最优投资组合模型剖析
投资组合优化的数学模型
投资组合优化的数学模型一、引言投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。
在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。
本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。
二、投资组合优化模型投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。
下面将分别进行介绍。
1.均值-方差模型均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。
其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。
具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。
均值-方差模型的数学表达式如下：$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。
该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。
但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实际应用中有着一定的局限性。
2.风险价值模型风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。
与传统的风险度量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。
VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。
不同投资决策的最优化模型
不同投资决策的最优化模型随着经济发展，投资成为人们追求财富增值的重要途径之一。
不同的投资决策对应不同的风险和收益。
如何在风险和收益之间做出最优化的投资决策，成为投资者必须要面对的难题。
本文将介绍不同投资决策的最优化模型及其应用。
基本概念在讨论最优化模型之前，我们需要了解一些基本概念。
收益收益是指投资所获得的盈利。
在同等投入下，收益越高，投资者的利润就越大。
风险风险是指投资所面临的不确定性，包括市场波动、政策变化、经济形势等各种因素的影响。
风险越大，投资者面临的亏损就越多。
风险收益比风险收益比是衡量投资风险和收益之间关系的重要指标。
风险收益比越高，代表投资者在相同投入下能获得更高的收益，但风险也随之增加。
均值-方差模型均值-方差模型是最早应用于投资决策的模型之一。
它通过计算投资组合的期望收益和方差，来确定最优的投资组合。
均值-方差模型的基本思路是，投资者希望在一定的投入下，获得最高的收益，并且避免风险。
因此，投资者需要在不同的投资品种之间做出选择，以获得最优的投资组合。
该模型通常假设所有的投资品种之间都是相互独立的，并且各自服从正态分布。
同时，该模型依据Markowitz提出的理论，将投资决策问题转化为一个求解二次规划问题的过程。
均值-方差模型的数学形式如下：minimize 1/2 x' * Σ * x - μ' * xsubject to x >= 0, sum(x) = 1其中，x表示投资组合向量，Σ表示协方差矩阵，μ表示期望收益向量。
通过求解上述优化问题，可以得到最优的投资组合，同时满足各种约束条件。
例如，假设我们有两种投资品种，它们的期望收益分别为μ1和μ2，协方差为σ12，σ21，那么该模型的答案可以表示为：x* = (μ1 - μ2) / σ12 /(σ12^2 + σ21^2)y* = (μ2 - μ1) / σ21 / (σ12^2 + σ21^2)其中x和y分别表示将资金投入不同投资品种的比例。
投资组合优化模型及其实证研究
投资组合优化模型及其实证研究投资组合是指从多种投资品种中选择一定的比例进行投资的过程。
投资组合优化模型是指通过某种方式计算出最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目的。
本文将就投资组合优化模型及其实证研究展开阐述。
一、投资组合优化模型1.1 基本概念投资组合优化模型是利用数学方法，以最大化收益或最小化风险为目标，通过计算股票、债券、黄金等不同资产的相关性、预期收益率、风险、流动性等指标，制定最佳投资组合方案。
其目的是在各种不确定性因素中，在最小风险的前提下获得最大收益。
1.2 常见方法目前常用的投资组合优化方法有均值方差分析法、Markowitz模型、Black-Litterman模型、最大化效用函数模型等。
其中，Markowitz模型最具代表性和广泛使用。
1.3 Markowitz模型Markowitz模型，也称为均值方差分析模型，是现代投资组合理论的基础。
该模型主要考虑投资组合的预期收益和风险，通过计算不同证券之间的相关性确定最理想的投资权重。
具体计算方法如下：首先计算各个证券的预期收益率和方差，然后计算该证券与其他证券之间的协方差，进而计算出不同组合的预期收益率和方差。
最后通过对不同组合的收益方差关系进行优化，确定最优投资组合。
