最优投资组合的计算
最优投资组合--马科维茨投资组合理论
最优投资组合--马科维茨投资组合理论<代码已经过期，其中爬⾍链接已经失效>⼀：马科维茨投资组合理论投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。
投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。
投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。
⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。
投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。
其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。
⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。
所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。
⼆：求解最优投资组合过程本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。
利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：本⽂实现最优投资组合的主要步骤：1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益2：得到标准差最⼩时的期望收益3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。
4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重三：实证数据⽤例：1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）stocks=['601166', #兴业银⾏'600004', #⽩云机场'300099', #精准信息'601328', #交通银⾏'601318', #中国平安'601398', #中设股份'000333', #美的集团'600036', #招商银⾏'600016', #民⽣银⾏'601818'] #光⼤银⾏1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）revs=np.log(data/data.shift(1))3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：4：最优投资组合步骤：4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益def max_sharpe(weights):return -getPortfolioInformation(weights)[2]opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+000.00000000e+00 5.15579333e-16]# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化def min_variance(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]4.3：获取有效边界4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：def min_sd(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1]tvols = []infor_min_sd=[]#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：for tret in trets:cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差tvols = np.array(tvols)ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段evols = tvols[:ind_min_sd]erets = trets[:ind_min_sd]tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)x2 = sci.splev(y2, tck)evols = tvols[ind_min_sd:]erets = trets[ind_min_sd:]tck = sci.splrep(evols, erets)x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)y3 = sci.splev(x3, tck)plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()结果显⽰如下4.3.2：获取有效边界曲线图：plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML5.1： B-Spline样条曲线的参数tck = sci.splrep(evols, erets)5.2： B-Spline样条曲线函数def f(x):return sci.splev(x, tck, der=0)5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数def df(x):return sci.splev(x, tck, der=1)5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00def fun(x, risk_free_return=0.00):e1 = risk_free_return - x[0]e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])e3 = x[1] - df(x[2])return e1, e2, e35.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zoneX = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])plt.figure(figsize=(12, 6))#圆点为随机资产组合plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)#带⼊公式a+b*x求得y,作图plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)plt.grid(True)plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.xlabel('expected volatility')plt.ylabel('expected return')plt.colorbar(label='Sharpe ratio')plt.show()#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)结果图如下：6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：rev_result=f(X[2])flag=0temp=abs(trets[0]-rev_result)length=len(trets)for i in range(1,length):if abs(trets[i]-rev_result)<temp:temp=trets[i]-rev_resultflag=iweight_result=infor_min_sd[flag]['x']all=0 #最终为 1.0for i in range(10):all=all+weight_result[i]print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]故最终投资股票是：0.04802 #⽩云机场0.85880 #交通银⾏0.09318 #民⽣银⾏。
