2017“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛高中组个人赛赛题
2017年全国高中数学联合竞赛考试与解答(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛考试与解答（A卷）作者:日期:2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数X有f(x 3)・f(x -4) = -1 •又当0岂x ::：7时，f (x) =log2(9 —x)，贝U f(—100)的值为_____________ .2•若实数x, y满足x2+ 2 cos y = 1，则x- cosy的取值范围是___________ .2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:- - 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为_____________. 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P - ABC中，AB = 1, AP = 2，过AB的平面二将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6.在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1：.在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为Q5的概率为 _____________ .7.在「ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A , - ABC的面积为3国，则AM AN的最小值为_______________ .8.设两个严格递增的正整数数列a〔「b n 1满足：a10二b10 ：：：2017，对任意正整数n，有a nd2 =an*+a n，b n十=2b n，则81+^的所有可能值为 ___________________ .二、解答题9.设k, m为实数，不等式x2—kx — m兰1对所有x E&b】成立.证明：b—a兰2d2.x2 x310.设x「X2,X3是非负实数，满足捲• x2• x3 = 1，求(x1 3x2 5x3)(x!'- -)的最3 5小值和最大值.2 211.设复数Z i,Z2 满足Re(Z i) 0, Re(Z2) 0,且Ffe(乙)=Ffe( z?) = 2 (其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re( z Z2)的最小值；(2)求乙+2 +z2+2 -乙—z2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试.如图，在ABC中，AB二AC，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆:1，以I为圆心，IB为半径作圆'2，过点B, I的圆-3与-1^2分别交于点P,Q (不同于点B ).设IP与BQ交于点R.证明：BR_CRfi a * + n, a n 兰 n,2017—二.设数列la n ｝定义为a i=1 , a n4i =」n = 1,2，….求满足£ r 兰3a n — na > n,的正整数r 的个数.三.将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m, n 均是大于1的整数，m_n , a^a ?,…，a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数，且a^a ?,…，a n 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个i （1乞i 乞n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.解：由条伴feb /-(JC + 14) = ---------------- - f(x) * 所以<(-100| = /(-100 + 14x7)^/(-2) =2.答案2 若+ 1]*解：由于、—1 - 2cos r G [-1, 3Jt 故x E[-\ 3. V? |由一」^可知 r .v - co> i- - .v -v 112 - ]. K 此当 丫= |时,-Jf•]■2m(m 1)x ，这里|| y 表示实数y到与它最近的整数的距离菩案:A 心1有最小值|(这时F可以S1-):当V - V5时r Jt —COS r有最大值点I (这时F可以取由于^(x + D：-1的值域是[一1, JI + 1I・从而x-cosy的取值范围是[-1, V3 + ILJ—. [“ ” ——3 v [ IJ sin "| —- b 3c儁円—寸(| .sin//)= —+其中匸^cmti v 1'' ■当/y- jicTan/lOfft-四边形0月尸尸面积的最大值为4.答案：75. _解：考虑平稳数赢*若方=0,则d = l, c€{0,1}.有2个平稳数.若b = l r则ae{L 2}, ce{0.1,2},有2x3 = 6 个平稳数・，^r2<&<8,则a.c€{b~l f b f A + l}> 有7 x3x3 = 63 个平稳数「若〃=9,则<2,c€ {8,9} 1有2x2-4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2 + 6 + 63 + 4 = 75・5.