电力网络的数学模型
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电力网络的数学模型
y12 (V2 V1 ) y20V2 y23 (V2 V3 ) y24 (V2 V4 ) 0
y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4
YV I
Y 节点导纳矩阵
Yii
Yij
节点i的自导纳
节点i、j间的互导纳
网络方程的解法
高斯消去法
带有节点电流移置的星网变换
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y Y22 Y2 n V2 I 2 21 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
节点导纳矩阵
n 个独立节点的网络，n 个节点方程
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y 21 Y22 Y2 n V2 I 2 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
1
2
4
～
3 略去变压器励磁支路和线路电容 负荷用阻抗表示 1 2 4
～
E1
3
E4
1
2
4
E1
3
E4
电压源变为电流源 1
2
4
I1
3
I4
1
y12 y10 y20
2
y24
4
以零电位作为参 考，依据基尔霍 I1 夫电流定律
y23
3
y34
y40
I4
y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
Y12 Y21 y12 Y23 Y32 y23 Y24 Y42 y24 Y34 Y43 y34
y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4
YV I
Y 节点导纳矩阵
Yii
Yij
节点i的自导纳
节点i、j间的互导纳
网络方程的解法
高斯消去法
带有节点电流移置的星网变换
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y Y22 Y2 n V2 I 2 21 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
节点导纳矩阵
n 个独立节点的网络，n 个节点方程
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y 21 Y22 Y2 n V2 I 2 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
1
2
4
～
3 略去变压器励磁支路和线路电容 负荷用阻抗表示 1 2 4
～
E1
3
E4
1
2
4
E1
3
E4
电压源变为电流源 1
2
4
I1
3
I4
1
y12 y10 y20
2
y24
4
以零电位作为参 考，依据基尔霍 I1 夫电流定律
y23
3
y34
y40
I4
y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
Y12 Y21 y12 Y23 Y32 y23 Y24 Y42 y24 Y34 Y43 y34
电力网络问题的数学模型
电力网络问题的数学模型简介电力网络问题的数学模型是研究电力系统运行和控制的重要工具。
通过建立数学模型，可以对电力系统进行分析、优化和预测，以提高电力系统的可靠性和效率。
数学模型的基本原理电力网络问题的数学模型基于以下基本原理：- 节点电压平衡方程：通过节点电压平衡方程，可以描述电力系统中各个节点的电压关系。
- 分支潮流方程：借助分支潮流方程，可以计算电力系统中各个分支的功率流动情况。
- 网络拓扑结构：电力系统的网络拓扑结构包括节点之间的连接关系，通过建立网络拓扑结构，可以分析电力系统的传输特性。
常见的数学模型电力网络问题的数学模型可以根据具体问题和需求而定，以下是一些常见的数学模型：1. 潮流计算模型：用于计算电力系统中各个节点的电压和功率潮流分布情况。
2. 传输损耗模型：分析电力系统中输电线路的损耗情况，以优化电力输送效率。
3. 稳定性模型：研究电力系统的稳定性问题，包括电力系统的动态响应和稳定边界分析。
4. 风电、太阳能等可再生能源模型：用于分析可再生能源的发电能力和对电力系统的影响。
数学模型的应用电力网络问题的数学模型在电力系统规划、运行和控制方面广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 发电能力评估：通过数学模型可以评估电力系统的发电能力，为电力规划提供依据。
2. 运行状态分析：数学模型可以分析电力系统的运行状态，包括稳定性、电压、频率等参数。
3. 风险评估：通过数学模型可以评估电力系统面临的风险，如输电线路故障、发电机故障等。
4. 调度策略优化：通过数学模型可以优化电力系统的调度策略，以提高电力系统的效率和可靠性。
结论电力网络问题的数学模型在电力系统领域具有重要的应用和研究价值。
通过建立合理的数学模型，可以对电力系统进行分析、优化和预测，提高电力系统的可持续发展和可靠性，进一步推动电力行业的发展。
1 电力网络的数学模型及求解方法
An An
a1(1) n (2) a2 n (3) a3 n 1
(1) a1, n 1 (2) a2, n 1 (3) a3, n 1 (n) an ,n 1
(1) (1) x1 a12 x2 a13 x3 (2) x2 a23 x3
Y jj yij
Yij Y ji yij
3）在原有网络节点i 和节点j 间切除一条支路
