马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究

合集下载

最优投资组合--马科维茨投资组合理论

最优投资组合--马科维茨投资组合理论<代码已经过期，其中爬⾍链接已经失效>⼀：马科维茨投资组合理论投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。

投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。

投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。

⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。

投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。

其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。

⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。

我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。

那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。

所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。

⼆：求解最优投资组合过程本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。

利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：本⽂实现最优投资组合的主要步骤：1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益2：得到标准差最⼩时的期望收益3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。

4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重三：实证数据⽤例：1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）stocks=['601166', #兴业银⾏'600004', #⽩云机场'300099', #精准信息'601328', #交通银⾏'601318', #中国平安'601398', #中设股份'000333', #美的集团'600036', #招商银⾏'600016', #民⽣银⾏'601818'] #光⼤银⾏1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）revs=np.log(data/data.shift(1))3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：4：最优投资组合步骤：4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益def max_sharpe(weights):return -getPortfolioInformation(weights)[2]opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+000.00000000e+00 5.15579333e-16]# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化def min_variance(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]4.3：获取有效边界4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：def min_sd(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1]tvols = []infor_min_sd=[]#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：for tret in trets:cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差tvols = np.array(tvols)ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段evols = tvols[:ind_min_sd]erets = trets[:ind_min_sd]tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)x2 = sci.splev(y2, tck)evols = tvols[ind_min_sd:]erets = trets[ind_min_sd:]tck = sci.splrep(evols, erets)x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)y3 = sci.splev(x3, tck)plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()结果显⽰如下4.3.2：获取有效边界曲线图：plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML5.1： B-Spline样条曲线的参数tck = sci.splrep(evols, erets)5.2： B-Spline样条曲线函数def f(x):return sci.splev(x, tck, der=0)5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数def df(x):return sci.splev(x, tck, der=1)5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00def fun(x, risk_free_return=0.00):e1 = risk_free_return - x[0]e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])e3 = x[1] - df(x[2])return e1, e2, e35.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zoneX = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])plt.figure(figsize=(12, 6))#圆点为随机资产组合plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)#带⼊公式a+b*x求得y,作图plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)plt.grid(True)plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.xlabel('expected volatility')plt.ylabel('expected return')plt.colorbar(label='Sharpe ratio')plt.show()#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)结果图如下：6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：rev_result=f(X[2])flag=0temp=abs(trets[0]-rev_result)length=len(trets)for i in range(1,length):if abs(trets[i]-rev_result)<temp:temp=trets[i]-rev_resultflag=iweight_result=infor_min_sd[flag]['x']all=0 #最终为 1.0for i in range(10):all=all+weight_result[i]print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]故最终投资股票是：0.04802 #⽩云机场0.85880 #交通银⾏0.09318 #民⽣银⾏。

基于我国证券市场的马科维茨模型与实证研究

中图分类号：Ｆ８３０．５９文献标志码：Ａ文章编号：１００４０３６６（２０１３）０３ — ０１４６ — ０４
Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ ’ ＳＰｏｒｔｆｏｌｉｏＭｏｄｅｌａｎｄＩｔｓＥｍｐｉｒｉｃａｌＲｅｓｅａｒｃｈＢａｓｅｄｏｎＳｅｃｕｒｉｔｙＭａｒｋｅｔｉｎＣｈｉｎａ
余后强，李玲
（湖北科技学院ａ．数学与统计学院；ｂ．生物医学工程学院，湖北咸宁４３７１００）
摘要：为了建立符合我国证券市场实际情况的马科维茨模型，通过逐步添加限制条件的方法，建
立了一个基于买空卖空限制、交易费用限制、最小交易单位限制的模型．用ＭＡＴＬＡＢ软件实现非线
ＹＵＨｏｕ — ｑｉａｎｇ。，ＬＩＬｉｎｇ
（ａ．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ；ｂ．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉａｎｎｉｎｇ４３７１００，Ｃｈｉｎａ）
ｍｏｄｅｌ，ｗｅａｔｔｅｍｐｔｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈａｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｎｏｓｈｏｒｔｂｕｙａｎｄｓａｌｅ，ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｃｏｓｔｓａｎｄｍｉｎｉｍｕｍ１ｏｔｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｂｙｇｒａｄｕａｌｌｙａｄｄｉｎｇｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎ－ｓｍｏｏｔｈｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂ— ｌｅｍｗａｓｓｏｌｖｅｄｕｓｉｎｇＭＡＴＬＡＢ，ａｎｄｔｈｅｐｏｒｔｆｏｌｉｏｍｏｄｅｌｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．１５ｓｔｏｃｋｓｉｎＳｈａｎｇｈａｉＳｔｏｃｋＥｘｃｈａｎｇｅｗｅｒｅｃｈｏｓｅｎｔｏｍａｋｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅｍｏｄｅｌａｎｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｅｒｅｖａｌｉｄ．

