1 电力网络的数学模型及求解方法
第二章 电力网各元件的等值电路
RT 2
2 D P s 2U N = 碬 103 2 SN
RT 1
2 D P s 2U N = 碬 103 2 SN
•对于100/50/100或100/100/50
/ 50 / 100 例：容量比不相等时，如 100 1 2 3
D Ps (1- 2) IN 2 SN 2 ⅱ =D Ps (1- 2) ( ) =D Ps (1- 2) ( ) = 4D Ps? (1- 2) IN / 2 S2 N
ì VS (1- 2) % = VS1 % +VS 2 % ï ï í VS (2- 3) % = VS 2 % +VS 3 % ï ï î VS (3- 1) % = VS 3 % +VS1 %
ì VS 1 %VN2 ï X1 = 碬 103 ï 100 S N ï ï VS 2 %VN2 ï 碬 103 í X2 = 100 S N ï ï ï VS 3 %VN2 碬 103 ï X3 = 100 S N ï î
一些常用概念
1. 实际变比 k k=UI/UII UI、UII :分别为与变压器高、低压绕组实际匝 数相对应的电压。 2. 标准变比
有名制：归算参数时所取的变比 标幺制：归算参数时所取各基准电压之比
3. 非标准变比 k* k*= UIIN UI /UII UIN
2.3电力网络的数学模型
• 问题的提出
IN 2 SN 2 D Ps (2- 3) = D Psⅱ ( ) = D P ( ) = 4D Ps? (2 - 3) s (2 - 3) (2 - 3) IN / 2 S2 N
D Ps (3- 1)
IN 2 ⅱ =D Ps (3- 1) ( ) = D Ps (3- 1) IN
电力系统分析第4章 电力网络的数学模型
Vn
I2(1)
•
•
Y (1) n2
V2
Y (1) nn
Vn
I2(1)
式中
Y (1) ij
Yij
Yi1Yj1 Y11
; Ii(1)
I
Yi1 Y11
I1
第四章电力网络的数学模型
4.2 网络方程的解法
➢ 对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11
Y (2)
Y12 Y13 Y1n
Y (1) 22
第四章电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
➢一般地，对于有n个独立节点地网络，可以列写n个 节点方程
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn
•
I1
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y2n Vn
•
I2
•
•
• •
Yn1 V1 Yn2 V2 Ynn Vn In
（4-3）
4.1 节点导纳矩阵
➢上述方程经过整理可以写成
•
•
Y11 V1 Y12 V2
0
•
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 Y24 V4 0
•
•
•
Y32 V2 Y33 V3 Y34 V4 0
•
•
•
Y42 V2 Y43 V3 Y44 V4
•
I
4
(4-2)
第四章电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
➢将电势源和阻抗的串联变 换成电流源和导纳的并联，得 到的等值网络如图所示，其中：
•
•
I 1 y10 E1
潮流计算的计算机方法
一、潮流计算的计算机方法对于复杂网络的潮流计算，一般必须借助电子计算机进行。
其计算步骤是：建立电力网络的数学模型，确定计算方法、制定框图和编制程序。
本章重点介绍前两部分，并着重阐述在电力系统潮流实际计算中常用的、基本的方法。
1，电力网络的数学模型电力网络的数学模型指的是将网络有关参数相变量及其相互关系归纳起来所组成的．可以反映网络性能的数学方程式组。
也就是对电力系统的运行状态、变量和网络参数之间相互关系的—种数学描述。
电力网络的数学模型有节点电压方程和回路电流方程等，前者在电力系统潮流计算中广泛采用。
节点电压方程又分为以节点导纳矩阵表示的节点电压方程和以节点阻抗矩阵表示的节点电压方程。
（1）节点导纳矩阵在电路理论课中。
已讲过了用节点导纳矩阵表示的节点电压方程：对于n个节点的网络其展开为：上式中，I是节点注入电流的列向量。
在电力系统计算中，节点注入电流可理解为节点电源电流与负荷电流之和，并规定电源向网络节点的注人电流为正。
那么，只有负荷节点的注入电流为负，而仅起联络作用的联络节点的注入电流为零。
U是节点电压的列向量。
网络中有接地支路时，通常以大地作参考点，节点电压就是各节点的对地电压。
并规定地节点的编号为0。
