高一数学下学期第三次月考新课标
2023-2024学年广东省广州大学附中高一(下)第三次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州大学附中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则()A.B.C. D.2.已知复数满足，则()A.B. C.D.3.某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”．某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为()A.B. C.D.4.已知平面向量，其中，且与和与的夹角相等，则()A. B.1C.D.25.若，则()A. B.C.D.6.已知的外接圆的圆心为O ，半径为1，，在上的投影向量为，则()A.B.C.1D.7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A.B.C.D.8.已知三棱锥的四个顶点在球O 的球面上，，是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，，则球O 的体积为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()A.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9B.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是D.若样本数据，，⋯，的平均数为2，则，，⋯，的平均数为810.已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是()A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的减区间为D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到11.如图，在菱形ABCD中，，，将沿对角线BD翻折到位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的()A.存在某个位置，使得B.存在某个位置，使得C.存在某个位置，使得P，B，C，D四点落在半径为的球面上D.存在某个位置，使得点B到平面PDC的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一数学下学期第三次月考试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高一年级下学期第3次月考数学试卷〔文科〕一、选择题〔此题一共有12个小题，每一小题5分，一共60分〕那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算法那么运算即可.【详解】向量那么应选C.【点睛】此题考察向量数量积的坐标运算，属根底题.的终边与单位圆的交于点,那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义求出，的值代入即可.【详解】根据角的终边与单位圆交于点，可得∴，那么应选：B．【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义及其应用，属于根底题．中，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和，可把用和表示，再把代入，即可得到解答．【详解】∵在等差数列中，，.应选：A．【点睛】此题考察等差数列的前项和，以及等差数列的性质，属根底题.．满足，求首项A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得到公比，再由可求首项.【详解】由可得由等比数列的通项公式可得应选B.【点睛】此题考察等比数列的概念及通项公式。
属根底题.那么【答案】D【解析】【分析】两式两边分别平方然后作差即可.【详解】两式相减得应选D.【点睛】此题考察向量数量积的运算，属根底题.满足，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】等比数列满足，那么，根据，求出即可求.【详解】等比数列满足，那么应选B.【点睛】此题考察等比数列根本量的计算机前项和公式，属根底题.向右平移个单位后得到一个偶函数，那么的一个值为【答案】A【解析】【分析】由中函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数，可得当时，函数取最值，即求出的表达式后，结合，可得满足条件的的一个值．【详解】将函数向右平移个单位后函数图象对称的解析式为，假设平移后得到一个偶函数，那么时，函数取最值那么，由，的一个值为.应选A.【点睛】此题考察的知识点是函数的图象变换，正弦函数的对称性，其中纯熟掌握正弦型函数的图象和性质是解答此题的关键．满是等差数列，首项，使获得最小时的值A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题得到数列的通项公式，由可求出获得最小时的值.【详解】由题可得数列的通项公式，由可得使获得最小时的值是7.应选A.【点睛】此题考察等差数列的通项公式，利用邻项变号法求得的值.属根底题.且，求与向量一共线的单位向量A. B.或者C. D.或者【答案】D【解析】【分析】由向量且可得求出即可得到与向量一共线的单位向量.【详解】】由向量且可得解得那么与向量一共线的单位向量，即或者.应选D.【点睛】此题考察向量的模及单位向量，属根底题.中，角为的内角且，假设依次成等差数列，那么角A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由依次成等差数列，得到，将代入，利用，利用三角恒等变形可求由此可求.【详解】由依次成等差数列，得到，由题，且，故应选A.【点睛】此题考察三角函数的恒等变形，属中档题.,为数列的前项和，求使不等式成立的最小正整数A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题利用裂项求和方法可得，代入不等式，解出即可得出．【详解】数列,．不等式，即，解得．∴使得不等式成立的最小正整数的值是2021．应选C.【点睛】此题考察了等差数列的通项公式与求和公式、方程与不等式的解法、裂项求和方法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．12.是上的奇函数，，那么数列的通项公式为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由在上为奇函数，知，令，那么，得到．由此可以求出数列{的通项公式．【详解】由题是上的奇函数故，代入得：∴函数关于点对称，，令，那么，得到．∵，倒序相加可得，即，应选：B．【点睛】此题考察函数的根本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解．属难题二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕满足前项和，那么数列的通项公式为_____________【答案】【解析】【分析】由中前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式．【详解】∵数列前项和，∴当时，，又∵当时，，故，故答案为：.【点睛】此题考察的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和S n，求通项公式的方法和步骤是解答此题的关键．14.那么_____________【答案】【解析】【分析】根据，两式平方后相加即可求得.【详解】∵，①②∴①2+②2有：，，即答案为.【点睛】此题考察两角差的三角函数的计算，属根底题.15.如图，正方形的边长为，且，连接交于，那么______________【答案】【解析】【分析】以为原点，，所在直线为轴，建立直角坐标系，求得的坐标，由三角形的相似可得，即有的坐标，向量的坐标，再由向量的加减和数量积的坐标表示，即可得到所求值．【详解】以为原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，那么，由可得那么，即即有故答案为-69．【点睛】此题考察向量的数量积的求法，注意运用坐标法，考察化简运算才能，属于中档题．的前项和为，，假设对任意的恒成立，那么实数的取值范围_________________【答案】【解析】【分析】求出，问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出的范围即可．【详解】∵数列的前项和为，，，假设对任意的对任意的恒成立，即恒成立，令，那么，令，解得：令，解得：故在递增，在递减，故，故.【点睛】此题考察了等比数列的性质，考察函数恒成立问题，考察函数的单调性以及求函数的最值问题，是一道中档题．中满足〔1〕求数列的通项公式〔2〕从第几项开场为负数【答案】(1);(2)从第7项起为负数.【解析】【分析】〔1〕由为等差数列，可得，由，可求数列的通项公式〔2〕设即，可求.