多种投入要素的最优组合-管理经济学
多种投入要素的最优组合-管理经济学引言管理经济学是研究企业和组织中资源的有效配置和管理的学科。
在管理经济学中，一个重要的问题是如何找到多种投入要素的最优组合。
通过确定最优组合，企业可以最大程度地提高生产效率，并在有限的资源下获得最大的利润。
投入要素的意义在管理经济学中，投入要素指的是用于生产或提供产品和服务的各种资源，例如劳动力、资本、原材料等。
这些投入要素在企业中起到至关重要的作用，因为它们直接影响到生产力和成本。
劳动力是一种重要的投入要素，它包括企业员工的数量和素质。
企业需要根据生产需求来确定合理的员工数量，同时提供必要的培训和发展机会，以提高员工的素质和技能。
资本是企业的重要投入要素，它包括设备、设施和资金。
企业需要投入适量的资本来购买设备和设施，并在生产过程中使用它们。
此外，企业还需要适当的资金来支持日常运营和扩大业务。
原材料是企业生产过程中必需的投入要素。
企业需要定期采购原材料，并确保其质量达到生产标准。
合理的原材料采购策略可以帮助企业降低生产成本，并确保生产过程的顺利进行。
最优组合的概念在管理经济学中，最优组合指的是在给定的生产要素和生产函数下，使得企业获得最大利润或最大产品产出的投入要素组合。
最优组合可以通过最大化效用、最小化成本或最大化产出来实现。
在找到最优组合时，企业需要考虑多种因素，如生产函数、要素价格、技术水平等。
这些因素的变动都会对最优组合产生影响。
最优组合的计算方法以下是几种常用的方法来计算多种投入要素的最优组合：边际生产力相等法边际生产力相等法是一种通过比较各个要素的边际生产力来确定最优组合的方法。
边际生产力指的是增加一单位要素所带来的产出增加量。
通过对比各个要素的边际生产力，企业可以确定最优的投入要素比例。
等边际成本法等边际成本法是一种通过比较各个要素的边际成本来确定最优组合的方法。
边际成本指的是增加一单位要素所需的成本增加量。
通过对比各个要素的边际成本，企业可以确定最优的投入要素比例。
数理金融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形
数理⾦融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。
（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的协⽅差矩阵为230350001轾犏犏=犏犏臌，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。
2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。
(2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11TpT p p T w w s t E X w r ws m ==壮??（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121210;0;110;TT p T Lw w Lr w Lw l m l m l l ?=-=-???=-???得最优解：*112(1)w l m l -=? ?。
令111,11,TTT a b m m m m ---===邋1211,T c ac b -=D =-?则12,.p p r c ba rb l l --==DD最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()Tp p c b ww r c cs ==-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c-= ?，最优组合⽅差为：*21p cs =。
（4）由题意知，230350001轾犏犏=犏犏臌，所以，1530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 1151 1.25,10.5,42T T a b m m m --\======邋129112,4T c ac b -==D =-=?。
最优投资组合公式
最优投资组合公式在投资领域中，最优投资组合是指在给定的投资标的和风险偏好条件下，能够最大化投资者预期收益或最小化风险的投资组合。
最优投资组合公式是一种数学模型，它通过计算各种资产的权重来确定最佳的投资组合。
最常用的最优投资组合模型是马科维茨组合理论，由于这个理论的重要性，它被广泛应用于投资管理和资产配置领域。
马科维茨组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨在20世纪50年代提出的，该理论认为，投资组合的风险与各种资产之间的相关性有关，而不仅仅是单个资产的风险。
其基本公式如下：E(Rp) = ∑(i=1)^(N) wi * E(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益，N表示投资标的的数量，wi表示第i个资产在投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个资产的预期收益。
此外，马科维茨组合理论还引入了投资组合的方差来衡量风险，方差公式如下：Var(Rp) = ∑(i=1)^(N) ∑(j=1)^(N) wi * wj * σij其中，Var(Rp)表示投资组合的方差，σij表示第i个资产和第j个资产之间的协方差。
为了达到最优投资组合，投资者需要在预期收益和风险之间做出权衡。
马科维茨通过引入风险厌恶系数（λ）来控制风险和收益的权衡关系，从而得到最优投资组合。
最优投资组合可以通过求解以下公式得到：min λ * Var(Rp) - E(Rp)约束条件如下：∑(i=1)^(N) wi = 1wi ≥ 0该优化问题需要使用数学优化算法进行求解，例如线性规划、二次规划或有效前沿算法等。
在实际应用中，投资者可以通过历史数据或专业机构提供的数据来估计资产的预期收益和风险。
通过不断调整投资组合的权重，投资者可以根据自身的风险偏好和投资目标来选择最优投资组合。
需要注意的是，最优投资组合公式仅是一个数学模型，其结果可能受到多种因素影响，包括资产预期收益和风险的准确性、相关性的变化、投资者的风险偏好以及投资时段等。
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算案例:设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-r ，标准差分别为%301=σ,%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6％,求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：min （1221222221212σσσx x x x ++）,S 。
T 。
---=--++P f r r x x r x r x )1(212211。
令L=（1221222221212σσσx x x x ++）+[λ--Pr ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件： =∂∂λL --P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得26825.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.0212211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算).说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
投资学-6投资组合有效边界计算
6最优投资组合选择最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。
然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。
虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。