数学规划论文-马科维兹模型及其改进

马科维兹模型及其改进摘要：证券投资者通过把资金投资一种或几种收益较高的证券以获得最大限度的收益，但是收益与风险是相辅相成的，高收益必然包含高风险.因此投资者需要选择若干证券加以组合，以分散其投资风险，尽可能的实现低风险和高收益.1952年马科维兹理论的提出开创了金融理论的先河，改变了人们经验投资的传统，使投资组合更加科学性和广泛性.马科维兹模型实质是在不损失收益率的条件下最大限度地分散投资风险，能够指导人们科学地选择证券投资组合以实现效益最大化.本文主要介绍马科维兹理论及模型的建立以及最新的研究进展，并在此基础上提出了三种模型目标函数的改进方案：引进决策系数β、引进厌恶偏好程度λ及目标规划，并对此进行了对比分析.三种改进方案都能使原本的多目标规划转化为单目标规划，并且都有其适用的范围：决策系数β适用于比较两种不同投资组合的优劣；引进偏好程度λ能够在未给定预期收益及预期风险下定制个人的最优投资组合；利用目标规划能够使个人选择尽可能的达到自己预期的最优投资组合.关键字：马科维兹模型；投资组合；数学规划Markowitz model and its improvementAbstract:Securities investors get Investment income by investing one or more higher-yielding securities.But benefits and risks are complementary to each other, high-yield inevitably contains high risk.So investors need to choose a number of securities portfolio to diversify risk and get low risk and high yield. Markowitz, who created Markowitz's Portfolio Theory, changed the convention of investment and make portfolio theory more scientific and comprehensive.Markowitz model essential is under the condition of no loss of yield maximum disperse investment risk,which can direct people to choose science portfolio to achieve the benefit maximization.This paper introduces Markowitz's Portfolio Theory and puts forward three models on the basis of the objective function:decision coefficientβ,disgusting appetiteλand objective programming.Three kinds of improve models can make the multi-objective programming transformed into single objective programming and they have different applicable scopes. First,decision coefficient can compare the merits of the two different portfolios.Second,disgusting appetite is able to customize the individual optimal portfolio without expected profit and expected st,objective programming can make people get the optimal portfolio.Key words: Markowitz model; Investment portfolio; Mathematical programming目录摘要 (1)引言 (4)1.证券投资 (5)2.马科维兹模型 (6)2.1马科维兹投资组合理论基础 (6)2.1.1模型的假设 (6)2.1.2预期收益 (7)2.1.3预期风险 (7)2.2证券投资的有效组合 (9)2.2.1无差异曲线 (10)2.2.2有效市场边界 (11)2.2.3最优投资组合的选择 (12)2.3马科维兹投资决策模型的建立 (12)2.4用Lagrange方法解马柯维茨模型 (14)3.模型的改进 (15)3.1改进一：引入决策变量β (16)3.2改进二：引入偏好程度λ (17)3.3改进三：目标规划 (18)3.4总结 (20)4.对马科维兹模型的评价 (21)4.1优越性 (21)4.2局限性 (21)参考文献 (22)引言随着经济发展，证券投资[4]越来越融入人们的日常生活，而在1952年前人们都是根据经验来进行金融资产投资，得出了例如“不要把所以鸡蛋放在一个篮子里”等投资理念.直到美国经济学家马科维兹在美国《金融杂志》上发表了题为“投资组合选择”[9]一文，开创了现代资产组合理论，使得投资上升到理论的高度，更加科学化、实用化.马科维兹模型提出后，很多的专家学者对此进行了研究，如戴玉林在《马科维兹模型的分析与评价》一文中对该模型进行了详细的分析指出了该模型存在的很多缺陷与不足[10]；朱书尚等探讨了投资组合与金融优化，从理论研究和时间上进行了分析与反思[3].而对于投资组合模型的研究，大致可分为三个方向：1.投资组合模型的改进；2.投资组合模型的实证分析；3.模型求解及方法的研究.由于马科维兹模型是建立在对实际情况理想化、简单化地基础上，必然存在很多不足可以改进，如马科维兹本人也在建立模型后提出用半方差代替方差以解决离中趋势非对称的问题[11]；而针对原模型不宜求解等问题，夏普进行了改进提出了单指数模型[12]，而郁维对这两种模型对中国资本市场进行了可行性分析[13]；有学者借助物理、经济等学科知识对模型进行改进，如郑丕谔等借助熵理论对其进行了改进，并通过构造性实例进行了验证[14]；还有学者从不同的角度切入对模型进行改进，如金秀等从投资者的心理特征出发，建立了加权极大-极小随机模糊投资组合模型，并用实证方法进行了验证[15].对比于模型的改进，对于投资组合模型的实证分析主要是用于验证模型的改进以及模型求解方法的优化，如李伯德在最优投资组合的数学模型中结合了案例分析[6]，谢军等实证检验了投资者情绪与风险资产投资负相关这一结论[16].从马科维兹模型提出后对于标准模型的求解就是很多学者研究的对象，而马科维兹模型的简单求解以及理论基础在数学规划以及相关优化书籍中都有提[5,7,8].求解方法有临界线算法、利用因子模型或线性变化构造一个稀疏的协方差矩阵进行计算、修改风险从而使用线性规划模型来求解等，而近年张忠桢等提出的旋转算法不仅较为简便，而且可以快速计算出马科维兹意义下的有效组合[1,2].本文主要是对马科维兹理论进行了详细的介绍以及相关的研究进展，并在马科维兹标准模型之上对三种改进模型进行了对比分析，并对标准模型进行了详细的优缺点整理.1.证券投资证券投资，就是将资金用于购买股票、债券等金融资产，它与实业投资不同，它不需要对资产的具体生产经营活动进行组织和管理，只需投入资金来分享利润或从买卖证券的差价中获取利润.一般来说，证券投资是指投资者通过购买有价证券，在一段时间内获取利润的过程.当然，带来收益的同时，也必然伴随着一定的风险.所谓风险，是指在决策过程中，由于各种不确定因素的作用，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度.人们进行证券投资的最直接的动机是获得收益，因而投资决策的目标是使收益最大化，但由于收益与投资之间在时间上的滞后，这种滞后导致收益受许多未来不确定因素的影响，从而使得收益成为一个未知量.投资者在进行决策时只能根据经验和所掌握的资料对未来形式进行判断和预测，形成对收益的预期.受不确定因素的影响，证券投资的未来收益可能偏离其预期，这种偏离将导致投资者可能面临得不到预期的收益甚至亏损的危险，这种危险就是证券投资风险.投资者在进行投资决策时，不仅要考虑投资的收益，还要考虑投资的风险，而收益与风险是相辅相成的，通常风险小的金融资产收益小，收益大的资产其风险也大.投资决策的目标应该是追求收益的最大化和风险的最小化.如何在收益和风险这一对相互关联、相互作用的矛盾中寻求某种平衡，有效地实现预期的投资目标，关键还在于有效地控制和规避风险.那么选择哪几种证券进行投资，投资的比例多大就显得尤为重要，只有最优的投资组合才能在风险最小的情况下获得利益的最大化，这是个困扰无数投资者的难题.在1952年之前，人们通过经验判断来进行金融资产投资，总结出很多投资格言如“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”、“何时买卖比何种买卖更为重要”等.