二、实证研究2.1 数据来源本文采用的数据来自国内外的股票、债券、黄金等资产市场数据，以及相应的基金、指数等投资产品数据。
2.2 研究方法本文采用Markowitz模型，通过计算各种投资产品的预期收益率、方差、协方差等风险指标，确定最优投资组合。
2.3 结果分析实证研究结果显示，在所有标的物中，黄金是一个比较安全的资产，但收益率不高且波动性较大。
债券的收益率相对稳定，但波动性低于股票。
股票收益率高，但波动性也相对较大。
在多元组合分析中，投资者可以通过调整不同资产的比重来降低整个投资组合的风险，提高收益率。
例如，当股票市场不稳定时，可以增加债券和黄金的比例，以稳定投资组合。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
多个风险资产的最优投资组合计算模型
多个风险资产的最优投资组合计算模型随着金融市场的发展，越来越多的投资者开始寻求多元化的投资组合，以降低投资风险并获得更好的回报。
在构建多个风险资产的最优投资组合时，投资者需要考虑不同资产之间的相关性、预期收益率、风险水平等因素。
为了帮助投资者做出最优的投资决策，研究者们提出了许多计算模型，其中最知名的是现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）。
现代投资组合理论是由美国经济学家马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出的，他通过优化计算模型来寻找最优的投资组合。
该理论的核心思想是通过选择投资组合中不同资产的权重，同时平衡预期收益和风险水平，以获得最大化的回报。
为了计算多个风险资产的最优投资组合，我们需要以下步骤：1.收集历史数据：首先，我们需要收集每个资产的历史数据，包括收益率和波动率。
这些数据可以从金融数据库或交易所获得。
2.计算相关性矩阵：使用历史数据计算资产之间的相关性矩阵。
相关性衡量了不同资产之间的联动性，可以帮助投资者理解如何构建一个多元化的投资组合。
3.优化模型：使用优化模型寻找最优的投资组合。
最常用的优化模型是马科维茨模型，它可以通过最小化投资组合的方差来最大化预期收益。
此外，还可以考虑其他因素，如风险厌恶程度、流动性约束等。
4.敏感性分析：进行敏感性分析以评估投资组合的稳健性。
敏感性分析可以评估投资组合在收益率和风险水平变化时的表现，并帮助投资者理解投资组合的弹性。
5.监管和再平衡：一旦构建了最优的投资组合，投资者需要进行监管和再平衡。
监管是指定期审查投资组合的表现，并根据市场条件对投资组合进行调整。
再平衡是指根据投资组合的目标和策略，调整各个资产的权重。
需要注意的是，计算多个风险资产的最优投资组合是一个复杂的过程，并涉及到许多假设和参数。
投资者应谨慎考虑模型中的假设和数据的可靠性，并按自己的需求和风险承受能力做出合理的决策。
总的来说，计算多个风险资产的最优投资组合是一个重要的投资决策工具，可以帮助投资者平衡收益和风险，实现长期的资本增值。
投资组合优化模型建立和结果解读
投资组合优化模型建立和结果解读投资组合优化是一个关键的投资决策过程，旨在找到最佳的投资组合，以最大程度地平衡风险和回报。
建立一个有效的投资组合优化模型是实现这一目标的关键步骤。
本文将介绍如何建立一个投资组合优化模型，并解读其结果。
建立投资组合优化模型首先需要确定投资组合的目标函数。
投资者的目标可以是最小化风险、最大化回报或在两者之间取得平衡。
然后，需要收集资产的历史数据，包括收益率、波动性和相关性等。
在建立模型时，可以采用传统的均值-方差模型，也可以考虑更复杂的模型，例如基于风险价值、最大风险调整回报或条件价值风险等。
均值-方差模型是最常用的投资组合优化模型之一，它假设收益率服从正态分布，并通过计算期望收益率和方差来寻找最佳投资组合。
为了解决投资组合优化问题，可以使用各种数学优化技术，例如线性规划、二次规划或半定规划等。
这些方法可以帮助找到最佳投资比例，以实现投资者的目标。
此外，还可以考虑约束条件，例如资本限制、行业限制或风险限制等。
一旦建立了投资组合优化模型并进行了求解，就可以得到最佳投资组合的权重分配。
这些权重反映了每个资产在投资组合中的重要性。
根据实际投资者的需求，可以对权重进行调整，以适应个人的风险承受能力和回报期望。
然而，投资组合优化模型存在一些限制。
首先，模型中的输入数据是基于历史数据的，无法保证未来的表现与历史数据一致。
其次，模型假设资产收益率服从正态分布，这在实际情况中并不总是成立。
此外，模型可能会忽略一些系统性风险和非正态分布的特征。
因此，在解读投资组合优化模型的结果时，需要注意这些限制。
首先，投资者应该认识到模型只是一个工具，而不是解决问题的终极策略。
其次，投资者应该定期评估投资组合，并根据市场变化和个人目标的变化进行调整。
此外，投资者应该理解投资组合优化模型的结果可能存在误差。
这些误差可以来自于输入数据的不准确性、模型假设的局限性以及优化算法的近似性等。
因此，投资者应该将模型结果作为决策的参考，而不是唯一的依据。
投资组合优化的模型比较及实证分析
投资组合优化的模型比较及实证分析随着金融市场的不断发展和成熟，投资者的投资选择逐渐多样化。
而投资组合优化作为降低风险、提高收益的有效手段，受到了越来越多的关注。
在这篇文章中，我们将对比几种常见的投资组合优化模型，并实证分析其表现。