【详解】〔1〕为等差数列，又.〔2〕设即所以从第7项起为负数.【点睛】此题考察等差数列的通项公式，属根底题．18.〔1〕假设，求的值〔2〕求的最大值【答案】(1)-6;(2).【解析】【分析】〔1〕，可求.，由此可求的值.〔2〕由，可求的最大值.【详解】〔1〕.〔2〕从而.【点睛】此题以向量为背景考察三角函数的有关性质，属中档题.的前项和为，且满足〔1〕求数列的通项公式和前项和〔2〕设，令，求【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】〔1〕由，解得．〕由题意可知那么，由此得，从而得到数列的通项公式和前项和；〔2〕那么，即可求出.【详解】〔1〕由题意可知那么即所以为公比的等比数列令那么所以，.〔2〕那么.【点睛】此题考察等比数列的通项公式的求法和数列前项和，解题时要纯熟掌握数列的性质和应用，注意裂项相消法的灵敏运用．过两点，且圆心在直线上〔1〕求圆的方程〔2〕假设直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程【答案】(1);(2)或者.【解析】【分析】〔1〕把点、的坐标代入圆的HY方程，圆心坐标代入直线，利用待定系数法求得系数的值；〔2〕分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况．①当直线的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，那么直线的方程为：，由点到直线的间隔公式求得的值．【详解】(1)设圆的圆心坐标为，半径为设圆的方程为由题意可得所以圆方程为.〔2〕因为直线经过点，且被圆截得的线段长为圆心到直线的间隔为当直线的斜率不存在时，的方程为〔8分〕此时圆心到直线的间隔恰好为2，符合条件当直线的斜率存在时，设直线的方程为那么圆心到直线的间隔为即此时直线的方程为〔11分〕综上所述直线的方程为或者【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的间隔公式，点到直线的间隔公式，圆的HY 方程，属于中档题．21.其最小值为〔1〕求当时，求的值〔2〕求的表达式〔3〕当时，要使关于的方程有一个实数根，务实数的取值范围【答案】(1)-4;(2);(3)或者.【解析】【分析】〔1〕假设，代入计算求的值；〔2〕分类讨论，求的表达式；〔3〕令，欲使有一个实根，那么只需，即可务实数的取值范围．【详解】(1)当时，.〔2〕，那么；令那么,，对称轴为当；〔4分〕②当,当.综上所述.〔3〕设,那么函数h(t)在上有且只有一个零点,,解得或者.【点睛】此题考察函数的最值，考察三角函数知识的运用，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．和等比数列，其中的公差不为.设是数列的前、、是数列的前项，且.〔Ⅰ〕求数列和的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列为等差数列，务实数；〔Ⅲ〕构造数列，，，，，，，，，…，，，，，…，，…，假设该数列前项和，求的值.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或者;(Ⅲ)34.【解析】试题分析：(1)由题意列出方程组求得数列的首项，公差，那么其通项公式为，进一步即可求得数列的通项公式为(2)利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数列出方程组，求解方程组可得或者;(3)结合题意分组求和得到关于m的方程，解方程讨论可得.试题解析：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为〔〕，由、、是数列的前项，且得，因为，所以，故的通项公式为；而，，所以等比数列的公比，的通项公式为；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，因为数列为等差数列，所以可设，，，所以即对总成立，不妨设，，，那么对总成立，取，，得，解得，即，解得或者．令．当时，，因为，所以为等差数列；当时，，因为，所以为等差数列．综上，或者．另解：由〔Ⅰ〕知，因为数列为等差数列，所以，，必成等差数列，所以，即，解得或者．令．当时，，因为，所以为等差数列；当时，，因为，所以为等差数列．综上，或者．〔Ⅲ〕设从到各项的和为，那么因为，所以，因此．当时，，当时，，所以，可设后面有项，那么，所以，，因此，即的值是．。
重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)
重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。
2021-2022年高一下学期第三次月考(数学)
2021年高一下学期第三次月考（数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分；答题时间150分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）．1某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 ( )A ．15,10,20B ．10,5,30C ．15,15,15D ．15,5,252．向量，，则 （ ）A ．与的夹角为60°B ．⊥C ．∥D ．与的夹角为30°3. 设a ＝sin 15°＋cos 15°，b ＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( )A ．a ＜a 2＋b 22＜bB ．a ＜b ＜a 2＋b 22C ．b ＜a ＜a 2＋b 22D ．b ＜a 2＋b 22＜a4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2 x ≤0，－x ＋2 x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为 ( )A ．[－1,2]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,1]5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 13为一定值，则下列为定值的是 （ ）A ．S 15B ．S 16C ．S 17D ．S 186．若某程序框图如右图所示，则该程序框图运行后输出的B 等 于 （ ） A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 7（ ）程序：A ．3，4B ．4，7C ．7,7D ．7,11 8．已知函数，则是 （ ） A ．最小正周期为的偶函数 B ．最小正周期为的奇函数 C ．最小正周期为的偶函数 D ．最小正周期为的奇函数 9．已知函数若是函数的零点， 且则 （ ） A ．恒为负值 B ．恒等于0 C ．恒为正值 D ．不能确定10． 给出50个数：1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数 大1，第3个数比第2个数大2，第4个数 比第3个数大3， 以此类推，要计算这50 个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图 （如右图），请在图中判断框中的①处和处理框中 的②处填上合适的语句，使之能完成该题算 法功能 （ ）A ．i ≤50；p=p+iB ．i<50；p=p+iC ．i ≤50；p=p+1D ．i<50；p=p+1第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图，则平均分数较高的是X ＝3 Y ＝4 X ＝X ＋Y Y ＝X ＋Y PRINT X ，Y。
太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷(含答案)
