清华大学研究生弹塑性力学讲义 8弹塑性_塑性力学基本方程和解法
弹塑性力学课件-塑性基本概念
ij yxx
xy y
xz yz
11 21
12 22
13
23
zx zy z 31 32 33
（4-1）
由于剪应力的互等性， yx xy zx xz zy yz
3.1应力—应变曲线的理想化模型
（1）理想弹性（perfectly elastic） （2）理想刚塑性（rigid-perfectly elastic） （3）刚—线性强化（rigid-linear strain-hardening） （4）理想弹塑性（elastic-perfectly plastic） （5）弹—线性强化（elastic-linear strain-hardening）
1.3静水压力实验
所谓静水压力就如同均匀流体从四面八方将压力作用于物体。 （1）体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgeman实验公式)
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝ 7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。 说明第二项远小于第一项，可以 略去不计。
Bridgeman的实验结果表明， 静水压力与材料的体积改变之 间近似地服从线性弹性规律。 若卸除压力，体积的变化可以 恢复，因而可以认为各向均压 时体积变化是弹性的，或者说 塑性变形不引起体积变化。试 验还表明，这种弹性的体积变 化是很小的，因此，对于金属 材料，当发生较大塑性变形时， 可以忽略弹性的体积变化，即 认为在塑性变形阶段材料是不 可压缩的。
s
n1
一般加载规律
( ) E[1 ( )]
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其中
( )
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学PPT课件
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
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5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
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1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
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6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
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7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
弹 塑 性 力 学(课程复习小结)
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八、 弹塑性力学的基本理论与解法 1. 弹塑性力学的基本理论框架
弹塑性力学和材料力学都是固体力学的分支学科，所求解的大多数问题都是超静定 问题。因此，在分析问题研究问题时的最基本思路是相同的，即对于一个静不定问题 的求解，一般都要经过三个方面的分析，这三个方面分别为：（1）静力平衡条件分 析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联 立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决。这三方面的方程 汇集于下：
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
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(4)．边界条件 （A）应力边界条件：
ijlj Fi ，(在 ST上 )
（B）位移边界条件：
ui ui , (在 Su上 )
根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为三类。
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第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场， 即所谓边界应力已知的问题。
第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点位移的约束情况，求在平衡状 态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。
第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移(或在部分 表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
弹塑性力学基本方程
弹性力学基本方程平衡微分方程：0⋅+=σ∇f指标符号写为,0ji j i f σ+=在直角坐标系中分量形式311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩在柱坐标系中分量形式1012010r r r rz r r zr z zr z rzz f r r z rf r r z r f r r z r θθθθθθθθτσσστθτσττθττστθ∂-∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎪∂∂∂⎩在球坐标系中分量形式211cot 0sin 113cot 0sin 1132cot 0sin r r r r r r r r r r f r r r r r f rr r r r f r r r r r ϕθϕθθθϕθϕθθθθϕϕθϕϕϕθϕτσσσττσθθθϕτσστστθθθϕττσττθθθϕ∂--⎧∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎪∂-∂∂⎪+++++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎩几何方程：1()2=+ε∇∇u u指标符号写为,,1()2ij i j j i u u ε=+在直角坐标系中分量形式1211221112113222223322333313331133131()21()21()2u u u x x x u u u x x x u u u x x x εεεεεεεεε⎧⎧∂∂∂==+=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎨⎨∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在柱坐标系中分量形式111r