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上海市中考数学二模25题及详细答案

2013年上海市中考二模25题及详细答案一．解答题（共9小题）1．（2013•崇明县二模）已知：⊙O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，∠ECO=∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB=x，CE=y（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；（3）如果BF=1，求EF的长．2．（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．3．（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O 于点E、交射线CD于点F．（1）若，求∠F的度数；（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．4．（2013•杨浦区二模）如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O 上不同于点A的动点．（1）当时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x，QP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．5．（2013•闵行区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD．（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k 的值．6．（2013•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB 上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．7．（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．（1）如图1，求证：AB∥OC；（2）如图2，当点B与点O1重合时，求证：；（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O1B=1时，求的值．8．（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．9．（2014•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE ⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．2015年03月18日张文涛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2013•崇明县二模）已知：⊙O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，∠ECO=∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB=x，CE=y（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；（3）如果BF=1，求EF的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．在圆O中，根据垂径定理可得，，在Rt△ODB中，根据勾股定理可得OD=，通过AAS证明△ODB ≌△EHO，由全等三角形的性质得到EH=OD，依此可得y与x之间的函数解析式；（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE=90°，证明△OAB是等腰直角三角形，求得AB的长；②若∠EOF=90°，证明△OAB是等边三角形，求得AB的长；（3）分两种情况：①当CF=OF=OB﹣BF=2时，可得：△CFO∽△COE，根据相似三角形的性质得到CE=，则EF=CE﹣CF可求；②当CF=OF=OB+BF=4时，可得：△CFO ∽△COE，根据相似三角形的性质得到CE=，则EF=CF﹣CE可求．解答：解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y，∴，，∵在Rt△ODB中，OD2+BD2=BO2，OB=3，∴OD=，∵OC=OE，∴∠ECO=∠CEO，∵∠ECO=∠BOC，∴∠CEO=∠BOC，又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB，在△ODB与△EHO中，，∴△ODB≌△EHO（AAS），∴EH=OD，∴，∴，函数定义域为0＜x＜6；（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE=90°，则∠COF=∠OCF=45°∵∠ODB=90°，∴∠ABO=45°又∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=45°，∴∠AOB=90°∴△OAB是等腰直角三角形，∴；②若∠EOF=90°，则∠OEF=∠COF=∠OCF=30°，∵∠ODB=90°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OB=3；（3）①当CF=OF=OB﹣BF=2时，可得：△CFO∽△COE，CE=，则EF=CE﹣CF=；②当CF=OF=OB+BF=4时，可得：△CFO∽△COE，CE=，则EF=CF﹣CE=．点评：考查了圆的综合题，涉及的知识点有：垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．2．（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：几何综合题；动点型．分析：（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．解答：解：（1）直线AB与⊙P相切，如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，∵P为BC中点，∴PB=4cm，∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴△PBD∽△ABC，∴，即，∴PD=2.4（cm），当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴直线AB与⊙P相切；（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴BO=AB=5cm，连接OP，∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，∴PO=AC=3cm，∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，∴t=1或4，∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．3．（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若，求∠F的度数；（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）首先连接OE，由，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；（2）作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，则可求得y与x之间的函数解析式；（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）连接OE．∵=，∴∠BOE=∠EOD∵OD∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）作OH⊥BE，垂足为H．在△HBO和△COD中，，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=x，∴BE=2x，∵OD∥BF，∴△COD∽△CBF，∴，∴，∴y=（0＜x＜4）；（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，∴∠COD=∠DOE，∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若△PBE为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=OE﹣OP=4﹣x，由（2）得：BE=2x，①当PB=PE，不合题意舍去；②当EB=EP，2x=4﹣x，解得：x=，③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM∽△DOC，∴，∴，整理得：x2+x﹣4=0，解得：x=（负数舍去）综上所述：当OC的长为或时，△PBE为等腰三角形．