太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知i 为虚数单位,则z =A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知()1,2a =,()2,2b =-,(),1c λ=-,()//2c a b +,则 λ等于( )A.2-B.1-C.- 3．在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列结论不正确的是( ) A.2222cos a b c bc A =+- B.sin sin a B b A = C.cos cos a b C c B =+D.cos cos sin a B b A C +=4．在平行四边形ABCD 中,14AE AC =,设AB a =,BC b =,则向量DE =( )34b - 14b - 13b - 23b - 5．下列命题正确的是( )A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台C.圆柱,圆锥,圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径6．在ABC △中,a x =,2b =,45B =︒.若利用正弦定理解ABC △有两解,则x 的取值范围是( )A.2x <<x <<x >x <<D ,测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30BDC ∠=︒,30BDC ∠=︒,60DCA ∠=︒,45ACB ∠=︒.如图所示,则蓝方这两支精锐部队的距离为( ).A.a 48．如图,在ABC △中,AB a =,AC b =,D ,F 分别为BC ,AC 的中点,P 为AD 与BF 的交点,且2AE EB =.若BP xa yb =+,则x y +=________;若3AB =,4AC =,π3BAC ∠=,则BP ED ⋅=________.则求解正确的是( )A. 二、多项选择题9．下列说法正确的有( ) A.任意两个复数都不能比大小B.若()i ,z a b a b =+∈∈R R ,则当且仅当0a b ==时,0z =C.若12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z ===+10．下列结论不正确的是( ) A.单位向量都相等 B.对于任意a ,b ,必有b a b+≤+C.若//a b ,则一定存在实数λ,使a b λ= D.若0a b ⋅=,则0a =或0b =11．设P 为ABC △所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若0PA PB PC ++=,则点P 是ABC △的重心B.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点P 是ABC △的垂心C.若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭,,[)0λ∈+∞,则点P 是ABC △的内心 D.若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=,则点P 是ABC △的外心 三、填空题12．若向量(cos ,sin )m αα=,(cos ,sin )n ββ=,m 与n 的夹角为3,则cos()αβ-=_____. 13．已知向量a ,b 满足3a =,2b =且()()25a b a b -⋅+=,则a 在b 方向上的投影向量为_____.14．已知三角形ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,有以下三角形一定存在;②以2a ,2,b cb -+c -+1a -+为边长的三角形一定存在,其中正确的命题有________(填写所有正确命题的序号). 四、解答题15．已知向量a 与b 的夹角4θ=,且3a =,22b =. （1）求a b ⋅,()(2)a b a b +⋅-,b+;（2）a 与a b +的夹角的余弦值.16．已知函数()f x a b =⋅,其中()2cos ,2a x x =,(cos ,1)b x =,x ∈R . （1）求函数()y f x =的单调递减区间.（2）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()1f A =-,a =(3,sin )m B =共线,求边长b 和c 的值.17．已知向量a 与向量b 的夹角为452a =,1b =.2b +的值;（2）若向量2a b λ-与3a b λ-的夹角是锐角,求实数 λ的取值范围.2b a c=-;1tan B +=③设ABC △的面积为S ,且()22233b a c +-=.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上.并加以解答.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且________. （1）求角B 的大小;（2）若b =B <<ABC 的周长的取值范围. 19．已知O 为坐标原点,对于函数()sin cos f x a x b x =+,称向量(,)OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量,同时称函数()f x 为向量OM 的相伴函数.（1）设函数5π3π()sin sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,试求()g x 的相伴特征向量OM ;（2）记向量(1,ON =的相伴函数为()f x ,求当()f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,sin x 的值;（3）已知(2,3)A -,(2,6)B ,(OT =-为π()sin 6h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量,π()23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ,使得AP BP ⊥.若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：B 解析：i i(12i)2i 12i (12i)(12i)5z +-+===--+ 故z 在复平面内对应的点位于第二象限,故选:B 2．答案：A解析：(1,2)a =,(2,2)b =-,22(1,2)(2,2)(4,2)a b ∴+=+-=, (,1)c λ=-,//(2)c a b +,(,1)(4,2)λ∴-=,24λ∴=-,解得2λ=-, 故选:A. 3．答案：D解析：由在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,知: 在A 中,由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,故A 正确;=sin sin a B b A ∴=,故B 正确; 在C 中,cos cos a b C c B =+,∴由余弦定理得:2222a b c a b c ab +-=⨯+整理,得2222a a =,故C 正确; 在D 中,由余弦定理得:222222222222cos cos sin 2222a c b b c a a c b b c a a B b A a b c C ac bc c c+-+-+-+-+=⨯+⨯=+=≠,故D 错误. 故选:D. 4．答案：A 解析： 5．答案：A解析：A 中,“以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥”正确; 以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台,故B 错误;圆锥只有一个底面,故C 错误;圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长;故选:A 6．答案：B解析：如图,45B =︒,CD AB ⊥,则sin45sin45sin45CD BC a x ︒︒=⋅==︒,以C 为圆心,2CA b ==为半径画圆弧,要使ABC △有两个解,则圆弧和BA 边应该有两个交点,故CA CD >且CA CB <,即sin 452x x ︒<<,解得2x <<7．答案：B解析：由题意知60ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒,又因为60ACD ∠=︒,所以60DAC ∠=︒.所以2AD CD AC a ===.在BCD △中,1803010545DBC ∠=︒-︒-︒=︒,由正弦定理得sin BD BCD =∠sin 3sin 24BCD CD a a DBC ∠===∠,在ADB △中,由余弦定理得222223332cos 24428AB AD BD AD BD ADB a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以AB =. 8．答案：C解析：由题意可知点P 为三角形ABC 的重心.因为12BF AF AB a b =-=-+,所以2212133233BP BF a b a b ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭,所以x =y =x y +=因为3AB =,4AC =,π3BAC ∠=,所以π1cos 34632a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=.又2AE EB =, 所以1111()3262ED EB BD a b a a b =+=+-=-+,所以2221111171179166336296189618BP ED a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+-⋅=⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．答案：BD解析：对于A 选项,当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以A 不正确; 对于B 选项,复数的实部与虚部都是0时,复数是0,所以B 正确;对于C 选项,当121,i z z ==,满足22120z z +=,但120z z ==,所以C 不正确;=+义,是单位圆上的点到()0,2-的距离,它的最大值为3,所以D 正确; 故选:BD. 10．