答案* 2^**' io ‘解：设AB. PC的中点分別为K、\I、则易证平而ABM是平面口.由中线长公式知!：M—一•屮 | tC } -PC1 弟所以KM = A M2—AK2= * I-( M 一2 rI , I-4 2叉易知宜线尸C在卩雨"上的射影是宜线XfK ,而CM = h KC = —^2所以6 .K.\f'cos —2 KM WC故棱Pt?与平面n所咬角的余眩值为婕]0MC -KC _ 44 _兀：Id3.解：易知i殳P 的坐标是（3cos^, 0, y .则答案* — +7解：易知K 中有今个点*故在K 中随机取出三个点的方式数为Cj = 84种.将K 中的点按右图标记为為，4，“如0,其中有8 对点之间的距廈为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况，则剩下的一个点有7种取法.这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对毎个期1 = 12…⑻.K 中恰有4小理*两点与之距离为（这里下标按模8理解）.因而恰有 ｛令4®轴』（心1点…⑻这*个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个JQ d数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.8477.答案：6 \ I-由条件知* AM -~\AH+ AC 由于 = £±sc ~ 步可得 AB AC- AH J （；|从而4AB AC%y%£o^4*XA*1-AB^--Ac\--\3VF 亠,:+ 4JB JCA 4 ) KiAMAN --['心严+严‘‘故=宁阿|走卜心=¥阿区”所叫吗4・进AH AC当网=命两=2朋时；TiZ后的最小值为J；a 8.11/一 51纠，故片「：1丄3；.反复运用血}的递推关系知 —2(?_ ] 11, - JCZ ,卜 2#“ =5q \ 3叫—8tJ, I 暫+辄一 21吗+ 13E =?4碼+ 21引因此 21^ = a (=方T = 512^. = 2血(ITICK 134),ft ] 3 x 21 = 3J 1v K | li 故有u = 13x21^ = 13x24)一 26b(mod34).另一1 方面* 注意到” < iiyt 有55*片'34J . - 2It? — 512/z* 故9.证明：令 f(x) = x 2 —kx — m rb]» 则 I].于是 f{a) = — ka — m/(6) = h~ — kb —m < 1 > Q + b答案：13’2G.枠由条件可知：还4』均为正整熟且叮仇 由于2017 >fe 一 IU %_厲+当片一1时.①.②分別化_ 26 (mod34)t a t <-T —f 无解" 当九=2时，①*②分别化为tf] = 52 (mod 34}.叫 —1 匕此时 — b ~ 20»当A, -3时'⑪ ②分别化为(/( = ?Siinod34K u x — \ ()* 此时甘[+ h 、— 13”综上所述，a +方的所有可能值为II 20 .55—,得到唯一的正螯盟55 —,得到唯一的正整数 55 a^rb --------- ^- > -.. 1 — 故方10. 由①+②_2x ③知-[a ~h]: 些1 <4. 16分阖为（工I 卡3兀+ 5眄）（工L 十寻十 丰）=^（.r ; + 3无+ 5x a ）（5X] ++屯）I I (y —(X 十 3x.十 5工 J + (5A 十 I C 14 _ Y20'< 1 3 2 J< —(6x. + 6x, ■+ 6x t )2 = — ♦ 20v 1 J 17 5当斗二丄^=0,^ = 1时不等式等号成立.故欲求的最大值为红2 2511. 解：⑴对* = 1,2,设专=忑+加（殆耳€1＜）.由条件知兀=Re （rJ ＞01 x ； - v ； = Re （z ； ） = 2.圉此R&（z }r-） = ReiCX] — y.i ）（x ： +”i ）） = x.x 2 - y y 2=J （＞f + 颈衣+2）-阴旳 ＞（|y ]r v 2| + 2）-耳” ＞2 ・又当工=亠=晅时F R.e （z {z 2） = 2,这表明，R 创石花）的最小值为2... ..... * .......... 5分（2）对用=1,2・将珀对应到平而直角坐标系工彷中的点记尺是 &关于兀轴的对称点，则珞庄均位于双曲线C*.r-/ = 2的右支上.设厅，巧分别是＜?的左*右焦点.易知骂〜2』）.斥（2、0）.根据双曲线的定义，有上叫| = |卑耳|+2j£|耳可=|号乙|+2』^进而得|马+2| +国+ 2卜|云一彳=|斗+2|+区+ 2|十l 可=|肚|+呦卜|胆| =曲十|/?呂|+|临卜默4细①...................... 15另等号成立当且仅当兀位于钱段£号上（例如.当z 严z 严“忑I 时，兀恰是£尺 的中点）.W ：由柯西不等式20分 （厲+ 3X 2 + 対（斗十专*中2（肩•品+1=（H ： + X 2 + X 3 ）： = I t 当儿=1，x ;=0.^= 0时不等式等号成立.故欲求的最小值为1.综上可知.|z:+2| + |r + 2|-|z -z:|的最小值为菽5\ ............... 2。
第八届“认证杯”数学建模建模竞赛C题第二阶段一等奖
最后，本文使用 MATLAB、EXCEL 等软件对数据进行初始化处理、图像的绘制
参赛队号: #3841 所选题目: C 题
Finally, we use MATLAB, EXCEL and other software for data initialization process drawing, image.