y是一个n×n阶节点导纳矩阵，其阶数n就等于网络中除参考节点外的节点数。
物理意义：节点i单位电压，其余节点接地，此时各节点向网络注入的电流就是节点i 的自导纳和其余节点的与节点i之间的互导纳。
特点：对称矩阵，稀疏矩阵，对角占优(2) 节点阻抗矩阵对导纳阵求逆，得：其中称为节点阻抗矩阵，是节点导纳矩阵的逆阵。
物理意义：节点i注入单位电流，其余节点不注入电流，此时各节点的电压就是节点i 的自阻抗和其余节点的与节点i之间的互阻抗。
特点：满阵，对称，对角占优2，功率方程、变量和节点分类（1）功率方程已知的是节点的注入功率，因此，需要重新列写方程： **==B B B B B U S I U Y其展开式为： i i i nj j ij U jQ P U Y ~1-=∑= 所以：∑=**=+nj jij i i i U Y U jQ P 1 展开写成极坐标方程的形式：)cos sin ()sin cos (11ij ij ij ij n j j i i ij ij ij ij n j j i i B G U U Q B G U U P δδδδ-=+=∑∑==所以节点的功率方程为：)cos sin ()sin cos (11ij ij ij ij n j j i di Gi i ij ij ij ij nj j i di Gi i B G U U Q Q Q B G U U P P P δδδδ---=∆+--=∆∑∑==（2） 变量分类负荷消耗的有功、无功功率取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。
电力系统分析第三章-新
是已知的，每个节点
•3.2 功率方程
•变量的分类： ① 不可控变量（扰动变量）：PLi，QLi――由用户决定，无
法由电力系统控制； • ② 控制变量：PGi，QGi――由电力系统控制； ③ 状态变量：Ui，δi――受控制变量控制；其中Ui 主要受 ④ QGi 控制，δi 主要受PGi 控制。 • ☆ 若电力系统有n个节点，则对应共有6n个变量，其中不可 • 控变量、控制变量、状态变量各2n个； • ☆ 每个节点必须已知或给定其中的4个变量，才能求解功率 • 方程。
•
待求的是等值电源无功功率 QGi和节点电压相位角 δi 。
•3.2 功率方程
•选择：通常可以将有一定无功储备的发电厂母线和有一定无
•
功电源的变电所母线看作PV节点。
•3、平衡节点：
• 特点：进行潮流计算时通常只设一个平衡节点。给定平衡节
•
点的是等值负荷功率PLs 、QLs和节点电压的幅值Us 和
。
•⑦ 计算平衡节点功率和线路功率。
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•潮流计算流程 图（极坐标）
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•三、PQ分解法潮流计算：
•
也称牛顿－拉夫逊法快速解耦法潮流计算
•1、问题的提出:牛顿-拉夫逊法分析
•(1) 雅可比矩阵 J 不对称；
•(2) J 是变化的，每一步都要重新计算，重新分析；
；
• ⑤ 利用x (1) 重新计算∆f (1)和雅可比矩阵J (1)，进而得到∆x (1)
；
• 如此反复迭代：
；直至解出精确解或
• 得到满足精度要求的解。
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•二、牛顿－拉夫逊法潮流计算：迭代求解非线性功率方程
简单电力网络的计算和分析
U P2RL U P2 X L
U1
P
U2
U2
U1
U RL tg U XL
I2
U2
U
U
P
P2变，而 不变，因此 U1 沿直线PP移动。
末端同时含有有功负荷和无功负荷时：
P
S
Q
U1
UP
2 U2
UQ UP
I2
S
P
UQ
Q
电力线路的末端 功率圆图：
虚线P2P2：
虚线Q2Q2：
-Q2
虚线 22 :
dU
U
jU
1 2
BL X LU 2
j
1 2
BL RLU 2
U1
U2
1 2
BLU 2
X
L
j
1 2
BLU2 RL
假设忽略电阻RL,则有
U1＝U
2
1 2
BL
X
LU 2
I Y 2 U1
U
末端电压可能高于始端
U1
U ，即产生电压过高现象。
U2
电压损耗%＝U1 U2 100% BX 100% b1x1 l2 100%
Tmax W / Pmax
2）年负荷率：一年中负荷消费的电能W除以一年中的最 大负荷Pmax与8760h的乘积，即：
年负荷率 W / 8760Pmax
PmaxTmax Tmax 8760Pmax 8760
3）年负荷损耗率：全年电能损耗除以最大负荷时的功率 损耗与8760h的乘积，即：
年负荷损耗率 Wz （/ 8760Pmax）
~
