清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法

弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。

边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。

当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。

对于边界条件的提法就有严格的要求。

即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。

对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。

这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。

从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。

用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。

对于包含两种不同材料粘结面的弹性理论问题，则在边界条件之外还要在粘结面上提出连续条件，包括位移连续条件和面力连续条件u u n t t n i i i ij j j i ij 12111222===−=−, σσ (5)对于弹性体内人为划分的界面，其界面连续条件也是(5)式。

界面每点的边界条件数目等于一般边界每点边界条件数目的两倍。

对于线性弹性力学问题，若仅以σ ε,为求解变量，先不求弹性体的位移场，则可建立如下的偏微分方程边值问题：应变协调方程0=∇××∇ε广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(6b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (6c)边界条件 n t j ji i σ= S ∈∀x (7)由于位移不是基本求解变量，因此对于一般情况的位移边界条件难以处理，对于复连通域还要附加积分形式的位移单值条件。

这种形式的微分提法一般用于求解单连通域给定面力边界条件的情况。

二、线性弹性理论的几个一般原理z 叠加原理考虑同一弹性体的两组载荷情况f t u f tu i i i ij ij i i i ij ij()()()()()()()()()(),,,,,,1111122222 ⇒⇒εσεσ 若两组载荷同时作用研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉f f f t t t i i i i i i =+=+()()()()1212则u u u i i i ij ij ij ij ij ij =+=+=+()()()()()()121212 εεεσσσ由于线弹性、小变形问题的变形和载荷满足线性偏微分方程与线性边界条件，因此从数学上叠加原理易证。

例如，对于静定问题，若σσσσij j i ij j i j ij i j ij i f f Vn t n t S ()()()()()()()(),,1122112200+=+=∀∈==∀∈ x x则 ()()σσσσij ij j i i j ij ij i i ff V n t t S ()()()()()()()(),121212120+++=∀∈+=+∀∈ x x实际上，任何线性问题都满足类似的叠加原理。

同时，对于线弹性小变形问题，当所有载荷按某一比例增加或减小时，变形状态各量也都以同样比例增大或减小。

叠加原理有一个重要的应用：非齐次方程解等于非齐次方程的任一特解和相应齐次方程解之和。

对于弹性力学问题，通常非齐次项是载荷项，它在空间的分布比较简单（例如重力、离心力等），因此非齐次方程的特解比较容易求得，整个求解问题就主要归结为求解齐次方程解的问题。

任何非线性问题，叠加原理就不再成立。

因此，叠加原理是线性问题所特有的性质。

z 解的唯一性定理因为物理上对弹性体施加载荷就会产生变形，数学上已经证明对于线弹性问题的适定提法解一定是存在的。

本课程的重点不在数学弹性理论，因此对于解的存在性就不加证明了。

对于解的唯一性，即Kirchhoff 唯一性定理的证明可用反证法。

假如在一组载荷f t i i , 作用下产生了两组变形状态u u i ij ij i ij ij ()()()()()(),,;,,111222 εσεσ则利用叠加原理可知第四章 弹性力学的基本方程与解法u u u i i i ij ij ij ij ij ij =−=−=−()()()()()(),,121212 εεεσσσ将满足齐次方程，其中包括σσij j j ij ti i uiVn S u S ,=∀∈=∀∈=∀∈000 x x x由此根据0,=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛j ijW ∂ε∂ 可得 u W V u W V u W V u n S u V W V i ij V j i ij V j i j ij V i ij j S i j ij V V ∂∂ε∂∂ε∂∂εσσ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎞⎠−=−=∫∫∫∫∫∫,,,,d d d=d d d 20由于线弹性问题中应变能处处正定，因此上式要求W V =∀∈0 x即两解之差只能是σεij ij ==00, 的无变形状态。

