弹塑性力学第四章弹性本构关系资料.
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弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
弹塑性力学第四章
x
y
)
2019/7/26
36
§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性本构关系简介
2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
塑性力学-第四章
本构关系研究的论文。
因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这 方面的研究。
基本假设
本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和 静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设
（1）小变形假设 （2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）
内变量的引入
内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述 经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得 较多）的内变量是等效塑性应变。
（16）
内变量的演化方程
当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内 变量演化方程有以下的形式 （17） Z ,
ij
将（17）式代入（16）式，解出
g g Z ij ij
f g ˆij g kl ˆ kl ij
（用到了（23）式）
ˆ g ˆ f
g ˆg ˆij g ˆ ˆ f ij g ˆij 1 ij
（24）
（25）
于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。
当按应变加载准则判断为弹塑性加载时
（9）
可以得到 常用的表 达式
E ij 1
ik jl 1 2 ij kl kl 1 ij ij ij kk E E
（10）
从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得
（23）
ij ˆ Z 式中， ij
。
弹塑性加载时
ˆ g
g g P ij kl kl M ijkl ij ij
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
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12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
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式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
弹性本构关系
第四章 弹性本构方程
§4-1 应力—应变关系的一般表达 §4-2 各向异性线弹性体 §4-3 各向同性线弹性体 §4-4 弹性应变能与弹性应变余能
§4-1 应力—应变关系
一、本构方程
从静力学的角度对应力进行了分析 从几何学的角度对应变进行了分析
平衡微分方程 几何方程和变形协调方程
上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑 性力学。
单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。
变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变 分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能 密切相关的，是有限元法的基础。
一、一维状态
细长直杆，长度为L，横截面积为S，两端受拉力P作用。
产生的伸长量为DL，外力作的功为：
单位体积的应变能U0为：
单位体积的应变能U0代表应力-应变曲线中阴影部分的面积。 单位体积的应变余能U0为：
四. 物理方程的其他表示形式
物理方程：
用下标记法可将广义虎克定律表示为
e ij
1
E
s ij
3
E
s mij
s ij
2G
3
E
s mij
由上式可验证
q
ex
ey
ez
3(1
2
Eபைடு நூலகம்
)
s
m
令
em
q
3
(1 2)
E
sm
K E
3(1 2)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
(4.35)
(4.36) (4.37) (4.38)
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰 勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中 的第一式展开为：
表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为 零．故
表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零 时的值，等于一个常数
故, 式（１）可用一个线性方程组表示（线弹性体）
式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关 系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应 变的一般关系式．
横观各向同性体只有五个 弹性常数, 弹性矩阵为
4.各向同性体
物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同。 各向同性体只有两个独立的弹性常数, 弹性矩阵为:
比较: 可见:
§4-3 弹性应变能
弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的 变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所 做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
ex
ex
em
(1
E
sx
3
E
sm)
1 3K
sm
1 2G
sx
ey
ey
em
1 2G
sy
ez
ez
em
1 2G
sz
exy
e xy
1 2G
xy
1 2G
sxy
eyz
e yz
1 2G
yz
1 2G
syz
exz
e xz
1 2G
xz
1 2G
sxz
整整理理以以上上六六个个式式子子，，得得
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变曲线：
s 塑形变形
s 塑形变形
e 线弹性
e 非线弹性
二. 各向同性材料的广义Hooke定律（本构方程） • 由材料力学已知，Hooke定律可表示为：
单向拉压
纯剪切 横向与纵向变形关系
E为拉压弹性模量； G为剪切弹性模量
为泊松比
对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理： 考虑x方向的正应变：
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数 之间存在关系
36个弹性常数减少到21个. 弹性矩阵是对称矩阵.
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
三. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
• 弹性矩阵为
• 极端各向异性体的特点:
(1) 当作用正应力 时, 不仅会产生正应变
,
还会引起剪应变
。
(2) 当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变, 也会引起正 应变。
2.正交各向异性体 如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面,
在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质 都相同。 称为具有一个弹性对称面的各向异性体。 该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方 向称为物体的弹性主方向。
这些方程还不能解决弹塑性力学问题。
需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。 对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。
• 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。
• 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
具有一个弹性对称面的各向异性体, 弹性常数 有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。
• 如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对 称面, 这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均 匀的木材、叠层胶木、复合材料等
正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为
3.横观各向同性体
如物体内任意一点, 在平行于某一 平面的所有各个方向都有相同的弹性性 质, 这类正交异性体为横观各向同性体。 如不同层次的土壤、复合板材等。