矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿
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第七讲 矩阵的秩 线性方程组的解PPT课件
16
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
17
求A的一个最高阶子. 式 R (A )3, 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
6
如：矩阵
1 3 9 3
A
0 2
1 3
3 9
64
取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，组成的
二阶子式是 1
3 12
2
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 . 有 最低阶为 1阶， 最高阶为 min{m阶,n. } 定义2 设在矩阵A中有一个不等0的 于k 阶子 式D，且所有 r 1阶子式（如果存在）的全话等 于0，那末D称为矩阵 A的最高阶非零子式r，数 称为矩阵A的秩，记作 R(A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
9
例1
求矩阵
1
A 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解 在 A中, 1 3 0.
2 5
又 A的3阶子式只有一个 | A |, 且
12 3 1 2 3
| A | 2 3 5 0 1 11 0,
4 7 1 0 1 11
r(A)2.
10
2 1 0 3 2
例2 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
线性代数3.3矩阵秩-PPT精选文档
1 1 2 2 1 2 r r2 1 3 r r 1 3 解 因为 A 2 5 3 2 0 3 7 1 5 0
2 2 1 1 7 0 1 7 2
1 2 2 1 1r r 2 3 0 1 7 0 所以，秩(A) 3。 0 0 0 2
若 B 可逆时， r (A B ) r (A )。
( A Br ) () Ar () B （5）如果 A 。 m nB np O，则 r
（6）r ( A ) +
r
( B ) ≤ n。
阶矩阵
（3）对于 n
A
，若 A n 。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此
AT
的子式与
A
的子式对应相等，从而
T r(A ) r(A )
（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。 例4 求矩阵 A 和矩阵 B 的秩，其中
T T ) r(B )。 r(A ) r(A ) ， r(B ) r(B )，因此 r(A
总之，若 A 经有限次初等变换变为 B （即
) r(B )。 A B），则 r(A
【注】求矩阵
A
行阶梯形， 秩的方法：A
r
行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。
1 2 2 1 例5 求矩阵 A 2 5 3 2 的秩。 3 7 1 5
3.3 矩阵的秩
一 矩阵秩的概念
二
求矩阵秩的方法
一、矩阵秩的概念
定义1 在 mn 阶矩阵 A 中，任取 k 行与
k
列
, n ）， （ k mk 位于这些行列交叉处的 k
矩阵的秩及其求法课件
矩阵的秩及其求法课件
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数矩阵的秩ppt课件
设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
矩阵的秩ppt课件
00
行
0
阶 梯 形 矩 阵
行
最 简
0
←r
行
形 矩 阵
定理1 任一矩阵的等价标准形唯一. >>>
矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为
F
Er O
O O
那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).
R( AB) R( A, AB) R( A,O) R( A)
类似可证 R( AB) R(B). 两式合起来, 即为
R(AB) min{R( A), R(B)}
定理2 若 Amn Bnl O, 则 R(A) R(B) n. 证明 存在可逆方阵 P, Q, 使
于是
§2.3 矩阵的秩
0
0
0
0 0
0
r
0 0
0 0
c
Er O
0 a1 00 00
0 a2 00
00
00
00
00
0 a11
00 00
0 0 a12
00
00
00
00
00
O
O
标准形矩阵
0 ar 00
0 0 0 0 a1r
PAQ
F
Er O
O O
,
r
R( A)
FQ1B PAQQ1B PAB O
记
Q1B
C D
,
其中C
行
0
阶 梯 形 矩 阵
行
最 简
0
←r
行
形 矩 阵
定理1 任一矩阵的等价标准形唯一. >>>
矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为
F
Er O
O O
那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).
