弹塑性力学.ppt
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弹塑性力学课件-塑性基本概念
ij yxx
xy y
xz yz
11 21
12 22
13
23
zx zy z 31 32 33
（4-1）
由于剪应力的互等性， yx xy zx xz zy yz
3.1应力—应变曲线的理想化模型
（1）理想弹性（perfectly elastic） （2）理想刚塑性（rigid-perfectly elastic） （3）刚—线性强化（rigid-linear strain-hardening） （4）理想弹塑性（elastic-perfectly plastic） （5）弹—线性强化（elastic-linear strain-hardening）
1.3静水压力实验
所谓静水压力就如同均匀流体从四面八方将压力作用于物体。 （1）体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgeman实验公式)
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝ 7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。 说明第二项远小于第一项，可以 略去不计。
Bridgeman的实验结果表明， 静水压力与材料的体积改变之 间近似地服从线性弹性规律。 若卸除压力，体积的变化可以 恢复，因而可以认为各向均压 时体积变化是弹性的，或者说 塑性变形不引起体积变化。试 验还表明，这种弹性的体积变 化是很小的，因此，对于金属 材料，当发生较大塑性变形时， 可以忽略弹性的体积变化，即 认为在塑性变形阶段材料是不 可压缩的。
s
n1
一般加载规律
( ) E[1 ( )]
A
其中
( )
弹塑性力学PPT
P
研究对象:
P
与其他学科的关系：
课程 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 塑性力学 研究对象 刚体 弹性杆件 （一维） 弹性杆系 （二维） 弹性体（三维） 塑性体 解决的问题 力的静力平衡、运动 学、动力学 杆的拉、压、弯、 剪、扭 杆系的内力位移 应力、应变、位移 塑性加工 工程力学 固体力学 力学范畴 一般力学
哑标号:
三、求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为 取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
2 2 2
uy
2
主要参考书目
1 、杨伯源 《工程弹塑性力学》 2 、杨桂通 《弹塑性力学》 3 、徐秉业 《应用弹塑性力学》
二阶以上的张 量已不可能在 三维空间有明 显直观的几何 意义。
二、下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号 来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就 称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
一、张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
具有多重方向性的物理量，称为张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=rn=3n 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
研究对象:
P
与其他学科的关系：
课程 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 塑性力学 研究对象 刚体 弹性杆件 （一维） 弹性杆系 （二维） 弹性体（三维） 塑性体 解决的问题 力的静力平衡、运动 学、动力学 杆的拉、压、弯、 剪、扭 杆系的内力位移 应力、应变、位移 塑性加工 工程力学 固体力学 力学范畴 一般力学
哑标号:
三、求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为 取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
2 2 2
uy
2
主要参考书目
1 、杨伯源 《工程弹塑性力学》 2 、杨桂通 《弹塑性力学》 3 、徐秉业 《应用弹塑性力学》
二阶以上的张 量已不可能在 三维空间有明 显直观的几何 意义。
二、下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号 来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就 称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
一、张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
具有多重方向性的物理量，称为张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=rn=3n 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性力学ppt_精简版本
卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。
一 、理想材料的加卸载准则
理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。
由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。
d 加载
f(ij)0,
弹性状态
d
n
卸载
f 0
f (ij) 0,
)
1 (w v) 2 y z
w
z
• 几何方程张量表示
1 ij 2(ui,j uj,i)
u i, j
u i x j
位移梯度
相对位移矢量对称部分
应变张量是位移梯度的对称化
应变分量的坐标变换 [][][][]T
第四章 本构关系 4.5 常用的屈服条件
1. 最大剪应力条件 Tresca 屈服条件
T 1 2 ＋ T 2 2 ＋ T 3 3 － N 21 22 7 48 2
例1 如图所示，试写出其边界条件。
q
(1) x 0,
u v
