弹性力学课件：第四章应力应变关系
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
弹性力学第四章应力应变PPT
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向 具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。垂 直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕 动 z 轴转动π 角度，成为新的 Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的转换关系为
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
第四章 应力和应变的关系
在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了 9个应力分量 ij ，它们满足三个平衡微分（运动方程） 剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论， 因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从 物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到 三个位移分量 u i 和6个独立的应变分量 i j 。这样我们
y z C 4x 1 C 4y 2 C 4z 3 C 4y 4 z C 4x 5 z C 4x 6 y (4-2) x z C 5x 1 C 5y 2 C 5z 3 C 5y 4 z C 5x 5 z C 5x 6 y x y C 6x 1 C 6y 2 C 6z 3 C 6y 4 z C 6x 5 z C 6x 6y
v x z x zC 5x 1 C 5y 2 C 5z 3 C 5y 4 z C 5x 5 z C 5x 6y
2v
xz y
C52
根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对于其它的
《应力与应变》课件
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)-精品文档42页
28.09.2019
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
Wijij
——W为
的函数。
ij
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，
所以W 为它的全微分
W
W
ij
ij
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
时刻达到 t +t：位移有增量 uuiei
应变增量 ijeiej 外力功增量：A Vfu d V S F u d S
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
A 本构f关u 系d VF u d ：函S 数增量
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向
异性线弹性材料。
*对各向异性材料的本构关系可见，剪应 变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性， 利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
V
S
Vfiuid V sF iuid SU V Wd
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹塑性力学第四章
x
y
)
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§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系
弹性力学中应力与应变为线性关系，应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应力是应变的原因，应变是应力的结果。
应力概念解释：物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。
同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
拓展资料
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。
对某种材
料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。
极限应力值要通过材料的力学试验来测定。
将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。
材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。
弹性力学基础 应力应变
上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分
量的边界值与面力分量之间的关系。
过一点任意斜面的正应力与切应力
问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ 平面ABC上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方向 n的投影：
s n lp x mpy npz 平面ABC上的切应力tn则由
2 yz 2 xz
s x t xy t xz I 3 t yx s y t yz t zx t zy s z
过一点任意斜面的主应力与主方向
s I1s I 2s I 3 0
3 2
主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3 分别表示这
三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任 意一点主应力。
弹性体内任意一点的最大正应力为s1，最小正应力为s 3
最大切应力可以通过主应力计算，等于(s 1-s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用 平面通过s 2 应力主方向，并且平分s 1和s 3应力主方向的 夹角（即45°角）。
(t n )极值
(s 1 s 3 ) 2
由泰勒级数展开，求各面应力
空间问题的平衡微分方程
分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（6个）
F M
x
0,
x
0,
F 0, F 0 M 0, M 0
y z y z
切应力互等定理
平衡微分方程
t yx s x t zx fx 0 x y z t xy s y t zy fy 0 x y z t yz t xz s z fz 0 x y z
空间问题的基本未知量与方程
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第四章应力应变关系静力平衡和几何变形
通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系
材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系
目录
§4.1广义胡克定理
§4.2拉梅常量与工程弹性常数§4.3弹性体的应变能函数
§4.1广义胡克定义
•应力应变关系属于材料性能
•称为物理方程或者本构方程
•单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定
•复杂应力状态难以通过实验确定
•广义胡克定理——材料应力应变一般关系
xz
yz xy z y x xz xz yz xy z y x yz xz yz xy z y x xy xz yz xy z y x z xz yz xy z y x y xz yz xy z y x x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=•工程材料，应力应变关系受到一定的限制
•一般金属材料为各向同性材料
•复合材料在工程中的应用日益广泛
弹性体变形过程的功与能
•能量守恒是一个物理学重要原理
•利用能量原理可以使得问题分析简化
•能量原理的推导是多样的，本节使用热力
学原理推导。
外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——弹性体内的能量也发生变化
根据热力学概念绝热过程
格林公式
等温过程
弹性体的应变能函数表达式
内能等于应变能
xz
xz yz
yz xy
xy z
z y
y x
x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ∂∂=
∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=0
,
,
,
,
,
)
(2
1
0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=
工程材料
•各向同性材料•各向异性材料——金属材料
⏹完全各向异性⏹弹性对称面
一个弹性对称面
21个弹性常数
xz
xy xz yz z y x yz xz
xy xy yz z y x z yz z y x y yz z y x x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγτγεεετγγτγεεεσγεεεσγεεεσ6664555352514644353332312523222115131211+=+++=+=+++=+++=+++=13个弹性常数
两个弹性对称面
xz
xz yz yz xy xy z y x z z y x y z y x x C C C C C C C C C C C C γτγτγτεεεσεεεσεεεσ665544333231232221131211===++=++=++=9个弹性常数
相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面拉压与剪切变形
不同平面内的剪切之间称为正交各向异性
正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。
没有耦合作用
各向同性弹性体
•物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
•数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
•金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。
•弹性力学主要讨论各向同性材料。
根据正交各向异性本构关系
1.各向同性材料沿x ，y 和z 座标轴的的弹性性质相同；
2.弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关
各向同性材料广义胡克（Hooke ）定理
xz
xz z z yz yz y y xy xy x x μγτμελθσμγτμελθσμγτμελθσ=+==+==+=,2,2,2ij
ij kk ij μεδλεσ2+=λ, μ称为拉梅（Lame ）弹性常数
应力表示本构方程
G G G v v E
v E v v E v E
v v E v E
xz
xz yz yz xy xy z y x z z y z x y y x z y x x τγτγτγσσσσεσσσσεσσσσε==
=
Θ-+=+-=Θ-+=+-=Θ-+=+-=])1[(1)]([1])1[(1)]([1])1[(1)]([1•E 为弹性模量•G 为剪切弹性模量•v 为横向变形系数——泊松比
§4.2拉梅常量与工程弹性常数
杨泊松
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为
μ
μλλμλμμλ=+=++=G v E ,)(2,)22(两个独立的弹性常数
)
1(2v E G +=实验测定：
单向拉伸实验可以测出弹性模量E
薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G
各向同性材料
主应力状态——对应的切应力分量均为零。
所有的切应变分量也为零。
所以，各向同性弹性体
应力主轴同时又是应变主轴
应力主方向和应变主方向是重合的
应变能
§4.3弹性体的应变能函数)(2
10xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=)(2)())(2(2
12
2
2
2220xz
yz xy z x z y y x z y x U γγγμ
εεεεεεμεεεμλ+++++++++=应变表示的应变能函数
)
)(1(2)(2[212222220xz yz xy z x z y y x z y x E
U τττνσσσσσσνσσσ++++++-++=应力表示的应变能函数
泊松比ν恒小于1，所以U 0恒大于零。
单位体积的应变能总是正的。
§4.3 应变能2。