点评：此题考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4．（2013•杨浦区二模）如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O 上不同于点A的动点．（1）当时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x，QP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有专题：几何综合题．分析：（1）过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，根据∠A的正切值表示出AB=2a，再表示出OE=2a﹣3，在Rt△POB中，利用勾股定理列方程求出a，然后在Rt△ABP中，利用勾股定理列式计算即可求出AP；（2）连接OP、OQ，根据等边对等角可得∠P=∠POQ=∠A，求出△AOP和△PQO相似，利用相似三角形对应边成比例列式整理即可得到y与x的关系式，根据直径是圆的最长的弦写出x的取值范围；（3）过点O作OC⊥AP于C，根据∠A的正切值，设OC=4b，则AC=3b，在Rt△AOC中，利用勾股定理列方程求出b，从而得到OC、AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得PC=AC，设⊙Q的半径为c，然后表示出CQ，在Rt△COQ中，利用勾股定理列方程求出c，设⊙M的半径为r，根据圆与圆的位置关系表示出MQ、MO然后利用勾股定理列方程求解即可得到r的值，从而得解．解答：解：（1）如图1，过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，∵tanA=，∴AB=2a，∴OB=AB﹣OA=2a﹣3，在Rt△POB中，PB2+OB2=OP2，即a2+（2a﹣3）2=32，解得a1=，a2=0（舍去），∴AB=2×=，在Rt△ABP中，AP===；（2）连接OP、OQ，则AO=PO，PQ=OQ，∴∠P=∠A，∠POQ=∠P，∴∠P=∠POQ=∠A，∴△AOP∽△PQO，∴=，即=，整理得，y=，∵⊙O的半径为3，点P不同于点A，∴3＜x≤6；∴y=（3＜x≤6）；（3）过点O作OC⊥AP于C，∵tanA=，∴设OC=4b，AC=3b，在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA2，即（4b）2+（3b）2=32，解得b=，∴OC=4×=，AC=3×=，根据垂径定理，PC=AC=，设⊙Q的半径为c，则CQ=QP﹣PC=c﹣，在Rt△COQ中，OC2+CQ2=OQ2，即（）2+（c﹣）2=c2，解得c=，设⊙M的半径为r，∵⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，∴MO=3﹣r，MQ=r+，在Rt△OMQ中，MO2+OQ2=MQ2，即（3﹣r）2+（）2=（r+）2，解得r=．点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，同一个圆的半径相等，等边对等角的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，难点在于反复利用勾股定理列出方程求解．5．（2013•闵行区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD．（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k 的值．考点：四边形综合题．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）分别延长BA、CF相交于点P，证出===，PA=AB=8，得出AE=BE=AB=4，PE=PA+AE=12，再根据EC=BE•tanB=4×2=8，求出PC==4，最后根据在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，即可得出EF=PC=2，（2）在Rt△PEC中，先求出BE=EC，根据BC=x，BE2+EC2=BC2，得出BE=x，EC=2BE=x，AE=AB﹣BE=8﹣x，求出PE=PA+AE=16﹣x，最后由 PF=PC，得y=S△EFC=•x（16﹣x），（3）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，根据F为边AD的中点，得AF=DF=AD=8，FD=CD，∠DFC=∠DCF．根据AB∥CD，得∠DCF=∠P，∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，根据∠PEC=90°，PF=PC，得EF=PF，∠AEF=∠P=∠DCF，最后根据∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，得∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，即可得k=3．解答：解：（1）分别延长BA、CF相交于点P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵F为边AD的中点，∴===，∴PA=AB=8，∵点E是边AB的中点，∴AE=BE=AB=4，∴PE=PA+AE=12，∵CE⊥AB，∴EC=BE•tanB=4×2=8．∴PC===4，在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，∴EF=PC=2，（2）在Rt△PEC中，∵tanB==2，∴BE=EC，∵BC=x，BE2+EC2=BC2，∴BE=x，∴EC=2BE=x，∴AE=AB﹣BE=8﹣x，∴PE=PA+AE=16﹣x，∵PF=PC，∴y=S△EFC=•x（16﹣x）=﹣x2+x，（0＜x≤8），（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=8，AD=BC=16，∵F为边AD的中点，∴AF=DF=AD=8，∴FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠P，∴∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，∴EF=PF，∴∠AEF=∠P=∠DCF，又∵∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，∵∠EFD=k∠AEF，∴k=3．点评：此题考查了四边形综合，用到的知识点是四边形的性质、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积等，关键是做出辅助线，构造直角三角形，求出线段的长．6．（2013•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB 上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．考点：相似形综合题．菁优网版权所有分析：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB 时；根据相似三角形的性质可求x的值；（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．解答：解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，∴；∵∠CAB=90°，∠QAP=45°，∴∠CAD=45°，∵DM⊥AC，∴△DAM是等腰直角三角形，易得△CMD∽△CAB，∴；设CM=3a，DM=4a，∴AM=4a，∴a=，，∴，∴．定义域是：≤x≤4．（注：其它解法参照评分．）（2）∵∠CDQ=∠ADB，∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：①当∠QCD=∠B时，∴CQ∥AB，四边形CAPQ是正方形；∴x=AP=AC=3．②当∠QCD=∠QAB时，∴，由上述（1）的解法，可得，，∴，∴；∴，解得．综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或．（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．∴BC⊥QM，QN=MN．∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，∴，设MN=3t，BN=4t，∴BM=5t；∴QM=6t，∴；∵BQ=BM=5t，∴；又∵，∴，解得；∴．点评：此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．7．（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．（1）如图1，求证：AB∥OC；（2）如图2，当点B与点O1重合时，求证：；（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O1B=1时，求的值．