6-弹性力学-第1章至第4章小结
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学总结
1、绪论1－1 弹性力学的研究对象和任务课程研究对象研究内容理论力学质点、质点系（刚体）机械运动的一般规律材料力学单根杆件弹性体在外因素作用下所产生的内力、应力、应变和位移，提供强度、刚度和稳定性计算的理论。
结构力学杆系结构弹性力学实体结构、板壳总复习z y x σσσ,,zxyz xy τττ,,zy x εεε,,zxyz xy γγγ,,wv u ,,zy x f f f ,,zy x ff f ,,基本量符号量纲正负号规定应力分量正应力N/m 2正面上沿坐标轴正向为正负面上沿坐标轴负向为正切应力N/m 2应变分量正应变无量纲线段伸长为正切应变无量纲线段间夹角变小为正位移分量m 沿坐标轴正向为正外力体力分量N/m 3面力分量N/m 21－2 弹性力学的基本量直角坐标表示的基本量基本假定引用后的结果物理假设（理想弹性体假设）连续性应力、应变和位移可用坐标的连续函数表示均匀性物理的弹性常数不随坐标位置而改变各向同性物理的弹性常数不随方向而改变完全弹性保证了应力与应变之间的一一对应的线性关系几何假设小变形基本方程化为线性方程，可引用硬化原理、叠加原理1－3 弹性力学的基本假定1－4 弹性力学问题已知量：物体的形状和大小（边界）；物体的弹性常数（E、 、G）；物体的体力、面力；物体的边界约束。
待求量：应力分量、形变分量、位移分量。
超静定问题。
物理量平面应力问题平面应变问题Oxy平面内的分量（基本未知量）Z方向的分量（不存在或不独立）Oxy平面内的分量（基本未知量）Z方向的分量（不存在或不独立）位移分量仅是x、y的函数，与z无关由积分得到仅是x、y的函数，与z无关应变分量应力分量弹性体形状特征物体厚度方向（Z向）的尺寸远小于板面尺寸（X、Y）的等厚度薄板。
物体长度方向（Z向）的尺寸远大于截面尺寸（X、Y）的等截面柱体。
弹性体受力特征外力平行于板面，作用在板的周边，沿厚度不变；板面上无面力，都为零。
外力垂直于柱体轴线，且沿长度方向（Z向）不变。
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
弹性力学_第四章 本构关系
1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
x
x E
x 是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
7
x
ν
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
E0 ; G 0 ; K 0
19
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
20
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
弹性力学作业总结
弹性⼒学作业总结⼀、综述这学期我们有幸跟着邱⽼师学习了弹性⼒学这门课程，虽然我本科是学习机械专业的，但经过这学期的系统学习，使我对弹性⼒学的认识也越发的清晰，我对平⾯问题、空间问题等基本知识有了较为清晰的了解与掌握，会⽤逆解法、半逆解法、差分法、变分法和有限元法解决⼀些基础的弹性⼒学问题。
弹性⼒学是固体⼒学的⼀个分⽀，研究弹性体由于外⼒作⽤或温度改变等原因⽽发⽣的应⼒、形变和位移。
它是学习塑性⼒学、断裂⼒学、有限元⽅法的基础，⼴泛应⽤于建筑、机械、化⼯、航天等⼯程领域。
本课程较为完整的表现了⼒学问题的数学建模过程，建⽴了弹性⼒学的基本⽅程和边值条件，并对⼀些问题进⾏了求解。
弹性⼒学基本⽅程的建⽴为进⼀步的数值⽅法奠定了基础。
⼆、绪论弹性⼒学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应⼒-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性⼒学三⼤基本规律。
弹性⼒学中许多定理、公式和结论等，都可以从三⼤基本规律推导出来。
通过对弹性⼒学的学习，我感觉整本书就讲了⼗五个控制⽅程解⼗五个未知数。
⽽剩下的问题就是如何求解这些⽅程的问题，这也是数学和⼒学结合最紧密的地⽅。
⽽求解的⽅法⽆外乎有:基于位移的求解（位移法）和基于应⼒的求解（应⼒函数法），差分法、变分法。
⽽前⼈的研究⼤部分都是如何使这些⽅程求解起来更⽅便。
弹性⼒学思路清晰，但是⽅程和公式复杂。
1.⼯程⼒学问题建⽴⼒学模型的过程，⼀般要对三⽅⾯进⾏简化：结构简化、材料简化及受⼒简化。
建模过程如右图：结构简化：如空间问题向平⾯问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。
受⼒简化：根据圣维南原理，复杂⼒系简化为等效⼒系。
材料简化：根据各向同性、连续、均匀等假设进⾏简化。
在建⽴数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进⾏简化：线性化和实验验证。
2．弹性⼒学的基本内容就是研究研究弹性体由于外⼒作⽤或温度改变等原因⽽发⽣的应⼒、形变和位移。
应⽤在⼯程中的实例有⽐赛斜塔，⽔轮机以及各种齿轮等等。
弹性力学-01绪论
(x,y,z) (x,y,z)
P ΔA
ΔF
n (法线)
(2) 一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
应力符号的意义：
x
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
xy
第2个下标 y 表示τ的方向.