SYT U1(U 1 YT )* U12 Y * 注意：
U12 (GT jBT )
电力系统分析第一章
y430
4
y320 z34
y430
y340
i
yij = 1 ( k ji zij )
y40
yij 0 =
+ 1 1 = 2 k ji zij k ji zij
k ji − 1 k ji zij
∆Yij = − 1 k ji zij
y ji 0 =
1 − k ji k 2 zij ji
∆Yii =
Y13 = Y31 = Y14 = Y41 = Y15 = Y51 = Y25 = Y52 = Y45 = Y54 = 0
& I i = ( yi 0 + & = YiiU i +
j∈i , j ≠ i
∑
yij 0 + & YijU j
j∈i , j ≠ i
∑
& yij )U i +
j∈i , j ≠ i
1
& I1
y12
2
y23
3
y35
5
y120
y210
& I2
y230 y24 y420
3
y320 y34
& I3
y350
& I5
y530
y240
4 y y & I 4 y40 430 340
5
1
z12 1:k21
2
z23
k35 :1 z35
i
zij 1:k ji 1:k
j j
y230 z24 y240
y240
y420
4 y y & I 4 y40 430 340
Y11 = y120 + y12
电力线路参数与数学模型文章
电力线路参数与数学模型文章1. 电力线路参数与数学模型电力线路是电能传输的重要载体，其参数和特性对于保障电能传输的安全、稳定具有至关重要的作用。
通过对电力线路的参数进行分析和建模，可以更好地把握电力运行的规律和趋势，为电力运营提供科学决策的依据。
2. 电力线路的参数电力线路参数主要包括电阻、电感、电容等因素。
其中电阻是电流通过电线时的阻力，影响电线的传输能力和损耗；电感是电流经过电线时所形成的磁场，影响电压的稳定性和传输效率；电容则是电线之间或者电线和地之间所存在的电位差，影响系统的稳态和频率响应。
3. 电力线路的数学模型电力线路的数学模型一般采用传输线方程来描述，即利用电磁学和电路理论的基本原理，建立起电压与电流之间的传输关系，被称为传输线理论。
在传输线方程中，电压和电流的波动被看成是在长导体上沿着传输方向（通常是z方向）传播的电磁波，可以用时域或者频域的方法进行求解。
其中，时域方法主要包括矢量积分方程（VIE）、时域有限元法（FETD）、时域有限差分法（FDTD）等；频域方法主要包括矢量波动方程（VWE）、矢量谐波平衡（VBH）、矢量短路阻抗（VSZ）、矢量短路电流（VSC）等。
对于电力线路的建模和仿真，可以采用各种软件和工具，如MATLAB、PLECS、PSIM等，通过模拟电力线路的运行情况，得到电压、电流、功率等参数，为电力系统的设计和运营提供参考。
4. 电力线路建模的应用电力线路建模的应用涵盖了众多领域，如电力系统的规划、设计、运营和维护等。
其中，主要应用有以下几个方面：1. 电力系统的规划与设计通过对电力线路的建模和仿真，可以对电力系统的规划与设计进行优化和评估。
例如，可以通过模拟不同方案的运行情况，比较其安全性、稳定性、经济性等因素，实现电力系统的可持续发展和智能化提升。
2. 电力系统的运行和控制通过对电力线路的建模和仿真，可以进行电力系统的运行和控制。
例如，可以根据电力线路的建模结果，预测电力系统的负荷需求、电压稳态、频率响应等参数，提高电力系统的响应速度和效率。
1第一章 电力网络的数学模型及求解方法
第1章电力网络的数学模型及求解方法电力网络的数学模型是现代电力系统分析的基础。
例如，正常情况下的电力潮流和优化潮流分析、故障情况下短路电流计算以及电力系统静态安全分析和动态稳定性的评估，都离不开电力网络的数学模型。
这里所谓电力网络，是指由输电线路、电力变压器、并(串)联电容器等静止元件所构成的总体[1]。
从电气角度来看，无论电力网络如何复杂，原则上都可以首先做出它的等值电路，然后用交流电路理论进行分析计算。
本章所研究的电力网络均由线性的集中参数元件组成，适用于电力系统工频状态的分析。
对于电磁暂态分析问题，当涉及到高额现象及波过程时，需要采用分布参数的等值电路。
电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵或节点阻抗矩阵来描述的[2,3]。
在现代电力系统分析中，我们需要面对成干上万个节点及电力网络所连接的电力系统。
对电力网络的描述和处理往往成为解决有关问题的关键[4]。
电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛应用的数学模型。
因此。
电力网络节点导纳矩阵及其稀疏特性是本章讨论的核心内容。
