第四章 应力与应变关系 本构方程
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《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)共42页文档
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
17.04.2020
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
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19
§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
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20
§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
17.04.2020
16
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12
C C21 C22
C61 C62
C16
C26
C66
17.04.2020
17.04.2020
3
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的i
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
第4章 塑性应力应变关系(本构方程)
强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x
y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )
i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m
1 y y 2G
1 z z 2G
m
x
1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
第四章 应力和应变的关系
于是
∂K ∂2 u ∂2 v ∂2 w δK = δ t = ∫∫∫ ρ dτ[ 2 δu + 2 δv + 2 δw] ∂t ∂t ∂t ∂t
第二节 弹性变形过程中的能量 对于物体静止时 可认为 δ K = 0 , 不考虑热交换 ，即 δ Q = 0 δ V = δ U , δ U = δ U1 + δ U 2 其中，
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
σ x = f 1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ z = f 3 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ xy = f 4 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ yz = f 5 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
+
σ ij , j + X i = ρ u i
..
第二节 弹性变形过程中的能量 由平衡方程： σ ij, j + X i = ρ ui ∂δu ∂u ∂ v ∂u 又 ; ∂ δ v ∂δ u =δ = δε = δγ + = δ +
弹塑性力学第四章
x
y
)
2019/7/26
36
§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律：x x E εσ= （3）胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。
第四章应力与应变关系本构方程
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
z
z
E
y
E
x
E
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
常数关系:
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
本构方程：
x
x
Ex
xy y
Ey
xz z
Ez
y
y
Ey
yx x
Ex
yz z
Ez
z
z
Ez
zy y
Ey
zx x
Ex
xy
xy
Gxy
yz
yz
Gyz
zx
zx
Gzx
4－4 层向同性体的本构方程
层向同性材料，弹性常数有5个
C11 C12 C13 C23 C55 C66
C44
1 2
第四章 应力与应变关系 本构方程
4―1 4－2 4－3 4－4 4－5
广义虎克定律 应变能、应变能与弹性常数的关系 正交各向异性体的本构方程 层向同性体的本构方程 各向同性体的本构方程
4―1 广义虎克定律
一、单向虎克定律
E
二、广义虎克定律的一般形式
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
四弹性常数之间的关系36个常数就变为21个常数对于完全的各向异性弹性体有21个弹性常数对于具有一个弹性对称面的各向异性材料具有13个弹性常数对于正交各向异性材料弹性常数有9个对于层向同性材料弹性常数有5个对于各向同性材料弹性常数有2个43正交各向异性体的本构方程对于正交各向异性材料弹性常数有9个本构方程
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Ex Ey Ez Ey Ex Ey Ez Ez Ex
y yx x yz z
z zy y zx x
xy yz zx
xy
Gxy
yz
G yz
zx
Gzx
4－4 层向同性体的本构方程
层向同性材料，弹性常数有5个
C11 C12
C13 C23
C55 C66
C44
1 (C11 C22 ) 2
x C11 x C12 y C13 z y C12 x C11 y C13 z z C13 x C13 y C33 z xy (C11 C12 ) xy yz zx C55 zx
三、格林公式
U 0 A x x y y z z xy xy yz yz zx zx