r z z zr u u v v r r r r v u v w r r z r w w u z r z θθθεγθεγθθεγ∂∂∂⎧⎧==+-⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪=+=+⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪==+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在球坐标系中分量形式1111sin 11sin sin r rr r r r r r u u u u r r r r u u u u ctg u r r r r r u u ctg u u u u r r r r r r θθθϕθθθθϕϕϕϕϕϕθϕγεθθεγθθϕθθεγθϕθϕ⎧⎧∂∂∂=+-=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪∂∂∂⎪=+=+-⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂⎪⎪∂∂=++=+-⎪⎪∂∂∂⎩⎩应变协调方程：0⨯⨯=ε∇∇指标符号写为,0mjk nil ij kl e e ε=在直角坐标系中常用形式222112212222112222332322223223222331311221313223311112231123231232212312231233120001()21()21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεγεγεεγεγγεγγγεγε∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂=∂∂2331123312()2x x x x γγγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂-++⎪∂∂∂∂⎩本构方程：:=σεC指标符号写为ij ijkl klC σε=对各向同性弹性体的线弹性本构关系的指标符号写为2ij ij kk ijG σελεδ=+在直角坐标系中分量形式222x x yy z z xy xy yz yz zx zxG G G G G G σελθσελθσελθτγτγτγ=+⎧⎪=+⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩边界条件：力边界条件指标形式写为 j i ijp νσ=在指标坐标系分量形式x yx zx xy y zy xz yz z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩位移边界条件指标形式写为 i iu u =在直角坐标系分量形式112233u u u u u u ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩位移解法：L-N 方程及力边界条件指标形式,,,,,()0[()]i jj j ji i i j j i k k ij j iGu G u f G u u u X λλδν+++=++=在直角坐标系中分量形式212223()0()0()0(2)()()()(2)()()()(2)G u G f x G v G f y G w G f z u v u w uG l G m G n X x x y x z u v v w vG l G m G n Yy xy y z u w v w wG l G m G n Zz xz y z θλθλθλλθλθλθ⎧∂∇+++=⎪∂⎪∂⎪∇+++=⎨∂⎪⎪∂∇+++=⎪∂⎩⎧∂∂∂∂∂+++++=⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂⎩⎪应力解法：B-M 方程指标形式2,,,,1()11ij ij i j j i ij k kf f f νσδνν∇+Θ=-+-+-平面问题本构方程平面应变平面应力平面应力（极坐标系）αβαβαβδλεεσkk G +=2, 平面应力→平面应变：21υ-→E E 、υυυ-→1xyxyx y y y x x G G G γτευυευυσευυευυσ=-+--=-+--=)1(21)1(2)1(21)1(2 xyxyx y y y x x G G Gγτυεευσυεευσ=+-=+-=)(12)(12 θθθθθγτυεευσυεευσr r r r r G G G=+-=+-=)(12)(12 0)()(==+=+=zx zx y x y x z ττεελσσυσ===zx zx z ττσ0=z σ 0==θττz zrαβαβαβδσυσυεkk EE -+=1 xyxy xy x y y y x x GE E τεγσυυσυεσυυσυε12)1(1)1(122==---=---= xyxy xy x y y y x x GEEτεγυσσευσσε12)(1)(1==-=-=θθθθθτγυσσευσσεr r r r r GE E1)(1)(1=-=-====zy zx z γγε)(==+-=zy zx y x z Eγγσσυε)(θσσυε+-=r z E0==θγγz z r协调方程:y x yx xy x y ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222，0112112222222=∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂θγεεθγθεεθθθθr r r r r r r r r r r r r))(1()(,,2y y x x y x f f ++-=+∇νσσ，如x x V f ,-=，y y V f ,-=，引入Airy 应力函数：V yy x +=,φσ V xx y +=,φσ,xy xy,φτ-=→V 222)1(∇--=∇∇νφ；22222yx ∂∂+∂∂=∇，4422444222yy x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇极坐标系：02101=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂θθθθθθτθστσσθτσf rr r f r r r r r r r r rrv r v u r ru v r r u r r rr r θθθθθθγθεε-∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=11 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂=θφτφσθφφσθθr r rr r r r r 1 ,1122222V222)1(∇--=∇∇νφ，22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθσττσθθθθσττσθθθcos sin sin cos cos sin sin cos r r ry xyxy