高中数学圆锥曲线专题

高中数学圆锥曲线专题圆锥曲线专题考纲要求：1.掌握直线的各种方程形式，理解直线方程中系数的几何意义，能够判定直线间的平行或垂直关系，求交点坐标和点到直线的距离。

2.理解圆锥曲线的方程与曲线的几何意义，掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的推导过程，理解这些曲线的几何特性，能够求解与直线或其他曲线的位置关系和交点问题。

知识导图：见图片）精解名题：1.弦长问题已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ 和点 $B(0,-2)$，过点 $B$ 引椭圆的割线 $BD$ 与椭圆交于 $C$、$D$ 两点。

1）确定直线 $BD$ 斜率的取值范围。

2）若割线 $BD$ 过椭圆的左焦点 $F_1$，右焦点$F_2$ 是椭圆的右焦点，求 $\triangle CDF_2$ 的面积。

2.轨迹问题已知平行四边形 $ABCO$，$O$ 是坐标原点，点 $A$ 在线段 $MN$ 上移动，点 $B$ 在双曲线 $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{36}=1$ 上移动，求点 $C$ 的轨迹方程。

3.对称问题已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线$l:y=kx+2$，点 $C(0,c)$ 在直线 $l$ 上方，问椭圆上是否存在相异两点 $A$、$B$，关于直线 $l$ 对称，请说明理由。

4.最值问题已知抛物线 $C:x=-2(y-m)^2$，点 $A$、$B$ 及$P(2,4)$ 均在抛物线上，且直线$PA$ 与$PB$ 的倾斜角互补。

1）求证：直线 $AB$ 的斜率为定值。

2）当直线 $AB$ 在 $y$ 轴上的截距为正值时，求$\triangle ABP$ 面积的最大值。

5.参数的取值范围已知 $a=(x,0),b=(1,y)$，且 $(a+3b) \perp (a-3b)$。

1）求点 $P(x,y)$ 的轨迹 $C$ 的方程。

2）直线 $l:y=kx+m(k\neq 0,m\neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于$A$、$B$ 两点，且在以点 $D(0,-1)$ 为圆心的同一圆上，求$m$ 的取值范围。

改写后的文章：圆锥曲线是高中数学中的重要部分，涉及直线和曲线的方程、几何性质和位置关系等内容。

在考试中，我们需要掌握直线和圆锥曲线的各种方程形式，理解方程中系数的几何意义，能够判定直线间的平行或垂直关系，求交点坐标和点到直线的距离。

同时，我们还需要理解圆锥曲线的方程与曲线的几何意义，掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的推导过程，理解这些曲线的几何特性，能够求解与直线或其他曲线的位置关系和交点问题。

下面是一些例题，供大家练：1.弦长问题已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ 和点 $B(0,-2)$，过点 $B$ 引椭圆的割线 $BD$ 与椭圆交于 $C$、$D$ 两点。

1）确定直线 $BD$ 斜率的取值范围。

2）若割线 $BD$ 过椭圆的左焦点 $F_1$，右焦点$F_2$ 是椭圆的右焦点，求 $\triangle CDF_2$ 的面积。

2.轨迹问题已知平行四边形 $ABCO$，$O$ 是坐标原点，点 $A$ 在线段 $MN$ 上移动，点 $B$ 在双曲线 $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{36}=1$ 上移动，求点 $C$ 的轨迹方程。

3.对称问题已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线$l:y=kx+2$，点 $C(0,c)$ 在直线 $l$ 上方，问椭圆上是否存在相异两点 $A$、$B$，关于直线 $l$ 对称，请说明理由。

4.最值问题已知抛物线 $C:x=-2(y-m)^2$，点 $A$、$B$ 及$P(2,4)$ 均在抛物线上，且直线$PA$ 与$PB$ 的倾斜角互补。

1）求证：直线 $AB$ 的斜率为定值。

2）当直线 $AB$ 在 $y$ 轴上的截距为正值时，求$\triangle ABP$ 面积的最大值。

5.参数的取值范围已知 $a=(x,0),b=(1,y)$，且 $(a+3b) \perp (a-3b)$。

1）求点 $P(x,y)$ 的轨迹 $C$ 的方程。

2）直线 $l:y=kx+m(k\neq 0,m\neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于$A$、$B$ 两点，且在以点 $D(0,-1)$ 为圆心的同一圆上，求$m$ 的取值范围。

1.已知抛物线y=2px(p>0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B1）若AB≤2p，求a的取值范围2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求Rt△MNQ的面积解析：1）由题意得，直线l的斜率为1，则l的解析式为y=x-a。