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）利用对称性得出∠OAC=∠O1AC，再利用等边对等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O1AC，求出AB∥OC即可；（2）由点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，由点O1与点B重合，可得AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB=CB；（3）分别根据当点O1在线段AB上以及当点O1在线段AB的延长线上时分别求出AE的长即可得出答案．解答：解：（1）∵点O1与点O关于直线AC对称，∴∠OAC=∠O1AC．在⊙O中，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C．∴∠C=∠O1AC，∴O1A∥OC，即AB∥OC；（2）方法一：如图2，连结OB．∵点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，由点O1与点B重合，可得AC⊥OB．∵点O是圆心，AC⊥OB，∴；方法2：∵点O1与点O关于直线AC对称，∴AO=AO1，CO=CO1，由点O1与点B重合，可得 AO=AB，CB=CO，∵OA=OC，∴AB=CB．∴；（3）当点O1在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．∵OH⊥AB，CE⊥AB，∴OH∥CE，又∵AB∥OC，∴HE=OC=5．∵AB=AO1+O1B=AO+O1B=6且OH⊥AB，∴AH=AB=3．∴AE=EH+AH=5+3=8，∵AB∥OC，∴==，当点O1在线段AB的延长线上，如图4，过点O作OH⊥AB，垂足为H．∵OH⊥AB，CE⊥AB，∴OH∥CE，又∵AB∥OC，∴HE=OC=5．∵AB=AO1﹣O1B=AO﹣O1B=4，又∵OH⊥AB，∴AH=AB=2．∴AE=EH+AH=5+2=7，∵AB∥OC，∴==．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．8．（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．考点：四边形综合题．菁优网版权所有专题：综合题．分析：（1）作梯形的高AH，BG，根据正切的定义得到=，设AH=4t，DH=3t，根据勾股定理计算出AD=5t，5t=10，解得t=2，则DH=6，AH=8，设AB=x，CD=3x，所以6+x+6=3x，解得x=6，然后根据梯形的面积公式计算梯形ABCD的面积；（2）作Ek∥CD交BC于k，由AE：ED=1：3，AD=10得到AE=，ED=，由AB∥CD 得到∠ABE=∠BEK，由于∠ABE=∠BCE，所以∠BEK=∠BCE，于是可判断△BEK∽△BCE，BE2=BK：BC根据等腰梯形的性质BK=AE=，则BE2=BK：BC=×10，即可计算出BE=5；（3）分类讨论：当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，由AB∥DF得到AB：DF=AE：ED=1：3，即DF=3AB，设AB=x，则DF=3x，HG=x，易证得Rt△FBG∽Rt△BGC，则BG2=GF•GC，即82=（3x+6+x）×6，解得x=；当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EM⊥CD于M，设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，在Rt△EDN中，ED=，tan∠EDN==，利用勾股定理可计算出EN=6，DN=，则NC=12+x﹣=x+，易证得Rt△FEN∽Rt△ECN，EN2=NF•NC，即62=（3x+）（12+），然后解方程可得到AB的长．解答：解：（1）作梯形的高AH，BG，如图1∵AD=10，tanD=，∴=，设AH=4t，DH=3t，则AD==5t，∴5t=10，解得t=2，∴DH=6，AH=8，同理得到BG=8，CG=6，由AB：CD=1：3，设AB=x，CD=3x，∴6+x+6=3x，解得x=6，∴梯形ABCD的面积=（AB+CD）•AH=•（x+3x）×8=×24×8=96；（2）作EK∥CD交BC于K，如图1，∵AE：ED=1：3，AD=10，∴AE=，ED=，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEK，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BEK=∠BCE，∴△BEK∽△BCE，∴BE：BC=BK：BE，即BE2=BK：BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BK=AE=，∴BE2=BK：BC=×10，∴BE=5；（3）△BCE是直角三角形，①当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，如图2，∵AB∥DF，∴AB：DF=AE：ED=1：3，∴DF=3AB，设AB=x，则DF=3x，HG=x，∵Rt△FBG∽Rt△BGC，∴BG2=GF•GC，即82=（3x+6+x）×6，解得x=，即边AB的长为；②当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EN⊥CD于N，如图3，设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，在Rt△EDN中，ED=，tan∠EDN==，设EN=4a，则DN=3a，∴ED==5a，∴5a=，解得a=，∴EN=6，DN=，∴NC=12+x﹣=x+，∵Rt△FEN∽Rt△ECN，∴EN2=NF•NC，即62=（3x+）（x+），整理得x2+9x﹣=0，解得x1=﹣，x2=﹣﹣（舍去），∴AB=﹣，∴边AB的长为或﹣点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰梯形的性质和平行线线分线段成比例定理；会运用三角形相似的判定与性质和勾股定理进行几何计算．9．（2014•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．考点：相似形综合题．菁优网版权所有分析：（1）由勾股定理求得BC=10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则对应边成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以证明△PBD ∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2﹣1，当P点在AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；（3）如图3，4，5由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有．设BP=x，则EQ=x，CQ=﹣x．由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论就可以求出结论．解答：解：（1）如图1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴根据勾股定理得到，BC==10∴CD=BC=5．∵DE⊥BC．∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C∴△CDE∽△CAB∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，即DE：6=CE：10=5：8∴DE=，CE=；（2）如图2，∵△CDE∽△CAB，∴∠B=∠DEC．∵∠PDQ=90°∴∠1+∠4=90°．∵∠1+∠2=90°∴∠2=∠4，∴△PBD∽△QED，∴，∴，∴EQ=，∴CQ=CE﹣EQ=﹣=．如图2﹣1，∵∠B=DEC，∴∠PBD=∠QED．∵∠PDQ=90°∴∠1+∠2=90°．∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠3，∴△PBD∽△QED∴，∴，∴EQ=，∴CQ==故CQ=或；（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上∵△BPD∽△EQD ∴．若设BP=x ，则EQ=x，CQ=﹣x．∵cot∠QPD=，cot∠c=，∴∠QPD=∠C∵∠PDE=∠CDQ，∴△PDF∽△CDQ．∵△PDF为等腰三角形，∴△CDQ为等腰三角形．①当CQ=CD时，可得：﹣x=5，解得：x=．②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，∴CM=CD=．∵cos∠C=，∴，∴CQ=．∴﹣x=解得：x=…（1分）③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，∴CQ=2CN．∵cos∠C==∴，∴CN=4，∴CQ=8，∴﹣x=8解得：x=﹣（舍去）．∴综上所述，BP=或．点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．。