节点导纳阵阶数不变； 与节点i、j有关的元素修正为 Yii yij Y jj yij
Yij Y ji yij
4）原有网络节点i 和节点j 间支路参数发生改变
相当于切除一条原参数的支路，再增加一条新参数的支路
则由节点方程式可知
以之前的简单电力网络说明节点导纳阵各元素的具体意义
y1
4 2
y4
y3
3
y5
y2
5
1
V1 1
y6
Y的特点： 对称性、稀疏性、可逆性
y4 y5 y6 y4 y5 0 0
y4 y1 y3 y4 y3 y1 0
y5 y3 y2 y3 y5 0 y2
AX = B
a11 a A A B 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann b1 a11 a21 b2 bn an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann a1,n1 a2,n1 an ,n1
ib
5
根据基尔霍夫电流定律， 可列出各节点的电流方程
1
y6
y4 (V2 V1 ) y5 (V3 V1 ) y6V1 0 y1 (V4 V2 ) y3 (V2 V3 ) y4 (V2 V1 ) 0 y2 (V5 V3 ) y3 (V2 V3 ) y5 (V3 V1 ) 0 y1 (V4 V2 ) ia y2 (V5 V3 ) ib
电力系统分析第4章 电力网络的数学模型
Vn
I2(1)
•
•
Y (1) n2
V2
Y (1) nn
Vn
I2(1)
式中
Y (1) ij
Yij
Yi1Yj1 Y11
; Ii(1)
I
Yi1 Y11
I1
第四章电力网络的数学模型
4.2 网络方程的解法
➢ 对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11
Y (2)
Y12 Y13 Y1n
Y (1) 22
第四章电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
➢一般地，对于有n个独立节点地网络，可以列写n个 节点方程
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn
•
I1
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y2n Vn
•
I2
•
•
• •
Yn1 V1 Yn2 V2 Ynn Vn In
（4-3）
4.1 节点导纳矩阵
➢上述方程经过整理可以写成
•
•
Y11 V1 Y12 V2
0
•
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 Y24 V4 0
•
•
•
Y32 V2 Y33 V3 Y34 V4 0
•
•
•
Y42 V2 Y43 V3 Y44 V4
•
I
4
(4-2)
第四章电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
➢将电势源和阻抗的串联变 换成电流源和导纳的并联，得 到的等值网络如图所示，其中：
•
•
I 1 y10 E1
电力系统分析第三章-新
是已知的，每个节点
•3.2 功率方程
•变量的分类： ① 不可控变量（扰动变量）：PLi，QLi――由用户决定，无
法由电力系统控制； • ② 控制变量：PGi，QGi――由电力系统控制； ③ 状态变量：Ui，δi――受控制变量控制；其中Ui 主要受 ④ QGi 控制，δi 主要受PGi 控制。 • ☆ 若电力系统有n个节点，则对应共有6n个变量，其中不可 • 控变量、控制变量、状态变量各2n个； • ☆ 每个节点必须已知或给定其中的4个变量，才能求解功率 • 方程。
•
待求的是等值电源无功功率 QGi和节点电压相位角 δi 。
•3.2 功率方程
•选择：通常可以将有一定无功储备的发电厂母线和有一定无
•
功电源的变电所母线看作PV节点。
•3、平衡节点：
• 特点：进行潮流计算时通常只设一个平衡节点。给定平衡节
•
点的是等值负荷功率PLs 、QLs和节点电压的幅值Us 和
。
•⑦ 计算平衡节点功率和线路功率。
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•潮流计算流程 图（极坐标）
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•三、PQ分解法潮流计算：
•
也称牛顿－拉夫逊法快速解耦法潮流计算
•1、问题的提出:牛顿-拉夫逊法分析
•(1) 雅可比矩阵 J 不对称；
•(2) J 是变化的，每一步都要重新计算，重新分析；
；
• ⑤ 利用x (1) 重新计算∆f (1)和雅可比矩阵J (1)，进而得到∆x (1)
；
• 如此反复迭代：
；直至解出精确解或
• 得到满足精度要求的解。
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•二、牛顿－拉夫逊法潮流计算：迭代求解非线性功率方程
2-5 电力网络的数学模型
Z SB =Z 2 Z∗ = ZB UB Y UB Y∗ = = Y YB SB
2
U U∗ = UB I 3UB I∗ = = I SB IB
式中:
Z∗、Y∗、U∗、I∗ ——阻抗、导纳、电压、电流
的标么值；
Z、Y、U、I
——归算到基本Leabharlann 的阻抗、导 纳、电压、电流的有名值；
Z B、YB、U B、I B、S B ——基本级的阻抗、导纳、电
2.5 电力网络的数学模型 2.5 Mathematical Model of Electric
System
1. 2.