Key words: Ecological degradation index ; Index system ; Dimensionless ; Poor
1
#3841 C
三、符号及变量说明
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第 项指标的标准差 第 指标的平均值
第 项指标的变异常数 第 项指标的权重
表示评价指标体系中各三级指标因子的实测值(平均值) 第 项指标在所有退化阶段的极值 二级指标值 第 项三级指标的相对权重 第 项三级指标权重 生态退化指数 各种因子累积平均值 过牧、轮牧、开垦状态下的退化率
2
#3841 C
2015 年第八届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛第二阶段论文
题目Leabharlann 荒漠区动植物关系的研究关键词
生态退化指数、指标体系、无量纲化、极差法、
变异系数、相对权重、SIS 模型、MATLAB
摘
要：
本文针对荒漠区生态系统退化及恢复的的问题，首先对西北某干旱区植物动物数据元 素进行分析，然后对各数据元素进行统计分析及无量纲化处理，最后针对各个问题建立模 型并求解。
2017年全国高中数学联赛试题与答案
2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-．又当07x ≤<时，()()2log 9f x x =-，则()100f -的值为 ．答案：1.2-解：由条件知，()()()114,7f x f x f x +=-=+所以()()()()21111001001472.5log 42f f f f -=-+⨯=-=-=-=- 2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是 ．答案：1.⎡⎤-⎣⎦解：由于[]212cos 1,3x y =-∈-，故.x ⎡∈⎣由21cos 2x y -=可知，()2211cos 1 1.22x x y x x --=-=+-因此当1x =-时，cos x y -有最小值（这时y 可以取2π）；当x =cos x y -1（这时y 可以取π）．由于()21112x +-的值域是1⎡⎤-⎣⎦，从而cos x y -的取值范围是1.⎡⎤-⎣⎦ 3.在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．解：易知()()3,0,0,1.A F 设P的坐标是()3cos ,0,,2πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则11313cos 23OAPF OAP OFP SS S θθ=+=⋅+⋅⋅)()3sin .2θθθϕ=+=+其中ϕ=当θ=时，四边形OAPF 另解：易知()()3,0,0,1.A F 经过C 上位于第一象限内点()000,P x y 一条切线与直线1AF 平行．该切线方程为001910x x y y+=． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 00101.93x y -⋅=- 又因22001,910x y +=所以00x y ==易得点0P ⎝⎭到直线1:330AF x y +-=)1.于是，四边形OAPF 的面积的最大值为)01131122OAF FAP S S +=⋅⋅+=4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．答案：75.解：考虑平稳数abc ．若0b =，则{}1,0,1a c =∈，有2个平稳数．若1b =，则{}1,2a ∈，{}0,1,2c ∈，有236⨯=个平稳数． 若28b ≤≤，则{},1,,1a c b b b ∈-+，有73363⨯⨯=个平稳数． 若9b =，则{},8,9a c ∈，有224⨯=个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是2663475.+++= 另解：设abc 是一个平稳数，则1b a -≤且 1.c b -≤ 由1b a -≤可知0b a -=，1．由1c b -≤可知c b -=0，1. 1）若0,0b a c b -=-=，则,1,2,,9abc aaa a ==，有9个平稳数．2）若0,1b a c b -=-=，则 ,1,b a c a =⎧⎨=+⎩或,1.b a c a =⎧⎨=-⎩于是，()1abc aa a =+，1,2,,8a =；或()1abc aa a =-，1,2,,9a =．有8917+=个平稳数．3）若1,0b a c b -=-=，则 ,1,c b a b =⎧⎨=-⎩或, 1.c b a b =⎧⎨=+⎩ 于是，()1abc b bb =-，2,3,,9b =；或()1,0,1,,8abc b bb b =+=．有8917+=个平稳数．4）若1,1b a c b -=-=，则1b a -=±， 1.c b -=± 由1,1b a c b -=-=得()()12,1,2,,7abc a a a a =++=；由1,1b a c b -=-=-得()1,1,2,,8abc a a a a =+=；由1,1b a c b -=--=得()1,1,2,,9abc a a a a =-=；由1,1b a c b -=--=-得()()12,2,3,,9.abc a a a a =--=有789832+++=个平稳数．综上可知，平稳数的个数为 917173275.+++=5.正三棱锥P -ABC 中，1,2AB AP ==，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．解：设,AB PC 的中点分别为,K M ，则易证平面ABM 就是平面α．