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2024年上海市宝山区九年级中考二模数学试卷(含解析)

2024年上海市宝山区九年级中考二模数学试卷(含解析)

图1上海市宝山区2023学年第二学期期中考试九年级数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 二次根式有意义，则x 的取值范围是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．2. 如果关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m 的值是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）．3. 下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，两次都是正面向上的概率是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．5. 上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数(AQI )：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ▲ ）（A ）平均数； （B ）中位数； （C ）众数； （D ）方差．6. 如图1，△ABC 中，∠C =90°，AB =5，，如果以点C 为圆心，半径为R 的⊙C 与线段A B 有两个交点，那么⊙C 的半径R 的取值范围是（ ▲ ）（A ）； （B ）；（C ）；（D ）．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1-x 0>x 0≥x 1>x 1≥x 20x x m --=1-41-411122+=x y 122+-=x y 1+=x y 1+-=x y 4131216121=tanB 52≤<R 52≤≤R 525≤≤R 50≤<R【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 计算：＝ ▲ .8. 因式分解：m 2－3m ＝ ▲ .9. 不等式 x －12＜0的解集是 ▲ .10. 方程的解是 ▲ .11. 我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应是 ▲ .12. 某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为 ▲ 只.13. 《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 ▲ 尺.14. 如图2，街心花园有A 、B 、C 三座小亭子，A 、C 两亭被池塘隔开，A 、B 、C 三亭所在的点不共线设AB 、BC 的中点分别为M 、N 如果MN=3米，那么AC = ▲ 米.15. 如图3，正六边形ABCDEF ，连接OE 、OD ，如果那么 ▲ .16. 为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图4），矩形ABCD 是观众观演区，阴影部分是舞台，CD 是半圆O 的直径，弦EF 与CD 平行．已知EF 长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 ▲ 名观众.17. 如图5，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为_______．26a a ÷x x -=-2,,b OE a OD ===AB 21S S 图2图4图318. 如图6，菱形ABCD 的边长为5，cosB ＝，E 是边CD 上一点（不与点C 、D 重合），把△ADE 沿着直线AE翻折，如果点D 落在菱形一条边的延长线上，那么CE 的长为▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）计算：．20. （本题满分10分）解方程：．21.（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y 轴分别交于点A、B ，与反比例函数的图像交于点C (2，m )．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C 作x 轴的平行线l ，如果点D 在直线l 上，且CD =3，求△ABD 的面积．22.（本题满分10分）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图8），图9是它的侧面示意图，遮阳篷长AC ＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A 离地高度AB ＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF ＝36.9°，夏至正5423813---）12113+=+xx 3y x =+x ky =图7图6图5午太阳光照入射角∠CEF ＝82.4°，因此，点D 、E 之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE 的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin 17.5°≈0.3，cos 17.5°≈0.95，tan 17.5°≈0.32；sin 36.9°≈0.6，cos 36.9°≈0.8，tan 36.9°≈0.75；sin 82.4°≈0.99，cos 82.4°≈0.13，tan 82.4°≈7.5.23.（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图10，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为点E ，联结AC 、DO ，延长DO 交AC 于点F ．（1）求证：AF 2＝OF·DF ；（2）如果CD ＝8，BE ＝2，求OF 的长．24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图11），已知开口向下的抛物线经过点P （0，4），顶点为A ．（1）求直线PA 的表达式；（2）如果将△POA 绕点O 逆时针旋转90°，点A 落在抛物线上的点Q 处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA 平移，平移后抛物线的顶点为B ，与y 轴交于点C .如果，求的值．422+-=x ax y AB PC 2=PBC tan∠图10图8图925.（本题满分14分，第(1)小题①满分4分，第(1)小题②满分4分，第(2)小题满分6分）已知AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上不与A 、B 重合的点，将弧AC 沿直线AC 翻折，翻折所得的弧交直径AB 于点D ，E 是点D 关于直线AC 的对称点．（1）如图12，点D 恰好落在点O 处.① 用尺规作图在图12中作出点E （保留作图痕迹），联结AE 、CE 、CD ，求证：四边形ADCE 是菱形；② 联结BE ，与AC 、CD 分别交于点F 、G ，求的值；（2）如果AB ＝10，OD ＝1，求折痕AC 的长．上海市宝山区2023学年第二学期期中考试九年级数学试卷答案解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.二次根式有意义，则x 的取值范围是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）．【答案】D【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数要≥0.【详解】由题意得，FG BE1-x 0>x 0≥x 1>x 1≥x 10x -≥图12备用图∴所以答案选D2. 如果关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m 的值是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）．【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根∴∴1+4m=0∴m=∴答案选B3. 下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）.【答案】D【分析】本题考查一次函数，二次函数的图像与性质【详解】A 选项，二次函数，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，右侧不满足题意，故A 错；B 选项，二次函数，开口向下，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，不满足题意，故B 错；C 选项，一次函数，k ＞0，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，故C 错；D 选项，一次函数，k ＜0，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，故D 正确。