s s
0 0
u 0, v 0 y x
h
hx
(2) xa, l 1,m0 X0,Y 0
l(x)s m(xy)s X
M Mi
M Mi
解: 处于弯扭作用下,杆内主应力为
1,321 2 242,
2 0
其中
My J
32M
d3
Mir J0
16dM3i
(1) 由最大剪应力条件(特雷斯卡)给出
并考虑安全系数
r31 30s
d0.10m 9
(2) 由最大畸变能条件(米泽斯)给出
弹塑性力学PPT课件
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
《工程弹塑性力学》PPT课件
工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料
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第七章 张量分析
要点 —— 掌握爱因斯坦求和约定和张量的概念及
运算。
2020年1月16日星期四
主要内容
§7-1 爱因斯坦求和约定 §7-2 张量的概念
2020年1月16日星期四
§7-1 爱因斯坦求和约定
一. 下标记号法
1、含有3个独立量的集，通常用一个下标表示，如
xi , 表示x1, x2, x3 ，即x, y, z ui , 表示u1,u2,u3 ，即u, v, w
2020年1月16日星期四
写成矩阵的形式
11 21
12 22
13
23
xx yx
xy yy
xz yz
yxx
xy y
xz yz
31 32 33 zx zy zz zx zy z
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
（一）标量（零阶张量）
标量是指由一个正值或负值的数量所确定的物理 量（或几何量），一般地说，是由一个具有实值的空 间点的函数所确定的物理量。标量的分类：
2020年1月16日星期四
2、张量的表示法：有三种
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
（1）符号法 a
(2)分量法（并矢法）aijeie（j eie
不是矢量的点积）
j
（3）矩阵法记为 aij 或 aij
x
2 3
xi cijy j(i, j 1,2,3)展开得 :
x1 c11y1 c12 y2 c13 y3
x2
c21 y1
c22 y2
c23 y3
x3 c31y1 c32 y2 c33 y3
2020年1月16日星期四
§7-2 张量的概念
一 、张 量
导数的形式记法：
ai,i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
σ ij,j
σ ij x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
2020年1月16日星期四
σ i , jj
2σ i x jx j
2 i
x12
2 i
x22
2 i
2020年1月16日星期四
绝对标量：
与坐标系的选择无关，也称不变量，如物体的质量、 温度、时间和力做功等。
非绝对标量：
与坐标系的选择有关，如矢量的分量标量。
（二）矢量（一阶张量） 1、矢量的定义
矢量是由与三个坐标轴选择有关，且服从一定坐标变 换规律（在只限于卡氏坐标系时，则为转轴规律）的标量 所确定的物理量或几何量。
应力分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz 应变分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
采用下标记法：σij, εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
2020年1月16日星期四
（三）二阶张量
1、定义
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
aij aibj
当坐标转动时
aij aib j am lmibnlnj amnlmilnj 上式为二阶张量的转轴定律，在给定的笛卡尔坐标系中 有9个分量aij当坐标轴转动时，这些量满足下列转轴公式 amn aij liml jn aij amn lmilnj
aii a11 a22 a33
3
aijb j aijbj ai1b1 aiaijbic j
i1 j1
a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
a21b2c1 a22b2c2 a23b2c3
若给出声明之后，i可取 1,2,, n
2、对于9个量集，可用两个下标表示，如
aij, 表示a11, a12, a13,, a33
2020年1月16日星期四
3、对于27个量的集，可用3个下标表示，如 aijk
a 4、对于81个量集，可用4个下标表示，如 ijkl
二. 应力、应变分量的下标记号法
2020年1月16日星期四
讨论位移矢量：
设位移矢量u的三个分量为u, v, w,则可写成
u uiei 坐标转轴后，设为x, y, z,它的分量为ui，则有 u uiei 所以有
uiei uiei 用单位矢量ej右乘以上式得 uieiej uieiej 即uilij uj (1)
2020年1月16日星期四
同理用单位矢量e
右乘以上式得
j
uieiej uieiej
即u j uilij (2)
(1)、（2）为矢量的转轴公式。
矢量是由三分量确定，其分量服从坐标转轴公式。
2、矢量的三种表示法
（1）符号法 a （2）分量法 aiei
（3）矩阵法 a或ai
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3 2020年1月16日星期四
ai2i a121 a222 a323
σii 2 11 22 33 2
σijεij 11 11 22 22 3333 2 23 23 31 31 12 12
三. 爱因斯坦求和约定；哑标、自由标
当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此
下标求和，并限定在同一项中不能有同一个下标
出现三次和三次以上，成为爱因斯坦求和约定。
重复的下标称为哑标，或伪标；不重复的下标称
为自由标。
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例：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