C z
zx
zy
z
yx xz
y
yz
Pxຫໍສະໝຸດ Azyyz
xy yx y
zx
B
O
y z
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2yz z x 2 y 2zy y x 2 z 0 zx z zy
xy
yx
剪应力互等定理
yz
zy
zx xz
z
yx
y yz
作用在两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力 是互等的。
本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件， 并对一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。
弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等课程的基础。
§1-2 弹性力学中的基本假定 1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。
§1-1 弹性力学的研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。
任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
2. 弹性力学与材力、结力课程的区别
（1）研究对象 材力： 结力： 弹力：
（2）研究方法 材力：
杆件（直杆、小曲率杆） 杆件系统（或结构） 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
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B F
在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。
z
m △A
P
o A
P点的应力分量为：
p
n
y
--正应力
--切应力
因次是[力][长度]-2。
x
z
z
正负规定:
zy yz
yx
zx
正面:截面的外 法线方向和坐标 轴正向一致,反 y 之为负面。
y
x
正面上的应力沿坐标 正向或负面上的应力 沿坐标负向为正。
上述解答一向被当作是三角形重力坝中应力的基本解答， 但是存在3点不足！
对重力坝较精确的分析，一般采用有限元方法！
第四章 平面问题的极坐标解
平衡方程、几何方程和物理方程
应力函数应力分量的坐标变换式
轴对称应力及相应位移 圆环或圆筒受均布压力、压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受力
( l x m yx ) s f x ( s ) ( l xy m y ) s f y ( s )
常体力情况下的简化 应力函数
常体力情况下，两种平面问题的相容方程都简化为 2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0 引进应力函数后，导出应力分量和应力函数的关系：
h/ 2 h/ 2
o
y
h/2 h/2
x M
1
h
sx
y
两端受相反力偶而弯曲，不计体力。
3 3 h ah y dy 4a( ) 2 2 2
a 2M h3 I 1 h 12
3
My x , y 0, xy 0 I
位移分量的求出
已知应力分量 物理方程 几何方程 求出位移分量函数 用边界条件确定函数中的常数
梁的纯弯曲情况下的位移分量（平面应力）：
u M xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v 0 2 EI 2 EI
、u0、v0为刚体位移，由位移边界条件确定。
简支梁受均布载荷
（1）分析应力分量的函数形式 （2）推求应力函数 （3）由相容方程求解应力函数
求解平面问题的基本方程
边界条件及圣维南原理
按位移求解平面问题
按应力求解平面问题
常体力情况下的简化 应力函数
平面应力问题与平面应变问题
一、平面应力问题
几何：等厚度薄板 受力：平行于板平面且沿厚度方向均布(z无关)
z zx zy 0
注意： z 0
z 0
弹性力学的重要性
弹性力学是固体力学的一个分支，也是各门固体力学的基 础。 用弹性力学对大型结构进行严格而精确的分析，是确保工 程既安全又经济的重要环节。 对工科学生而言，弹性力学及其有限单元法是进行工程结 构分析的非常重要的一门学科。
弹性力学中的几个基本概念
外力 体力 体力集度、体力分量 面力集度、面力分量 应力集度、应力分量
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
共六个应力分量（剪应力互等）。 用矩阵表示：
z
z
zy yz
y yx
y
zx xz
x xy
x xy xz yx y yz zx zy z
xy yx
yz zy
物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴 上的投影 u 、v 、w 来表示。
以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。
弹性力学的基本假设
1. 连续性 2. 完全弹性
