）式关于v 求导可得：
2cos sin 0Q bdw cu au v u v
θθ
∂+=-<∂，故Ｑ关于v 是单调递减函数，故此种情况下，当m v v =时，Q 最小； 5.3当雨从背面吹来时
对（3）式，分以下两种情况讨论如下：
1︒ sin v u α≤
此时对（a ）式关于v 求导可得
2
cos sin 0Q bdw cu au v u v αα∂+=-<∂ ，可知v 越大，淋雨量Q 越小，又因为sin v u α≤，故知当sin v u α=时，Q 最小； 2︒ sin v u α≥
当0sin cos >-ααa c ，对（b ）关于v 求导
2(cos sin )
0Q bdw u c a v u v
αα∂-=-<∂，故Ｑ关于v 是单调递减函数，同样可得，当m v v =时，Q 最小；
当0sin cos ≤-ααa c ，对（b ）关于v 求导
2
(cos sin )
0Q bdw u c a v u v αα∂-=->∂，故Ｑ关于v 是单调递增函数，又αsin u v ≥，故αsin u v =时，Q 最小。

六 结果分析
由上面的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小
且此时夹角α满足tan c
a
α<时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当
αsin u v =时，淋雨量最小。

七 模型的检验
现给出数据如下：
1.5,0.5,0.2,1000,5,4,2m a m b m c m d m v m s u m s w cm h ======= 7.1 当雨垂直降落时 min (22)0.002L m
d
Q ab ac bc w v =++≈ 7.2 当雨迎面吹来时 0θ=：cos0(sin 0)v 0.00116L m m
m m cu a u v cu a bdw bdw Q u v u v +++=
=≈
30θ=︒：cos30(sin 30)
0.00155m m
cu a u v bdw Q L u v ︒+︒+=
≈
7.3 当雨从背面吹来时 30α=︒时，tan c
a
α>，故sin 2v u m s α==时，淋雨最少。

此时：0.00101Q L ≈ 八 优缺点分析
优点：在模型中我们考虑了雨从不同方向吹来，结合了风向等因素，考虑了三种情况下人的总淋雨量，并以人为参照物优化了模型。

缺点：此模型只是将人与雨的方向在同一平面内考虑的，如果在不同的平面内，则雨的方向应该在三维空间中考虑。

参考文献：
[1]姜启源，谢金星等 《数学模型》(M) 第三版 高等教育出版社 2003年。