3.
标幺值的折算 电压等级的归算以及电力网络 的数学模型 等值变压器模型
1. 标幺值的折算
一． 基本概念
1)
有名制：在电力系统计算时，采用有单位的阻 抗、导纳、电压、电流和功率等进行计算。 标幺制：在电力系统计算时，采用没有单位的 阻抗、导纳、电压、电流和功率等进行计算。 基准值：标幺制中，各量以相对值出现，该相 对值的相对基准称为基准值。
为什么？
1. 标幺值的折算
a) 单相电路 五个物理量满足:
U P = ZI , S P = U P I
对应的基准值为:
U P⋅ B = Z B I B ⎫ ⎬ S P⋅ B = U P⋅ B I B ⎭
1. 标幺值的折算
则在标幺制中,可以得到:
⎧U P⋅B = Z B I B 结论:只要基准值的选择满足 ⎨ ⎩ S P⋅ B = U P⋅ B I B
一．有名值的电压级归算 对于多电压等级网络，无论是标么制还是有 名制，都需将参数或变量归算至同一电压 级——基本级。 1 2 ′( B=B ) k1k2k3 ′ ( k1 k 2 k 3 ) 2 R=R 1 2 X = X ′ ( k1 k 2 k 3 ) G = G′( )2 k1k2k3 U = U ′ ( k1 k 2 k 3 ) 1 I = I ′( ) k1k2k3
武大电力系统分析第四、十一章 电力网络的数学模型
基本方法：每个节点的4个变量中的2个 设为确定量（已知量），另2个为待 求量。 依确定量的不同，节点分成三种类型： 1、 PQ节点 P、Q为确定量，V、δ为待求量。
电力系统绝大部分节点被当作PQ节点。
2、 PV节点 P、V为确定量， Q、δ为待求量。
发电厂出口母线、担当调压任务的枢纽变电站 （无功可调）一般被当作PV节点。
(4 − 12)
Yi1Yj1 & (1) & Yi1 & 式中 Y = Yij − ; Ii = Ii − I1 Y11 Y11
(1) ij
• 上式数学意义很简单：行列式的行变 • 其物理意义也不复杂：带电流移置的星
网变换。 （下面以星——三角变换为例）
等值电路变换公式
y21y31 y31y41 y21y41 y24 = y23 = y34 = y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41 & I ∆2 = y31 & & y21 & & y41 & I1 ∆ 3 = I I1 ∆ 4 = I I1 y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41
=x
(0)
f (x ) − (0) f ′( x )
(0)
x(1)仍有误差，按同样步骤反复迭代， 迭代公式为
x
( k +1)
=x
(k)
f (x ) − ′( x ( k ) ) f
f (x ) p ε
(k)
(k)
(11 − 31)
迭代过程收敛判据
第15章-电力网络的数学模型
第15章 电力网络的数学模型
1、电力网络的基本方程式 2、节点导纳矩阵及其算法 3、节点阻抗矩阵及其算法
本章提示
节点导纳矩阵的特点、形成原理； 节点阻抗矩阵的特点、形成原理。
15.1 电力网络的基本方程式
电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。 电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。
➢ 先不考虑非标准变比(认为K=1)求导纳矩阵； ➢ 再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上(K -1)Y ，其
中Y是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节 点输电线的阻抗之和的倒数； ➢ 由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变； ➢ 变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y 。
网络的电流就等于i节点的自导纳。
Yii
I&i U&i
U&j 0, j i
自导纳等于与节点i连接的所有支路导纳的和
图15.2中节点2的自导纳Y22为
Y22=
I2 U2
=
1+ j6
1+ j3
1 =0.25-j0.25(s) j4