又因为直线l与抛物线y=2px交于不同的两点A、B，则可列出方程组：y=2pxy=x-a解得A、B的坐标为：A(2ap/(1-p),2ap^2/(1-p))B(-2ap/(1+p),-2ap^2/(1+p))由于AB≤2p，所以可以列出不等式：AB^2=(4a^2p^2)/(1-p^2)≤4p^2化XXX：a^2≤(1/4)(1-p^2)所以a的取值范围为[-(1/2)sqrt(1-p^2)。

(1/2)sqrt(1-p^2)]。

2）线段AB的垂直平分线过点M((a-2ap/(1-p))/2,-2ap^2/(1-p))，且斜率为-1.又因为线段AB的中点为M，所以可以列出方程：y=-x+2a-2ap/(1-p)该直线与x轴交点为N(a(1+p)/(2(1-p)),0)，所以QN=NA=a(1+p)/(2(1-p))。

又因为MN=AB/2=ap/(1-p)，所以可以计算出QN和MN的长度，进而求出△XXX的面积。

2.（1）以点A为圆心，1为半径的圆与双曲线S相切，且双曲线S的一个顶点A′关于直线y=x对称。

设直线l过点A，斜率为k。

求双曲线S的方程。

2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l 的距离为2.3）当0<k<1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为d，则求斜率k的值及相应的点B的坐标。

6.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列。

Ⅰ）求该椭圆的方程；Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围。

二、求曲线方程1.（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科19）（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分。

如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且PQ·FQ=|QF|²/2.1）建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知NA=λ1AF，NB=λ2BF，求证：λ1+λ2为定值。

2.（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）（本题满分16分，第一小题8分；第二小题8分）已知b·i=a。

1）求点P(x,y)的轨迹方程；2）过点P的直线与直线y=x交于点Q，求证：∠PQB为定值。

二、曲线的性质1.（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科20）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知向量（x-3）i+yj和i、j是x、y轴正方向的单位向量，设a=（x，y），b=(x+3)i+yj，且满足|a-b|=8/3.直线l过点(3,0)且与上述轨迹交于A、B两点，且AB=8/3，求直线l的方程。

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，椭圆C的中心为原点O。

1）求椭圆C的方程；2）已知A(-3,0)，B(3,0)，P(xp,yp)是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xp的取值范围。

0,c)，点P在椭圆C上，且满足FP1FP22a。

证明：点P到y轴的距离是常数。

已知椭圆$2x^2+y^2=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_1(-2,0),F_2(2,0)$，短轴两个端点为$A,B$，且四边形$F_1AF_2B$是边长为2的正方形。

1) 求椭圆方程。

椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，已知左右焦点坐标分别为$F_1(-2,0),F_2(2,0)$，所以$c=2$。

由于四边形$F_1AF_2B$是边长为2的正方形，所以$AB=2$，即短轴$2b=2$，所以$b=1$。

又因为长轴是短轴的2倍，即$2a>b$，所以$a=\sqrt{5}$。

所以椭圆的方程为$2x^2+y^2=5$。

2) 若$C,D$分别是椭圆长轴的左右端点，动点$M$满足$MD\perp CD$，连接$CM$，交椭圆于点$P$。

证明：$OM\cdot OP$为定值。

设椭圆的长轴两端点为$E,F$，则$EF=2a=2\sqrt{5}$。

由于$AB=2$，所以短轴$2b=2$，所以$b=1$。

又因为$F_1F_2=2c=4$，所以$c=2$。

由于四边形$F_1AF_2B$是边长为2的正方形，所以$AF_1=BF_2=2$，所以$AE=EB=\sqrt{5}$。

设$OM=x$，则$OP=\sqrt{5-x^2}$。

由于$MD\perp CD$，所以$CM$是椭圆的切线，即$CM\perp CP$，所以$\angle CMP=90^\circ$。

由于$CD$是椭圆的长轴，所以$CD$的中垂线过$F_1,F_2$，即$EF$的垂线过$C$，所以$CM$平分$\angle ECF$。

设$\angle ECF=\theta$，则$\angle MCF=\frac{\theta}{2}$。

由余弦定理可得$MF_1^2=MC^2+F_1C^2-2MC\cdot F_1C\cos\frac{\theta}{2}$，即$5x^2+4=4\sqrt{5}x\cos\frac{\theta}{2}$。

同理可得$MF_2^2=5(5-x^2)+4=24-5x^2+4\sqrt{5}x\cos\frac{\theta}{2}$。

由于$F_1AF_2B$是边长为2的正方形，所以$AF_1=BF_2=2$，即$AE=EB=\sqrt{5}$，所以$CE=CF_1+EF_1=2+\sqrt{5}$。

由勾股定理可得$MC^2=CE^2-ME^2=9-x^2$。