1. 经典的Markowitz模型Markowitz模型也被称为均值-方差模型，是投资组合优化模型的经典代表之一。
该模型的基本原理是在最小化投资组合的风险的同时，尽可能提高其收益。
因此，该模型需要在投资组合中选择多个资产，并极力实现投资组合的最优化。
具体来说，该模型需要求解出有效前沿的组合（即收益最高、风险最小的组合），以确定投资组合中各资产的权重和比例。
但是，该模型存在一个主要缺陷：其假设了收益率服从正态分布，而实际上收益率存在着长尾分布、异常值等复杂情况，因此该模型可能存在很多的偏差。
2. Black-Litterman模型Black-Litterman模型是基于Markowitz模型而开发的投资组合优化模型。
该模型对Markowitz模型的改进之处在于引入了主观观点（也称为信息预测）和全局最优化。
具体来说，该模型假设投资者不仅仅考虑收益和风险，还需要考虑经济学因素、行业变化等其他情况，而这些情况并不受到Markowitz模型的考虑。
Black-Litterman模型能够将这些信息预测和其他重要因素加入到投资组合选择中，并在保持风险最小化的同时最大化整个投资组合的效益。
3. 贝叶斯模型贝叶斯模型是一种基于贝叶斯统计理论而设计的投资组合优化模型。
贝叶斯理论认为，根据先验知识和新的经验结果，可以不断更新和改变对概率分布的信念和预测。
具体来说，该模型需要分别分析资产的收益率分布和投资者的收益率目标分布，并在这些基础上进行投资组合的优化。
与Markowitz模型的区别在于，贝叶斯模型使用了长期数据作为先验分布，可以在非正态的、短期收益数据的基础上建立更准确的预测。
4. SAA/TAA模型SAA/TAA模型是一种基于战略资产配置（SAA）和战术资产配置（TAA）的模型。
投资组合优化问题的动态规划模型研究
投资组合优化问题的动态规划模型研究投资组合优化是一门在金融领域应用广泛的学科。
它的目的是在给定的投资机会下，通过合理的分配资产，最大化收益、最小化风险，从而提高投资回报率。
在如今投资市场的复杂和多变的情况下，如何选取最优的投资组合是一个近乎无解的难题。
本文将从动态规划角度剖析投资组合优化问题，给出其最优解的求解方法。
一、动态规划模型基础动态规划是一种算法思想，在解决最优化问题时，能够有效避免暴力搜索，减少计算量。
动态规划的基本思想是将问题分解为一个个子问题，逐一解决，并将子问题的最优解整合起来得到原问题的最优解。
它的核心是“最优子结构”和“无后效性”。
二、投资组合模型的建立在设定投资组合模型前，我们需要确定一些前置条件。
首先，我们假设市场上有N种资产，而每一种资产可以有多个投资方案，用户可以选择不同的投资方案；其次，资产的价格或投资回报率，并不稳定，而是存在一定程度的波动。
假设在时刻t市场上第i种资产的价格为Pit，如果在时刻t+1用户选择这种资产，那么在t+1时刻能够获得的回报率为Rit+1=Pit+1-Pit/Pit。
考虑到资产价格和回报率会产生波动，投资组合优化问题最好采用动态规划模型进行解决。
设状态变量为f(t,x)，表示在时刻t，选取资产的价值为x时最大收益。
对于每一种资产，x可以遍历其不同的投资方案，由此得到递推公式：f(t,x) = max(f(t-1,x),f(t-1,x-k) + Rit+1*k)其中，f(t-1,x)表示在t-1时刻没有投资该资产，f(t-1,x-k)+Rit+1*k表示在t-1时刻已经投资该资产，并且该资产价格变化为k。
将公式中的f(t-1,x)替换为f(t-1,x-k)，可以得到递推公式的简洁形式：f(t,x) = max(f(t-1,x),f(t,x-k)+Rit+1*k)三、动态规划模型的求解动态规划模型的求解离不开两个核心步骤：状态转移方程和边界状态。
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最优投资组合模型陈家跃1 肖习雨2 杨珊珊31．韶关学院2004级数学与应用数学广东韶关 5120052．韶关学院2003级信息技术(1)班广东韶关 5120053．韶关学院2004级信息技术班广东韶关 512005摘要本文通过各种投资回报数据,对各种投资方案的回报效益进行分析,以平均回报期望为回报率,用回报方差来衡量风险,建立了在VaR(风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件LINGO、MATLAB计算出在VaR=1%,…,10%下的最优投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,得到的最大净收益为500.00万美元,结果令人满意.关键词:马柯维茨均值-方差模型;VaR约束;置信水平1问题的提出某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望(2)投资的风险限制在一定的范围。
保证该投资方案资金保值概率不低于95%。
（假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立）三种投资方式分别为：投资方式一：购买政府债券，收益为5.6％/年；投资方式二：投资石化产业股票根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一)；投资方式三：投资信息产业股票根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录(如附录图表二)。