图15.2 电力网络接线图
2.互导纳
15.2 节点导纳矩阵及其算法
节点j以外的节点全接地,在节点j加以单位电压时，由 节点i流向j的电流加上负号就是互导纳Yij
Yi
j
I&i U&j
U&k 0, k j
Yij 是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得
在图15.2中节点1,2间的互导纳Y12为
Y12=-
1 =j0.1677(s)
j6
右图中节点1,2间的 互导纳Y12为
Yi j=- (1/ Z +1/ Z)
1、电力网络的基本方程式 2、节点导纳矩阵及其算法 3、节点阻抗矩阵及其算法
本章提示
节点导纳矩阵的特点、形成原理； 节点阻抗矩阵的特点、形成原理。
15.1 电力网络的基本方程式
电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。 电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。
➢ 先不考虑非标准变比(认为K=1)求导纳矩阵； ➢ 再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上(K -1)Y ，其
中Y是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节 点输电线的阻抗之和的倒数； ➢ 由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变； ➢ 变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y 。
网络的电流就等于i节点的自导纳。
Yii
I&i U&i
U&j 0, j i
自导纳等于与节点i连接的所有支路导纳的和
图15.2中节点2的自导纳Y22为
Y22=
I2 U2
=
1+ j6
1+ j3
1 =0.25-j0.25(s) j4
图15.2 电力网络接线图
2.互导纳
15.2 节点导纳矩阵及其算法
节点j以外的节点全接地,在节点j加以单位电压时，由 节点i流向j的电流加上负号就是互导纳Yij
Yi
j
I&i U&j
U&k 0, k j
Yij 是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得
在图15.2中节点1,2间的互导纳Y12为
Y12=-
1 =j0.1677(s)
j6
右图中节点1,2间的 互导纳Y12为
Yi j=- (1/ Z +1/ Z)
第4章 电力网络的数学模型
' ii
Y
Байду номын сангаас
Y
nn
Y
ki
Y ik Y kk
Y
1k
Ykk=yik，Yik=Yki=-yik，Yii’= Yii+Yii， Yii=yik 第j行、第j列的其它元素都为零，其余元 素不变。 (2)在原有网络的节点i、j之间增加一支路：
Y i 1Y j 1 Y11 (1 ) I Y i 1 I ; Ii 1 Y11
式中
Y
(1 ) ij
Y ij
对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11 (1 ) (1 ) Y 23 Y 2 n (2) (2) Y 33 Y 3 n (2) (2) Y n 3 Y nn Y1 n
I I
i
1 0, k 1,2, , n, k i
U
i
j
U
i
j
k
代入方程组有：
Z
ii
U
I
i
1
i
由此可见，当节点i上注入一单位电流，而其余的 各节点均开路（即Ik=0）时，节点i上的电压即是自阻 抗Zii的值（物理意义）。用数学式可表示为：
Z
ii
U i I i I
综上所述 ，阻抗矩阵有以下特点：
1. 与YB阵一样，ZB矩阵也是对称阵，且阶数相同；
2. 一般来说，ZB时满矩阵，不是稀疏阵；
3. 一般来说， ，即ZB具有对角占优的特点， Z Z 这对迭代计算有利；
第三章电力网络的数学模型_电力系统分析
的星网
Y1 n (1 ) Y2n ( i 1 ) Y in ( n 1 ) Y nn
对于 阶的网络方程，作 完 次消元后方程组的 系数矩阵将变为上三角矩 阵，即
Y
( n 1 )
Y11
Y12 Y 22
(1 )
例3-2
3-1 节点导纳矩阵
3.1.4 支路间存在互感时的节点导纳矩阵