答案：ACD解析：对于A,单位向量的模长相等,方向不一定相同,不一定是相等的向量,A 错误; 对于B,任意a ,b 根据向量加法的几何意义知b a b+≤+,当且仅当a ,b 共线同向时取“=”,B 正确;对于C,若//a b ,不一定存在实数λ,使a b λ=,如0a ≠且0b =时,命题不成立,C 错误; 对于D,若cos 0a b a b θ⋅==,则0a =或0b =或a b ⊥,∴D 错误.故选:ACD 11．答案：ABD解析：对于A:若0PA PB PC ++=,则PA PB PC +=-.以PA ,PB 为邻边作平行四边形P ADB ,M 为PD 的中点,则PA PB PD +=,所以PD PC =-,又2PD PM =,所以||2||PC PM =,故P 为ABC △的重心.所以A 正确;对于B:若PA PB PB PC ⋅=⋅,则0PA PB PB PC ⋅-⋅=, 即()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥. 同理PA PB PA PC ⋅=⋅,则PA BC ⊥,故P 为ABC △的垂心. 故B 正确;对于C:在边AB ,AC 上分别取点E ,F ,使AB AE AB=,AC AF AC=,则1AE AF ==,以AE ,AF为邻边作平行四边形AEGF ,则四边形AEGF 为菱形.连接AG ,则AG 为的角平分线,由AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭,所以点P 在角平分线AG 上,故点P 的轨迹一定通过ABC △的内心. 所以C 错误;对于D:若22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-=,则PA PB =,同理有PB PC =,PC PA =,故P 为ABC △的外心.所以D 正确. 故选:ABD222cos sin 1,cos sin 1m n ααβ=+==+=()cos cos sin sin cos m n αβαβαβ⋅=+=-,又因为π1cos 1132m n m n ⋅=⨯⨯=⨯⨯=)αβ-=13．答案：b - 解析：14．答案：①③④解析：不妨设0a b c ≥≥>,b c a +>.0≥>,0=>,①真;②若4a =,3b =,2c =则222b c a +<,②假;022c a b c ++≥≥>,0222c a b c a bc +++⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭,③真;1b -+>1c -+>10a -+>,(1)(1)(1)(1)(1)(1)10a b b c c a a b b c a c -++-+--+=-++-+--+=>, (1)(1)(1)(1)(1)(1)2()10b c c a a b b c a c a b b c -++-+--+=-++-+--+=-+>,(1)+(1)(1)(1)(1)(1)2()10c a a b b c a c a b b c a b -+-+--+=-++-+--+=-+>.④真.15．答案：（1）6-,-解析：（1）已知向量a 与b 的夹角θ=3a =,22b =,则3πcos 364a b a b ⎛⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭, 所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-;()222292a b a b a a b b +=+=+⋅+=+=（2）a 与a b +的夹角的余弦值为()296cos ,35a a baa ba ab a a ba a b⋅++⋅-+====⨯⋅+⋅+ 16．答案：（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）2c =,3b =解析：（1）2()2cos 2f x a b x x =⋅=cos 221x x =+ π2cos 213x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由题意有()π2π2π2π3k x k k ≤+≤+∈Z ,解得ππ6π3πk x k -+≤≤+()k ∈Z 所以单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）π()2cos 2113f A A ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭,πcos 213A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,0πA <<,ππ233A ∴<+<ππ3A +=,A ∴=(3,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线,3sin 2sin C B ∴=,32c b ∴=,32b c =,2222π772cos 34a b c bc c==+-=,2c ∴=,3b =. （2）1λ<<6λ<<.解析：（1）cos 45112b a b a ⋅=︒=⨯=222224cos 45224a b a b a a b b +=+=+︒+=+=（2）2a b λ-与3a b λ-的夹角是锐角 ()()230a b a b λλ∴-⋅->,且2a b λ-与3a b λ-不能同向共线 2760λλ∴-+<且()23a b k ab λλ-≠-,0k >1λ∴<<6λ<< 18．答案：（1）π3B =（2）(+ 2b a c ==-整理得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-,即()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,0πB <<,π3B ∴=. 选②,()sin 11cos cos cos sin cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B A BB AC A B A B A B A B A B +++=+===, sin sin sin C A B ∴=sin 0C ≠,sin B ∴=π0B <<,B ∴=选③,()2224333Sb ac +-=,()222sin 3B a c b∴=+-,3B=3cos B B =,. tanB ∴=,0πB <<,B ∴=（2）0B <<B =4sin sin sin sin 3a c b AC B =====, 24sin ,4sin 4sin 3a A c C A π⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭, ABC ∴△的周长2π14sin4sin4sin4sin32l a b c A A A A A⎫⎛⎫=++=+-+=+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1πcos26A A A⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭钝角ABC△2ππ3A<-<,又π2A<<,0A∴<<ππ66A∴<+<π1sin62A⎛⎛⎫+∈⎪⎝⎭⎝⎭(π3A⎛⎫∴+++⎪⎝⎭.ABC∴△的周长的取值范围是(+19．答案：（1）322OM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭（2）sin x=（3）见解析解析：（1）5π3π5π5π()sin sin sin cos cos sin cos6266g x x x x x x⎛⎫⎛⎫=+--=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()cos2g x x x∴=+()gx∴的相伴特征向量32OM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.（2）向量(1,ON=的相伴函数为()sinf x xx=+,()sin2sin3f x x x xπ⎛⎫==+=⎪⎝⎭πsin3x⎛⎫∴+=⎪⎝⎭.ππ,36x⎛⎫∈-⎪⎝⎭,ππ0,32x⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,πcos3x⎛⎫∴+=⎪⎝⎭ππ1ππsin sin sin33233x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由(OT =-为π1()sin sin cos 62h x m x m x m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量知:2m =-.所以ππππ()2sin 2sin 2323622x x x x h ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,3)A -,(2,6)B ,12,2cos 32AP x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭,12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,又AP BP ⊥, 0AP BP ∴⋅=,11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221144cos 18cos 18022x x x -+-+=, 2219252cos (*)224x x ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭122cos 22x -≤≤,13192cos 222x ∴-≤-≤225192cos 422x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭又2254x -≤当且仅当 0x =时,192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 这时(*)式成立.∴在()y h x =图像上存在点(0,2)P ,使得AP BP ⊥。