由中线长公式知()()222222*********,24242AM AP AC PC =+-=+-⨯=所以KM ==又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK，而1,CM KC ==所以222531cos 2KM MC KC KMC KM MC +-+-∠===⋅故棱PC 与平面α6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){},|,1,0,1.K x y x y ==-在K 中随机取出三个点，则的概率 ．答案：4.7解：易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式有3984C =种．将K 中的点按右图标记为128,,,,,A A A O 其中有8由对称性，考虑14,A A 两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个()1,2,,8i A i =，K 中恰有35,i i A A ++（这里下标按模8理解），因而恰有{}()35,,1,2,,8i i i A A A i ++=这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484.847= 7.在ABC 中，M 是BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3A π∠=，ABC 的面积AM AN ⋅的最小值为 ．1. 解：由条件知，()131,244AM AB AC AN AB AC =+=+，故()22131134.2448AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13sin ,24ABCSAB AC A AB AC ==⋅⋅⋅=⋅⋅所以4AB AC ⋅=，进一步可得 cos 2,AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=从而2212348AM AN AB AC AB AC ⎛⎫⋅≥⋅+⋅ ⎪⎝13 1.2AB AC AB AC ⋅+⋅=+当,2AB AC ==AM AN ⋅ 1.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ， 有211,2,n n n n n a a a b b +++=+=则11a b +的所有可能值为 ．答案：13,20.解：由条件可知：121,,a a b 均为正整数，且12.a a <由于9101120172512b b b >=⋅=，故{}11,2,3.b ∈反复运用{}n a 的递推关系知 1098877665542325385a a a a a a a a a a a =+=+=+=+=+43322113821131421,a a a a a a =+=+=+ 因此1101032212121133421,a a b a a a a ≡==+=+而13213481⨯=⨯+，故()1111132113226mod34.a a b b ≡⨯≡⨯= ①另一方面，注意到12a a <，有1211553421512,a a a b <+=故11512.55a b <② 当11b =时，①，②分别化为()1151226mod34,,55a a ≡<无解． 当12b =时，①，②分别化为()11102452mod34,,55a a ≡<得到唯一的正整数118,a =此时1120.ab +=当13b =时，①，②分别化为()11153678mod34,55a a ≡<，得到唯一的正整数110,a =此时1113.ab +=综上所述，11a b +的所有可能的值为13,20.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式21x kx m --≤对所有[],x a b ∈成立．证明：b a -≤证明：令()2f x x kx m =--，[],x a b ∈，则()[]1,1.f x ∈-于是 ()21,f a a ka m =--≤ ① ()21,f b b kb m =--≤ ②21.222a b a b a b f k m +++⎛⎫⎛⎫=-⋅-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 由①+②2-⨯③知，()()()22 4.22a b a b f a f b f -+⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭故b a -≤另证：令()2f x x kx m =--，[],.x a b ∈因为不等式()1f x ≤对所有[],x a b ∈成立，所以()f x 在[],a b 上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明b a -≤假设b a ->1）当2ka ≥时，()()(()2f b f a f a f a ≥->+-((()22a k a m a ka m =+-+----228a ka m a ka m =++----++888.2k=-+≥-+=矛盾．2）当2kb ≤时， ()()(()2f a f b f b f b ≥->--888.2k=-++≥-++=矛盾．3）当2ka b <<时， ⅰ）若22k a b+≤，则 ()()222k a b f b f f b f +⎛⎫⎛⎫≥-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b a b a b f f +++⎫⎛⎫>-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭2 2.2k≥+=矛盾．ⅱ）若22k a b+>，则 ()()22222k a b a b a b f a f f a f f f +++⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫≥->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭22 2.22a b k+=-++>-+=矛盾．