弹塑性力学习题及答案

1本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c 证明：()()⨯⨯=a b c d ⋅2 2.5设有矢量i i u =u e 。

原坐标系绕z 轴转动θ角度，得到新坐标系，如图2.4所示。

试求矢量u 在新坐标系中的分量。

答案： 112cos sin u u u θθ'=+，212sin cos u u u θθ'=-+，33u u '=。

2.6设有二阶张量ij i j T =⊗T e e 。

当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系中的分量11T ''、12T ''、13T ''和33T ''。

提示：坐标变换系数与上题相同。

答案：11221122122111cos2sin2222T T T T T TT θθ''+-+=++， 12211221221112cos2sin2222T T T T T TT θθ''-+-=++，131323cos sin T T T θθ''=+， 3333T T ''=。

2.7设有3n个数12n i i i A ⋅⋅⋅，对任意m 阶张量12m j j j B ⋅⋅⋅，定义 12121212n mnmi i i j j j i i i j j j C A B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=若1212n m i i i j j j C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为n m +阶张量，试证明12n i i i A ⋅⋅⋅是n 阶张量。

证：为书写简单起见，取2n =，2m =，则2.8设A 为二阶张量，试证明tr =I A A ⋅⋅。

证：2.9设a 为矢量，A 为二阶张量，试证明：(1)()T T ⨯=-⨯a A A a ，(2)()T T ⨯=-⨯A a a A证：(1) ()()()T T T T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -⨯=-⊗⨯=-⊗A a e e e e e ()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-⊗=-⊗e e e e k k jn j n a A =⨯⊗=⨯a A e e e 。

证：(2) ()T T -⨯=a A图2.432.10已知张量T 具有矩阵123[]456789=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

解：2.11已知二阶张量T 的矩阵为310[]130001-=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T求T 的特征值和特征矢量。

解：2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：αβ=+⊗A I m m ，=⊗+⊗B m n n m其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。

解：因为()()αβαβ⋅=+⊗⋅=+A m I m m m m ，所以m 是A 的特征矢量，αβ+ 是和其对应的特征值。

设a 是和m 垂直的任意单位矢量，则有()αβα⋅=+⊗⋅=A a I m m a a所以和m 垂直的任意单位矢量都是A 的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特征方程的重根。

令2)-m n e，3)+m n e ，123⨯e =e e 则有23)m e +e，23)-n e +e 上面定义的i e 是相互垂直的单位矢量。

张量B 可以表示成 1122330=⊗-⊗⊗B e e e e +e e所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e 、1e 和2e 。

42.13设a 和b 是矢量，证明：(1)2()()∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇a a a(2)()()()()()∇⨯⨯=⋅∇-⋅∇+∇⋅-∇⋅a b b a a b a b b a 证：(1) (2)2.14设2321232x yz xz xz =-+a e e e ，求1()2=∇-∇w a a 及其轴向矢量。

解：12()=∇-∇w a a 23223211213212[(2)()(2)x z z x y z z x z =+⊗+-⊗-+⊗e e e e e e 22222331326()6]xz z x y xz -⊗+-⊗+⊗e e e e e e 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量222321112322[6()(2)]xz x y z z x z =∇⨯=+--+ωa e e e 。

2.15设S 是一闭曲面，r 是从原点O 到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点O 在S 的外面，积分30S dS r⋅=⎰n r； (2)若原点O 在S 的内部，积分34SdS rπ⋅=⎰n r。

证：(1)当0r ≠时，有 33()()0ii x r x r ∂∇⋅==∂r (b) 因为原点在S 的外面，上式在S 所围的区域V 中处处成立，所以由高斯公式得 33()0S VdS dv r r ⋅=∇⋅=⎰⎰n r r 。

(2)因为原点在S 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面S '完全在S 的内部。

用V 表示由S 和S '所围的区域，在V 中式(b)成立，所以3333()0S S S S VdS dS dS dV r r r r ''+⋅⋅⋅=+=∇⋅=⎰⎰⎰⎰n r n r n r r即33S SdS dS r r '⋅⋅=-⎰⎰n r n r 在S '上，r a =，/a =-n r ，于是 3322114S S S SdS dS dS dS r r a a π'''⋅⋅=-===⎰⎰⎰⎰n r n r 。

52.16设123(2)y x xz xy =+--f e e e ，试计算积分()SdS ∇⨯⋅⎰f n 。

式中S 是球面2222x y z a ++=在xy 平面的上面部分.解：用c 表示圆222x y a +=，即球面2222x y z a ++=和xy 平面的交线。

由Stokes公式得 ()0SccdS d ydx xdy ∇⨯⋅=⋅=+=⎰⎰⎰f n f r 。

第三章3.1设r 是矢径、u 是位移，=+r r u 。

求d d rr，并证明：当,1i j u 时，d d rr是一个可逆 的二阶张量。

解：d d d d d d =+=+∇r r uI u r r rd d =+∇rI u r 的行列式就是书中的式(3.2)，当,1i j u 时，这一行列式大于零，所以d d rr可逆。

3.2设位移场为=⋅u A r ，这里的A 是二阶常张量，即A 和r 无关。

求应变张量ε、反对称张量()/2=∇-∇Ωu u 及其轴向矢量ω。

解：∇=u A ，1()2T =+εA A ，1()2T =-ΩA A ， 1122i jk j k l l i A x x ∂∂=∇⨯=⨯⊗⋅ωu e e e e 111222jk ijm m k il l jk ijm m ki ji ijm m A e A e A e δδ=⊗==⋅e e e e e3.3设位移场为=⋅u A r ，这里的A 是二阶常张量，且,1i j u 。

请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。

证：(1)方向和矢量a 相同且过矢径为0r 的点的直线方程可以写成0t =+r a r (1) 其中t 是可变的参数。

变形后的矢径为()=+=+⋅=+⋅r r u r A r I A r (2)6 用+I A 点积式(1)的两边，并利用式(2),得 0()()t =+++⋅⋅r I A a I A r上式也是直线方程，所表示的直线和矢量()+⋅I A a 平行，过矢径为0()+⋅I A r 的点。

所以变形前的直线变形后仍然是直线。

(2)因为,1i j u ，所以+I A 可逆。

记1()-=+B I A ，则1()-=+=⋅⋅r I A r B r (3) 变形前任意一个平面的方程可以表示成c ⋅=a r (4) 其中a 是和平面垂直的一个常矢量，c 是常数。

将式(3)代入式(4)，得()c ⋅⋅=a B r (5) 上式表示的是和矢量⋅a B 垂直的平面。

所以变形前的平面在变形后仍然是平面。

(3)变形前两个平行的平面可以表示成 1c ⋅=a r ，2c ⋅=a r 变形后变成1()c ⋅⋅=a B r ，2()c ⋅⋅=a B r仍是两个平行的平面。