高一数学下学期第三次月考试题含解析试题
中学2021-2021学年高一数学下学期第三次月考试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分．,,a b c ∈R 且a b >，那么以下不等式成立的是〔 〕A. 22ac bc >B.11a b< C.b a a b< D.||1||1a bc c >++【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析.【详解】选项A, 222()0,ac bc a b c -=-≥所以a ≥b,所以该选项错误；选项B, 11b a a b ab--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项C, ()()b a b a b a a b ab+--=，符合不能确定，所以该选项错误；选项D,0||1||1||1a b a b c c c --=>+++，所以||1||1a bc c >++，所以该选项正确. 应选：D【点睛】此题主要考察实数大小的比拟，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.,a b 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+，那么λ=〔 〕A. 3B. -3C. 1D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示化简求解.【详解】由题得22()(3)=+3+1+3a b a b a b a b λλλ+⋅+⋅（）=+3+0=0=-3.λλ∴，应选：B【点睛】此题主要考察向量垂直的数量积表示，考察数量积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.{}n a 为等比数列，且12a =，58a=，那么3a =〔 〕A. 5B. 4±C. 4D. -4【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求解.【详解】由题得231532816,4a a a a ==⨯=∴=±.因为等比数列的奇数项同号，所以34a =. 应选：C【点睛】此题主要考察等比数列的性质和等比中项的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.以下4个命题中，两直线,a b ，平面α：①假设a b ∥，那么a 平行于经过b 的任何平面；②假设直线a ∥平面α，那么a 与α内任一直线平行；③假设a α，b α，那么a b ∥；④a b ∥，a α，α⊄b ，那么b α．正确命题个数为〔 〕 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.【详解】①假设a b ∥，那么a 平行于经过b 的任何平面,是错误的，因为a,b 有可能在一个平面内；②假设直线a ∥平面α，那么a 与α内任一直线平行，是错误的，因为a 与α内任一直线平行或者异面；③假设a α，b α，那么a b ∥，是错误的，因为a 和b 可能平行，相交或者异面； ④a b ∥，a α，α⊄b ，那么b α．是正确的； 应选：B【点睛】此题主要考察空间直线和平面的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =+的最大值为〔 〕 A. 8 B. 7C. 6D. 4【答案】B 【解析】先画出满足约束条件1040x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩的平面区域，然后求出目的函数z x y =+取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目的函数即可求出答案．【详解】满足约束条件1040x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩的平面区域如以下图所示：作直线0:20l x y +=把直线向上平移可得过点(1,3)时2x y +最小 当1x =，3y =时，2z x y =+取最大值 7， 故答案为 7．【点睛】此题考察的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目的函数的最优解点的坐标是解答此题的关键．6.圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，那么圆台的体积为〔 〕 A. 40πB. 52πC. 50πD.2123π【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长 为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积. 【详解】作出圆台的轴截面如下图：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 那么624EC =-= 由5CD = 故3DE = 即圆台的高为3, 所以圆台的体积为222213(2626)523V πππππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.应选：B ．【点睛】此题考察的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．7.{}n a 是正项等比数列且2754a a a ⋅=，4a 与62a 的等差中项为18，那么5a =〔 〕 A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C【分析】由题得到关于1,a q 的方程组，解方程组即得1,a q 的值，再求5a 得解.【详解】由题得641113511141236,,220a q a q a q a q a q a q q ⎧⋅=⎪+=∴==⎨⎪>⎩.所以451282a =⋅=. 应选：C【点睛】此题主要考察等比数列的性质和等差中项的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.8.||1,||1a b ==，a 与b 夹角为3π，那么a b -与b 的夹角为〔 〕 A. 60︒ B. 90︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】 【分析】先求出||a b -，再代向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题得2||=()111a b a b --=+-=，所以a b -与b 的夹角为11()12cos =112||||a b a b a b α--⋅==-⋅-⋅，所以两向量的夹角为120︒. 应选：C【点睛】此题主要考察向量的夹角的求法，考察平面向量的数量积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.x 的不等式0ax b ->的解集为(,1)-∞，那么关于x 的不等式(2)()0x ax b -+>的解集为〔 〕A. ()12， B. ()12-， C. (,1)(2,)-∞-+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】由0a b =>，不等式()(2)0ax b x +->为(1)(2)0a x x +->，所以1x <-或者2x >，应选C ．O 为ABC △所在平面内一点，,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭那么ABC△的形状为〔 〕 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】由,OA OB OA OC ⋅=⋅得OA 和BC 垂直，由||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+⎪⎝⎭得到OA 是∠BAC 的角平分线，综合即可判断△ABC 的形状. 