数学一次、二次函数计算
初三数学二次函数解析式的求法
二次函数解析式的 求法
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顶点式ya2xbxc(a0)交点式
ya(xm)2n(a0)顶 点 坐 m,n标 )
ya(xx )(xx )(a0)
1
2
回味
知识点：
条件
：
若
抛y物 a一线 ．x2二一次般函式b数x解析c式常见
的三种表示形式：
与X轴交于两x点,0（ )(x ,0)
（3）将抛物线作怎样的一次 平移,才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。
A -1 o -2.5D
B 5x
C
讲例：
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相
交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原
点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）
在抛物线上是否存在点D，使S△OCD= 3 S△OCB，若 存在，求出点D；若不存在，请说明理由2 。
点拔： 设一次函数的解析式为y=kx+n
则:
n 1 2k n
5
∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为
(b, 4cb2 )
24
4c b2 4
3 b 1 2
4 2b c 5
5 2
试一试：
点拔：（1）
1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0， ） （1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线 的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直 线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。
∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
二次函数与一次函数的比较知识点总结
二次函数与一次函数的比较知识点总结在数学中，函数是一种数学关系，用来描述输入和输出之间的关系。
二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们在数学和实际问题中都具有重要的应用。
本文将对二次函数和一次函数的比较进行知识点总结。
一、函数的定义函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
一般表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。
二、一次函数一次函数，也叫线性函数，是一个多项式函数，其最高次数是一。
一次函数的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，k 表示斜率，b 表示y轴截距。
三、二次函数二次函数，也叫平方函数，是一个多项式函数，其最高次数是二。
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a不等于零。
四、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。
一次函数的斜率决定了直线的趋势，二次函数的二次项决定了抛物线的开口方向。
2. 二次函数的抛物线可能开口向上或向下，具体由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a 大于零时，抛物线开口向上；当 a 小于零时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
对称轴的方程为 x = -b / (2a)，对称轴上的点称为抛物线的顶点。
五、零点和交点1. 一次函数的零点是使得函数值等于零的 x 值，即方程 kx + b = 0 的解 x = -b / k。
一次函数只有一个零点。
2. 二次函数的零点是使得函数值等于零的 x 值，即方程 ax^2 + bx +c = 0 的解。
二次函数可能有两个、一个或零个零点。
六、增减性1. 一次函数的增减性由斜率 k 决定。
当 k 大于零时，函数增加；当k 小于零时，函数减少。
一次函数是直线，具有恒定的增减性。
2. 二次函数的增减性由二次项系数 a 的正负决定。
当 a 大于零时，函数开口向上，增加至顶点后减少；当 a 小于零时，函数开口向下，减少至顶点后增加。
中考数学二次函数基础知识
中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数： 两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。
此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。
考点一、 二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。
初中数学知识归纳函数的运算与应用的应用
初中数学知识归纳函数的运算与应用的应用初中数学知识归纳——函数的运算与应用函数是数学中一种非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在初中数学中，我们主要学习了函数的运算和应用，本文将对这部分知识进行归纳总结。
一、函数的运算函数的运算主要包括函数的加法、减法、乘法和除法。
1. 函数的加法对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数是f(x) + g(x)。
