弹塑性力学习题4
弹塑性力学部分习题及答案
1 εij = (ui, j +uj,i ) 2
σji, j
(i, j =12,3) ,
E 1 ν = 2(uj,ij +ui, jj ) +1−2νuk,kjδij (1+ν)
5Байду номын сангаас
20112011-2-17
题1-3
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + σji, j = uk,ki 2 (1+ν) 1−2ν
3
2c
l
y
解： 1、将 Φ 代入
∇ 4Φ =0 满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
2、求应力（无体力） 求应力（无体力）
20112011-2-17 20
题1-13 3 3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
o
x
2c
l
y
2
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
z l y
F = −ρg bz
x
x
20112011-2-17
8
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 等截面直杆（无体力作用），杆轴 ）， 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u =−kyz v =kxz
w=k ( x, y) ψ
为待定常数， 其中 k 为待定常数，ψ(x‚y)为待定函数， 为待定函数 试写出应力分量的表达式和位移法方程。 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2
《弹塑性力学》习题-26页精品文档
已知桁架各杆 EA 相同，材料的弹性关系
为 = E 。 A y l
P
C
x
D
B
l
28.09.2019
21
题2-3 左图示梁受荷载
q
作用，试利用虚位移原 M
理 或最小势能原理导出
EI
x
梁的平衡微分方程和力 y
l
的边界条件。
q
题2-4 利用最小余能
原理求左图示梁的弯
EI
x
矩。
l y
28.09.2019
题2-1 图示结构各杆等 截面杆，截面面积为A, 结点C承受荷载P作用, 材料应力—应变关系分
别为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试计算结构
的应变能U 和应变余能 Uc。
A
ly
B
P
Cx
C’
l
28.09.2019
20
题2-2 分别利用虚位移原理、最小势能原
理和最小余能原理求解图示桁架的内力。
弹塑性力学部分习题
第一部分 静力法内容
28.09.2019
1
题 1-1 将下面各式展开
（1）. 1 2 ij (ui,juj,i) (i,j1,2,3) （2）. U01 2ij ij (i,j1,2,3)
（3）. F i n iG u i,j u j,i i j e
x
y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应
力函数表示为
x y 22V,y x 22V,xy x2 y
28.09.2019
11
题1-13 试分析下列应力函数能解决什么 问题？设无体力作用。
34Fcxy3xcy23q2y2
ox
弹塑性力学习题集
第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章 弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。
图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。
弹塑性理论习题
习题22-1 受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。
试证明齿尖上完全没有应力。
图 2.12-2 物体中某点的应力状态为,101)010101i j σ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（，求三个不变量和三个主应力的大小。
2-3 有两个坐标系，试证明x y z x y z σσσσσσ'''++=++=不变量。
2-4 M 点的主应力为22212375N/cm ,50N/cm ,50N/cm σσσ===-。
一斜截面的法线v 与三个主轴成等角，求v P 、v σ及v τ。
2-5 已知某点的应力状态为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ττττττ=σ000ij ）（，求该点主应力的大小和主轴方向。
2-6 已知某点的应力状态为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σσσσσσσσσ=σ）（ij ，求该主应力的大小和主轴方向。
p p2-7 已知某点的应力状态为,)x xy xz i j xy y yz xz yz z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（过该点斜截面法线v 的方向余弦为),,(n m l ,试求斜截面上切应力v τ的表达式。
2-8 物体中某点的应力状态为,00)000xz i j yz xz yz τστττ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦为，试求斜截面上切应力的大小。
2-10 半径为a 的球，以常速度v 在粘性流体中沿x 轴方向运动。
球面上点A （z y x ,,）受到的表面力为032x x v p p a a μ-=+，0y y p p a -=，0z z p p a-=，式中0p 为流体的静水压力。
试求球所受的总力量。
2-11 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦为，试证明斜截面上的正应力8σ及剪应力8τ分别为8113J σ=、8τ=。
习题33-1 若位移w v u 、、是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。
弹塑性力学课程作业 参考答案
弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。
2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。
导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。
3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。
这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。
5. 答：请参见本章教材。