【详解】,)0OA OB OA OC OA OB OC OA CB ⋅=⋅∴⋅-=⋅=（,所以OA BC ⊥.||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴AO 在∠BAC 的角平分线上，所以AO 既在BC 边的高上，也是∠BAC 的平分线， 所以△ABC 是等腰三角形. 应选：B【点睛】此题主要考察平面向量的加法法那么和减法法那么的几何应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.ABC △中，2a =，sin()sin2B Ca A B c +⋅+=⋅，那么ABC △周长的最大值为〔 〕 A. 8 B. 7C. 6D. 5【答案】C 【解析】 【分析】先由sin()sin 2B C a A B c +⋅+=⋅得到A=3π,再利用根本不等式求b+c 的最大值，即得三角形周长的最大值.【详解】由题得sin cos ,2A a C c ⋅=⋅ 所以sin sin sin cos,2A A C C ⋅=⋅ 所以sin cos ,2sin cos cos 2222A A A AA =∴=,因为(0,),cos 0,222A Aπ∈∴≠所以1sin =223A A π∴=，. 由余弦定理得22224=2cos b c bc A b c bc +-=+-,所以22())43434b c b c bc ++=+≤+⋅（， 当且仅当b=c=2时取等. 所以4,6b c a b c +≤∴++≤. 应选：C【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，假设357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，那么n S 的最大值为〔 〕 A. 25 B. 40 C. 50 D. 45【答案】D 【解析】 【分析】利用条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解n S 的最大值．【详解】等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，可得：35277225a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =〔舍)或者19a =，2(1)199(1)22n n n n nS n --+=+⋅-=．所以n=9或者n=10时， 故n S 的最大值为910==45S S ． 应选：D ．【点睛】此题主要考察等差数列的性质和等差数列的前n 项和及其最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题3分，一共12分．{}n a 的前n 项和为21n S n =+，那么通项公式为__________．【答案】()()2,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥ 求解，但要注意验证n=1时11a S = 是否成立.【详解】当n=1时，112a S == ；()()2211111n n S n S n n +=+∴=++≥又()12n n n a S S n -=-≥()212n a n n ∴=-≥ ，111a S =≠ ∴()()2,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【点睛】此题考察利用数列前n 项和求数列通项公式，属于根底题目，解题中需要注意利用公式()12n n n a S S n -=-≥求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.14.如图，PQ 为O 的一条弦，且4PQ PO ⋅=，那么||PQ =__________．【答案】2【解析】【分析】过点O 作OA ⊥PQ,垂足为A. 那么PA=AQ ，再利用平面向量的数量积和三角函数求解. 【详解】,过点O 作OA ⊥PQ,垂足为A. 那么PA=AQ.因为4PQ PO ⋅=，所以2||1||||cos ||||||4||2PA PQ PO OPQ PQ PO PQ PO ∠=⋅==, 所以||22PQ =故答案为：22【点睛】此题主要考察直线和圆的位置关系，考察平面向量的数量积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.15.矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转360︒形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________．【答案】32π【解析】【分析】利用矩形的周长公式、根本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．【详解】如下图，设矩形的长与宽分别为a ，b ．那么2216a b +=，即8a b +=． ∴82ab ，当且仅当4a b ==时取等号．解得16ab ．∴旋转形成的圆柱的侧面积221632a b πππ==．∴旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为32π．故答案为：32π．【点睛】此题考察了根本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于根底题．16.有三条棱互相平行的五面体，其三视图如下图，那么该五面体外接球的体积为__________．【答案】12523【解析】【分析】先作出三视图对应的原几何体，再求几何体外接球的半径，再求几何体外接球的体积.【详解】由题得几何体原图是如下图的直三棱柱ABC-EFG ，D,H 分别是AB,EF 中点，O 点时球心，所以OH=52,1522HF EF ==, 所以252552442R =+=所以几何体外接球的体积为34512522323π⋅⋅故答案为：12523【点睛】此题主要考察三视图复原几何体，考察几何体外接球的体积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题一一共4个小题，一共40分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别AB 、AC 、11A B 、11A C 的中点，求证：〔1〕B 、C 、H 、G 四点一共面；〔2〕平面1EFA BCHG ∥．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析．【解析】试题分析：〔1〕要证明四点一共面，只需证//GH BC ，根据中位线，有11////GH B C BC ，所以四点一共面；〔2〕利用中位线，易证1//,//EF BC A F BG ，所以平面1EFA 平面BCHG ．试题解析：〔1〕∵ G H ，分别为1111 A B AC ，中点，∴11GHB C ， ∵三棱柱111AB A B C 中，11BC B C ，∴GH B ，∴ B C H G ，，，四点一共面．…………………………5分〔1〕∵ E F ，分别为 AB AC ，中点，∴EF BC ∥，∴11EF BC B C GH ，又∵ E G ，分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边11AB A B ，中点， ∴四边形1A EBG 为平行四边形，1A E BG ，∴平面1EFA 中有两条直线1A E EF ，分别与平面BCHG 中的两条直线BG ，BC 平行，∴平面1EFA BCHG 平面．………………………………12分考点：证明四点一共面及面面平行．18.某单位建造一间反面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算反面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元.【解析】【分析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元，求出z 的表达式，再利用根本不等式求最低造价.【详解】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元，那么30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号， 答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元.【点睛】此题主要考察根本不等式的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.{}n a 的前n 项和为n S 且344n n S a =-.〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕令2211log log n n n b a a +=⋅，假设{}n b 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围．