在必须考虑支路间的互感时，常用的方法是采用一种消去 互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就像无互感 的网络一样计算节点导纳矩阵的元素。
（a） 图 互感支路及其等值电路
(b)
3-1 节点导纳矩阵
q s 假定两条支路分别接于节点p 、 之间和节点r 、 之间，支路 的自阻抗分别为 z pq 和 z rs ，支路间的互阻抗为 z m ，并以小黑点 表示互感的同名端见图（a）。这两条支路的电压方程可用矩 阵表示如下
U p U q z pq z U r U s m
z m I pq z rs I rs
（3-9）
或者写成
I pq y pq I rs y m y m U p U q y rs U r U s
ik
例3-1
3-1 节点导纳矩阵
3.1.3 节点导纳矩阵的修改
假定在接线改变前导纳矩阵元素为 Y ij( 0 )，接线改变以后 应修改为 Y Y Y 。 （1）从网络的原节点引出一条导纳为的支路，同时增加 一个节点见图（a）。
ij (0) ij ij
（a）
(b)
3-1 节点导纳矩阵
由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角元素 Y kk y ik 。新增的非对角元素中，只有Y ik Y ki y ik ，其余的 元素都为零。 矩阵的原有部分，只有节点i 的自导纳增加 Y ii y ik 。
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（网络方程的求解，略）
填空：在节点i与j之间增加一条支路的导纳为yij， 则修改后的导纳矩阵Y的元素为______。 （1）Yij=Yij+yij， Yii=Yii+yij， Yjj=Yjj+yij （2）Yij=Yij–yij， Yii=Yii–yij， Yjj=Yjj–yij （3）Yij=Yij–yij， Yii=Yii+yij， Yjj=Yjj+yij （4）Yij=Yij+yij， Yii=Yii–yij， Yjj=Yjj–yij
已有p 个节点
2．追加连支 (该情形是本节的唯一难点)
在已有的节点 k 和节点 m 之间追加一条阻抗为 zkm 的连支。由于不增加新节点，故阻抗矩阵的阶次不变。 通过计算接入连支后的网络电压分布，推导出 矩阵元素的修改公式为
追加树支
已有p 个节点
Z 'ij
Zij
(Zik Zim )(Zkj Zmj )
3. 追加变压器支路 树支情况：阻抗矩阵扩大一阶。阻抗矩阵 原有部分的元素保持不变。新增的一行 （列）元素为
Z qi Ziq KZ ki (i 1, 2,, p)
已有p 个节点
Zqq (Zkk zkq ) K
2
连支情况：阻抗矩阵的阶次不变，但要 修改它的全部元素。阻抗矩阵的元素计 算公式如下：
并由此说明：由阻抗矩阵，容易验证网络任意两点的输入阻抗为zinij= Zii+Zjj2Zij
（很容易用替代定理证明）
二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵 阻抗矩阵不能直观地形成 形成阻抗矩阵的两种方法： 支路追加法， 导纳矩阵求逆. 1．追加树支
新阻抗矩阵中对应于网络原有部分的全部 元素将保持原有数值不变。新增加的第q行和第q 列元素为（矩阵原来有p阶） Z qm Z mq Zim ( m 1, 2,, p ) Z qq ziq Zii
1. 节点导纳矩阵Y的形成(由准备直接写出) 2. 节点电压方程的矩阵形式 YV=I
二、节点导纳矩阵的修改
举例:3节点网络增加支路与节点时,导纳矩阵 修改哪些元素？由此推广到n节点网络。
1. 增加支路Lij(阶数不变)； 2. 增加节点k，再增加支路Lik (阶数增加1) ； 3. 切除支路Lij (与1 同，但支路导纳改为负) 。
Z 'ij Z ij ( KZ ik Z im )( KZ kj Z mj ) ( Z kk zkm ) K 2 Z mm 2 KZ km
已有p 个节点
(a)
追加变压器树支和连支 (b)
(i, j 1, 2,, p )
节点阻抗矩阵的特点： 1. 对称阵； 2. 满矩阵； 3. 不能直观形成与修改。
0, j k I j
(i =1，2，……，n)
i
k
1A I k
自阻抗：从节点k看进去的对地内阻抗.