从格言中进而发展出所谓的金融投资理论，如公式投资计划、等级投资计划等，而这些理论实际是指导人们进行投资活动的具体投资操作，更进一步发现这些操作并不能指导人们获得平均收益.在1952年，美国经济学家马科维兹在美国《金融杂志》上发表了题为“投资组合选择”一文，开创了现代资产组合理论，使得投资上升到理论的高度，更加科学化和实用化.本文主要介绍马科维兹投资决策模型理论及其改进.2.马科维兹模型2.1马科维兹投资组合理论基础2.1.1模型的假设马柯维茨的投资组合理论认为，投资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险.同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响.基于上诉考虑，提出了下面六点假设：○1呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布，即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；○2投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；○3投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险；○4投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用函数只是预期风险和收益的函数；○5在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预期收益后，投资者偏好更低的风险；○6市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市场的限制，所有的市场参与者都是价格的接受者，市场信息是有效的，资产是完全可以分割的.从上诉假设中可知：投资者进行投资组合时仅考虑投资的预期收益和预期风险.2.1.2预期收益预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率.对于单一证券而言未来的状态是不定的，而在每种状态下的收益也不同，用期望收益率来表示预期收益.同理对于多种证券的收益也用相同的表示方法.○1单一证券的预期收益单一证券i 的预期收益，这种证券在未来有s 种状态，那么证券i 的预期收益为：1()N i is s s E r r p ==∑，11=∑=Ns s P ，其中()i E r 为期望收益率；s p 为状态s 出现的概率；is r 为针对状况s 出现时证券i 的收益率；N 为各种可能状况的总数.○2证券组合的预期收益在得到单一证券的预期收益后可以得到证券组合的预期收益，p r 表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：1()()N p i i i E r x E r ==∑，11=∑=Ni i x ，其中，()p E r 为证券组合的期望收益率；()i E r 为组合中证券i 的预期收益； i x 为组合中证券i 所占的比例，即权数；N 为组合中证券的种类.2.1.3预期风险风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化.在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性.收益率的波动性越大，投资的风险就越高.收益率的波动性，通常用标准差或方差表示.标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大.○1单一证券i 的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下：方差：221[()]Niis i s s r E r p σ==-∑, 标准差：21[()]N i is i s s rE r p σ==-∑,其中，2i σ、i σ分别表示证券i 的方差和标准差；其余符号的含义与前述预期收益的计算公式相同.○2证券组合的预期风险 1）协方差证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响.证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来表示.协方差是衡量两个随机变量例如证券i 的收益率和证券j 的收益率之间的互动性的统计量.如果用ij σ表示证券i 和j 之间的协方差，那么：[(())(())]ij ji is i js j E r E r r E r σσ==--.如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同的情形发生.如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着一种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降.一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立.证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大.2）相关系数两种证券之间的收益互动性还可以用另外一个统计量来表示，即两者之间的相关系数.假设i σ和j σ分别为证券i 和j 的收益标准差，ij σ是两种证券之间的协方差，则其相关系数ij ρ的计算公式为：ij ij i jσρσσ=.相关系数ij ρ的范围是11ij ρ-≤≤，1ij ρ=-表示两种证券收益结果的变化方向完全不相同，称为完全负相关；1ij ρ=表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关；0ij ρ=表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系；相关系数ij ρ在(1,0)-区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在一般性的负相关关系；相关系数ij ρ在(0,1)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的正相关关系.必须注意，相关系数ij ρ＝0时，即证券i 和证券j 不相关只表明证券i 和证券j 不存在线性相关关系，但并不排除证券i 和证券j 有其它形式（非线性的）相依关系.一般来讲，如果两种证券之间的相关系数0ij ρ<，则可能会降低组合后的投资风险，而如果它们之间的相关系数0ij ρ>，则可能会加大组合后的投资风险.3）证券组合的方差和标准差投资组合的预期风险2p σ为： 211N Npi j ij i j x x σσ===∑∑. 标准差p σ就为：11N N p i jij i j x x σσ===∑∑.其中，当i j ≠时，ij σ表示证券i 和证券j 收益的协方差，反映了两种证券的收益在一个共同周期中变动的相关程度，i x 、j x 表示组合中证券i ，j 所占的比例；当j i =时，2i ij σσ=表示证券i 收益的方差.2.2证券投资的有效组合从上面可知，有了证券组合的收益和风险以及它们的衡量方法，那么什么样的证券组合才是最有效的组合呢？换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险最小或者既定风险下期望收益最大的目标？马柯维茨采用“期望收益率－方差投资组合模型”来解决证券的确定和选择问题.2.2.1无差异曲线投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线了.一条无差异曲线代表能提供给投资者相同效用量的一系列风险和预期收益的组合.在同一条无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异的.无差异曲线可以在预期收益率－标准差平面上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风险，纵轴表示用预期收益率测度的收益，如图1所示.无差异曲线表现出以下几个特点：1）每一个投资者都有无数条无差异曲线，位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在同一风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另一个角度来看，在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险；2）每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要让他承担更大的风险就必须支付更高的收益；3）无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说明随着风险的增加投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增加的一单位风险必须支付更多的收益；4）无差异曲线是不相交的，因为如果两条无差异曲线相交，而又由于不同的两条无差异曲线代表不同效用水平，显然，这就会出现矛盾；2U 3U()E r 1U 图1 无差异曲线每一投资者都拥有一组无差异曲线图形来表示他对预期收益率和标准差的偏好.