【答案】〔1〕4n n a =；〔2〕14m ≥. 【解析】【分析】〔1〕利用项和公式求{}n a 的通项公式；〔2〕先化简得11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,再利用裂项相消求解. 【详解】〔1〕令1n =，那么111113444S a a S a =-⎧∴=⎨=⎩，， 当2n ≥时，344n n S a =-，①11344n n S a --=-，②①-②得：1344n n n a a a -=-，∴14n n a a -=，即14n n a a -=， ∴数列{}n a 为14a =，公比为4的等比数列，∴1144n n n a a -==.〔2〕12211log 4log 422(1)n n n b n n +==⋅⋅+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴111111111422311n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()41n n =+， ∵1111414n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭且n T m <恒成立，∴14m ≥ 【点睛】此题主要考察项和公式求通项，考察裂项相消求和，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.20.ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边且2sin 3tan c B a A =.〔1〕求222b c a+的值； 〔2〕假设1a =，当角A 最大时，求ABC ∆的面积．【答案】〔1〕4；〔2〕4. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；〔2〕先求出A 最大时，3cos 4A ≥，再求出b,c 和sinA ，再求ABC ∆的面积．【详解】〔1〕∵sin 2sin 3tan 3cos A c B a A a A⋅=⋅=⋅， ∴2sin cos 3sin c B A a A ⋅⋅=⋅，∴2cos 3c b A a a ⋅⋅=⋅， ∴2222232b c a cb a bc+-⋅=， ∴2224b c a +=， ∴2224b c a+=； 〔2〕1a =时，22244b c a +==， ∵2223cos 22b c a A bc bc+-==且2224bc b c ≤+=，∴3cos 4A ≥， ∴当角A 最大时，3cos 4A =，此时sin A == 224b c b c b c ⎧+=⇒==⎨=⎩∴11sin 2244ABC S bc A =⋅==. 【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形的面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2022-2023学年安徽省阜阳市高一年级下册学期第三次月考数学【含答案】
2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（）A.M N⋃ B.M N ⋂C.()()U U M N D.()()U U M N 2.“=1x -”是“20x x +=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数()231i i +=A.2 B.－2 C.2i D.-2i4.如图所示，用符号语言可表达为（）A.m αβ= ，n ⊂α，m n A= B.m αβ= ，n α∈，m n A = C.m αβ= ，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D.m αβ= ，n α∈，A m ∈，A n∈5.已知向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=- ，则AC = （）A.5B.42C.6D.52 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是（）A.2B.22 C.3 D.337.在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为A.1B.2C.2D.38.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（） A.224+ B.3 C.34 D.34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22πR B.圆锥的侧面积为22πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:210.下列命题正确的是（）A 平面//α平面β，一条直线a 平行与平面α，则a 一定平行于平面βB.平面//α平面β，则面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线11.下列说法正确的序号是（）A.偶函数()f x 的定义域为[]21a a -，，则1=3a B.一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+C.奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D.若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积最大为23D.过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B⊥三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b + 与a 垂直，则m =________．14.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.15.下列说法中，所有正确说法的序号是______．①终边落在y 轴上的角的集合是π,2k k θθ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；②函数π2cos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；③函数sin y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度．16.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知z 为复数，2i z -和2iz +均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数12i z z m m =++对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19.已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，3PA =，∠ACB ＝90°．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知两个非零向量a 与b 不共线，（1）若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，求证：A ､B ､D 三点共线；（2）试确定实数k ，使得ka b + 与k +a b 共线；（3）若(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，求实数λ的值.21.如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．22.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上.（1）证明：//AP GH ；（2）若AB 的中点为N ，求证：//MN 平面APD .2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ABD三、填空题（本题共4小题，共20.0分）【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】2.【15题答案】【答案】②④【16题答案】【答案】4π四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）42iz =+（2）41m -<<【18题答案】【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）34【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1k =±（3）32λ=-【21题答案】【答案】(1)2；（2）4.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。