Zik
0, j k I j
互阻抗：节点k注入单位电流1A，节点i的电压.
在节点k注入单位电流1A，网络 所有节点的电压，即为阻抗矩 阵的第k行（列）元素.。
举例详细讨论：根据物理意义，观察T形等值电路3阶阻抗矩阵的自阻抗与互阻抗。
说明：(1) 稳态计算中，发电机与负荷均用注 入功率模型（发电机不是给定恒定内电势），故 等值网络 发电机与负荷支路均用恒功率源表示，是在第 二个网络中，网络模型不包含发电机与负荷的 节点导纳矩阵的特点： 接地导纳支路，形成节点导纳矩阵；(2) 暂态 1. 对称性； 计算中，给定发电机能维持的内电势，网络模 2. 稀疏性；举例：电力系统的Y有很强的稀疏性 型包含发电机与负荷的接地支路导纳，并增加 3. 形成与修改直观简单。 了内电势节点。
华中科技大学何仰赞 温增银编
电力系统基础
湖南大学电气与信息工程学院
刘光晔 2015年11月
第四章 电力网络的数学模型
4-1 4-2 4-3 4-4 节点导纳矩阵 网络方程的解法 节点阻抗矩阵 节点编号顺序的优化
一、节点方程 4节点电力系统系统
4-1
节点导纳矩阵
准备：举例形成最简单型等值电路的节点导纳矩阵详细过程，n个节点可以简单类推。 电路求解方法中，节点法最适合于计算机处理。
Zkk Zmm 2Zkm zkm
(i, j 1,2,, p)
流，则在节点k与m之间的电压差为(ZkjZmj)； (2) 从节点k与m看进去，网络内部的戴维南等值阻抗zinkm = Zkk+Zmm2Zkm (见前一页说明)； (3) 追加k-m连支(zkm)后，则在k-m连支产生的电流为Ikm= (ZkjZmj)/(zinkm+zkm)； ' (4) 节点i的电压(Zij )为，注入节点j单位电流、注入节点k电流Ikm 、注入节点m电流Ikm共同作用。
网络接线的改变
节点电压方程 定义 则有 网络方程的通式
4-3 节点阻抗矩阵 YV=I Y–1=Z V= Y–1I=ZI
Z I V i ij ij
j 1 n
对角元 Zkk ——自阻抗. 非对角元 Zik ——互阻抗. 一、节点阻抗矩阵元素的物理意义
Z kk V k I k V i Ik
填空：在节点i与j之间增加一条支路的导纳为yij， 则修改后的导纳矩阵Y的元素为______。 （1）Yij=Yij+yij， Yii=Yii+yij， Yjj=Yjj+yij （2）Yij=Yij–yij， Yii=Yii–yij， Yjj=Yjj–yij （3）Yij=Yij–yij， Yii=Yii+yij， Yjj=Yjj+yij （4）Yij=Yij+yij， Yii=Yii–yij， Yjj=Yjj–yij
已有p 个节点
2．追加连支 (该情形是本节的唯一难点)
在已有的节点 k 和节点 m 之间追加一条阻抗为 zkm 的连支。由于不增加新节点，故阻抗矩阵的阶次不变。 通过计算接入连支后的网络电压分布，推导出 矩阵元素的修改公式为
追加树支
已有p 个节点
Z 'ij
Zij
(Zik Zim )(Zkj Zmj )
3. 追加变压器支路 树支情况：阻抗矩阵扩大一阶。阻抗矩阵 原有部分的元素保持不变。新增的一行 （列）元素为
Z qi Ziq KZ ki (i 1, 2,, p)
已有p 个节点
Zqq (Zkk zkq ) K
2
连支情况：阻抗矩阵的阶次不变，但要 修改它的全部元素。阻抗矩阵的元素计 算公式如下：
并由此说明：由阻抗矩阵，容易验证网络任意两点的输入阻抗为zinij= Zii+Zjj2Zij
（很容易用替代定理证明）