2 模型的假设2．1 该基金投资持有期为一年；2．2 投资政府债券的风险为零；2．3 方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况；2．4 不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零；2．5 总体投资金额设为单位1.3 符号的约定∆：表示证券组合在持有期t∆内的损失；PX：表示第i种方案的投资权重（投资比例）；ic：表示置信水平，反映了投资主体对风险的厌恶程度；2σ：表示第i种方案的投资回报方差；ii R ： 表示第i 种方案的投资回报期望； ij r ： 表示第i 种方案里的第j 只投票回报期望.4问题的分析此问题是一个投资组合的问题,投资项目包括政府债券和股票两种,政府债券收益率比较低但风险基本为零,而股票则收益率高但风险也相应高,最终目标是设计出一个投资组合方案使该基金会获得最大的回报期望和最少的投资风险. 经典的马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型正是解决这种投资组合问题的有效模型,他提出用收益期望来衡量回报率,用收益方差来衡量风险(方差越大,认为风险越大;方差越小,认为风险越小).而后来有不少学者对此模型进行深入研究,并提出了引入VaR 约束和置信水平下的马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型,这种改进的模型不但继承了马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型的精髓,而且更实用、准确。
VaR 即风险价值(Value at Risk)，是指市场正常波动下，在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失;置信水平表示投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高对风险的厌恶程度越大；相反，置信水平越高，就越喜欢冒险。
5模型的建立5．1经典马柯维茨均值-方差模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∑∑==n i i ni i px t s R 1121..max min R X ΣXX TT σ其中，T n R R R ),...,,(21=R ；)(i i r E R =是第i 种资产的预期回报率；T n x x x ),...,,(21=X 是投资组合的权重向量；n n ij ⨯∑=)(σ是n 种资产间的协方差矩阵；∑==31i i p R R 和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
该模型的解在p p R -σ空间是抛物线，即投资组合的有效前沿。
5．2 风险价值的确定：VaR 为风险价值，设资产组合的初始价值为W ，持有期末的期望收益为R ，R 的数学期望和标准差分别为μ和σ，在给定的置信水平c 下，期末资产组合的最低值为)1(**+=R W W ，其中*R 为相应的最低收益率(一般为负值)，则：)()() (**μ--=-=R W W W E Risk at Value VaR (1)又由c R R P R R P -=-<-=<**1)()(σμσμ，可知：ασμασμ+=⇒=-**R R (2)将(2)式代入(1)式可得：W W W W E VaR ασμασμ-=-+-=-=*)()(。
另外VaR 的求解方法还可用历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法求得.5．3 加入VaR 约束后的马柯维茨均值-方差模型：假定置信水平为c ，由VaR 的定义，有：c VaR r ob p -≤-<1)(Pr （3）在经典马柯维茨均值-方差模型中加入VaR 约束后，模型变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-≤-<==∑=n i i p p P x c VaR r ob t s r E 1211)(Pr ..)(max min R X ΣX X T T σ在正态分布下，（1）式可化为：))()((1p p c r E VaR σ-Φ--= (4)其中，)(⋅Φ是标准正态分布的分布函数。
p p R -σ空间中是图1中此模型的解在图1 基于VaR 约束的投资组合的有效前沿的弧线AB ，称其为基于VaR 约束下的投资组合的有效前沿。
图1中VaR 约束表现为一条斜率为)(1c -Φ、截距为-VaR 的直线。
在该直线或其以上的全部投资组合都具有c 的概率使其回报率超过最小值-VaR ；而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度c 下不超过-VaR 。
这样，VaR 约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR 约束直线间的阴影部分，即点A 和B 之间的弧线AB 上。
进一步地，根据有效集定理，最优投资组合选择应为抛物线顶点O 与点A 之间的弧线，即弧线段OA 。