这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。
下面分别讨论。
一、一个无风险资产和一个风险资产的组合当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：f P r w r w r )1(-+=其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。
这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：f P r w r wE r E )1()()(-+=σσw P =(因为122222122)1(2)1(σσσσw w w wP -+-+=,2112122,0σσρσσ===0)其中σ为风险资产的标准差。
根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：P ff P r r E r r E σσ-+=)()( 3-1当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。
在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。
随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。
具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。
如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。
最优投资组合
无风险储蓄和借款——无风险证 劵
• 通过方差的公式我们可以得到，投资组合 的波动路只是风险证劵组合的波动率的一 部分，它等于投资于风险证劵组合的比例 乘以风险证劵组合的波动率。
无风险储蓄和借款——无风险证 劵
大投资组合中的波动率
• 我们可以将投资组合的协方差写成：
大投资组合中的波动率
• 这个公式中表明，投资组合的方差等于组 合中所有两两配对股票的回报率的协方差 与他们各自在组合中的投资权重的乘积之 和。也就是说，投资组合的总体波动性取 决于组合中全部股票的总体互动。
风险与回报率：选择有效投资组
合
• 考虑英特尔和可口可乐公司，英特尔在9604年均回报率为25.6%，波动率为48%，同 期可口可乐公司的年均回报率为6.3%，波 动率为27%，并且两公司相关系数为0
期望回报率
26% 6% 2%
投资组合
波动率
股票间的相关系数 英特尔 可口可乐 波尔实业
50%
1
0
0
25%
0
1
0
25%
0
0
1
多种股票构成的投资组合
股票从2只增加到3只，投资机会集随之扩大，有效边界就得以改进。
无风险储蓄和借款——无风险证 劵
• 考虑回报率为Rp的任意风险证劵投资组合， 如果将x比例的资金投资于风险证劵组合， 而将剩余（1-x)比例的资金投资于回报率为r 的无风险债券，则期望回报率为
波动率的增加，相应的期望回报率将增加 多少。也就是说，对于给定的波动率的增 加，如果投资组合能够提供最大的期望回 报率的增加，他就是有效的投资组合。 为了确定现有投资组合P是否具有最大夏普比 率，我们可以通过增加投资i到投资组合中 检验
投资组合值计算公式
投资组合值计算公式投资组合值是指投资者在持有多种资产组合中所拥有的总价值。
计算投资组合值的公式可以帮助投资者更好地了解他们的投资组合表现，并帮助他们做出更明智的投资决策。
在本文中，我们将讨论投资组合值的计算公式，以及如何使用这些公式来评估投资组合的表现。
首先，让我们来看看投资组合值的基本定义。
投资组合值是指投资者在持有的多种资产中所拥有的总价值，这些资产可以包括股票、债券、房地产、商品等。
投资者通常会持有多种不同类型的资产，以分散风险并实现更稳定的投资回报。
因此，了解投资组合值对于投资者来说至关重要。
投资组合值的计算公式可以根据不同的情况而有所不同。
然而，最常见的计算投资组合值的方法是加权平均法。
这种方法可以帮助投资者更好地了解他们的投资组合表现，并对不同资产的贡献进行权衡。
投资组合值的加权平均法可以使用以下公式来计算：投资组合值 = Σ（资产价值×权重）。
在这个公式中，Σ代表求和，资产价值表示每种资产的市值，权重表示每种资产在投资组合中所占的比重。
通过计算每种资产的市值乘以其权重，并将所有结果相加，投资者可以得到他们整个投资组合的总价值。
举个例子来说，假设一个投资者持有以下三种资产：股票、债券和房地产。
他们的市值分别为10000美元、5000美元和3000美元，而它们在投资组合中的权重分别为40%、30%和30%。
那么投资组合值可以通过以下公式计算得出：投资组合值 = (10000 × 0.4) + (5000 × 0.3) + (3000 × 0.3) = 4000 + 1500 + 900= 6400。
通过这个计算，投资者可以了解他们整个投资组合的总价值为6400美元。
这个数字可以帮助他们更好地了解他们的投资表现，并做出相应的投资决策。
除了加权平均法之外，投资者还可以使用其他方法来计算投资组合值，比如市值加权法和等权法。
市值加权法是指根据每种资产的市值来确定其权重，而等权法则是指每种资产在投资组合中所占的权重都是相等的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最优投资组合的计算
案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-
r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2
005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：
第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：
min(1221222221212σσσx x x x ++),
S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.
令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[
λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：
=∂∂λL --
P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268
25.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.02
12211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-
P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。
说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
风险资产最优组合的收益率和标准差为：
()()()%
06.3206.062.038.024.062.03.038.02%
2.26
3.062.02.038.022221221222221212211=⨯⨯⨯+⨯+⨯=++==⨯+⨯=+=σσσσx x x x R E x R E x R E r r 第二步，构造投资者的最优投资组合（设y 为风险资产组合投资占比例，（1-y ）为无风险资产投资占比例）：
1.设目标函数()2005.0P P A R E MaxU σ-=
约束条件为S.T ：
()()()y
y y
y y r y Rr yE R E r P f P 3206.0202.006.006.0)1(262.0122==+=-+=-+=σσ
2.将约束条件代入目标函数，得： ()2
3206.04005.0202.006.0y y U ⨯⨯-+= 3.将目标函数对y 求一阶导数，并令其等于零得
0.202-0.020*2*0.32062y=0
Y=0.49
4.三种资产组合的收益率=0.06+0.202*0.49=1
5.9%
三种资产组合的标准差为0.3206*0.49=15.7%
5.无风险资产占比51%，风险资产1占比为0.38*0.49=18.62%，风险资产2占比为0.62*0.49=30.38%。