x塑性力学基本公式：一维随动强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系**p s ps h d h d σσεσσε+-=+=-+⎰⎰一维等向强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系***||p s h d σσεσσ+-+=+=-⎰应力偏量的第二不变量22222222112222333311122331221'21'[()()()6()]6'3'ij ij ijij J S S J J S J σσσσσστττσσ==-+-+-+++∂=∂=应变偏量的第二不变量2222222211222233331112233121'213'[()()()()]624'3ij ijI e e I I εεεεεεγγγε==-+-+-+++=金属材料的屈服条件：Mises 屈服条件2()03'ij s J σσσσ-==其中Tresca 屈服条件max ()02sij στσ-=三维随动强化模型后继屈服条件(,)()0p p pij ij ij s ij ij K c d σσσεσεεΦ=--==⎰其中三维等向强化模型后继屈服条件41(,)()()0032p p p pij ij s ij ij K h d d d d σσσσεεεεΦ=-+==⋅≥⎰其中全量形式的应力-应变关系2()1()33ij kk ij ij kk ij K σεσεδεεδε=+-全量形式的应变-应力方程13()1()923ij kk ij ij kk ij K εσεσδσσδσ=+-σε-关系为**3,3(),33',122(1)'3s s ss G GE G G E EE G E E E σεεσσσσεενν⎧⋅<⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩==-+-增量形式的应变-应力方程（指标符号）()011ij ij kk ij ij d d d d S E ευσυσδλ⎡⎤=+-+⎣⎦增量形式的应力-应变方程（矩阵形式）0000T e e e ep T e D D d D d D d D ασσασεεσαασ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭线性等向强化材料加载时的增量本构关系（指标符号）()()0020191114ij ij kk ij kl kl ij d d d S d S E h ευσυσδσσ⎡⎤=+-+⎣⎦线性等向强化材料加载时的增量本构关系（矩阵形式）()()000209114T e ep d F d d F d hεσασσασσσσ=+=。
弹塑性力学___第四章_弹性力学的求解方法
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程
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弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。
图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。
C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。
由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。
由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。
对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。
如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。
即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。
在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。
如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。
图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。
这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。
记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。
在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。
这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。
图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。
同样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。
这就增加了问题的复杂性。
材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。
此外，在实际工程问题中经常遇到的材料非线性问题往往不是单向应力状态，即不是一维问题。
要对三维问题单靠实验来确定应力张量和应变张量之间的关系几乎是不可能的。
因此，在建立非线性本构关系时，除去不能脱离实验基础之外，还必须有基本理论的指导。
二、刚塑性与弹塑性本构模型z 简化模型对于低碳钢一类材料，如果承载后产生的变形状态一直达到塑性流动段，为了简化起见，略去应力应变曲线中的上、下屈服极限等细节，可得到由线弹性段和塑性流动水平线段组成的简化模型，称为理想弹塑性模型（图7.5a ）：s s s s E E σεεεσεσεε=≤⎧⎨==>⎩当当 (1)在金属成型等问题中，由于塑性流动引起的塑性应变较大，而弹性应变因相比较小而将其忽略，则又可进一步简化为只有水平线段的刚塑性模型（图7.5b ）：研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉0 0s s εσσσσε=<⎧⎨=>⎩当当(2)图7.5 理想弹塑性和刚塑性 当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化弹塑性模型来近似：()1 + s s s s E E σεεεσσεεεε=≤⎧⎨=−>⎩当当 (3)针对一些没有明显屈服极限的材料，还可采用幂强化力学模型，即令n A σε= (4)其中n 为幂强化系数，其取值介于0与1之间，当0n →时，它就趋于刚塑性模型。
对于单轴应力状态来说，上述公式已经对材料的塑性性质作出了简明的描述。
但对于更普遍的三维应力状态，单有上述公式还不能对三维状态作出具体的描述。
首先，无论弹塑性模型或刚塑性模型，对于单轴应力状态，当应力从零开始增大、达到屈服极限s σ时，材料开始屈服，进入流动段。
对于三维应力状态如何判定材料开始屈服？其次还有进入流动段之后三维的应力和应变之间有怎样的关系？前者称为材料的屈服条件，后者为塑性应力应变关系。