R( AB) R( A, AB) R( A,O) R( A)
类似可证 R( AB) R(B). 两式合起来, 即为
R(AB) min{R( A), R(B)}
定理2 若 Amn Bnl O, 则 R(A) R(B) n. 证明 存在可逆方阵 P, Q, 使
于是
§2.3 矩阵的秩
0
0
0
0 0
0
r
0 0
0 0
c
Er O
0 a1 00 00
0 a2 00
00
00
00
00
0 a11
00 00
0 0 a12
00
00
00
00
00
O
O
标准形矩阵
0 ar 00
0 0 0 0 a1r
PAQ
F
Er O
O O
,
r
R( A)
FQ1B PAQQ1B PAB O
记
Q1B
C D
,
其中C
2_6矩阵的秩PPT课件
如 1 2 1 3 0 0 2 2 0 0 0 0
0 1 2 2 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1
《线性代数》
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结束
定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) m╳n都可以通过初等 行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即
b1 *
0
b2
A 初等行变换 Br
23 1
解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得
1
0
1 2
2
1
1
r3 2r1
0
1 2
2 1
r3 12r2
1 0
1 2
2
1
2 3 1
0 1 3
0 0 5 2
所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.
《线性代数》
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为方便学习与回顾本课程，请在下
载后进行查阅和编辑，疑问之处请
若|A| = 0，则r(A)<n ,称A为降秩矩阵.
结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.
《线性代数》
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例1. 求下列矩阵的秩.
1 2 3 2 C 2 4 6 4
3 0 9 6 解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即
123 122 132 232 2 4 6 2 4 4 2 6 4 4 6 4 0
规定零矩阵的秩为零. 易见：
（1）若A是m╳n矩阵，则r(A) ≤min{m,n}.
（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零 ，则r(A) ≥r； 若所有r+1阶子式全等于零，则r(A) ≤ r.
（3） r(A) = r(AT) . （4） r(kA) = r(A)，k≠0 . （5） 对n阶方阵A，若|A|≠0，则r(A)=n ,称A为满秩矩阵 ;
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5 3 6
0
8
5
4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0
0 0
1 0 E 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
2 1 所构成的二阶子式为 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 A aij mn ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
4 2 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
例5
设A
1 3
1
1 1
2 2
,
且R（A）
2，求,
5 3 6
1 A 3
1
1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
设
B
1 0
2 2
3 7
4 0
为阶梯形矩阵，求R(B)。
0
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
例4
1 A 2
记作R(A)或秩(A)。
规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R(A)R(AT).
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
0
0
0
解
1
由于
2 0 ，存在一个二阶子式不为0，而
02
任何三阶子式全为0， 则 R(B) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如 1 2 3 0 A 0 1 0 1 0 0 1 0
1 2 B 0 1
0 0
1 1 0 C 0 1 0
0 0 1
1 2 5
D
0
3
4
0 0 0
2 1 2 3 5
R(AB) min{R(A)，R(B)}。
设A是 m n 矩阵，B是 n t 矩阵，
性质1 性质2 性质3 性质4
R(A) R(B) n R(AB). 如果 A B = 0 则 R(A) R(B) n.
如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。
设A,B均为 m n 矩阵，则
矩阵的秩及其求法矩阵秩求法 演示文稿
一、矩阵的秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 A aij mn 在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k (1 k min m, n)
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如
1 2 3 1 设 A 4 6 5 4 ，
1 0 1 1
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素
E
0
8
1
5
3
0 0 0 7 2
0
0
0
0
0
RA 3 RB 2 RC 3 RD 2 RE 3
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
非零行的行数。
例2
设
a A 1
1 a
1 1
如果
RA 3
, 求a.
1 1 a
a11
解 RA 3 A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
R(A B) R(A) R(B).
例8 设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n 证： ∵ (A+E)+(E-A)=2E ∴ R(A+E)+ R(E-A)≥ R(2E)=n 而 R(E-A )=R( A-E) ∴ R(A+E)+R(A-E)≥n
11a
a 1 或 a 2
例3
K 1 1 1
A
1 1 1
K 1 1
1 K 1
1
1 K
பைடு நூலகம்
RA 3
则 K 3
11 1 1
A K 3 1 K 1 1 (K 1)3(K 3)
11 K 1
11 1 K
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)