3. 均匀性
4. 各向同性 5. 位移和形变是微小的
弄清各个假设的基本内容及其实质！
第二章 平面问题的基本理论
平面应力问题与平面应变问题
1 G 1 yz yz G 1 zx zx G
xy xy
E G 2(1 )
平面应力问题的物理方程
z 0, xz 0, yz 0
平面应力问题的物理方程转换成平面应变问题的物 理方程
E E 2 1
1
边界条件及圣维南原理
指边界上位移与约束或应力与面力之间的关系式。
1）位移边界条件;2）应力边界条件;3）混合边界条件
u u ( l xy m y ) s f y ( s )
特例：
O
x
l 1
u0
m0
xy 0
y
圣维南原理
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静 力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是 远处所受的影响可以不计。
x 2 f x x y 2 f y y xy xy y x
2 2 2
用应力函数Ф表示三个应力分量，使得平面问题 的求解得到极大简化：待求未知数从3个变为1个，变 求解三个应力分量为求解应力函数。
第三章 平面问题的直角坐标解
逆解法与半逆解法
相关概念
பைடு நூலகம்
τxy =τyx
斜截面上的正应力和切应力 主应力 应力主面
应力主向
几何方程
u v v u x ， y ， xy x y x y
已知位移求应变，
完全确定。 已知应变求位移，
不能完全确定。
物理方程
1 x E [ x ( y z )] 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
平衡方程、几何方程和物理方程
1 f 0
1 2 f＝ 0
u
u 1 u
1 u u u
相容方程求出应力函数的具体表达式，再按
应力分量的应力函数表达式求出应力分量，
并考察这些应力分量是否满足全部应力边界
条件。如果能满足所有条件，则为正解。反
之，就要另作假设，重新进行求解。
矩形梁的纯弯曲
应力函数
ay
xy 0
3
x 6ay y 0
M h / 2 ( x ) x 0, l ydy 6a 20
二、平面应变问题
几何：等截面长柱体（z 方向
w0
无限长，任意截面为对称面） 受力：沿长度方向不变化
zx zy 0
注意： z 0
求解平面问题的基本方程
平衡方程
x yx x y f x 0 xy y f 0 y y x
1 ( ) E 1 ( ) E 1 2(1 ) G E
（平面应力）
应力函数、应力分量的坐标变换式
1 1 2 2 极坐标下用应力 2 函数表示的应力 分量： 1
本堂课内容： 第1章至第4章小结
第一章 绪论 第二章 平面问题的基本理论
第三章 平面问题的直角坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
第一章 绪论
弹性力学的内容 弹性力学的几个基本概念 弹性力学的基本假定
弹性力学的内容
研究任务和研究对象
弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或
温度改变等原因发生的应力、形变和位移。
楔形体受重力和液体压力
应力函数是x和y的纯3次式
O
1g
x
ax 3 bx 2 y cxy 2 dy 3
2g
x 2 gy
xy 2 gx cot 2
y
y ( 1 2 2 cot 2 ) gx cot ( 1 2 cot 2 ) gy
学科 材料力学 结构力学 主要研究对象
杆状构件（柱、梁和轴等） 杆件系统结构（桁架、刚架等）
弹性力学
各种形状的弹性体（除杆件外， 还研究平面体、空间体、平板和壳体等）
弹性力学研究方法
在弹性区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三 方面条件，在边界s上考虑受力条件和约束条件，由 此建立微分方程和边界条件并进行求解，得出较精 确的解答。
（1）在域内满足平衡方程和协调方程， （2）在边界满足应力边界条件 （3）对多连体，还必须满足位移单值条件。
x yx x y f x 0 xy y f 0 y y x
2 f x f y 2 x y x 2 y 2 ( x y ) (1 )
面力
应力 形变 正应力 切应力
线应变、切应变
位移
（一）外力
指其他物体对研究对象的作用力，按照外力 作用的不同分布方式，可分为体积力和表面力。
体力、面力的定义、性质
体力、面力集度
体力、面力分量的表示
z
△V
f
z
f F
fx
O
P
fy
y
x
（二）应力 在外力作用下，物体内部不同部分之间产生相 互作用力，即内力。
矩形梁的纯弯曲
位移分量的求出
简支梁受均布载荷
楔形体受重力和液体压力
逆解法与半逆解法
平面问题的求解，最终归结为通过下式求应力函数：
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
上式是偏微分方程，它的通解不能写成有限项 数的形式，一般都不能直接求解，而只能采用 逆解法和半逆解法。
极坐标下的相容 方程：
2 2
2 2
1 1 2 2 2 0
2
x cos2 y sin2 2 xy sin cos 2 2 ( y x ) sin cos xy (cos sin )