2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)

2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学　试卷（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点 （2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知， ，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。

2024年中考数学第二次模拟考试+解析(上海卷)

2024年中考数学第二次模拟考试+解析(上海卷)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列图形中，为中心对称图形的是( ) A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正五边形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合； 是中心对称图形的只有B ． 故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 1=−C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=−− 【答案】C【详解】A ．∵x4＞0，∴x4+2=0B ．，无解，故本选项不符合题意；C ．∵x2+2x−1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1xx −=11x −，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA +=（ ） A ．AB ； B ．BA ；C ．0；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断． 【详解】AB BA +=0． 故选C ．4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7 B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ， ∴AD OP ⊥，∵∠POQ=30°，⊙A 半径长为2，即2AD =， ∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+−=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 7．分解因式：2218m −= ．【答案】()()233m m +−/()()233m m −+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m −=2（m2-9） =2（m+3）（m -3）．故答案为：2（m+3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．x −的解是 ． 【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】把方程两边平方得x+2＝x2， 整理得（x ﹣2）（x+1）＝0， 解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解． 故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 9．函数y =x 的取值范围是 ． 【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠， 故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG = （用a b 、表示）. 【答案】23a b−+. 【详解】试题分析： ∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b =，∴23AG b=，又∵BG AG AB =−，AB a =，∴2233BG b a a b =−=−+；故答案为23a b −+．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是 . 【答案】13【详解】解: 列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程2234404x x x x+−+=−中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解． 【详解】方程2234404x x x x +−+=−可变形为x2-4x+214x x −+4=0,因为24y x x =−，所以340y y ++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是 ． 【答案】7r >/7r <【分析】由题意，⊙O1与⊙O2内含，则可知两圆圆心距d r r <−小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r−>，解得7r>．故答案为：7r>．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是．【答案】100（1＋x）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x的一元二次方程．故答案为：100（1＋x）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x，根据题意可得：100（1＋x）2＝200．故答案为：100（1＋x）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是．【答案】【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO＝12BD，BD⊥AC，在Rt△ABO中，由cos∠ABO即可求得BO，继而得到BD的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB CD∥，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC：∠BCD＝1：2，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，BO＝12BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，cos∠ABO＝BOAB＝，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×＝∴BD＝2BO＝故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC = ．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为 ．【答案】9【分析】连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，由3tan 4B =，10AB =，可得AE=6，BE=8，并求出AC 的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果． 【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点， 3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB+=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8， 又12BC =，∴CE=BC -BE=4，∴AC ==作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴6AF ==，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，那么⊙A的半径长为．2=+可得结论；【分析】分两种情况：①如图，A与O内切，连接AO并延长交A于E，根据AE AO OE=−可得结论．②如图，A与O外切时，连接AO交A于E，同理根据AE OA OE【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A与O内切时，连接AO并延长交O于E，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒，根据勾股定理得：OA ，2AE OA OE ∴=+；即A 2；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得2AE AO OE =−，即A 2，综上，A 22．2．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()202201cot 453sin 30π−−︒+−−︒ ．【答案】【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．202201(cot 45)(3)(sin30)π−−︒++−−︒202211(1)1()2−=−+−112=−=【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积； （2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积； （2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB=AC=6，cosB=23，AH 是△ABC 的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，=∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CHAB HB DE HF ==，．∵AD ：DB=1：2，BH=CH ，∴AD ：AB=1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE=3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝kx的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝kx的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k 的值； (2)求点B 的坐标． 【答案】(1)2(2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22k k =，解方程求得k ＝2； （2）先求得A 的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入解得b 52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B 的坐标． 【详解】（1）解：∵点A 是反比例函数y kx =的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2， ∴22kk =， ∴2k ＝4，解得k ＝±2， ∵k ＞0， ∴k ＝2； （2）∵k ＝2， ∴反比例函数为y2x =，正比例函数为y ＝2x ，把y ＝2代入y ＝2x 得，x ＝1， ∴A （1，2）， ∵AB ⊥OA ，∴设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入得2112=−⨯+b ， 解得b52=，解21522y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点B 的坐标为（4，12）．待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即AE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B ''的坡度为1：4，即B E A E ''＝1：4，∴A 'E ＝5×4＝20（m ）， ∴A A '＝20﹣9.6＝11.4（m ），A 'G ＝4NG ＝4×0.9＝3.6（m ），∴AG ＝11.4﹣3.6＝7.8（m ），点M 到点G 的最多距离MG ＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m ）， ∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE=CE ．即可以利用“AAS”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE ADCB AC =．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠． 又∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ，∴在AED △和CEF △中，ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌， ∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形． （2）∵//AD BC ， ∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE ADCB AC =， ∴ADE CAB ∽△△， ∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥． ∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =−++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式； (2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标． 【答案】(1)2312355y x x =−++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2−．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，DF =E 作EK DF ⊥于K，根据等腰直角三角形的性质可得KF KE =DK DF KF =−=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c=−++，得：15503b c c −++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =−++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE =，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==， (4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =−++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒，45DFH ∴∠=︒，DF =过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =−=，KF KE ∴=，DK DF KF ∴=−=在Rt DKE ∆中，cot 2DK EDF KE ∠=；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF EDED EP =，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，又2EF =，ED102(1)y ∴=−，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DPPD FP =，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，3FP y =−，DP ，29(1)(3)y y y ∴+=−−，解得32y =−，∴点P 的坐标为3(4,)2−； 综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2−． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质． 25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时， ①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；② (2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA ABAP OA =，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，利用勾股定理列方程求出OH 的长，从而得出AH ，即可求得面积； （2）联结OC ，AC ，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，再利用SSS 说明△OAP ≌△OCP ，得∠OAP ＝∠OCP ，从而解决问题． 【详解】（1）①证明：∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ， ∵PA ＝PO ， ∴∠BAO ＝∠POA ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ， ∴∠AOB ＝∠APO ；②解：∵∠AOB ＝∠APO ，∠OAB ＝∠PAO ，∴△AOB ∽△APO ， ∴OA AB AP OA =， ∴OA2＝AB•AP ＝1，∵点B 是线段AP 的中点，∴AP作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，由勾股定理得，12﹣x22x ）2，解得x ＝，∴OH ＝4，由勾股定理得，AH ，∴△AOP 的面积为1122OP AH ⨯⨯=＝； （2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP＝β+α，∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2023年上海市奉贤区中考数学二模试卷(含答案)