6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。
8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。
根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。
研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。
9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。
12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。
13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。
它们的区别请参见教材。
14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学习题及答案
2. 12.2 2.3本教材习题和参考答案及部分习题解答第——早计算：(1)pi iq qj jk , (2) e pqi e ijk A jk , (3) 答案(1)pi iq qj jk pk ；e ijp e kip B kiB j 。
答案（2）解:（3）证明：若（需证明）设a、e pqi 6jk A jk A pq A qp ；8P e klp B<i Blj ( ik jl ila ij a ji ，贝U e jk a jk 0。
jk) B<i B ij B ii B jj B ji B ij。
b和c是三个矢量，试证明:bbb[a,b,c]2a i a a ib a i C a1a2a3a1证: 因为ba b i b i bc b1b2b s a2ca C ib iCC C1C2C3a3所以a i a ai b ac a1a2a3a1bi det ba b i b b i C det(b1b2b3a2b2 ca C i b CCC1C2c a3b3a a ab ac a i a i ab i a i C i a1a2a3即得 b a b b b c b a i bb i b i c i b b2b3c a c b c c c a i cb i C i C i C1C2C3b2 b3C ic2a2 a3b、c和d是四个矢量，证明: bi C iC2C32.4 设a、(a b) (c d) (ac)(bd) (a d)(b c) 证明：(ab) (c d) b ib2b3C2C3[a,b,c]2。
122.5设有矢量U ue 。
原坐标系绕z 轴转动 求矢量U 在新坐标系中的分量。
答案：U 1 U 1 cos U 2 sin U 2 U 1si n U 2cosU 3 U 3。
角度，得到新坐标系，如图 2.4所示。
试中的分量T i i 、T 12、T i 3和T 33。
提示：坐标变换系数与上题相同。
弹塑性力学习题集 很全有答案
图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
2—21*
证明等式：
J3
=
1 3
S ik
S km S mi
。
2—22* 试证在坐标变换时， I1 为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用
张量计算证明。
5 3 8 2—23 已知下列应力状态： σ ij = 3 0 3 MPa ，试求八面体单元的正应力 σ 8 与剪
8 3 11
应力τ 8 。 2—24* 一点的主应力为： σ1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
题 2—27 图
2—28 设一物体的各点发生如下的位移：
u = a0 + a1x + a2 y + a3 z v = b0 + b1x + b2 y + b3 z w = c0 + c1x + c2 y + c3 z 式中 a0 L, a1 L, a2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
ε x = a0 + a1 (x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ε y = b0 + b1 (x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , γ xy = c0 + c1 xy(x 2 + y 2 + c2 ), ε z = γ zx = γ yz = 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弹塑性力学作业（第四次）（2015年10月21日）
要求：
(1) 每位同学独立完成；
(2) 请手写书面完成，交手写稿，不要打印稿；
(3) 本次作业提交时间为2015年10月28日上课期间。
1 某一点的受力状态如图所示，图中应力单位为MPa 。
试根据不为零主应力的数目来判断它是
(1)二向应力状态；(2)单向应力状态；(3)三向应力状态；(4)纯剪应力状态。
第2题图 某一点的受力状态
2 对于图示的应力状态，若（120σσ>>），关于最大切应力作用面，试确定以下四种答案中的哪一种是正确的。
（A ）平行于2s 的面，其法线与1s 成夹角45°
； （B ）平行于1s 的面，其法线与2s 成夹角45°；
（C ）垂直于1s 和2s 作用线组成平面的面，其法线与1s 成夹角45°。
（D ）垂直于1s 和2s 作用线组成平面的面，其法线与1s 成夹角45°。
第3题图 确定最大切应力的作用面
3 如图所示为受力物体中某一危险点的平面应力状态，已知材料的屈服应力250s σMPa =。
试按下列准则分别确定其安全因数：
（1）畸变能密度准则；
（2）最大剪应力准则。
第3题图 一点的应力状态(单位MPa)
4 检验下列空间问题中的应力分量、应变分量和位移分量是否存在？
（a ）应力分量22
x σx y =+，22y σAx By =+，22z σx y xy =--，()
22xy τC x y =+，
0yz xz ττ==，其中A 、B 、C 为常数，且体积力不计。
（b ）应变分量2
x εAxy =，2y εAx y =，z εAxy =，0xy γ=，2yz γAz By =+，
22xz γAx By =+其中A 、B 是不同时为零的常数，且体积力不计。
（c ）位移分量()222μz y u A
-=
，μxy v A =
，μxz
w A
=-，其中A 为非零常数，且体积力不计。
5 如图所示的平面应力受力状态，若p 为已知，试求出C 点的应力状态。
第5题图 确定比较复杂的应力状态
6 什么是两种应力状态的等价？如图所示四种平面应力状态，试分析哪几种状态是等价的？
第6题图 判断应力状态是否等价
7 基于平面问题的应力状态分析，证明广义Hooke 定理中的材料常数满足以下关系
()
21E
G μ=
+。