节点阻抗矩阵的概念在处理电力网络故障时有广泛应用，将在1.4节中介绍。
此外，虽然关于电力网络的等值电路在一般输配电工程的教科书中都有论述，但在建立电力网络数学模型时，关于变压器和移相器的处理却有一些特点，因此1.1节中首先介绍这方面的内容。
1.1 基础知识1.1.1 节点方程及回路方程通常分析交流电路有两种方法，即节点电压法和回路电流法[3]。
这两种方法的共同特点是把电路的计算归结为一组联立方程式的求解问题；其差别是前者采用节点方程，后者采用回路方程。
目前在研究电力系统问题时，采用节点方程比较普遍，但有时以回路方程作为辅助工具。
以下首先以简单电力网络为例，说明利用节点方程计算电力网络的原理和持点。
图1—1表示了一个具有两个电源和一个等值负荷的系统。
该系统有5个节点和6条支路，y 1-y 6为各支路的导纳。
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An An
a1(1) n (2) a2 n (3) a3 n 1
(1) a1, n 1 (2) a2, n 1 (3) a3, n 1 (n) an ,n 1
(1) (1) x1 a12 x2 a13 x3 (2) x2 a23 x3
Y jj yij
Yij Y ji yij
3）在原有网络节点i 和节点j 间切除一条支路
节点导纳阵阶数不变； 与节点i、j有关的元素修正为 Yii yij Y jj yij
Yij Y ji yij
4）原有网络节点i 和节点j 间支路参数发生改变
相当于切除一条原参数的支路，再增加一条新参数的支路
则由节点方程式可知
以之前的简单电力网络说明节点导纳阵各元素的具体意义
y1
4 2
y4
y3
3
y5
y2
5
1
V1 1
y6
Y的特点： 对称性、稀疏性、可逆性
y4 y5 y6 y4 y5 0 0
y4 y1 y3 y4 y3 y1 0
y5 y3 y2 y3 y5 0 y2
AX = B
a11 a A A B 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann b1 a11 a21 b2 bn an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann a1,n1 a2,n1 an ,n1
ib
5
根据基尔霍夫电流定律， 可列出各节点的电流方程
1
y6
y4 (V2 V1 ) y5 (V3 V1 ) y6V1 0 y1 (V4 V2 ) y3 (V2 V3 ) y4 (V2 V1 ) 0 y2 (V5 V3 ) y3 (V2 V3 ) y5 (V3 V1 ) 0 y1 (V4 V2 ) ia y2 (V5 V3 ) ib
节点导纳阵的修改 5）以上增加或切除的支路是按照只有阻抗的线路来处理的， 如果增加或切除的支路是变压器，有关导纳矩阵元素的修 改为
yT 非零的非对角元素为 Yij Y ji K 节点i的自导纳改变量为 Yii yT
节点j的自导纳改变量为 Y jj
j 0.2
yT K2
例
1
2
j 0.125
3
j 0.25
j 20
j8 j13 j 5 j5 j9 j4 j 4 j11.95 j8
注意：参数为阻抗！
1.3 电力网络方程求解方法
I YV
线性方程组——高斯消去法
高斯消去法求解线性方程组由消去运算（前代运算）和回代 运算两部分组成。
通常采用“消去运算按列进行，回代运算按行进行”的方式。
y2
3
y5
ia
ib
5
1
y6
0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 A 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
节点
关联矩阵中只有0、1、-1三种元素，不包含各支路的具体参数。 由节点关联矩阵可以惟一地确定网络的接线图。
如果在节点i 加一单位电压， I1 Y1i 而把其余节点全部接地，即 I 2 Y2i Vi 1
V j 0( j 1, 2, , n, j i )
I i Yii I n Yni
Y第i 列元素的物理意义
互导纳，数值上等于节点 i 加单位电压，其他节点 都接地时，节点j 向电力 网络注入的电流。
电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵或节点阻抗矩 阵来描述。
电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来 高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛 应用的数学模型；节点阻抗矩阵的概念在处理电力网 络故障时有广泛应用。
分析交流电路的方法主要有节点电压法、回路电流法
y1
4
