第4章 电力网络的数学模型

k 1
i 1
( k 1) ( k 1) Yik Ykj ( k 1) Ykk
(i 1,2, , n; j i, i 1, n)
二 用高斯消去法简化网络
4.3 节点阻抗矩阵
一、节点阻抗矩阵 在电力系统计算中，节点方程也常写成阻抗形式，即
ZI V
式中，Z Y 1 称为网络的节点阻抗矩阵，具有对称性 。 可展开写成
第四章 电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
一、节点电压方程
Y11 Y12 Y 21 Y22 Yn1 Yn 2
或缩记为
V Y1n 1 Y2 n V2 Ynn Vn
(n-1)次消元后
Y ( n1)
Y11 Y12 Y1i Y1n (1) (1) (1) Y22 Y2i Y2 n ( i 1) ( i 1) Yii Yin ( n 1) Ynn
其中
Yij(i1) Yij
代入方程组有： i Z ii U
I I
i
0, k
k 1,2,, n, k i
U
j
j
1 I
i
由此可见，当节点i上注入一单位电流，而其余的 各节点均开路（即Ik=0）时，节点i上的电压即是自阻 抗Zii的值（物理意义）。用数学式可表示为：
U i Z I i I
ii
k 1,2, , n, k i
0
k
2、互阻抗：
非对角元Zij称为互阻抗。
j U Z Z I i I
ij ji
k 1,2,, n, k i
0
k
它表示：节点i加单位电流，其它各节点均开 路时，节点j的电压。
自阻抗Zii可看作是由节点i向整个网络看进去 对地的总阻抗，因为除节点i外其余各节点的注
入电流均为零。这样，一般来说，从其它节点 测得的电压肯定小于节点i的电压，即 Z ji Z ii 。
自阻抗与互阻抗的关系可用下图形象地表示：
i
1 I
i
Z U
i
I
ii
j
0
j
j ji
Z U
一般而言，一个网络中 各节点总有电的联系，当 节点i加单位电流时，其它 节点的电压不为零，即Zji 0, 因此阻抗矩阵是一个满 矩阵。
(4)原有网络节点i、j之间的导纳由yij改变为yij’：
支路i、j的导纳由yij改变为yij’相当于切除一导 纳为yij的支路，增加一导纳为yij’的支路。
i

y
j
ij
y
, ij
参数的修改为： Yii= yij’ -yij， Yjj= yij’- yij， Yij=- yij’ +yij ，Yji＝ Yij (5)原有网络节点i、j之间的变压器变比由k*改变为k*’：
j0 ji T
T *
T '2
*
y Y Y Y k
' ' ij ji T ' *
y k
T *

' jj
y
T

y
T
1 1 因此： Y ii Y ii Y ii yT '2 2 k* k* Y jj 0
y Y Y Y Y k
y
i
ik
k
原网络增加一个节点j，则导纳矩阵增加一阶。 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
YV I
I1 I 2 I n
式（4-1）
Yii节点i自导纳，等于与i相连所有支路导纳之和； Yij节点i，j间的自导纳，等于节点i，j间支路导纳的负值
二、节点导纳矩阵元素的物理含义
如果令 V 0, V 0 ( j 1,2, , n, j k ) k j
y
i （e）改变变压 (1 ) k y 器变比 k*
* T 2
T
k
*
j
y
(k * 1)
T
k
*
Y ii
ij
y
i0

y
ij

y k
T 2 *

y k
T *

y k
T *

y k
T 2 *
y 变比为K*时：Y k
jj
T *
Y
ji
y 变比为k*’时：Y k
' ii
'
y Y y y y k
i
y
j
ij
（b）增加支路
只增加支路，不增加节点，矩阵阶数不变。 但节点i、j有关的导纳元素要改变。 Yii=yij， Yjj=yij， Yij= Yji=-yij
(3)在原有网络的节点i、j之间切除一支路：
i

y
j
ij
（c）切除支路
切除一导纳为yij的支路相当于增加一导纳 为-yij的支路。
Yii=-yij， Yjj=-yij， Yij= Yji=-(-)yij=yij
三 节点导纳矩阵Y的修改可以直接根
据结论写出。电路中也使用支路－节点关联矩阵 求。（程序中一般按支路－节点关联矩阵形成Y）
在电力系统中某一支路的断开或重新投入运行
其对应的Y阵仅需作某些修改，没必要重新形成Y
阵。
下面介绍系统中常用的几种典型修改方法： （1）从原有网络引出一支路，同时增加一节点.
或者写成
Z
j 1
n
ij
I j Vi (i 1,2,, n)