10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求 ()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最大值和最小值．解：由柯西不等式()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭ ()2123 1.x x x =++=当1231,0,0x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为()()52123113312315353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2123123115355543x x x x x x ⎡⎤⎛⎫≤⋅+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦212311466203x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()212319666,205x x x ≤++= 当12311,0,22x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最大值为9.511.（本题满分20分）设复数12,z z 满足()()12Re 0,Re 0z z >>，且()()2212Re Re 2z z ==（其中()Re z 表示复数z 的实部）． （1）求()12Re z z 的最小值；（2）求121222z z z z +++--的最小值．解：对1,2k =，设()i ,k k k k k z x y x y R =+∈．由条件知()()222Re 0,Re 2.k k k k k x z z y z =>-== 因此()()()()1211221212Re Re i i z z x y x y x x y y =++=-()12122 2.y y y y +-≥又当12z z ==()12Re 2z z =．这表明，()12Re z z 的最小值为2.（2）对1,2k =，将k z 对应到直角坐标系xOy 中的点(),k k k P x y ．记2P '是2P 关于x 轴的对称点，则12,P P '均位于双曲线22:2C x y -=的右支上．设12,F F 分别是C 的左、右焦点，易知()()122,0,2,0.F F -根据双曲线的定义，有11122122PF PF P FP F ''=+=+进而得 1212112222z z z z z z z +++--=++-112112122212PF P F PP PF P F PP ''''=+-=+-≥等号成立当且仅当2F 位于线段12P P '上（例如，当122z z ==时，2F 恰是12P P '的中点）．综上可知，121222z z z z +++--的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在ABC 中，AB AC =，I 为ABC 的内心．以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）．设IP 与BQ 交于点R ．证明：.BR CR ⊥证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC由于点Q 在圆2Γ上，故,IB IQ =所以.IBQ IQB ∠=∠又,,,B I P Q 四点共圆，所以,IQB IPB ∠=∠于是,IBQ IPB ∠=∠ 故IBP ∽IRB ，从而有,IRB IBP ∠=∠且RQP ICBA A BCIP Q R,IB IP IR IC= 注意到AB AC =，且I 为ABC 的内心，故IB IC =，所以,IC IP IR IC= 于是ICP ∽IRC ，故.IRC ICP ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故11802BPC A ∠=-∠，因此BRC IRB IRC IBP ICP ∠=∠+∠=∠+∠360BIC BPC =-∠-∠113609018022A A ⎛⎫⎛⎫=-+∠--∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭90,= 故.BR CR ⊥二、（本题满分40分）设数列{}n a 定义为11,a = 1,,1,2,.,,n n n nn a n a n a n a n a n ++≤⎧⎪==⎨->⎪⎩若若求满足20173r a r <≤的正整数r 的个数．解：由数列定义可知121, 2.a a ==假设对某个2r ≥有r a r =，我们证明对1,,1t r =-，有2122121,2.r t r t a r t r t a r t r t +-+=+->+-=-<+ ①对t 归纳证明．当1t =时，由于r a r r =≥，由定义，121,r r a a r r r r r +=+=+=>+()()2112112r r a a r r r r r ++=-+=-+=-<+，结论成立．设对某个11t r ≤<-，①成立，则由定义()21222221,r t r t a a r t r t r t r t r t +++=++=-++=+>++()()222121221122,r t r t a a r t r t r t r t r t ++++=-++=+-++=--<++即结论对1t +也成立．