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高一数学试题【新课标】nW nx yi 1b 2~ n22 X inx1bx()A .必然事件B .不可能事件 C.随机事件D.以上选项均不正确2.为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个稳定，通常需要知道这两个人数学成绩的5.经过点M( 2,m)、N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为6.在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列几种说法正确的是()A . AC 1 AD本试卷分选择题和非选择题两部分.试卷满分150分.考试时间100分钟.参考公式：用最小二乘法求线性回归直线方程,y bx a 中的系数:1. 、选择题： 一项是符合题目要求的.在1, 2, 3，…，10这10个数字中，任取一事件是本大题共 12小题，每小题5分, 60分.在每小题给出的四个选项中，只有 3个数字，那么“这三个数字的和大于6”()A .平均数B. 众数C. 方差—►f—b f3.已知 a ( 1,3),b(x, 1),且a // b ，则 x 等于( )A . 3B.3C.134. a 是第四象限角，COS a =12，贝U sin=13()A 55c5A .B. -C131312D.频率分布D.D-主12A . 1( )B. 4C. 1 或 3D. 1 或 4B . D 1C 1 ABc. AC 1 与 DC 成 45° 角D. AC 1 与 B 1C 成 60° 角7. 某校现有高一学生 210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为( )A . 10B. 9计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )C. 25D. 269. a =8b =5a = a +b 咼考资源网b =a - bPRINT a , b A . 8, 5 B. 3, 13 C. 13, 3 .13, 8从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于 4.8g 的概率为 0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在 4.8,4.85 ( g ) 范围内的概率是 ( )新疆•源头学子小屋特级教师 王新敞新疆""源头学子小屋 I特级教师王新敞新疆源头学子小屋特级教师 王新敞_-f 疆- 源头学子小屋特级教师 王新敞新疆源头学子小屋特级教师 王新敞新疆"源头学子小屋特级教师 王新敞新疆- 纤小屋 特级教师I0.62 r r 10.已知 |a| 2sin15°,|b| 0.38 C 0.02 D 0.684cos15°,a 与b 的夹角为30°,则a b 的值为 AV2 B. C. 2.3 D .，接 1, 16。
当接收方收到密文 14, 9, 23,28时, ) 6, 1, 4 6, 4, 711. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文(加密) 收方由密文 明文(解密)，已知加密规则如右图所示，例如，明文 2, 3, 4对应密文5, 则解密得到的明文为 A . 4, 6, 1, 7 C. 6, 4, 1, 7 12. 在集合｛ 1 , 2, 3,，，7, 18, ( B. 7, D. 1 , 4…，10 ｝中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos (30°・x ) = 1/2 的概率为(A . 1/3 B. 1/4 ) C. 1/5 D .1/6 二、填空题：每小题 5分，共30分，将答案写在答题卡对应位置上. 13. 一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为 0. 3,则该组的频数是 _____________ .n ™ 2A + rp -2ci-3d o4/1JF殆114•函数y 5sin(—x丄)的最小正周期是3 4 ------------------15•若 OA = (2,8) , OB=( 7,2)，则1 AB =316•图中所示的是一个算法的流程图，已知a1 3，输出的b 7,则a2的值是______________217•若函数f (x) (k 2)x (k 1)x 3是偶函数，则f (x)的递减区间是_________________________1 118 •已知2a 3b m,且2，则实数m的值为___________ •a b三、解答题：19.(本小题满分8分)已知I a |=1, | b | = ,2。
若a〃b，求a • b ；20 •(本小题满分12分)为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图) ，图中从左到右各小长方形的面积之比为2: 4: 17: 15: 9: 3,第二小组频数为12.(I )求第二小组的频率；(II )求样本容量；(III )若次数在110以上为达标，试估计全体高学生的达标率为多少？21 •(本小题满分14分)x （年）23456y (万元) 2 • 23. 8 5 • 5 6 • 57. 0(1 )回归直线方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少?22 •(本小题满分14分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y )在圆x2+y2=15的内部的概率.23 •(本小题满分12分)1在ABC中，已知1 (I )求角A的大小; tan Atan B2sin Csin BC(II )若 m 0, 1 ,n cosB,2cos 2,试求 |m n |的最小值。
2参考答案10DADCB 11 ——12CC - • 填空题 13. 30 14.615. ( 3, 2)16 •11 17• (0,+ a)_ •解答题r rr rr r r r19. 解：••-a // b ,①若a , b 共向， 则 a • b = | a I? | b | =、2 , ...............r r r r r r②若 a , b 异向， 则a • b =- -I a |?| b | =—.2 o ..............……(8分) 20•解： (1)由于每个长方形的面积即为本组的频率，设第二小组的频率为2f 4f 17f15f 9f 3f1ooooooooo 3 ^分解得 f 丄1o o o o o o oo c 4分501 2第二小组的频率为 450 o 25 o o o o o o o o 6分(2) 设样本容量为 n , 12 122,n 150 ooooooooooo o 9分n 25(3 )由( 1 )和直 1方 图知 1 ,次数在110 以上17f 15f 9f 3f 44f 44 1 0.88•选择题 1 的频率5CCCBA 6 (4分)4f ,50 0• 88。
oooooooooooo 12 分 2分 由此估计全体高一学生的达标率为 4,y 5, 112.3 5xyi 15222X i 5xi 1112.3 5 4 5290 5 4空 1.2310a y bx 5 1.23 4 0.0810分•••回归直线方程为 y 1.23x 0.08 11分 (2)当 x 10 时, y 1.23 10 0.08 12.38 (万元) 即估计用10年时，维修费用约为 12. 38万元。
................ 14分. 22•解：将一颗骰子先后抛掷 2次，此问题中含有 36个等可能基本事件。
（1 ）记“两数之和为 5”为事件A ,则事件A 中含有4个基本事件，4 1 1 所以P （ A ）= ；答：两数之和为 5的概率为—.°°ooooooooooo 6分36 99（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，33;答：两数中至少有一个奇数的概率 一 4 4 ooooooooo 2 '分 9所以 P （ B ）=1 —36 （3 ）基本事件总数为 P （ C ）=— 36 件，所以ooo 10 分36,点（x , y ）在圆x 2+y 2=15的内部记为事件 C,贝U C 包含8个事2 2 2 2一.答：点（x,y ）在圆x +y =15的内部的概率一99oooooooooo 142s in C sin B ‘ sin AcosB 2sinC 1 . •sin BcosA sinBsin BcosA sin AcosB 即23•解(1)1亚 tan B sin(A B) sin BcosAsin BcosA 2s in C sin B12.…COS A (2)n|2又由B C 从而 一62s inC sin B ,A亍…2C (cosB,2cos1) (cosB,cosC),22 c 2 ccos B cos C2 2 —.得 B (0, 32B6当sin(2B6）| m n |min21cos 2 B cos 2(B) 1 -sin(2B -) 3 2 63).76 . ......... 10分1,即B 3时,|m n|2取得最小值111分12分。