具体而言，对于给定的自变量x，将x代入f(x)和g(x)得到两个函数值，然后将这两个函数值相加得到和函数的值。
2. 函数的减法对于两个函数f(x)和g(x)，它们的差函数是f(x) - g(x)。
计算方法同加法。
3. 函数的乘法对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数是f(x) * g(x)。
具体而言，对于给定的自变量x，将x代入f(x)和g(x)得到两个函数值，然后将这两个函数值相乘得到乘积函数的值。
4. 函数的除法对于两个函数f(x)和g(x)（其中g(x) ≠ 0），它们的商函数是f(x) /g(x)。
具体而言，对于给定的自变量x，将x代入f(x)和g(x)得到两个函数值，然后将这两个函数值相除得到商函数的值。
二、函数的应用函数在实际生活中有许多应用，下面介绍几个常见的应用。
1. 一次函数的应用一次函数是指函数的最高次数为1的函数，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
在实际中，一次函数可以用来描述线性关系。
例如，假设一辆汽车每小时行驶60公里，那么它的行驶距离与行驶时间之间就存在一次函数的关系，其中行驶距离为因变量，行驶时间为自变量。
2. 二次函数的应用二次函数是指函数的最高次数为2的函数，其表达式为f(x) = ax^2+ bx + c，其中a、b和c为常数。
在实际中，二次函数经常用来描述抛物线的形状。
例如，一个抛物线形状的碗的横截面可以由一个二次函数来描述。
3. 指数函数的应用指数函数是指函数的自变量是指数的函数，其表达式为f(x) = a^x，其中a是常数。
二次函数和一次函数的关系
二次函数和一次函数的关系函数是数学中的一个重要概念，描述了数值之间的关系。
二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们之间存在着一定的关系。
本文将探讨二次函数和一次函数的关系，以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指函数的表达式中含有二次项的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由a的正负决定，开口向上时a>0，开口向下时a<0。
特点：1. 二次函数的对称轴垂直于y轴，表达式为x = -b/2a。
2. 二次函数的顶点即抛物线的最值点，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。
3. 二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
二、一次函数的定义和特点一次函数是指函数的表达式中只含有一次项，形式为f(x) = kx + d，其中k 和 d为常数，k表示直线的斜率，d表示直线的截距。
特点：1. 一次函数的图像为一条直线。
2. 直线的斜率k表示了直线的倾斜程度，斜率大于0表示向上倾斜，斜率小于0表示向下倾斜，斜率为0时表示水平直线。
3. 直线的截距d表示了直线与y轴的交点，也就是当x=0时的函数值。
三、二次函数和一次函数的关系在二次函数和一次函数之间存在着紧密的关系。
实际上，当二次函数的a=0时，二次函数退化为一次函数。
具体而言，当a=0且b≠0，二次函数f(x) = bx + c退化为一次函数；当a=0，b=0，c≠0时，f(x) = c成为常数函数；当a=b=0时，f(x)为零函数。
另外，二次函数和一次函数在实际应用中也有联系。
例如，在物理学中，抛物线运动的轨迹可以用二次函数来描述；而直线运动可以用一次函数来描述。
在经济学中，成本和收益等关系也可以通过二次函数和一次函数来进行建模和分析。
四、二次函数和一次函数在实际生活中的应用举例1. 投射运动：当我们抛出一个物体时，物体的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数来描述。
二次函数和一次函数的概念和性质
二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学领域具有重要的概念和性质。
本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。
一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。
对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。
此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。
二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。
一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。
一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。
一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。
一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。
三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。
2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。
3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。
四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。
2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。