2023年上海市奉贤区中考数学二模试卷(含答案)

2023年上海市奉贤区中考数学二模试卷（完卷时间100分钟，满分150分） （202305）考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，有理数是（ ）（A ）8； （B ）9； （C ）10； （D ）12． 2．下列运算正确的是（ ）（A ）325a a a +=； (B) 32a a a −=； (C) 326a a a ⋅=； (D) 32a a a ÷=． 3．下列函数图像中，可能是反比例函数xy 6=的图像的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）4．在一次学校的演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分这两组数据相比，一定不变的是（ ）（A ）中位数； （B ）众数； （C ）平均数； （D ）方差． 5．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）（A ）对角线相等； （B ）对角线互相垂直； （C ）对角线平分一组对角； （D ）对角线互相平分．6．如图1，矩形ABCD 中，AB =1，∠ABD=60°，点O 在对角线BD 上，圆O 经过点C ．如果矩形ABCD 有2个顶点在圆O 内，那么圆O 的半径长r 的取值范围是（ ） （A ）0＜r ≤1； （B ）1＜r ≤3； （C ）1＜r ≤2； （D ）3＜r ≤2．图1A BCD图5ACBD 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：()23ab = ．8．化简分式bab b+的结果为 ． 9．如果关于x 的方程022=+−m x x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 ． 10．如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与221yx x =−+−的图像重合，那么这个二次函数的解析式是 ．11．如果正比例函数kx y =（k 是常数，k ≠0）的图像经过点（4，-1），那么y 的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）12．布袋里有4个小球，分别标注了数字﹣1、0、2、3，这些小球除了标注数字不同外，其它都相同．从布袋里任意摸出一个球，这个球上标注数字恰好是正数的概率是 ． 13．图2是某商场2022年四个季度的营业额绘制成的扇形统计图，其中二季度的营业额为100万元，那么该商场全年的营业额为 万元．14．如图3，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，E 是边DC 的中点，联结BE ．如果设a AD =，b BD =，那么BE = ▲ （含a 、b 的式子表示）． 15．在△ABC 中，AB=AC ，如果BC =10，135cos =B ，那么△ABC 的重心到底边的距离为 ．16．如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是90°，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是 ．17．如图4，某电信公司提供了A 、B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A 方案与B 方案的通话时间相差 分钟．18．如图5，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、AB 上，EF ⊥CE ．将△CDE 沿直线CE 翻折，如果点D 的对应点恰好落在线段CF 上，那么∠EFC 的正切值是 ．E图3 ACBD图47050 30120 170 200 250x （分）（元）A 方案B 方案y 图2三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2202321113231−⎛⎫−+−−−− ⎪−⎝⎭（）．20．（本题满分10分）解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−<−−≤−；，52157353131x x x x 将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．21.（本题满分10分，每小题满分5分）如图6，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 上有一点A （3，2），将点A 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B ，点B 恰好在直线l 上． （1）写出点B 的坐标，并求出直线l 的表达式；（2）如果点C 在y 轴上，且∠ABC=∠ACB ，求点C 的坐标．-2 1 2 34-1 0 xOxy11 图6A （3，2）图7-1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图7-2是它的示意图．经过测量，支架的立柱AB 与地面垂直（∠BAC=90°），AB =2.7米，点A 、C 、M 在同一水平线上，斜杆BC 与水平线AC 的夹角∠ACB=33°，支撑杆DE ⊥BC ，垂足为E ，该支架的边BD 与BC 的夹角∠DBE=66°，又测得CE =2.2米．（1）求该支架的边BD 的长；（2）求支架的边BD 的顶端D 到地面AM 的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据:sin33054.