由上可见，在证明中用到了线性方程解的叠加原理和应变能的正定性。

对于非线性问题，一般说来解并不唯一。

对于无足够几何约束的问题位移解可以相差刚体位移。

解的唯一性是逆解和半逆解法的基础，对于非线性问题一般不能采用逆解和半逆解法。

z 圣维南原理由作用在物体局部表面上的自平衡力系所引起的变形，在远离其作用区的地方可忽略不计。

该原理又称局部作用原理。

若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。

称静力等效原理。

例如对于细长梁的端部条件，当研究远离端部区域的变形状态时，可以在端部用静力等效原理。

（注意：对于短粗梁、或在端部附近，不能滥用静力等效原理）研究生学位课弹塑性力学电子讲义姚振汉对于三维实心体，影响区的大小与自平衡力系作用区尺寸同量级。

例外：对于薄壁杆件、薄板、薄壳等薄壁结构，当载荷影响区内结构的最小几何尺寸小于载荷作用区的线性尺寸时圣维南原理不再适用。

图4.1所示为N. J. Hoff给出的受扭杆件的算例。

在右边固支端处杆端面的自由翘曲被约束，因而引起了自平衡的正应力，原来的自由扭转应力状态（在截面上仅有剪应力，而无正应力）受到干扰。

此图表明，干扰的影响范围与杆截面的形状有关。

图中横轴是沿杆长的无量纲坐标，表示各截面的位置。

纵轴是各截面上最大正应力与端面处的最大正应力之比。

曲线表明，对于实心的矩形截面杆，正如圣维南原理指出的那样，干扰很快衰减，影响深度与杆截面尺寸同量级；但对于槽形薄壁杆则干扰谝及整个杆长，圣维南原理不再适用。

图4.1 Hoff扭杆算例结果三、线性弹性理论的基本解法前面列出了线性弹性理论的基本方程，在域内要满足对于15个未知量的15个方程。

这些方程类型并不相同，平衡方程和几何方程是一阶偏微分方程，广义胡克定律是线性代数方程。

在数学上直接求解对于多组变量的类型不同的方程组是不方便的，第四章 弹性力学的基本方程与解法在求解之前需要对方程加以处理，以便建立对于单一变量的偏微分方程边值问题。

根据处理方法的不同，弹性理论的基本解法可分为：位移解法，应力解法和应力函数解法。

z 位移解法对于弹性理论问题以位移作为基本未知量，在基本方程中如下消去应变和应力，可以得到位移基本方程。

通过求解位移基本方程首先求得位移，然后再按要求确定变形状态其它变量的解法，称为弹性理论的位移解法。

由平衡方程出发0,=+i j ij f σ代入应力应变关系，再代入几何方程，()(),2,0,2,0,,(,,),0kk ij j ij j i kk i ij j i k k i i j j i j i G f G f u G u u f λεδελεελ++=⇒++=⇒+++= 最终可得() ,,0 j ji i jj i G u Gu f V λ+++=∀∈x (8)或用整体符号写成()λ+∇∇⋅+∇⋅∇+=∀∈G G V u u f 0x此方程称为Lamé-Navier 方程，即用位移表示的平衡方程。

作为位移基本方程，除在域内给出上列Navier 方程外，边界条件也都用位移表示()() ,, uii i i j ji iti j kk ji i j j i i u u S t n t n G u u t S σλεδ=∀∈==⎡⎤⇒++=∀∈⎣⎦x u x (9)其中，对于适定问题还应满足： S S S S S ui ti ui ti U I ==∅对于无体力情况，Navier 方程可写成(),,0i i jj G Gu λθ++=将各项再对坐标求导一次，可得研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉()(),,,0,,0,0i i jj i ii i jji ii G Gu G Gu λθλθθ⎡⎤++=⎣⎦⇒++=⇒=由此可见，在无体力情况下，体积应变θ为调和函数。

由于平均应力和体积变形之间满足线性的物理关系，可以写出：Σ===σσθii K 330因此，在无体力情况下平均应力也是调和函数。

不难证明，在无体力情况下位移分量u i 、应变分量εij 、应力分量σij 均为双调和函数。

上述结论还可推广到常体力情况也同样适用。

z 应力解法当用应力作为基本未知量求解时，域内必须满足的方程有平衡方程、应力应变关系、以及应变协调方程。

经过处理可以得到单一的一组偏微分方程。

首先可以将应力应变关系()11ij ij kk ij Eενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦代入应变协调方程 ,0mki njl ij kl e e ε=可以导出Beltrami-Michell 方程，即用应力表示的协调方程1,,,,,11ij kk kk ij k k ij i j j i f f f V νσσδνν+=−−−∀∈+−x (10)在推导过程中用到平衡方程的导数形式等，但没有用过平衡方程本身。