弹塑性力学PPT
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弹塑性力学01ppt课件
第1章 绪论1-2
线性弹性力学的发展，出现了许多分支学科，
如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、 粘弹性力学、各向异性弹性力学等。
37
弹性力学解法也得到不断发展
数值解法 微分方程的差分解 [迈可斯(1932)] 有限单元法 [1946年]
第1章 绪论1-2
复变函数（20世纪30年代）萨文和穆斯赫利什维利 作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等 问题。
14
固体材料的弹塑性简单 说明（简单拉伸性能）
弹性极限（屈服 极限）
比例极限
弹性 阶段
塑性阶段（强化）
第1章 绪论
卸加载 （弹性）
弹性应变 塑性应变
低碳钢试件简单拉伸试 验应力—应变曲线图
弹性应变
15
第1章 绪论
• “完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力 和应变之间一一对应的关系。 这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
38
钱伟长
钱学森
胡海昌 徐芝伦
39
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力（重力、惯性力） z
大小： 平均集度
体力
lim F f V 0 V
O
x
fz V
F f
fy
fx
P
y
图11a 40
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
方向 f的方向就是ΔF的极限方向
矢量f在坐标轴x、y、z上的投影fx、 f y、 fz ，称为
材料的应力和应变关系通常称为 本构关系
——物理关系或者物理方程
• 线性弹性体和非线性弹性体
弹塑性力学第一章 PPT资料共54页
16.11.2019
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
16.11.2019
11
§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
16.11.2019
12
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j
i1
33
1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
16.11.2019
32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
《岩土弹塑性力学》课件
02
数值模拟的精度和稳 定性
数值模拟的精度和稳定性是评价数值 模拟技术的重要指标，需要不断改进 数值方法和模型参数，提高模拟结果 的可靠性和精度。
03
数值模拟的可视化和 后处理
可视化技术和后处理技术是数值模拟 的重要组成部分，能够直观地展示模 拟结果和进行结果分析，需要不断改 进和完善相关技术。
THANKS
感谢您的观看
弹塑性力学的未来发展
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，弹塑性力学将进 一步发展并应用于更广泛的领域，如新能源、环保、生物 医学等。
Part
02
岩土材料的弹塑性性质
岩土材料的弹性性质
弹性模量
表示岩土材料在弹性范围内抵抗变形的能力，是 材料刚度的度量。
泊松比
描述材料横向变形的量，表示材料在单向受拉或 受压时，横向变形的收缩量与纵向变形的关系。
各向同性假设
假设材料在各个方向上具 有相同的物理和力学性质 ，即材料性质不随方向变 化而变化。
弹塑性力学的历史与发展
弹塑性力学的起源
弹塑性力学起源于20世纪初，随着材料科学和工程技术的 不断发展，人们对材料在复杂应力状态下的行为有了更深 入的认识。
弹塑性力学的发展
弹塑性力学经过多年的发展，已经形成了较为完善的理论 体系和研究方法，为解决工程实际问题提供了重要的理论 支持。
《岩土弹塑性力学》 PPT课件
• 弹塑性力学基础 • 岩土材料的弹塑性性质 • 岩土弹塑性本构模型 • 岩土弹塑性力学的应用 • 岩土弹塑性力学的挑战与展望
目录
Part
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性变形和塑性变形共同作用下的力学行为的学科。
弹塑性力学PPT课件
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
《工程弹塑性力学》PPT课件
工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
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几何连续规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物 体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为微 分方程。
物理(本构)关系：应力 (内力)与应变 (变形)之间的关系，根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。
平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性 力学与弹性力学的主要区别在于本构方程
哈工大 土木工程学院
在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。
哈工大 土木工程学院
6 / 27
01 绪 论
第2节 基本假设和基本规律
弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布规律和变形规律的一门
学◆科新。理论－实损伤际、混问沌等题； 由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体
的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 混合法（同时以应力和位移为未知量）
19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原理的近似计算方法。
第混2合节法（基同本使时假以设我应和力基们和本位规研移律为究未知的量）问题限定在一个方便可行的范围内。
对工科来说，弹性力学的任务，和材料力学、结构力学 的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应 力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性， 并寻求或改进它们的计算方法。
哈工大 土木工程学院
2 / 27
01 绪 论
弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
物理(本构)关系：应力 (内力)与应变 (变形)之间的关系，根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。
平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性 力学与弹性力学的主要区别在于本构方程
哈工大 土木工程学院
在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。
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01 绪 论
第2节 基本假设和基本规律
弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布规律和变形规律的一门
学◆科新。理论－实损伤际、混问沌等题； 由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体
的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 混合法（同时以应力和位移为未知量）
19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原理的近似计算方法。
第混2合节法（基同本使时假以设我应和力基们和本位规研移律为究未知的量）问题限定在一个方便可行的范围内。
对工科来说，弹性力学的任务，和材料力学、结构力学 的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应 力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性， 并寻求或改进它们的计算方法。
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2 / 27
01 绪 论
弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
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P
研究对象:
P
与其他学科的关系：
课程 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 塑性力学 研究对象 刚体 弹性杆件 （一维） 弹性杆系 （二维） 弹性体（三维） 塑性体 解决的问题 力的静力平衡、运动 学、动力学 杆的拉、压、弯、 剪、扭 杆系的内力位移 应力、应变、位移 塑性加工 工程力学 固体力学 力学范畴 一般力学
