塑性力学-第四章
弹塑性力学第四章答案
第四章 习题答案4.3有一块宽为a ，高为b 的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力1q 和2q 作用，见题图4.1，如不计体力，试求薄板的位移。
题图4-1解：1.设置位移函数为123123()()u x A A x A y v y B B x B y =+++⎫⎬=+++⎭（1）因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式00,m m m m mmu u A u v v A v =+=+∑∑中的0u 、0v 都取为零，显然，不论式（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。
2.计算形变势能。
为简便起见，只取1A 、1B 两个系数。
111111,u A x Au v B y B v ==== （2） 11,0,,0uuvu A B x yyx∂∂∂∂====∂∂∂∂ ()()2222111111112200222(1)2(1)a b E Eab U A B A B dxdy A B A B v v νν=++=++--⎰⎰ （3） 3.确定系数1A 和1B ，求出位移解答。
因为不计体力()0X Y ==，且注意到1m =，式4-14简化为11UXu ds A ∂=∂⎰ （4）11UYv ds B ∂=∂⎰ （5） 对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是0X =，就是10u =，故积分值为零。
在右边界上有11,,X q u x a ds dy =-===()111bXu ds q ady q ab =-=-⎰⎰ （6）同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，()1220aYv ds q bdx q ab =-=-⎰⎰ （7）将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出1A 和1B ：()1112222(1)EabA B q ab v ν+=---()1122222(1)EabB A q ab v ν+=--- 121q q A E ν-=-， 211q q B E ν-=- （8） 122111,q q q q u A x x v B y y E Eνν--==-==- （9）4．分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。
工程塑性力学(第四章)弹塑性力学边值问题的简单实例
σθ
−σr
=
2
p
b2 r2
在 r = a 时取最大值，则 r = a 处首先屈服
(σθ
− σ r ) max
=
2
p
b2 a2
=σs
求得弹性极限载荷（压力）为
pe
=
a2σ s 2b2
，
p
=
pe
=
b2 − a2 a2
pe
= σs 2
⎜⎜⎝⎛1 −
a2 b2
⎟⎟⎠⎞
（2）弹塑性解
（4-26）
p > pe 时，塑性区逐渐扩张。设弹、塑性区交界处 r = c ， a < c < b 。
b
弹性区
c
用边界条件σ r r=a = − p ，可确定出 C′ = − p − σ s ln a ，
a
所以
⎪⎧σ r ⎨ ⎪⎩σθ
= σ s ln r − p − σ s ln a = − p + σ s
=σs
+σr
=
−p
+ σ s (1 +
ln
r) a
ln
r a
（4-27）
塑性区 图 4-3
属静定问题，未用到几何关系。
ΔFi = F&iΔt ， ΔTi = T&iΔt ， Δui = u&iΔt
（4-10） （4-11）
式中 F&i ，T&i 和 u&i 分别称为体力率、面力率和位移率（速度）。引入率的表达形式
可以简化公式表达。 求解过程为：
已知时刻 t 时，位移 ui ，应变 εij ，应力σij ，加载面 f (σij ,ξ ) = 0 。在 ST 上给
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
弹塑性力学第四章
x
y
)
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§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
塑性力学第四章(1)-塑性本构关系
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
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12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
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10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
塑性力学--第四章 塑性本构关系
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
3i 2 i
(3)应力强度是应变强度的函数 i i , 即按单一曲线假
定的硬化条件.
综上所述, 全量型塑性本构方程为
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过
程, 它时服从增量Hooke定律.
y
些基本未知量的基本方程有
x
Su : ui
平衡方程 ij, j Fi 0
几何方程
ij
1 2
ui. j u j,i
本构方程
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
其中
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
这就是对于全量 理论的塑性力学
边界条件 S : ijl j pi , Su : ui ui
(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳 辛)理论.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-Mises(莱维-米泽 斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
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本构关系研究的论文。
因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这 方面的研究。
基本假设
本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和 静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设
（1）小变形假设 （2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）
内变量的引入