这意味着投资者将对每一可能的组合确定预期收益率和标准差.从无差异曲线还可以看出一个投资者的风险厌恶程度，高度风险厌恶者的无差异曲线更陡峭一些，轻微风险厌恶者的无差异曲线就比较平缓一些，如图2所示.这是因为要让高度风险厌恶者再多承担一单位的风险时，他要求收益的增加要大于轻微风险厌恶者的要求.2.2.2有效市场边界无差异曲线可以算是投资者对自己风险收益的主观偏好，用来评价各种资产组合的收益和风险，而有效市场边界就是投资者评价的客体.图3中的阴影部分就是所有可能的证券组合，就是可行集.这无穷多的组合我们是不是都要考虑呢？答案是否定的，投资者仅仅只需要考虑可行集中的一个子集即可.一个投资者选择他的最优组合时将从下列组合中进行：1）对每一水平的风险，该组合提供最大的预期收益；2）对每一水平的预期收益，该组合能提供最小的风险.()E r()E r()E rσσσ高度风险厌恶中等风险厌恶轻微风险厌恶图2 风险规避程度不同的投资者的无差异曲线满足这两个条件的组合被称为有效集，也叫有效市场边界.从图中可以看出A 点具有最小的标准差，也就是在可行集中A 点的风险最小，B 点的预期收益最高，夹在A 、B 两点中间的边界部分就是有效市场边界，也就是说投资者仅仅考虑这个子集就可以了，而不必考虑其它组合，因为只有在有效市场边界上才满足以上两个条件.2.2.3最优投资组合的选择我们已经知道，投资者将在有效市场边界中选择他的最优投资组合，至于选择哪一个点进行投资，则是由他对预期收益和风险的偏好决定的.投资者可以借助有效市场边界和无差异曲线来进行最优投资组合的选择.如图4，在同一坐标系上画出投资者的无差异曲线和有效市场边界，最优投资组合就是无差异曲线与有效市场边界的切点.根据无差异曲线与有效市场边界的切点P ，我们找到了最佳组合点.虽然投资者更希望能达到3U 的水平，但是这条无差异曲线上的组合已经落在可行集外，是不可能实现的.无差异曲线1U 虽然也与有效市场边界有交点1P 、2P ，但是，因为123U U U <<，所以P 点的效用最高，且落在有效市场边界上，也就是说，P 点构成了多元证券组合的最佳组合点，而且我们知道无差异曲线是下凸的，而有效市场边界是下凹的，所以这也保证了切点的唯一性.2.3马科维兹投资决策模型的建立按照马柯维茨的想法，投资者需要找到一个最佳的证券组合.这个最佳组合最能满足投资者在收益和风险之间的平衡.在一系列严格的假设条件下，马柯维茨提出了均值－方差模型.设某个投资组合具有N 种不同的风险证券，其中，第i 种证券的收益序列为it r ，其预期收益率为i E ，方差为2i σ，1,2,,i N =⋅⋅⋅，它在投资组合中的权重为i x .则该投资组合中的所有权重必须满足约束条件：11Nii x==∑. （1）投资组合的期望收益p E 和方差2p σ分别为：11221Np N N ii i E x E x E x E x E ==++⋅⋅⋅+=∑, （2）211N Npi jiji j x x σσ===∑∑. （3）在（3）式中，当i j ≠时，ij σ表示证券i 和j 的协方差，当i j =时，2ij i σσ=为证券i 的方差.故可把（3）式改为：222111NNNpiii j i j i i j j ix x x σσσ===≠=+∑∑∑. （3′）根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，获得最大的收益.为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：（Ⅰ）给定组合收益0p E E =：222111min N N Npiii j ij i i j j ix x x σσσ===≠=+∑∑∑（Ⅱ）给定组合风险220p σσ=：1max Np i i i E x E ==∑模型（Ⅰ）的意义是：在既定期望收益0E 的情况下，使投资风险最小.模型（Ⅱ）的意义是：在愿意承担风险20σ的条件下，使期望收益最大.事实上，模型（Ⅰ）与模型（Ⅱ）是等价的，即无论是使用模型（Ⅰ）还是使用模型（Ⅱ）确定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（()p E r ）－风险（2p σ）平面上的同一条曲线方程.获得了足够的数据，投资者就可以根据自己的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果.2.4用Lagrange 方法解马柯维茨模型模型（Ⅰ）和（Ⅱ）求解时，都可以采用Lagrange 乘数法，通过构造Lagrange 函数求解.现以模型（Ⅰ）为例：利用Lagrange 乘数法，作Lagrange 函数：12122210211111(,,,,,)[](1)N NNNNNiii j ij i i i i i j i i j iL x x x x x x x E E x λλσσλλ=====≠⋅⋅⋅=++-+-∑∑∑∑∑.其中，1λ，2λ为Lagrange 乘数.函数L 对1x ，2x ，⋅⋅⋅，N x ，1λ，2λ的偏导数，并令其为零，可得：上述方程组共有(2)N +个未知数1212(,,,,,)N x x x λλ⋅⋅⋅和(2)N +个方程，因此可以求出1x ，2x ，⋅⋅⋅，N x 的解，用通式表示如下：0,1,2,,i i i x a b E i N =+=⋅⋅⋅.其中，i a 和i b 为解方程组所求得的常数.利用Lagrange 乘数法，可以求出函数L 的稳定点.在许多情况下，由问题的实际意义，而稳定点又唯一，因此，唯一的稳定点就是极值点.对于给定的期望收益率0E ，可以计算出i x 的值，从而得到该期望收益率水平下方差2p σ最小的证券组合.改变0E 的值，能够得到相应的期望收益率水平下方差最小的证券组合.这样，由根据不同的0E 确定的证券组合形成的集合即为有效市场边界.3.模型的改进上诉经典马科维兹投资模型是在预期收益或则预期风险给定的情况下给出的，但在实际生活中人们往往不能确定给定的0E 或则20σ能得出最佳的投资组合，即没有其它的0E '或则20σ'使投资组合更优.在没有给定0E 或则20σ的情况下，该模型也可等价写为：222111min N N Npiii j ij i i j j ix x x σσσ===≠=+∑∑∑1max Np i i i E x E ==∑⎪⎩⎪⎨⎧=≥=∑=.2,1,0,1..1N i x x t s i Ni i这是一个多目标线性规划（MLP ）问题，为了能够解决这一问题需要将多目标规划转化为单目标规划问题，下面利用不同的转化方式对模型进行改进，以达到更好的优化效果.3.1改进一：引入决策变量β为了能够使多目标规划转化为单目标规划，需要有一个变量β来描述预期收益与预期风险之间的关系，定义β为：2PPE σβ=，其中minmax minE E E E E PP --=，2min2max 2min22σσσσσ--=P P ，.},2,1|min{min N i E E i ==.},,2,1|max{max N i E E i ==， .},,2,1,|min{22min N j i ij ==σσ.},,2,1,|max{2max N j i ij ==σσ.则模型可写为：.,,2,1,1..max 12N i xt s E Ni iPP===∑=σβ决策变量β所表示的意义是承担单位风险的情况下投资所能获得的收益.因为2,P P E σ实际数值差距较大，往往2P PE σ>>，这样就可能导致风险稍微减小一点对于β的影响也是巨大的，在实际投资中就是人们尽量减小风险以获得更大的收益，但是这往往是片面的.因此需要对2,P P E σ进行归一化处理，以使得两者的数值具有可比性.引入β的好处在于能够使多目标规划问题转化为单目标规划，而且β有其实际的含义即单位风险回报率，人们应该选择1≥β的投资组合，因为得到的收益如果不能大于风险这是不合理的.而且β能够很好的衡量不同投资组合的优劣，人们也往往选择风险小收益大的投资组合，即β较大的投资组合.但是引入决策变量β使得原本线性规划问题变为了非线性规划问题，大大增加了模型求解的难度.我们很难求解出问题的最优解，甚至我们很难判断问题是否有唯一的最优解.但是如果我们已经知道了投资组合的比例，即),,2,1(N i x i =的值，那么可以用决策变量β来进行比较进而确定最优的组合.3.2改进二：引入偏好程度λ在改进一中是通过引入一个变量使得预期收益与预期风险有关联，虽然使多目标规划问题得以转化为单目标规划问题，但是并没有降低难度，难度反而有所增加.在多目标规划中，是极小化预期风险，极大化预期收益，为了能够使两者统一，将目标函数化为极小化风险以及极小化预期收益的相反数即：2minP P E Z σ+-=。