由数学归纳法知，①对所有1,2,,1t r =-成立，特别当1t r =-时，有321r a -=，从而()3132323 1.r r a a r r --=+-=- 若将所有满足r a r =的正整数r 从小到大记为12,,,r r 则由上面的结论可知1211,2,31,2,3,.k k r r r r r +===-=由此可知，()11131,,122k k r r k m +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，从而11111313.222m m m r r --+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由于201730182017201820193131322r r ++=<<=，在20171,2,,3中满足r a r =的数r 共有2018个，为122018,,,.r r r由①可知，对每个1,2,,2017k =，1,2,,32k k k r r r ++-中恰有一半满足.r a r <由于2017201831112r ++=+与20173均为奇数，而在201720181,,3r +中，奇数均满足r a r >，偶数均满足r a r <，其中偶数比奇数少1个．因此满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为()20172017132019320181.22---= 另解：易知1231,2,4a a a ===；4567891,5,10,4,11,3,a a a a a a ======10111212,2,13a a a ===；1314151617181920211,14,28,13,29,12,30,11,31,a a a a a a a a a =========222310,32,a a == 242526272829309,33,8,34,7,35,6,a a a a a a a =======31323336,5,37,a a a ===344,a = 353637383938,3,39,2,40a a a a a =====；……当正整数n 足够大时，若1n a =，则()121321,1,122,2,n n n n n n n a a a n n a a n n a a n n +++++==+=+=++=+=-+=()435465323,41,524,n n n n n n a a n n a a n n a a n n ++++++=++=+=-+=-=++=+由以上等式易观察出：若1n a =，正整数2k n <+，则 2122,2 1.n k n k a n k a n k +-+=-+=++因为当21n k -+=时，1k n =+，2131,n k n +-=+所以，当1n a =时，使得1m a =且m n >的最小正整数3 1.m n =+当1n >，且1n a =时， 11,11n n a n a n n +=<=+≤+，2222,n a n n +=+>+ 212221,212,2,,.n k n k a n k n k a n k n k k n +-+=-+<+-=++>+= 因为11a =，所以使得1m a =且1m >的最小正整数31m =+．因为311a +=，所以使得1m a =且31m >+的最小正整数()2331133 1.m =⋅++=++依此类推下去，可知使得1n a =的一切正整数n 分别为221,13,133,,1333,k +++++++．设220121,13,133,,1333,k k n n n n ==+=++=++++．易知2007201620173,n n <<20161n a =，2016201612016201622016201611,22 2.n n a n n a n n ++=+≤+=+>+ 201620162120162016220162016221,212,n k n k a n k n k a n k n k +-+=-+<+-=++>+2017201632,,.2n k -=满足01,r a r n r n <≤<的正整数r 的个数为零；满足,3r i i a r n r n <≤<+ 的正整数r 的个数为1，1,2,,2016.i =满足1331i i i n r n n ++≤<=+的正整数r 共有22i n -（偶数）个，1,2,,2015,i =其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．满足2017201633n r +≤≤的正整数r 共有2017201632n --（偶数）个，其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．于是，满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为20172017332017320192016.22-⨯-+=三、（本题满分50分）将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =下面证明56.L ≥将方格纸的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,,B B B ．行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ．三种颜色分别记为123,,.c c c 对于一种颜色j c ，设()j n c 是含有j c 色方格的行数与列数之和．记()1,,0,i j i j A c A c δ⎧⎪=⎨⎪⎩若行含有方格，否则，类似地定义(),i j B c δ．于是()()()()()()33333111,,iiijiji i j n A n B A c B c δδ===+=+∑∑∑11331716()()()()3333111,,.i j i j j j i j A c B c n c δδ====+=∑∑∑由于染j c 色的方格有21333633⋅=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此363ab ≥，从而()38,j n c a b =+≥> 故 ()39,1,2,3.j n c j ≥= ①由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，因此至少有()1i n A -条分隔边．同理在列j B 中，至少有()1j n B -条分隔边．