︒≈，sin66091.︒≈，cos33084.︒≈，cos66040.︒≈，tan33065.︒≈，tan66225.︒≈）23．（本题满分12分，每小题满分6分）已知：如图8，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，射线EF 交AD 的延长线于点G ． （1）求证：CE =CF ；（2）如果DG AG FG ⋅=2，求证：BEAFAE AG =．图7-2ABC DEM 图7-1立柱支撑杆斜杆图8FE CABO图9xy 如图9，在平面直角坐标系中，抛物线32++−=bx x y 与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC 、BC ，D 为x 轴上方抛物线上一点（与点C 不重合），如果△ABD 的面积与△ABC 的面积相等，求点D 的坐标； （3）设点P （m ，4）（m >0），点E 在抛物线的对称轴上（点E 在顶点上方），当∠APE =90°， 且45=AP EP 时，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第（2）(3)小题满分5分）在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =4，∠ABC =90°，BD =BC ，过点C 作对角线BD 的垂线，垂足为E ，交射线BA 于点F .（1）如图10，当点F 在边AB 上时，求证：△ABD ≌△ECB ； （2）如图11，如果F 是AB 的中点，求FE :EC 的值； （3）联结DF ，如果△BFD 是等腰三角形，求BC 的长．xOy E图10 ABCDFE图11ABCDF参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. B2. D3. C4. A5. A6. B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 9. 1 10. y=-2x 11. 减小 12.13. 50014. 15. 4 16.17. 30 18. 2三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. -720. 解不等式（1）得2x ≤．解不等式（2）得12x >−． 解集在数轴上正确表示．所以，不等式组的解集是：122x −<≤． 它的整数解是0，1，221. （1）由题意得点B 的坐标为（0，-2） 直线的表达式是（2）点C 的坐标为（0，6）22. （1）该支架的边BD 的长7米（2）支架的边BD 的顶端D 到地面AM 的距离为6.5米23. （1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∠B =∠ADF ．∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，∴90AEB AFD ∠=∠=︒． ∴ABE ADF ∆≅∆． ∴BE=DF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=DC ． ∴BC -BE=DC-DF ，即CE=CF ．（2）∵DG AG FG ⋅=2，∴FG DGAG FG．∵∠G=∠G ，∴△GDF ∽△GFA ．∴∠GFD =∠GAF ．∵AD //BC ，∴DF DGCF CE．∵CE=CF ，∴DF =DG ． ∴∠GFD =∠G ． ∴∠G=∠GAF ．∵ABE ADF ∆≅∆，∴∠BAE =∠GAF ． ∴∠BAE=∠G ．∵AD //BC ，∴∠AEB =∠GAE ． ∴△AEG ∽△EBA ．∴AG AE AEBE． ∵AE =AF ，∴BEAFAE AG =． 24. （1）抛物线的表达式是； 该抛物线的对称轴是直线x=-1（2）点D 的坐标（-2，3）（3）点E25. （1）∵CF ⊥BD ，∴∠CEB =90°．∵AD//BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A =90°，∠ADB =∠CBE ． ∴∠CEB =∠A ．∵BD=BC ，∴△ABD ≌△ECB ．（2（3）如果△BFD 是等腰三角形，BC=8。

上海中考二模数学试题及答案

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上海中考二模数学试题及答案一、选择题1. 若集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，B = {2, 4, 6, 8,10}，则A ∩ B = （）A. {2, 4, 6}B. {1, 2, 3}C. {8, 10}D. {1, 3, 5, 7}2. 已知直线l与x轴交于点A，直线l与y轴交于点B，则下列说法中正确的是（）A. 点(0, 0)在l上B. 点(0, 1)在l上C. A与B的横坐标之积小于0D. A、B的横坐标之积大于03. 方程（x-2）²-4 = 0的根是（）A. 0B. 2C. 4D. 64. a1, a2, a3, ...是等差数列，若a1+a9=28，a5+a11=24，则该数列首项为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在Rt△ABC中，AB=12，AC=16，则BC的长度为（）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：1. A 2. D 3. B 4. C 5. B二、填空题1. 若a:b=2:3，且a:b:c=3:5:7，求c。