投资组合优化模型及其实证研究

投资组合优化模型及其实证研究投资组合是指从多种投资品种中选择一定的比例进行投资的过程。

投资组合优化模型是指通过某种方式计算出最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目的。

本文将就投资组合优化模型及其实证研究展开阐述。

一、投资组合优化模型1.1 基本概念投资组合优化模型是利用数学方法，以最大化收益或最小化风险为目标，通过计算股票、债券、黄金等不同资产的相关性、预期收益率、风险、流动性等指标，制定最佳投资组合方案。

其目的是在各种不确定性因素中，在最小风险的前提下获得最大收益。

1.2 常见方法目前常用的投资组合优化方法有均值方差分析法、Markowitz模型、Black-Litterman模型、最大化效用函数模型等。

其中，Markowitz模型最具代表性和广泛使用。

1.3 Markowitz模型Markowitz模型，也称为均值方差分析模型，是现代投资组合理论的基础。

该模型主要考虑投资组合的预期收益和风险，通过计算不同证券之间的相关性确定最理想的投资权重。

具体计算方法如下：首先计算各个证券的预期收益率和方差，然后计算该证券与其他证券之间的协方差，进而计算出不同组合的预期收益率和方差。

最后通过对不同组合的收益方差关系进行优化，确定最优投资组合。

二、实证研究2.1 数据来源本文采用的数据来自国内外的股票、债券、黄金等资产市场数据，以及相应的基金、指数等投资产品数据。

2.2 研究方法本文采用Markowitz模型，通过计算各种投资产品的预期收益率、方差、协方差等风险指标，确定最优投资组合。

2.3 结果分析实证研究结果显示，在所有标的物中，黄金是一个比较安全的资产，但收益率不高且波动性较大。

债券的收益率相对稳定，但波动性低于股票。

股票收益率高，但波动性也相对较大。

在多元组合分析中，投资者可以通过调整不同资产的比重来降低整个投资组合的风险，提高收益率。

例如，当股票市场不稳定时，可以增加债券和黄金的比例，以稳定投资组合。

MARKOWITZ组合理论综述

∑ = (σ ij ) n×n 为收益率向量 r = (r1 , r2 ,......rn )T 的方差协方差矩阵。
这一模型与 Markowitz 均值—方差模型的差别主要在限制投资者投资于每种证券上的投资比例 ωi 大于等于零，其求解方法基本是沿袭标准的马氏模型。（2）在有保证金要求和允许抵押两种限制条件下允许卖空的证券投资组合决策模型。该模型的主要思路是：投资者在进行卖空操作时，不但不能将卖空所得归己支配，还需缴纳附加保证金。所以，将卖空第 i 种证券看作是投资于第 n+i 种证券，其投资额为交纳的附加保证金。这样就将由 n 种证券构成的证券组合投资问题处理成由 2n 种证券构成的证券组合投资问题。相应的组合投资比例系数向量为 W = (ω1 ,ω 2 ,......,ω 2 n )T ≥ 0 ，其中， ω i 为持有证券 i 的投资比例系数， ω n +i 是用于支付卖空证券 i 所需要的附加保证金占投资总金额的比例系数， i＝ 1，2，…， n。有保证金要求的卖空条件下证券组合投资决策模型为：
σＰ
个别性风险
βＰσＩ
总风险
市场风险
N
图三风险与多样化
从图三我们也可以直观的看出，投资组合多样化的最优效果即是将个别性风险抵消掉，但组合仍然要承担市场风险。
（二）不同限制性卖空条件下的证券组合投资模型在完全市场条件下的均值—方差模型，卖空没有任何限制条件，但现实证券市场中的卖空常常受到限制，而且不同的证券市场对卖空的限制条件往往不同。当卖空受到限制时，均值—方差模型作为证券投资组合的决策模型就需要得到调整。（1）不许卖空的投资组合决策模型由于在实际交易中卖空在很多国家都受到限制，因此多对 Markowitz 的均值 —方差模型的约束条件进行修正以满足不能卖空的条件。这些模型的应用也是建立在一系列假设条件之上的，模型的基本假设为投资者在制定决策时以期望收益率和收益率的方差两参数为基础； a) 投资者是马柯维茨的信徒，即他（她）是理性的和风险规避型的； b) 投资者对市场的预期是一致的； c) 市场是完全竞争和无磨擦的，不存在无风险套利机会； d) 不存在无风险资产； e) 不允许卖空。此条件下投资组合决策的模型如下：