因应变能是应变分量的单值连续函数，全微分形式
U 0
U 0 U U U U U x 0 y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx x y z xy yz zx
则得：
四、弹性常数之间的关系
Cmn Cnm
36个常数就变为21个常数 1. 对于完全的各向异性弹性体，有21个弹性常数 2. 对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，具有13个弹 性常数 3. 对于正交各向异性材料，弹性常数有9个 4. 对于层向同性材料，弹性常数有5个 5. 对于各向同性材料，弹性常数有2个
4－2 应变能、应变能与弹性常数的关系
一、弹性体的变形能原理
外力在变形过程中作功，弹性体内部的能量也要相应 的发生变化 外力在变形过程中作功，全部转化为变形能（无热能损失）
UA
单位体积的变形能，即应变能
U0 U0 ( x , y , z , xy , yz , zx )
第四章
应力与应变关系 本构方程
4―1 4－2 4－3 4－4 4－5
广义虎克定律 应变能、应变能与弹性常数的关系 正交各向异性体的本构方程 层向同性体的本构方程 各向同性体的本构方程
4―1 广义虎克定律
一、单向虎克定律
E
二、广义虎克定律的一般形式
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
Cmn Cnm
4－3 正交各向异性体的本构方程
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个
C15 C16 C25 C26 C35 C36 C45 C46 0 C14 C24 C34 C65 0
本构方程：
x y z
x xy y xz z
二、弹性体内力的功
1. 正应力作的功：
x x dxdydz y y dxdydz z z dxdydz
xy xy dxdydz
2. 剪应力作的功：
yz yz dxdydz zx zx dxdydz
则，单元体积上内力的功：
A x x y y z z xy xy yzyz zx zx
x y z
x y z y x z z y x xy
G E E E E E E E E E
xy yz zx
yz
G
zx
G
常数关系:
E (1 )(1 2 ) E G 2(1 )
yz
G
zx
G
4－5 各向同性体的本构方程
各向同性材料，弹性常数有2个
C12 C13
C44 C55
C11 C33 2
x 2 x y 2 y z 2 z xy xy yz yz zx zx
1 2 C55 yz
如:层向垂直Z轴,则:
x y z xy yz zx
Байду номын сангаасx
E
y z
E E E E E E
y
E
x z
z
E
y x
2(1 ) xy E
y yx x yz z
z zy y zx x
xy yz zx
xy
Gxy
yz
G yz
zx
Gzx
4－4 层向同性体的本构方程
层向同性材料，弹性常数有5个
C11 C12
C13 C23
C55 C66
C44
1 (C11 C22 ) 2
x C11 x C12 y C13 z y C12 x C11 y C13 z z C13 x C13 y C33 z xy (C11 C12 ) xy yz zx C55 zx
三、格林公式
U 0 A x x y y z z xy xy yz yz zx zx
因应变能是应变分量的单值连续函数，全微分形式
U 0
U 0 U U U U U x 0 y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx x y z xy yz zx
则得：
四、弹性常数之间的关系
Cmn Cnm
36个常数就变为21个常数 1. 对于完全的各向异性弹性体，有21个弹性常数 2. 对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，具有13个弹 性常数 3. 对于正交各向异性材料，弹性常数有9个 4. 对于层向同性材料，弹性常数有5个 5. 对于各向同性材料，弹性常数有2个
4－2 应变能、应变能与弹性常数的关系
一、弹性体的变形能原理
外力在变形过程中作功，弹性体内部的能量也要相应 的发生变化 外力在变形过程中作功，全部转化为变形能（无热能损失）
UA
单位体积的变形能，即应变能
U0 U0 ( x , y , z , xy , yz , zx )
第四章
应力与应变关系 本构方程
4―1 4－2 4－3 4－4 4－5
广义虎克定律 应变能、应变能与弹性常数的关系 正交各向异性体的本构方程 层向同性体的本构方程 各向同性体的本构方程
4―1 广义虎克定律
一、单向虎克定律
E
二、广义虎克定律的一般形式
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
Cmn Cnm
4－3 正交各向异性体的本构方程
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个
C15 C16 C25 C26 C35 C36 C45 C46 0 C14 C24 C34 C65 0
本构方程：
x y z
x xy y xz z
二、弹性体内力的功
1. 正应力作的功：
x x dxdydz y y dxdydz z z dxdydz
xy xy dxdydz
2. 剪应力作的功：
yz yz dxdydz zx zx dxdydz
则，单元体积上内力的功：
A x x y y z z xy xy yzyz zx zx
x y z
x y z y x z z y x xy
G E E E E E E E E E
xy yz zx
yz
G
zx
G
常数关系:
E (1 )(1 2 ) E G 2(1 )
yz
G
zx
G
4－5 各向同性体的本构方程
各向同性材料，弹性常数有2个
C12 C13
C44 C55
C11 C33 2
x 2 x y 2 y z 2 z xy xy yz yz zx zx
1 2 C55 yz
如:层向垂直Z轴,则:
x y z xy yz zx
Байду номын сангаасx
E
y z
E E E E E E
y
E
x z
z
E
y x
2(1 ) xy E