于是()()()()33331111i i i i L n A n B ==≥-+-∑∑()()()33166i i i n A n B ==+-∑ ②()3166.j j n c ==-∑ ③下面分两种情形讨论．情形 1：有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为1c 色，从而方格纸的33列中均含有1c 色方格．由于1c 色方格有363个，故至少有11行中含有1c 色方格，于是()1113344.n c ≥+= ④由①，③及④即得()()()123664439396656.L n c n c n c ≥++-≥++-=情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意133i ≤≤，均有 ()()()33166334666656.i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 四、（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，.m n ≥12,,,n a a a 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素．证明：对任意实数x ，均存在一个()1i i n ≤≤，使得()2,1i a x x m m ≥+这里y 表示实数y 与它最近的整数的距离．证明：首先证明以下两个结论． 结论1：存在整数12,,,n c c c ，满足11221,n n c a c a c a +++=并且,1.i c m i n ≤≤≤由于()12,,,1n a a a =，由裴蜀定理，存在整数12,,,n c c c ，满足1122 1.n n c a c a c a +++= ①下面证明，通过调整，存在一组12,,,n c c c 满足①，且绝对值均不超过m ．记()()112212,,,0,,,,0.i j n in j c mc mS c c c cS c c c c ><-=≥=≥∑∑如果10S >，那么存在1,i c m >>于是1,i i c a >又因为12,,,n a a a 均为正数，故由① 可知存在0.j c <令i i c c a '=-。
2017年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、在等比数列{}n a 中，22=a ，333=a ，则2017720111a a a a ++为2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值 为在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为5、在正四面体ABCD 中，F E ,分别在棱AC AB ,上，满足4,3==EF BE ，且EF 与面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 ．6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为7、设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线0222=++a ay x 的焦距为4，则实数a 的值为 ．8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。
10、（本题满分20分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足221n n n n a a a b -=++， ,2,1=n（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2） 设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0≠d ，并且存在正整数t s ,，使得t s b a +是整数，求1a 的最小值。
2017年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2017年9月10日上午8∶00～9∶20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1．设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时， )9(lo g )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ．2．若实数x ，y 满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．4．若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．5．正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集}1,0,1,|),{(-==y x y x K ．在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为 ．7．在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3π=∠A ，△ABC 的面积为3， 则AN AM ⋅的最小值为 ．8．设两个严格递增的正整数数列}{n a ，}{n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设k ，m 为实数，不等式1||2≤--m kx x 对所有],[b a x ∈成立．证明：22≤-a b ．10．（本题满分20分）设1x ，2x ，3x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++ 的最小值和最大值．11．（本题满分20分） 设复数1z ，2z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）．（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求|||2||2|2121z z z z --+++的最小值．。