马科维茨理论的实际运用

马科维茨理论的实际运用作者：王小敏来源：《时代金融》2013年第18期【摘要】马科维茨投资组合优化模型是股票投资者、分析家们常用到的一种投资组合分析方法，这种方法相较于股票的技术分析更简便。

本文随机选取股市中的五只股票，从实际说明如何运用马科维茨理论，以达到组合优化风险最小。

【关键词】马科维茨理论组合优化一、前言股市有风险，投资需谨慎。

在做每一个投资决策前，我们都要分析这个股票组合中每只股票的风险与收益，各股票间的相关性，股票组合的方差。

马科维茨投资组合理论正是揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。

一般而言相关性越大，投资者所面临的风险越大；组合的方差越大，投资者希望的超额收益越大。

确定一个投资组合，通过投资组合权重的计算，找出最优风险投资组合比例，使组合波动性最小，是我们运用马科威茨投资组合理论的目的。

二、实证分析（一）股票数据的选取本文选取了市场中医药行业的华润三九（000999.SZ）、交运设备业的林海股份（600099.SH）、银行信托业的中信银行（601998.SH）、电子元件业的国光电器（002045.SZ）和券商信托业招商证券（600999.SH）五只股票在2009年12月31日——2013年5月10日的每月月底股票的收盘价数据，及同时段具有良好代表性的沪深300收盘价数据。

（二）股票数据的分析与计算运用EXCEL软件来说明马科维茨投资组合理论的运用。

3.股票的标准差计算各股票与沪深300的β系数，β系数代表了资产的风险溢价与市场投资组合的风险溢价成比例，β>0，证券收益与市场组合收益正相关，β4.通过以上数据，运用EXCEL软件中的规划求解功能求出最优投资组合，组合的期望回报率和风险，如表4。

三、结论和建议马科维茨投资组合理论是在给定收益条件下风险最小，选取的五只股票分数不同行业相关系数较低符合投资分散化的要求，通过计算可以发现的股票组合风险小于单只股票的风险，组合得到优化，投资者可以获得比原先更低的风险，更好的收益。

我国股市行业投资组合及启示—基于Markowitz资产选择的E-V模型

股市经历了一波较为完整的估值周期。以下讨论均
￣ｉ＇ｊｉ２Ｖ．＝∑ ＹＸＸｏｊ
．
‘ ＵＩ
３
３．∑Ｘ＝１且Ｘ＞０ｉ，ｉ１
ｌＩ
４ｏｊｐｏｏ．ｉ＝￣ｉｊｒｒｒ
（）标说明和数据选取二指
市盈率（ｒｅＥｒｉｇＲｔ，Ｅ是股票价格和ＰｉａｎａｉＰ）ｃｎｏ
数、证券ｉ收益变动标准差，其中标准差＝ √ 。在
使用Ｅ— 模型时，要选取可行组合中的有效组合，且投资者能够确定证券合理收益和组合投资的ｒ，ｏｊ并遵从收益最大或风险最小进行投资组合。ｉ
３
在ｉ叮ｊ，ｉ的选择上，ｒｏｉＭａｗｔｋｚ建议到可以使用
（）一马克维茨（Ｖ）型Ｅ— 模Ｍａｋｗｔ在资产选择研究中是以三种证券为ｒｏｉｚ例进行组合投资研究，有关方程设定的条件为：其
、
业绩，因而仍被广泛使用。市盈率高可以表明公司目前估值的相对较高，风险较大；可以表明公司发也展前景好，资者愿意给予估值溢价，险较小。市投风场整体市盈率衡量涉及到两个问题：其一，股票价格和每股收益的时间确定；其二，市场指数的使用。本
一
我们以马克维茨（ｒｏｉ）出的收益均值Ｍａｋｗｔ提ｚ方差（Ｅ—Ｖ）在此基础上的可行组合（ｔｉａｌ及ａａｎｂｔｅｃｍｉａｏｓ和有效组合（ｆｃｎｏｉａｏ）ｏｂｎｔｎ）ｉｅｆｉｔｍｂｎｔｎ为ｉｅｃｉ