Z ii 节点 i 的自阻抗或输入阻抗； Zij 节点 i, j 之间的互阻抗或转移阻抗；
1、自阻抗：
阻抗矩阵中的主对角元Zii称节点i的自阻抗。 它可用下述方法来确定。 若在节点i上注入一单位电流，而其余的各节点 均开路，即 i U i 1
综上所述 ，阻抗矩阵有以下特点：
1. 与YB阵一样，ZB矩阵也是对称阵，且阶数相同；
2. 一般来说，ZB时满矩阵，不是稀疏阵；
3. 一般来说， ，即ZB具有对角占优的特点， Z ji Z ii 这对迭代计算有利； 4. ZB不能从网络接线图中直观地求出。 因此必须寻找求阻抗矩阵的方法，目前求阻抗 矩阵的方法有两种： Y阵求逆，间接 求ZB
' ij ji ij ij
T ' *

y k
T
*
1 1 yT ' k* k*
四 支路间存在互感时的节点导纳矩阵
4.2 网络方程的解法
一、用高斯消去法求解网络方程 用按列消元的算法求解方程组（4-1），完成第一次消 元后可得： Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn 0 (1) (1) (1) Y22 V2 Y2 n Vn I 2 (1) (1) ( 1 ) Yn 2 V2 Ynn Vn I n 式中
本章完！

当 k i 时，公式（4-2）说明，当网络中除节 点 k 以外所有节点都接地时，从节点 i 流入网络 的电流同施加于节点 k 的电压之比。即等于节点 k 与 i 之间的互导纳 Yik ，即
Yik yik
导纳矩阵的特点： （1）Y是方阵，其阶数等于网络中除参考节点外 的节点数n，一般大地为参考节点。 （2）Y是稀疏矩阵，其各行非零非对角元数等于 与该行对应节点所连接的不接地支路数。 如第一行除Y11外有Y12 ,Y1n不为零，其余 均为零，则表示节点1所接的不接地支路数有 两个。
（3）Y阵的对角元（自导纳）等于各节点所连 接导纳的总和。
Y
ii

y
i0

j 1 j i
n
y
ij
（4）Y阵中的非对角元Yij等于连接节点i、j导纳 的负值。如Yij=-yij。 （5）Y阵一般是对称阵。 因此一般求Y只需求其上三角或下三角部分即可。
（6）网络中的变压器若以导纳支路表示或阻抗 支路表示（k不是复数），则仍可按上述原则计 算；若k为复数，则Y就不对称，一般系统中都 取k为实数。
Y
(1) ij
Yi1Y j1 (1) Yi1 Yij ; Ii I I1 Y11 Y11

对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y ( 2)
Y11 Y12 Y13 Y1n (1) (1) (1) Y22 Y23 Y2 n ( 2) Y33 Y3(n2) ( 2) ( 2) Y Y n3 nn
11 11 1i 1n 21 2i 2n 增加节点 j ' ii n1 ni nn nn k1 ki
1k
ik kk
Ykk=yik，Yik=Yki=-yik，Yii’= Yii+Yii， Yii=yik 第j行、第j列的其它元素都为零，其余元 素不变。 (2)在原有网络的节点i、j之间增加一支路：
Z11 Z 21 Z n1
Z12 Z1n I1 V 1 Z 22 Z 2 n I 2 V 2 Z n 2 Z nn I n V n
支路追加法，直接形成ZB
求逆：先求YB，再求YB-1= ZB。方法如高斯 消去法、三角分解法等。
二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵 （1）追加树枝：新增支路引出一个新节点， 阻抗矩阵扩大一阶 （2）追加连支：在已有的两个节点间增加新 支路，网络节点数不变，阻抗矩阵阶次不变 （3）追加变压器支路 变压器树枝 变压器连支