二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵 阻抗矩阵不能直观地形成 形成阻抗矩阵的两种方法： 支路追加法， 导纳矩阵求逆. 1．追加树支
新阻抗矩阵中对应于网络原有部分的全部 元素将保持原有数值不变。新增加的第q行和第q 列元素为（矩阵原来有p阶） Z qm Z mq Zim ( m 1, 2,, p ) Z qq ziq Zii
1. 节点导纳矩阵Y的形成(由准备直接写出) 2. 节点电压方程的矩阵形式 YV=I
二、节点导纳矩阵的修改
举例:3节点网络增加支路与节点时,导纳矩阵 修改哪些元素？由此推广到n节点网络。
1. 增加支路Lij(阶数不变)； 2. 增加节点k，再增加支路Lik (阶数增加1) ； 3. 切除支路Lij (与1 同，但支路导纳改为负) 。
Z 'ij Z ij ( KZ ik Z im )( KZ kj Z mj ) ( Z kk zkm ) K 2 Z mm 2 KZ km
已有p 个节点
(a)
追加变压器树支和连支 (b)
(i, j 1, 2,, p )
节点阻抗矩阵的特点： 1. 对称阵； 2. 满矩阵； 3. 不能直观形成与修改。
0, j k I j
(i =1，2，……，n)
i
k
1A I k
自阻抗：从节点k看进去的对地内阻抗.
Zik
0, j k I j
互阻抗：节点k注入单位电流1A，节点i的电压.
在节点k注入单位电流1A，网络 所有节点的电压，即为阻抗矩 阵的第k行（列）元素.。
举例详细讨论：根据物理意义，观察T形等值电路3阶阻抗矩阵的自阻抗与互阻抗。
说明：(1) 稳态计算中，发电机与负荷均用注 入功率模型（发电机不是给定恒定内电势），故 等值网络 发电机与负荷支路均用恒功率源表示，是在第 二个网络中，网络模型不包含发电机与负荷的 节点导纳矩阵的特点： 接地导纳支路，形成节点导纳矩阵；(2) 暂态 1. 对称性； 计算中，给定发电机能维持的内电势，网络模 2. 稀疏性；举例：电力系统的Y有很强的稀疏性 型包含发电机与负荷的接地支路导纳，并增加 3. 形成与修改直观简单。 了内电势节点。
华中科技大学何仰赞 温增银编
电力系统基础
湖南大学电气与信息工程学院
刘光晔 2015年11月
第四章 电力网络的数学模型
4-1 4-2 4-3 4-4 节点导纳矩阵 网络方程的解法 节点阻抗矩阵 节点编号顺序的优化
一、节点方程 4节点电力系统系统
4-1
节点导纳矩阵
准备：举例形成最简单型等值电路的节点导纳矩阵详细过程，n个节点可以简单类推。 电路求解方法中，节点法最适合于计算机处理。
Zkk Zmm 2Zkm zkm
(i, j 1,2,, p)
流，则在节点k与m之间的电压差为(ZkjZmj)； (2) 从节点k与m看进去，网络内部的戴维南等值阻抗zinkm = Zkk+Zmm2Zkm (见前一页说明)； (3) 追加k-m连支(zkm)后，则在k-m连支产生的电流为Ikm= (ZkjZmj)/(zinkm+zkm)； ' (4) 节点i的电压(Zij )为，注入节点j单位电流、注入节点k电流Ikm 、注入节点m电流Ikm共同作用。
网络接线的改变
节点电压方程 定义 则有 网络方程的通式
4-3 节点阻抗矩阵 YV=I Y–1=Z V= Y–1I=ZI
Z I V i ij ij
j 1 n
对角元 Zkk ——自阻抗. 非对角元 Zik ——互阻抗. 一、节点阻抗矩阵元素的物理意义
Z kk V k I k V i Ik