5．4 加入VaR 约束后的马柯维茨均值-方差模型的几何解法：由图1可知，VaR 约束的最优投资组合确定时，只需求出点A 和O 处的权重即可。
但由于该模型的约束条件比较复杂，用传统的Laganerge 乘子法无法求解。
因此在这里我们用几何方法来解决此问题。
设n 种资产组合的权重是n n x x x x ,,...,,121-（其中121...1-----=n n x x x x ），则投资组合的期望回报率)(p p r E R =与方差2p σ分别可表示为：nn n n p R x x R x R x R x R )...1(...11112211------++++= (5)nn n n n n n n nnn n n n p x x x x x x x x x x x x x x x ,111111111,11112212111,121222211212)...1(2...)...1(22...2)...1(...-------------++---++++---++++=σσσσσσσσσ (6) 因为协方差矩阵Σ是正定矩阵，所以在权重空间),...,,(121-n x x x 中，(4)式代表等方差超椭球面。
2p σ取不同值可得到一族同心超椭球面，中心记为MVP ，表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数；在权重空间),...,,(121-n x x x 中，(3)式代表等期望回报率超平面，p R 取不同值可得到一族平行超平面。
因而，n 种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点。
将这些正切点连接起来，就得到一条直线，称其为n 种资产投资组合的临界线。
不难看出，临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式。
(5)式在点),...,,(121-n x x x 处的法向量为：),...,,(121n n n n R R R R R R ----. (6)式在点),...,,(121-n x x x 处的法向量为：))2(...)(...)(......,,)(...)2(...)(......,,)(...)(...)2((,11,11,1,11,1,111,11,11,11111,111,1111111nn n n n n n nn n n k n n kn nn n k n n n nn n nn kn n n n kn nn n k k kn nn kk kn n nn knn n n n n n nn n k kn n nn k n nn x x x x x x x x x σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ-+-+++--+++--+-+--+++-+++--+-+--+++--+++-+---------------令 ],1,1,0,...,0,0,0[......,],1,0,0,...,0,1,0[],1,0,0,...,0,0,1[-=-=-=-1n 21P P P ,11 (11)01 (0000)...1000 01⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=M M M MQ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1121n x x x M W则(4)式在点),...,,(121-n x x x 处的法向量可简化为：)(T 1n T k T 2T 1QW P ,...,QW P ,...,QW P ,QW P ∑∑∑∑-由临界线定义，可得临界线方程为nn n k k n n R R R R R R R R -∑==-∑==-∑=-∑--121......T1n T T 2T 1QW P QW P QW P QW P (7) 由(5)式可得到2-n 个方程构成的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----------211,,222,211,2211,2222121111,1212111n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ (8) 其中：nn nn jn nn n j n i jnin nn ij ij R R R R a ---+----+=---1,11,σσσσσσσσn n nnn n ni nnin i R R R R b -----=--1,1σσσσ， .1,,2,1,2,,2,1-=-=n j n i ΛΛ进一步将(2)式化为如下形式：2112)()(⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+=-=∑c VaR R n i i p σ (9)根据均值和方差的表达式： ∑==n i Ti R X R 1，X X T ∑=∑=312i i σ，将其代入上式：()212)()(⎪⎭⎫⎝⎛Φ+=∑-c VaR R X X X T T(10) 因为线性方程组(6)的秩是2-n ，所以它的基础解系的个数是1，我们可以用1x 分别表示132.,,-n x x x Λ。