内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述 经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得 较多）的内变量是等效塑性应变。
（16）
内变量的演化方程
当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内 变量演化方程有以下的形式 （17） Z ,
ij
将（17）式代入（16）式，解出
g g Z ij ij
f g ˆij g kl ˆ kl ij
（用到了（23）式）
ˆ g ˆ f
g ˆg ˆij g ˆ ˆ f ij g ˆij 1 ij
（24）
（25）
于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。
当按应变加载准则判断为弹塑性加载时
（9）
可以得到 常用的表 达式
E ij 1
ik jl 1 2 ij kl kl 1 ij ij ij kk E E
（10）
从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得
（23）
ij ˆ Z 式中， ij
。
弹塑性加载时
ˆ g
g g P ij kl kl M ijkl ij ij
（这里用到（3）式） （用到了（15）式）
f g P kl kl kl ij
Lijkl M klpq M ijkl Lklpq 1 ip jq iq jp 2
（5）
对于弹性张量为四阶各向同性弹性张量时，有
Lijkl 0 ij kl ik jl il jk 1 ik jl il jk M ijkl ij kl E 2E
1 ij s E 1 2 kk kk E ij e
kl ij kk ij ( 11 22 33 ) ij kl
（11）
作业
ik
kl 2 ij 2ik jl kl jl il jk
一般地，6个方程中只有5个方程是独立的。
§4.2 应变空间中的加载曲面和加、卸载准则
应变空间中的加载曲面 应力空间中的加载曲面是（见§3.8（68）式）
f ij , 0
当 固定时，应力与应变有一一对应的关系，即
ij ij kl ,
于是有
f ij , f ij kl , , g kl , 0
（13）
由（12）、（13）式，可得
g f ij f Lijkl kl ij kl ij
f g ij g M ijkl kl ij kl ij
（14） （15）
f ij g ij
与应力空间中加载曲面的外法线向量重合。
证明（26）式和（27）式的等价性 如果（27）式成立
d ij d ij 0
(1) ( 2) 设应力沿直线路径单调地由 ij 变化到 ij ，则有 (1) ( 2) (1) ij ij ( ij ij ) (0 1)
( 2) (1) d ij d( ij ij )
（4）
而(3)式中
ij kl , Lijkl
e ij p ij
分别称为弹性应力率和塑性应力率
e ij ijp kl , M ijkl
ij
分别称为弹性应变率和塑性应变率
两个四阶弹性张量有互逆关系：
在直角坐标系中，应力应变之间的率关系或增量关系可写为
P kl ij Lijkl ij P kl ij ij M ijkl
（3）
当 固定时，式中
Lijkl ij kl , M ijkl ij kl
1
令
g Z
1
，
ˆ g
g ij ij
（18）
则内变量的演化规律可以表示为
Z , g ˆ ij
（19）
应变加、卸载准则
没有变化。 若有变化， 我们知道应变在加载曲面内时， 应变必然在加载曲面上。故上式只适用于弹塑性加载过程。
（12）
上式表示对于任意固定的内变量 ，应力空间中的加载曲 面可由应变空间中的一个曲面来描述，即存在一个应变空
间中的加载曲面。
反之，当固定 时，应力与应变有一一对应的关系， 由 ij ij kl , 0 ，可有
g ij , g ij kl , , f kl , 0
g 此时 g 0且 g 表示应变在加载曲面 ij 0 。 g 0 ˆ ij g ij 0 表示应变增量指向 g ˆ 上， g 的增长方向（注 ij 意 g 与 g 的外法线重合）。
ij
因此一般有
0, 0, 0, ˆ, Z g
§4.3 有关材料性质的几个假设
一、稳定材料的假设 当应力的单调变化引起应变的同号单调变化，或反过来说， 应变的单调变化引起应力的同号单调变化时，称材料是稳定 的。
或
( 2) ij
(1) ij(2) ij(1) 0 ij
（26）
（27）
d ij d ij 0
§4.1 塑性应力率和塑性应变率
回顾一维情形：
, 0
E( p )
E p E
E E p
0 p 0 当 固定时，
E
或
t E(t t p )
1 E
ij
1 kk ij ij ik jl 1 ij kl kl E E
对于偏应力－偏应变关系的方程
1 ij ij e s E
因为
1 kk kk 0 e s E
International Journal of Plasticity (IJP)和International Journal of Solids and Structures (IJSS)每年登出的论文 中有很多是关于材料塑性本构关系研究的论文。
以Constitutive Equation或Constitutive Model等为 关键词查询，可以在 Elsevier 刊物上查到大量的关于塑性
( 2) ij
( 2) ij
(1) dij 1 ij(2) ij(1) dij ij(2) ij dij 0 ij
与应变空间中加载曲面的外法线向量重合。
于是知（14）（15）两式给出了在应力空间和应变空间中加 载曲面的外法线向量之间的关系。
应变空间中加载曲面的一致性条件
对于应变加载曲面
g ij , 0 ，也可以给出一致性条件
g g ij 0 ij
上式称为（应变空间的）加、卸载准则。它表示应变在加 载曲面上（即 g 0 ）且增量应变指向加载曲面外部
（即 g ˆ 0）时，材料才有新的塑性变形产生。
g0
上式也可简写为
ˆ Z ij , g
（21）
其中
0, ˆ g ˆ, g
ˆ 0 g ˆ 0 g
0
ˆ 0 f ˆ 0 f
g 0
ˆ 0 g
材料处于强化状态，加载曲面扩大
0 0
ˆ 0 ，不是中性变载） 加载曲面不变，理想塑性材料（ g
塑性变形在增加，但应力加载准则无法判断（失效）
g ij 0 ij
ˆ 0 f
ˆ g
g0
因此，应变加载准则的适用范围比应力加载准则的适用范围 要宽。
P kl ij Lijkl ij P ij M ijkl ij
Lijkl L jikl Lijkl Lklij M ijkl M jikl M ijkl M klij
（7）
其中
0
E
(1 )(1 2 )
,
E 2(1 )
（8）
称为拉梅常数。
在弹性状态，由（3）和（7）式有
kl 0 ij kl ik jl il jk kl ij Lijkl 1 ij M ijkl kl ik jl il jk kl E ij kl 2E
应力加载准则与应变加载准则的关系
在应力空间中加载准则可写为
ˆ f ij f ij
（22）
ˆ 0 f
对应加载， fˆ 0 对应中性变载，fˆ 0 对应卸载。
由于塑性应变率（见（3）式）
P ij
ij ij ˆij g ˆ ˆ Z g
g0 ˆ0 g 0, g ˆ 0 g 0, g ˆ 0 g 0, g
（20）
g g ij 0 ij
0, 0, 0, ˆ, Z g
g0 ˆ0 g 0, g ˆ 0 g 0, g ˆ 0 g 0, g