哑标号:
三、求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为 取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
2 2 2
uy
2
主要参考书目
1 、杨伯源 《工程弹塑性力学》 2 、杨桂通 《弹塑性力学》 3 、徐秉业 《应用弹塑性力学》
二阶以上的张 量已不可能在 三维空间有明 显直观的几何 意义。
二、下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号 来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就 称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
一、张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
具有多重方向性的物理量，称为张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=rn=3n 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
研究方法:
观察、分 析、归纳： 工程实践、 试验中发 现的一些 规律
力学模 型的建 立
数学模 型的建 立
求解、 实践检 验
建立控 制方程
解方程
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
研究任务:
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。 给出初等理论可靠性与精确度的度量。
aij bkl Cijkl
3 、张量函数的求导
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui u1 u2 u3 ui ,i xi x1 x2 x3
ui , jk
ui ux uz , , x j xk x j xk x j xk x j xk
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。
学习目的:
确定一般工程结构的承载能力。
为研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。
第二节 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的
3).物体的变形属于小变形
4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
第三节 张量分析基础
四、张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为：
Aijk Bijk Cijk
2 、张量的乘法 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个 分量，从而得到一个新的分量的集合—新张量，新张量 的阶数等于因子张量的阶数之和。
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
1 0 0 张量表示：d ij 0 1 0 0 0 1
如应力边界条件的张量表示：
X l x m xy n xz Y l xy m y n yz Z l m n xz yz z 即：Pi ij l j P 1 l1 11 l2 12 l3 13 P2 l1 21 l2 22 l3 23 P l l l 3 1 31 2 32 3 33
工程弹塑性力学
肖勇刚 长沙理工大学
第一章 绪论
第一节 课程研究对象、研究任务
第二节 基本假定
第三节 张量分析基础 参考书目
第一节 弹塑性力学的研究对象和任务
固体力学的一个分支学科
弹塑性力学:
研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。 对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。 P
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
自由标号:
不重复出现的下标符号,在其变程N(关于 三维空间N＝3)内分别取数1，2，3，…， N 重复出现的下标符号称为哑标号,取其变 程N内所有分量，然后再求和，也即先罗 列所有各分量，然后再求和。
研究对象:
P
与其他学科的关系：
课程 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 塑性力学 研究对象 刚体 弹性杆件 （一维） 弹性杆系 （二维） 弹性体（三维） 塑性体 解决的问题 力的静力平衡、运动 学、动力学 杆的拉、压、弯、 剪、扭 杆系的内力位移 应力、应变、位移 塑性加工 工程力学 固体力学 力学范畴 一般力学
哑标号:
三、求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为 取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
2 2 2
uy
2
主要参考书目
1 、杨伯源 《工程弹塑性力学》 2 、杨桂通 《弹塑性力学》 3 、徐秉业 《应用弹塑性力学》
二阶以上的张 量已不可能在 三维空间有明 显直观的几何 意义。
二、下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号 来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就 称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
一、张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
具有多重方向性的物理量，称为张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=rn=3n 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
研究方法:
观察、分 析、归纳： 工程实践、 试验中发 现的一些 规律
力学模 型的建 立
数学模 型的建 立
求解、 实践检 验
建立控 制方程
解方程
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
研究任务:
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。 给出初等理论可靠性与精确度的度量。
aij bkl Cijkl
3 、张量函数的求导
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui u1 u2 u3 ui ,i xi x1 x2 x3
ui , jk
ui ux uz , , x j xk x j xk x j xk x j xk
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。
学习目的:
确定一般工程结构的承载能力。
为研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。
第二节 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的
3).物体的变形属于小变形
4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
第三节 张量分析基础
四、张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为：
Aijk Bijk Cijk
2 、张量的乘法 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个 分量，从而得到一个新的分量的集合—新张量，新张量 的阶数等于因子张量的阶数之和。
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
1 0 0 张量表示：d ij 0 1 0 0 0 1
如应力边界条件的张量表示：
X l x m xy n xz Y l xy m y n yz Z l m n xz yz z 即：Pi ij l j P 1 l1 11 l2 12 l3 13 P2 l1 21 l2 22 l3 23 P l l l 3 1 31 2 32 3 33
工程弹塑性力学
肖勇刚 长沙理工大学
第一章 绪论
第一节 课程研究对象、研究任务
第二节 基本假定
第三节 张量分析基础 参考书目
第一节 弹塑性力学的研究对象和任务
固体力学的一个分支学科
弹塑性力学:
研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。 对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。 P
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
自由标号:
不重复出现的下标符号,在其变程N(关于 三维空间N＝3)内分别取数1，2，3，…， N 重复出现的下标符号称为哑标号,取其变 程N内所有分量，然后再求和，也即先罗 列所有各分量，然后再求和。