通用版高中数学必修一一次函数与二次函数解题方法技巧
(每日一练)通用版高中数学必修一一次函数与二次函数解题方法技巧单选题1、已知二次函数f(x)=x2+bx+c，且f(x+2)是偶函数，若满足f(2−a)>f(4)，则实数a的取值范围是（）A．(−2,2)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)C．由b的范围决定D．由b，c的范围共同决定答案：B解析：由f(x+2)是偶函数可得f(−x+2)=f(x+2)，从而得到函数f(x)关于x=2对称，所以b=−4，再写出不等式f(2−a)>f(4)，即可得答案；∵f(x+2)是偶函数，∴f(−x+2)=f(x+2)，∴函数f(x)关于x=2对称，=2⇒b=−4，∴f(x)=x2−4x+c，∴−b2∴f(2−a)>f(4)⇒(2−a)2−4(2−a)+c>c⇒a>2或a<−2，故选：B.小提示：本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A ．f (4)>f (0)>f (1)B ．f (1)>f (0)>f (4)C ．f (0)>f (1)>f (4)D ．f (1)>f (4)>f (0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ，f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、奇函数f(x)在(−∞,0)上的解析式是f(x)=x （1+x ），则f(x)在(0,+∞)上有（ ）A ．最大值-1/4B ．最大值1/4C ．最小值-1/4D ．最小值1/4答案：B解析：先根据奇函数性质求f(x)在(0,+∞)上解析式，再根据二次函数性质求最值.当x >0时，f(x)=−f(−x)=−[−x(1−x)]=x(1−x)=−(x −12)2+14≤14，所以当x =12时，f(x)取最大值14，选B.小提示：已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式.解答题4、已知函数y =(2log 4x −2)(log 4x +12)． (1)当x ∈[1,16]时，求该函数的值域；(2)若(2log 4x −2)(log 4x +12)<mlog 4x 对于x ∈[4,16]恒成立，求实数m 的取值范围． （提示：可用换元法）答案：(1)[−98,5](2)m >52解析：（1）令t =log 4x ，可得y =(2t −2)(t +12)，利用二次函数的性质即可求出；（2）令t =log 4x ，可得m >2t −1t −1在t ∈[1,2]上恒成立，求出y =2t −1t −1的最大值即可. (1)令t =log 4x ，x ∈[1,16]，则t ∈[0,2]，函数转化为y =(2t −2)(t +12)，t ∈[0,2]， 则二次函数y =(2t −2)(t +12)=2(t −14)2−98，t ∈[0,2]，当t =14时，y min =−98，当t =2时，y max =5，故当x ∈[1,16]时，函数的值域为[−98,5]．(2)由于(2log 4x −2)(log 4x +12)<mlog 4x 对于x ∈[4,16]上恒成立，令t=log4x，x∈[4,16]，则t∈[1,2]即(2t−2)(t+12)<mt在t∈[1,2]上恒成立，所以m>2t−1t−1在t∈[1,2]上恒成立，因为函数y=2t−1t −1在[1,2]上单调递增，所以最大值为52，故m>52时，原不等式对于x∈[4,16]恒成立．5、已知函数f(x)=x2−1−k|x−1|，k∈R．(1)若y=f(x)为偶函数，求k的值；(2)若y=f(x)有且仅有一个零点，求k的取值范围；(3)求y=f(x)在区间[0,2]上的最大值．答案：(1)k=0；(2)(−∞,−2]；(3)当k<3时最大值为−k+3；当k≥3时最大值为0.解析：（1）由y=f(x)为偶函数有f(−1)=f(1)，即可求k的值；（2）由题意f(x)=0有且仅有一个解，显然x＝1是该方程的解．则x+1−k=0(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且x+1+k=0(x＜1)无解，从而求得实数k的取值范围；（3）当x∈[0,2]时求出f(x)的分段函数的形式，其最大值只可能是f(0),f(2),f(1)其中之一，再由f(2)>f(0)，可得函数的最大值．(1)∵y=f(x)为偶函数，∴f(−1)=f(1)，即−2k=0，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；(2)由题意得，方程x 2−1−k|x −1|=0有且仅有一个解，显然，x ＝1已是该方程的解，当x ≥1时，方程化为(x −1)(x +1−k)=0；当x ＜1时，方程化为(x −1)(x +1+k)=0； ∴x +1−k =0(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且x +1+k =0(x ＜1)无解， 又x ＝1时，k ＝2，此时x ＝−3也是方程的解，不合题意，∴关于x 的方程x =k −1(x ≥1)、x =−(k +1)(x ＜1)均无解，可得k ＜2且k ≤−2， 综上，k ≤−2，即实数k 的取值范围为(−∞,−2]．(3)当x ∈[0,2]时，f(x) ={x 2+kx −k −1,0≤x ≤1x 2−kx +k −1,1<x ≤2， ∵y =f(x)在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，∴最大值只可能是f(0),f(2),f(1)其中之一，又f(0)=−k −1，f(1)=0，f(2)=−k +3，显然f(2)>f(0)，∴当k ＜3时，所求最大值为f(2)=−k +3；当k ≥3时，所求最大值为f(1)=0．。