y3
2
y4
y2
3
y5
ia
0 y1 0 y1 0
0 0 y2 0 y2
节点导纳阵的形成 1）节点导纳阵的阶数等于电力网络的节点数； 2）对角元素，即各节点的自导纳，等于与相应节点直接相 连的所有支路的支路导纳之和； 3）非对角元素，即互导纳，等于相应两节点间支路的支路 导纳的负值； 4）变压器支路应先处理为∏型等值电路。 节点导纳阵的修改
(1) aij aij ai1a1(1) j j
, an1 ，
, n 1； i
(1) a1, n 1 (1) a2, n1 (1) an ,n1
, n)
这时增广矩阵变为
A1 A1
(1) 1 a12 (1) a 22 B1 (1) a n2
0V1 y1V2 0V3 y1V4 0V5 ia
0V1 0V2 y2V3 0V4 y2V5 ib
Y11V1 Y12V2 Y13V3 Y14V4 +Y15V5 I1 Y21V1 Y22V2 Y23V3 +Y24V4 +Y25V5 I 2
高等电力系统分析
大连理工大学 电气工程学院 王海霞
2019/3/22
第1章 电力网络的数学模型及求解方法
1.1 基础知识 1.2 节点导纳矩阵 1.3 电力网络方程求解方法 1.4 节点阻抗矩阵
1.1 基础知识
电力网络，是指由输电线路、电力变压器、并（串） 联电容器等静止元件所构成的总体。 从电气角度看，任何复杂的电力网络原则上均可以首 先做出它的等值电路，然后用交流电路理论进行分析 计算。
a1(1) n (1) a2 n
(1) ann
接着消去第二列 首先把增广矩阵的第二行规格化为 (2) (2) 01a23 a2, n1
(2) 式中： a2 j (1) a2 j
a
(1) 22
j
, n 1)
(1) , an 2 ，
(1) _ (1) a a 然后消去第二等值电路
1:K 1:K
Vi
j i
yT
Vj
i
Ii
Ij
j
根据理想变压器的电流、电压关系有 Ii V j Vi yT K 解得 I i KI j
Vi I i
i
yT K
Ij V j
j
yT
yT K
yT yT 2 K K
yT yT I i ( yT )Vi + （Vi V j） K K yT yT yT I j ( 2 )V j (V j Vi ) K K K
现代电力系统分析中，往往需要研究不同接线方式情况下 的运行状态，如某条输电线路或某台变压器的投入或切除， 对某些元件的参数进行修改等。 由于改变一条支路的状态或参数只影响该支路两端节点的 自导纳及其互导纳，因此只需在原导纳阵的基础上进行修 改即可得到所要求的导纳阵。
节点导纳阵的修改 1）在原有网络节点i 引出一条新的支路，同时增加一个新的节点j
消去第一列 首先把增广矩阵的第一行规格化为 (1) (1) (1) 1a12 a13 a1, n1 式中： a
(1) 1j
a1 j a11
j
, n 1)
然后消去第一列对角线以下各元素 a21 a31
结果使第2~n行其他元素化为
节点电压方程 ( y4 y5 y6 )V1 y4V2 y5V3 +V4 +0V5 0
y4V1 ( y1 y3 y4 )V2 y3V3 y1V4 +0V5 0 y5V1 y3V2 ( y2 y3 y5 )V3 0V4 y2V5 0
1.2 节点导纳矩阵
I YV
Y11 Y12 Y Y 21 22 Y Yi1 Yi 2 Yn1 Yn 2 Y1i Y2i Yii Yni Y1n Y2 n Yin Ynn
自导纳，数值上等 于节点i 加单位电压， 其他节点都接地时， 节点i 向电力网络注 入的电流。 反映了电力网 络的参数及接 线情况，是对 电力网络电气 特性的一种数 学抽象
结果使第3~n行其他元素化为
(2) (1) (2) aij aij ai(1) a 2 2 j j
n 1； i
a1(1) n (2) a2 n (2) a3 n
(2) ann (1) a1, n 1 (2) a2, n 1 (2) a3, n 1 (2) an ,n 1
Y31V1 Y32V2 Y33V3 Y34V4 Y35V5 I 3 Y41V1 Y42V2 Y43V3 Y44V4 Y45V5 I 4 Y51V1 Y52V2 Y53V3 Y54V4 Y55V5 I 5
节点电压方程
矩阵形式 I YV
I1 I2 I In
节点电压方程
y1
4
y3
2
y4
y2
3
y5
ia
ib
5
按节点电压整理后， 可写出
1
y6
( y4 y5 y6 )V1 y4V2 y5V3 0 y4V1 ( y1 y3 y4 )V2 y3V3 y1V4 0 y5V1 y3V2 ( y2 y3 y5 )V3 y2V5 0 y1V2 y1V4 ia y2V3 y2V5 ib
( k 1) kk ( k 1) ( k ) ik kj
j k
, n 1)
, n 1； i k 1 , n)