投资学中的马科维茨模型及应用

投资学中的马科维茨模型及应用在投资领域，马科维茨模型是一种经典的投资组合理论，被广泛应用于资产配置和风险管理。

该模型由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，被誉为现代资产组合管理的奠基之作。

马科维茨模型的核心理念是通过有效的资产配置来实现收益最大化和风险最小化。

它基于以下两个基本假设：1. 投资者是理性的，追求最大化效用；2. 投资者关注的是整体投资组合的风险和回报，而非单个资产。

在马科维茨模型中，投资组合的有效前沿是一个关键概念。

有效前沿是指在给定风险水平下，能够实现最高预期收益的投资组合。

通过计算各种不同资产配置下的预期收益和风险，可以绘制出一条曲线，该曲线上的每个投资组合都是有效的。

为了确定有效前沿上的最优投资组合，马科维茨模型引入了一个关键概念——投资组合的方差-收益权衡。

方差衡量了投资组合收益的波动性，收益越稳定，方差越低。

马科维茨认为，投资者应该根据自己的风险承受能力来选择最佳的投资组合，即在给定风险下，选择方差最小的投资组合。

为了应用马科维茨模型，投资者需要收集各种资产的历史收益率数据，并计算出它们的协方差矩阵。

协方差矩阵反映了不同资产之间的相关性，相关性越低，投资组合的风险越小。

通过优化算法，可以计算出在给定风险水平下的最优资产配置。

马科维茨模型的应用不仅限于个人投资者，也广泛应用于机构投资者和资产管理公司。

它为投资者提供了一种系统性的方法来管理投资组合，帮助他们在追求高收益的同时降低风险。

然而，马科维茨模型也存在一些限制和争议。

首先，该模型基于历史数据，无法完全预测未来的市场表现。

其次，该模型假设市场是有效的，即投资者可以无限制地买卖任何资产，而现实中市场存在流动性和交易成本的限制。

此外，马科维茨模型忽视了投资者的心理因素，如风险厌恶和非理性行为。

尽管存在这些限制，马科维茨模型仍然是投资学中的重要工具。

它为投资者提供了一种科学的方法来管理投资组合，帮助他们在复杂多变的市场环境中做出理性的决策。

Markowitz投资组合理论模型应用研究_李善民

经济科学·2000年第1期Markowitz 投资组合理论模型应用研究李善民　徐　沛(中山大学管理学院　510215)我国证券市场历史较短,对Ma rkow itz 模型的研究及应用尚处于理论探索阶段。

诸多学者或仅停留于理论探讨,或实证样本选取采样数据过窄,采样规则缺乏说服力,股票收益率计算过于简单等问题,从而无法推断其研究结果的科学性和普遍意义。

本论文采用深沪股市824只股票自上市以来至1998年年底的每日价格变动数据,利用计算机建立数学模型协助研究,采用M arko witz 模型、单指数模型、EGP 模型推算特定时间特定股票样本的有效组合,测算股票组合风险变动规律,随机等权股票组合②的收益、方差,试图在全面评价Ma rkow itz 模型及相关简化算法基础上,结合我国股票市场的实际进行实证研究。

籍此探讨静态理论应用于中国的可行性和实践意义。

本论文的研究目的在于:(1)研究中国股市股票组合的风险变动规律、以及深市各个股的非系统风险与系统风险的比例,检测投资组合对于中国股市分散投资的意义;(2)M arkowitz 模型所推证的有效组合与随机选取的资产组合的效率比较,验证Ma rkow itz 模型的有效性;(3)研究单指数模型、W GP 模型与Markow itz 模型的效率差异、探讨简化模型的应用可行性。

Ⅰ国内外主要文献检索及讨论马可维兹的《资产选择:投资的有效分散化》(M arkowitz,1952)一文,最早同时采用风险资产的预期收益率和用方差(或标准差)代表的风险来研究资产的选择和组合问题,它建立在一系列严格的假设条件之上:(1)投资的收益率是投资结果的恰当概括,投资者能够看到各种可能的收益率变化的概率分布;(2)收益率的方差反映了投资者对风险的估计;(3)投资者愿意只以收益率概率分布的两个参数作为决策的基础:预期收益率和预期方差。

以符号示之,U=f[u,σ],这里的U 为投资者的效用,u 为投资者的期望报酬率,σ为预期方差;(4)对任何给定的风险水平,有 U r>0以及 U e <0;(5)在当期投资的期末,投资者为了在下一期进行进一步极大化其证券或资产组合的效用,可以修正其资产和负债;(6)资产和负债具有完全的流动性。

几种投资组合模型的实证分析和对比_应用数学专业

几种投资组合模型的实证分析和对比_应用数学专业
投资组合模型是研究投资者如何选择不同资产类别构成资产组合，使得资产组合的收益最大化和风险最小化的数学模型。

目前常
见的投资组合模型包括马科维茨模型、资本资产定价模型（CAPM）、风险调整收益模型（ARIMA）等。

在实证研究中，学者们一般会采用历史数据对不同投资组合模
型进行回测，并以风险度量、平均收益率等指标作为评估标准进行
对比。

以下是几种具有代表性的投资组合模型的实证分析和对比：
1. 马科维茨模型
马科维茨模型是最早的投资组合模型之一，它将资产组合的风
险分为系统性风险和非系统性风险两部分，并以投资者对风险的厌
恶程度来平衡两者。

实证研究显示，该模型能够有效降低投资组合
的风险，但在收益方面表现不尽如人意。

2. 资本资产定价模型（CAPM）
CAPM模型指出，资产预期收益率应该等于无风险资产收益率与
市场风险溢价的加权平均值。

该模型在考虑市场因素的情况下给出
了资产收益率的定价理论，但其缺点也十分明显，如需要假设市场
具有完全有效性等。

3. 风险调整收益模型（ARIMA）
ARIMA模型是时间序列模型的一种，以波动性预测和风险计量
为基础，可用于预测资产组合未来的收益和风险。

虽然该模型准确
度较高，但其模型复杂度和数据需求量较大，限制了其在实际运用
中的可行性。

总体来说，不同的投资组合模型各有优缺点，应视实际情况进行选择和运用。

未来的研究方向可能是将不同的模型组合起来，形成更加准确、实用的投资组合模型。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究
马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究
摘要：
本文旨在探讨马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究，并通过数理统计方法对实际股票市场数据进行分析。

