圆与方程章节中数形结合思想的应用

圆与方程章节中数形结合思想的应用
洪贵云
摘要：数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。

理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。

本文从圆的方程教学出发，提炼了一些数形结合在圆的方程解题中的应用技巧，如常见的求轨迹、求距离、求最值等问题。

如能熟练掌握这些方法并教给学生学会使用，必将取得事半功倍的效果。

（一）求范围
例1:设圆上222)5()3(r y x =++-有且仅有两点到直线234=-y x 的距离等于1,则圆的半径r 的取值范围是( )
A 4<r <6
B 64<≤r
C 64≤<r
D 64≤≤r 分析: 方法一 圆心)5,3(-到直线234=-y x 的距离为
5)
3(4215122
2
=-+-+,
而到直线234=-y x 的距离为1的轨迹为734=-y x 或334-=-y x
如图,当圆与直线734=-y x 相交,与直线334-=-y x 相离时,圆上只有两点与直线234=-y x 距离为1，所以4<r <6
方法二 根据四个选项知,只需判断当r =4或6时圆
222)5()3(r y x =++-与直线234=-y x 的距离为1的点的个数,作出草图1.
图1
当r =4时,圆与直线734=-y x 相切,只有一个点符合要求. 当r =6时,圆与直线334-=-y x 相切,与直线734=-y x 相交,圆上有三个点符合要求,故4<r <6
故选A
归纳:（1）以形助数,借助图形的性质,使有关”数”的问题直观形象化,从而探索”数”的规律.比如:研究两曲线的位置关系,借助图形使方程.间关系具体化;过定
x
y
(3,-5)
2
34=-y x 7
34=-y x 334-=-y x 0
点的直线系与某一确定的直线或圆相交时,求直线系斜率的范围;图形可帮助找到斜率的边界取值,从而简化运算;对于一些求最值得问题,可构造出适合题意的图形,解题中把代数问题几何化；（2）以数助形,借助数式的推理,使有关”形”的问题数量化,从而准确揭示”形”的性质.
（二）不等式问题
例2:当),(n m P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时,若不等式0≥++c n m 恒成立,则c 的取值范围是( )
A 1221-≤≤--c B
1212+≤≤-c
C 12--≤c
D 12-≥c
分析:因为),(n m P 在已知圆1)1(22=-+y x 上,且使0≥++c n m 恒成立,即说明圆在不等式0≥++c n m 表示的区域中, 如图2中，c -为直线0=++c y x 在y 轴上的截距, 可求出切线l 的截距为)12(--,所以)12(--≤-c ,即12-≥c
图2
【变式训练】 不等式)0(22
2
>+<-a a x x a 的解集为 }0{a x x ≤< 。

分析：令22x a y -=，它表示以原点为圆心，a 为半径的上半圆，包括端点；令)0(2>+=a a x y ，它表示斜率为2，且y 轴上的截距为a 在的直线。

由图3可知：不等式)0(222>+<-a a x x a 的解集为 }0{a x x ≤< 。

（三）临界值的问题
例3:若直线02=++y ax 与连接点)2,3(),3,2(B A -的线段有交点,则a 的取值范围是_____________
x
y
1
2
a
x
A O A
y
A
)
0,(a A -A )0,(a B A
a
图3
图4
分析:容易发现,直线02=++y ax 过定点)2,0(P ,因此要使直线与线段AB 始终有交点,如图4,当直线绕P 点在直线PB PA ,之间旋转时,直线与连接点
)2,3(),3,2(B A -的线段有交点,而02=++y ax 的斜率为a k -=,当直线由PB 开始
绕点P 逆时针旋转时(不与y 轴重合),到PA 止,当直线与线段AB 始终有交点,此时,斜率的变化为:当直线02=++y ax 的倾斜角为锐角时:PB k k ≥而3
4=
PB k ,即34≥
-a ,所以3
4-≤a ,当直线02=++y ax 的倾斜角为钝角时:25
,25,25,PA ≥-≤--=≤a a k k k PA 所以即而
故答案为:),2
5
[]34,(+∞⋃--∞
[变式训练] 已知圆4:221=+y x c 和圆4)8(:222=-+y x c ,直线b x y +=2
5
在两圆之间穿过,求实数b 的取值范围. 分析：直线在①情况下，根据b x y +=
2
5
与圆4:221=+y x c 相切，点到直线的距离等于半径，即2)1()2
5(
0025
22
==-++-⨯=
r b d 得3±=b ，结合图形5，b 即是直线
与y 轴交点的纵坐标，本题中我们只需要3=b ；直线在②情况下，根据
b x y +=
2
5
与圆4)8(:222=-+y x c 相切，点到直线的距离等于半径，即x
y 0
)
2,0(-P B
A
2)1()2
5(
8025
22
==-++-⨯=
r b d 得5=b 或11=b ，结合图形，我们只需要5=b ，3和
5是两个临界点，结合图形，可知b 的取值范围是)5,3(。

图5
[变式训练]若实数y x ,满足3)2(22=+-y x ，则
x
y
的取值范围为]3,3[- 。

提示：问题可转化为如下几何问题：动点P 在以)0,2(为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OP 的斜率的取值范围。

由图6可知，直线OP 的斜率的取值范围为]3,3[-
（四）方程的根的问题
例5. 若方程2222x x kx k -=-+有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围.
解析：方程
2
222x x k x k -=-+有两个不同的实数根，就是曲线
22y x x =-与直线22y kx k =-+有两个不同的交点. 由22y x x =-得22(1)1(0)x y y -+=≥，所以曲线22y x x =-是以(1,0)为圆心，以1位半径的圆位于x 轴上方的半圆；由22y kx k =-+得2(2)y k x -=-，所以它是过定点(2,2)斜率为k 的直线（如图）
.
x
y
o
4
22=+y x 4
)8(22=-+y x ①
② P
)0,2(B A
O
x
A
y A
3
图6
连接PO ，1PO k =，过点P 作圆的切线PQ ，由
2
|2|11k k -+=+，得3
4
PQ k =
，由图易知，过P 点的直线位于PQ （不包括PQ ）和PO （包含PO ）之间时，与半
圆有两个交点，故得3
14
k <≤.
评析：本题若直接从方程的角度进行求解将非常复杂，但从方程的形式及结构特点，发现与直线和圆有关系，因此将方程问题转化为直线与圆的位置关系问题，显得既直观又简单.
数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。

只有这样，才能不断提高、深化数形结合运用的能力。