数学建模网络挑战赛题目
第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛报名号为：参赛队员(签名) ：队员1：荣齐辉队员2：农岸松队员3：刘凡参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1197 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2010年第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目聪明的汽车关键词侧位停车初等几何方法平行泊车自动寻轨算法摘要：本问题要求我们建立合理模型，判断汽车能否在该处顺利停入，以及给出为进入停车位应选取的位置和角度，并将理想线路及允许的偏差显示在图中。
对这些问题我们运用了初等几何分析方法和平行泊车自动寻轨算法来建立模型，解决问题。
就问题一，我们先将问题抽象成直观的平面几何图形，通过运用初等几何知识，建立了两个模型来计算，为保证本车顺利停入，停车位所需的最小长度和最小宽度（由该车的相关参数确定）。
我们得出结论：只有本车车长和宽度分别大于停车位的最小长度和最小宽度，它才能在该处顺利停入，否则，它不能在该处侧位停车。
2017年数创杯全国中学生数学建模挑战赛 A题
2017年数创杯全国中学生数学建模挑战赛 A题
（请先阅读“数创杯全国中学生数学建模挑战赛论文格式规范”）
“和谐号”高铁列车小桌板的设计
近年来中国高铁列车发展速度之快，给人的生活带来了极大的便利，这是我国科学家不断探索的结果。
为了乘客的便利，在高铁列车上每个人面前都有一块小桌板，可将其抽象为如图所示的图形。
当小桌板使得桌面保持水平时，此时CB与AO是垂直的。
（1）若小桌板支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度，且∠AOB与∠ACB的角度都为37度时，请设出小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA的值，确定小桌板桌面BC的宽度；
（2）公司计划开发一种新型的小桌板，从顾客需求考虑，使得生产的新折叠小桌板尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是通过建立数学模型给出你们的设计方法，帮助给出一种设计小桌板的新型方案。
2017数学建模高教杯全套
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题CT系统参数标定及成像CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。
对应于该模板的接收信息见附件2。
请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。
(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。
(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。
在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。
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地震监测台站的合理布局问题
（高中组个人赛赛题）
2017年8月8日21时19分46秒，四川省北部阿坝州九寨沟县发生了7.0级地震，震中位于北纬33.20度，东经103.82度的九寨沟核心景区西部5公里处的比芒村，震中东距九寨沟县城永乐镇39公里、南距松潘县66公里、东北距舟曲县83公里、东南距文县85公里、西北距若尔盖县90公里，东偏北距陇南市105公里，南距成都市285公里。
九寨沟地震致使九寨沟县经济社会遭到重创，所有在建项目和新建项目全面停工或延期开工，全县预估直接经济损失达224.5亿元。
地震监测台站可以对地震时和地震前的各类自然现象进行监测，其对地震发生时的灾情掌握和地震发生前的预报具有重要的意义，是一个国家抗灾减灾综合实力的体现。
基于地震监测设施观测内容、原理的不同，其一般可以分为测震监测设施、强震监测设施与前兆监测设施三类。
测震、强震监测设施主要用于地震发生时对地震运动状态的观测，测震监测设施精度较高，可观测1.0级强度的地震；强震监测设施精度较低，用于观测4.0以上级别的地震。
前兆监测设施主要通过对多类物理和化学场量的持续观测，研究了解地震发生机理并做出地震预报。
根据观测的对象，将前兆观测分为三类，即形变（含重力）观测、电磁观测和地下流体观测。
地震监测台站的布局原则如下：
1、均衡全面原则：各类地震监测设施基本做到均衡分布、全面覆盖。
2、新技术原则：结合地震台预报技术发展特点，大力增加技术更加先进、对城市建设干扰较小的地震监测设施，如GPS卫星观测设施，确保地震监测水平不断提升。
3、城乡建设协调原则：新建、迁建的地震监测设施尽量避开对其有影响的干扰要素，如三级公路，高压输电线路，工厂等。
4、经济原则：如果在半径100公里的范围内台站数少于20的，应以增建新的台站为主，如果在25-30之间的，应以改建原有台站提高台站的观测质量为主。
5、精度原则：达到全县1.0级以上的地震监测能够在3分钟内给出，4.0级以上地震的初步测定结果，能够在20分钟内完成，对有显著影响的地震在震后1小时内能够锁定震中位置。
下图是九寨沟县周围的地震监测台站的分布图，请结合该图解决如下问题：问题一、考虑到地震监测台站的重要性，政府希望新建两个台站，请建立数学模型，规划两个台站的位置和类型。
问题二、对于该地区，在新增两个台站的基础上，是否还有必要再新增站点？如果有资金可以改建3个站点，你打算如何使用？请结合数学模型给出合理化建议。
图一、四川九寨沟地区地震监测网点分布图。