研究结果表明，马科维茨模型可以为投资者提供有效的投资组合选择方法，从而使投资者在股票市场中实现风险和回报之间的平衡。

第一章：引言
股票市场一直以来都是投资者追求高回报和承担风险的地方。

随着市场的不断发展，投资者需要更加科学和合理的方法来选择投资组合，以最大程度地降低风险并获得最大回报。

马科维茨模型作为一种经典的投资组合选择方法，通过对投资组合的优化分配和风险管理，为投资者提供了一个有力的工具。

第二章：马科维茨模型的基本原理
马科维茨模型是由美国经济学家哈里·马科维茨于20世
纪50年代提出的。

该模型基于现代金融学中的投资组合理论，将投资者的投资标的看作是随机变量，并假设投资者在不同投资标的之间的组合中寻找最优解。

第三章：马科维茨模型的数学表达
在第三章，我们将详细介绍马科维茨模型的数学表达和计算方法。

其中，包括投资组合的预期收益率、方差等概念的定义，以及计算有效边界和最优投资组合的步骤。

第四章：马科维茨模型在实际股票市场中的应用
在第四章中，我们将通过实际股票市场数据的分析，来探讨马科维茨模型在实际中的应用和有效性。

尤其是我们将重点
关注投资组合的风险和收益之间的平衡关系，以及投资者如何通过调整投资组合来实现最优的投资效果。

第五章：实证研究结果及分析
通过对实际股票市场数据的分析，我们得到了一系列投资组合的有效边界和最优组合。

我们发现，通过马科维茨模型的计算，投资者可以得到不同风险承受能力下的最优组合，以实现自己的目标。

而且，通过经验数据的不断积累，投资者可以根据实时数据来重新调整投资组合，从而更加精确地预测未来的风险与收益，并进行相应的优化。

第六章：结论
本文通过对马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究，得出了一系列结论。

首先，马科维茨模型提供了一种有效的投资组合选择方法，可以帮助投资者在股票市场中实现风险和回报之间的平衡。

其次，在实际股票市场中，投资者可以根据自身的风险承受能力和目标来调整投资组合，以获得最优的效果。

最后，不断积累经验数据并实时调整投资组合，可以更加准确地预测未来的风险与收益，并进行相应的优化。

马科维茨模型对于投资者来说，是一种科学、有效的投资组合管理工具，可以帮助他们在股票市场中取得更好的投资效果。

第五章：实证研究结果及分析
在本章中，我们将通过对实际股票市场数据的分析，来得出一系列投资组合的有效边界和最优组合，并深入探讨投资者如何通过调整投资组合来实现最优的投资效果。

通过马科维茨模型的计算，投资者可以在不同风险承受能力下找到最优的组合，从而实现自己的投资目标。

首先，我们利用历史数据和马科维茨模型计算得到了投资
组合的有效边界。

有效边界显示了在给定风险水平下，可以获得的最大期望收益。

通过分析有效边界，我们可以确定投资者理想的风险收益平衡点，并从中选择最优的投资组合。

其次，我们通过对实际股票市场数据的分析，得出了一系列最优组合。

这些最优组合是在不同风险水平下，能够实现最大期望收益的投资组合。

投资者可以根据自己的风险承受能力和目标，在这些最优组合中选择适合自己的投资方案，以实现最佳效果。

另外，我们还研究了投资者如何通过调整投资组合来实现最优的投资效果。

根据马科维茨模型，投资者可以根据不同的风险偏好和目标，调整投资组合中各项资产的权重，以在风险和回报之间取得平衡。

通过不断积累经验数据，并实时调整投资组合，投资者可以更加准确地预测未来的风险与收益，并做出相应的优化。

这样，投资者可以在股票市场中取得更好的投资效果。

第六章：结论
通过本文对马科维茨模型在股市最优投资组合选择中的实证研究，我们得出了一系列结论。

首先，马科维茨模型提供了一种科学、有效的投资组合选择方法，可以帮助投资者在股票市场中实现风险和回报之间的平衡。

通过计算有效边界和最优组合，投资者可以找到适合自己的投资方案。

其次，实际股票市场中，投资者可以根据自身的风险承受能力和投资目标来调整投资组合，以获得最优的效果。

不同的投资者有不同的风险偏好和目标，因此需要根据自身情况做出相应的调整。

最后，不断积累经验数据并实时调整投资组合，可以更加
准确地预测未来的风险与收益，并进行相应的优化。

投资者应该密切关注市场动态，并根据实时数据调整投资组合，以适应市场变化。

总的来说，马科维茨模型对于投资者来说是一种科学、有效的投资组合管理工具。

通过该模型，投资者可以在股票市场中取得更好的投资效果。

然而，投资者在使用该模型时需要注意市场风险和自身的投资目标，以确保投资组合的风险和回报之间达到最佳平衡。

只有在风险和收益之间取得合理平衡的情况下，投资者才能获得最佳投资效果
综上所述，马科维茨模型是一种科学有效的投资组合管理工具，通过该模型可以帮助投资者在股票市场中实现风险和回报之间的平衡，从而取得更好的投资效果。

首先，马科维茨模型提供了一种科学有效的投资组合选择方法。

通过计算有效边界和最优组合，投资者可以找到适合自己的投资方案。

该模型将投资组合的风险和回报作为考量因素，并通过优化投资权重来达到最佳的风险和回报平衡。

通过使用该模型，投资者能够避免盲目的投资决策，减少风险，提高回报。

其次，投资者可以根据自身的风险承受能力和投资目标来调整投资组合，以获得最优的效果。

不同的投资者具有不同的风险偏好和投资目标，因此需要根据个人的情况做出相应的调整。

通过马科维茨模型，投资者可以根据自身的风险承受能力和目标设定合适的权重分配，从而在不同的市场环境下实现最佳投资效果。

最后，不断积累经验数据并实时调整投资组合，可以更准确地预测未来的风险与收益，并进行相应的优化。

投资者应该
密切关注市场动态，并根据实时数据调整投资组合，以适应市场变化。

通过不断学习和积累经验，投资者能够更好地理解市场趋势和行情，从而做出更明智的投资决策。

然而，投资者在使用马科维茨模型时需要注意市场风险和自身的投资目标，以确保投资组合的风险和回报之间达到最佳平衡。

投资者应该对市场的风险有清晰的认识，并根据自身的风险承受能力制定相应的投资策略。

此外，投资者还应该定期评估投资组合的表现，并进行必要的调整，以确保投资效果的持续改善。

总而言之，马科维茨模型为投资者提供了一种科学有效的投资组合管理工具，通过该模型可以帮助投资者在股票市场中取得更好的投资效果。

然而，投资者在使用该模型时需要注意个人的风险承受能力和投资目标，以确保投资组合的风险和回报之间达到最佳平衡。

只有在风险和收益之间取得合理平衡的情况下，投资者才能获得最佳投资效果。

因此，投资者应该持续学习和研究，不断优化投资策略，以实现长期稳定的投资回报。