要点 —— 掌握爱因斯坦求和约定和张量的概念及
运算。
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主要内容
§7-1 爱因斯坦求和约定 §7-2 张量的概念
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§7-1 爱因斯坦求和约定
一. 下标记号法
1、含有3个独立量的集，通常用一个下标表示，如
xi , 表示x1, x2, x3 ，即x, y, z ui , 表示u1,u2,u3 ，即u, v, w
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写成矩阵的形式
11 21
12 22
13
23
xx yx
xy yy
xz yz
yxx
xy y
xz yz
31 32 33 zx zy zz zx zy z
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
（一）标量（零阶张量）
标量是指由一个正值或负值的数量所确定的物理 量（或几何量），一般地说，是由一个具有实值的空 间点的函数所确定的物理量。标量的分类：
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2、张量的表示法：有三种
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
（1）符号法 a
(2)分量法（并矢法）aijeie（j eie
不是矢量的点积）
j
（3）矩阵法记为 aij 或 aij
x
2 3
xi cijy j(i, j 1,2,3)展开得 :
x1 c11y1 c12 y2 c13 y3
x2
c21 y1
c22 y2
c23 y3
x3 c31y1 c32 y2 c33 y3
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§7-2 张量的概念
一 、张 量
导数的形式记法：
ai,i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
σ ij,j
σ ij x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
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σ i , jj
2σ i x jx j
2 i
x12
2 i
x22
2 i
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绝对标量：
与坐标系的选择无关，也称不变量，如物体的质量、 温度、时间和力做功等。
非绝对标量：
与坐标系的选择有关，如矢量的分量标量。
（二）矢量（一阶张量） 1、矢量的定义
矢量是由与三个坐标轴选择有关，且服从一定坐标变 换规律（在只限于卡氏坐标系时，则为转轴规律）的标量 所确定的物理量或几何量。
应力分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz 应变分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
采用下标记法：σij, εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
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（三）二阶张量
1、定义
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
aij aibj
当坐标转动时
aij aib j am lmibnlnj amnlmilnj 上式为二阶张量的转轴定律，在给定的笛卡尔坐标系中 有9个分量aij当坐标轴转动时，这些量满足下列转轴公式 amn aij liml jn aij amn lmilnj
aii a11 a22 a33
3
aijb j aijbj ai1b1 aiaijbic j
i1 j1
a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
a21b2c1 a22b2c2 a23b2c3
若给出声明之后，i可取 1,2,, n
2、对于9个量集，可用两个下标表示，如
aij, 表示a11, a12, a13,, a33
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3、对于27个量的集，可用3个下标表示，如 aijk
a 4、对于81个量集，可用4个下标表示，如 ijkl
二. 应力、应变分量的下标记号法
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讨论位移矢量：
设位移矢量u的三个分量为u, v, w,则可写成
u uiei 坐标转轴后，设为x, y, z,它的分量为ui，则有 u uiei 所以有
uiei uiei 用单位矢量ej右乘以上式得 uieiej uieiej 即uilij uj (1)
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同理用单位矢量e
右乘以上式得
j
uieiej uieiej
即u j uilij (2)
(1)、（2）为矢量的转轴公式。
矢量是由三分量确定，其分量服从坐标转轴公式。
2、矢量的三种表示法
（1）符号法 a （2）分量法 aiei
（3）矩阵法 a或ai
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3 2020年1月16日星期四
ai2i a121 a222 a323
σii 2 11 22 33 2
σijεij 11 11 22 22 3333 2 23 23 31 31 12 12
三. 爱因斯坦求和约定；哑标、自由标
当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此
下标求和，并限定在同一项中不能有同一个下标
出现三次和三次以上，成为爱因斯坦求和约定。
重复的下标称为哑标，或伪标；不重复的下标称
为自由标。
2020年1月16日星期四
例：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1