z 屈服条件关于材料进入塑性状态的原因有过不同的假说。
伽里略曾认为材料进入塑性状态是由最大主应力所引起的，此后，圣维南又曾认为最大主应变能判断材料是否进入塑性状态。
这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限s σ，而并不产生塑性变形。
1864年法国工程师特雷斯卡（Tresca, H.）在一系列金属挤压实验的基础上，发现变形的金属表面有很细的纹痕，其方向接近最大剪应力方向。
于是，他提出：在物体中，当最大剪应力max τ达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。
当σσσ123≥≥时，特雷斯卡条件为2k σσ13−=(5)第七章 塑性力学的基本方程与解法其中k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的s σ确定，2s k σ=。
当不能确定主应力的排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态的应力空间为23312, 2, 2k k k σσσσσσ12−≤−≤−≤ (6)这是其轴线与三个主应力坐标轴等倾的正六面棱柱。
该棱柱过坐标原点的直截面就是三个主应力坐标轴的等倾面，称π平面。
三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。
在π平面上，特雷斯卡条件是一个正六边形 (图7.6)。
图7.6 等倾面上的屈服条件1913年德国力学家米赛斯（von Mises, R.）指出，在等倾面上，特雷斯卡六边形的六个顶点是实验得到的，但连接这六个点的直线却具有假设的性质。
作为近似，他提出，将这些点用一个圆连接起来，这样可避免屈服条件不能用单一公式表达带来的困难。
于是米赛斯条件将特雷斯卡条件的六棱柱面改成了圆柱面，其表达式为()()()2222232R σσσσσσ1231−+−+−= (7)米赛斯提出这一条件时，并未认为它是准确的条件，但是实验结果却表明，对于韧性金属材料，此条件比特雷斯卡条件更接近实际情况。
1924年德国力学家亨奇（Hencky, W. H.）经过反复研究，对米赛斯条件作了物理解释：当弹性体的形变比能（歪形能）s W 达到一定值时，材料进入屈服状态。
()()()2222331112s V W W W G σσσσσσ12⎡⎤=−=−+−+−⎣⎦ (8)z 流动法则（增量理论的塑性应力应变关系）在塑性变形阶段，应力应变关系是非线性的。
应变不仅与即时的应力状态有关，而且还和变形历史有关。
如果不知道变形历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态；只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
为了考虑变形历史，就要研究应力和应变增量之间的关系。
以这种关系为基础的理论称为塑性力研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉学的增量理论。
对于理想刚塑性材料增量理论之一的莱维（Levy, M ）－米赛斯理论（1913）基于如下假设：材料是不可压缩的、满足米赛斯屈服条件，应变偏量的增量与应力偏量成比例。
于是可以写出d 3d d , d 2pe ij ij se s ελλσ== (9)其中d p e ε是塑性应变强度增量，d e ε=(10)当弹性应变和塑性应变相比不可忽略时，就要采用弹塑性模型。
即使对于塑性变形很大的金属成型问题，为了考虑成型后的弹性回弹，也必须用弹塑性模型。
对于理想弹塑性材料的增量理论之一是普朗特（Prandtl, L ）－罗伊斯（Reuss, E.）理论（1924，1930）。
此时假设：屈服条件采用米赛斯条件，应变增量等于弹性应变增量和塑性应变增量之和，即d d de p ij ij ij εεε=+ (11)而塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例d d p ij ije s λ= (12)于是其塑性本构方程可写成3d 1d d 22p e ij ij ij se s s G εσ=+ (13)z 全量理论（简单加载情况下的塑性应力应变关系） 除去上述增量理论之外，在塑性力学中还有全量理论，例如前苏联力学家伊柳辛（Ilyushin, A. A.）1943年提出的小弹塑性形变理论就是其中之一。
这种理论假设：体积应变始终是弹性的，即Θθ=3Κ (14)应力偏量与应变偏量成比例 ij ij e s λ=(15)而应力强度与应变强度之间存在单一的函数关系第七章 塑性力学的基本方程与解法()e e σϕε=(16)于是可得 32e ij ij e e s εσ= (17)伊柳辛理论主要适用于简单加载、幂强化材料的小变形情况。
所谓简单加载是指在加载过程中物体各点处的偏应力分量ij s 保持比例不变。
在工程允许精度下，也可推广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例，以及应力强度和应变强度之间存在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材料大量试验的验证。
z 强化规律对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服条件所描述的屈服面上，而当卸载时就按弹性规律回到屈服面内。
对于弹塑性强化材料，其单轴应力状态的应力应变曲线如前面图7.1所示。
若在强化后卸载，再重新加载，则屈服极限已经不是材料首次进入屈服时的屈服极限，而是最近这次从塑性状态卸载时由强化提高了的屈服极限。
前者称为初始屈服极限，后者则称为后继屈服极限。
如果初始屈服条件表示为()0ij f σ=(18)则强化条件下的后继屈服条件可表示为 (), 0ij f H ασ= (19)a) 等向强化 b) 随动强化图7.7 等向强化与随动强化研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉其中H α是包括强化参数在内的反映材料变形历史的参数，它们可以是标量，也可以是张量。
随着强化参数由0增大，在π面上画出的屈服面随之变化。
根据不同材料的试验结果，有些材料的后继屈服面与初始屈服面相比是成比例地扩大，即在塑性变形过程中，在应力空间各方向强化的程度相同（图7.7a ）。
这种强化称为等向强化，也称各向同性强化。
其后继屈服条件可写成()()(), 0ij ij f H F H αασϕσ=−=(20)其常见形式为 ()()(), 0ij ij p f H F W ασϕσ=−=(21)()()()(), d 0p ij ij e f H F ασϕσε=−=∫ (22)在前一种形式中采用塑性功作为强化参数，在后一种形式中采用累积的等效塑性应变作为强化参数。
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图7.7b ），即，在强化过程中，屈服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。