2. 设二次函数f(x)=-2x²+3x+4，若f(x)的图像与x轴交于点A、B，且AB=4，则A、B的横坐标分别为___。

3. 已知平行四边形ABCD中，AB=2a，AD=a+3，AC=4a-3，则BD 等于___。

4. 已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(-x)=___。

5. 若函数y=f(x)=ax²+x-1在区间[0, 1]上是增函数，则a的取值范围是___。

答案：1. 7 2. (-1, 3) 3. 2a-3 4. f(x) 5. a>0三、解答题1. 已知等差数列S的首项为a，公差为d，且S1 + S2 + S3 = 15，求S6的值。

解答：设等差数列的第n项是Sn，则有Sn = a + (n-1)d。

根据等差数列和公式，可以得到：S1 = aS2 = a + dS3 = a + 2dS6 = a + 5d给出条件S1 + S2 + S3 = 15，代入上面的式子可以得到：a + (a + d) + (a + 2d) = 153a + 3d = 15再考虑到S6 = a + 5d，将3a + 3d = 15带入可以得到：3a + 3d = 153(a + d) = 15a + d = 5将a + d = 5带入S6 = a + 5d：S6 = 5 + 5dS6 = 5(d + 1)所以S6的值为5(d + 1)。

上海市2022-2021年中考数学二模试卷含答案

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精品 Word 可修改 欢迎下载中考数学二模试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．考试中不能使用计算器．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．8的相反数是…………………………………………………………………………………（ ▲ ）(A)18； (B)8；(C)18-；(D)8-．2．下列计算正确的是…………………………………………………………………………（ ▲ ）(A)235；(B)23a a a +=；(C)33(2)2a a =；(D)632a a a ÷=．3．今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数14375那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是……………………………………………（▲）(A)15,14；(B)15,15；(C)16,14；(D)16,15．4．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x 本画册，列方程正确的是………………………（ ▲ ） (A)120240420x x -=+； (B)240120420x x -=+；(C)120240420x x -=-；(D)240120420x x-=-． 5．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是……………………………（ ▲ ）(A) 等边三角形；(B) 平行四边形；(C) 菱形；(D) 正五边形．6．已知ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，点F 是BC 边上一点，联结AF 交DE 于点G ，那么下列结论中一定正确的是………………………………………（ ▲ ）(A)EG FGGD AG=； (B)EG AEGD AD=； (C)EG AGGD GF=； (D)EG CFGD BF=． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）精品 Word 可修改 欢迎下载7．因式分解：29x -= ▲ ．8．不等式组1023x x x -<⎧⎨+>⎩的解集是 ▲ ．9．函数12y x =-的定义域是 ▲ ． 10．方程13x +=的解是 ▲ ．11．已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从中随机摸得1个红球的概率为18，那么袋子中共有 ▲个球．12．如果关于x 的方程240x x k +-=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是 ▲ ．13．如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(1,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是▲．14．某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按,,,A B C D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B 的作品数为 ▲ ．15．已知梯形ABCD ，AD BC ∥，2BC AD =，如果AB a =，AC b =，那么DA = ▲ ． （用,a b 表示）．16．如图，正六边形ABCDEF 的顶点B 、C 分别在正方形AGHI 的边AG 、GH 上，如果4AB =，那么CH 的长为 ▲ ．17．在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是边AB 上一点（不与A 、B 重合），以点A 为圆心，AE 为半径作A ⊙，如果C ⊙与A ⊙外切，那么C ⊙的半径r 的取值范围是 ▲ ． 18．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD翻折得到AED △，联结CE ，那么线段CE 的长等于 ▲．三、解答题（本大题共7题，满分78分）（第14题图）（第16题图）H DCIFB A GE （第18题图）DCBAE精品 Word 可修改 欢迎下载19．（本题满分10分）120227(32)9( 3.14)π-+-- 20．（本题满分10分）解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点， 过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ． （1）如图1，当PD AB ∥时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长．22．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：摄氏度数x （℃） … 0 … 35 … 100 … 华氏度数y （℉）…32…95…212…（1）选用表格中给出的数据，求y 关于x 的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？ 23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）（第21题图1） A B O PC D （第21题图2）OA BDPC精品 Word 可修改 欢迎下载如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CM EK CK=； （2）求证：BD AE =．24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，已知ABC △中，8AB =，10BC =，12AC =，D 是AC 边上一点，且2AB AD AC =⋅，联结BD ，点E 、F 分别是BC 、AC 上两点（点E 不与B 、C 重合），AEF C ∠=∠，AE 与BD 相交于点G ．（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）设BE x =，CF y =，求y 与x （3）联结FG ，当GEF △是等腰三角形时，求BE（第23题图）ABK MCDEA BCD GEFA BCDyx A BC O精品 Word 可修改 欢迎下载参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ； 2．B ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．(3)(3)x x +-； 8．31x -＜＜； 9．2x ≠； 10．8x =；11．24； 12．4-； 13．22y x x =+； 14．48；15．1122a b -； 16．623-； 17．813r ＜＜； 18．145. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）精品 Word 可修改 欢迎下载19．（本题满分10分）解：原式3374331=--……………………………………………………8分93=-2分20．（本题满分10分）解：由①得30x y +=或30x y -=………………………………………………1分由②得2x y -=或2x y -=-………………………………………………1分 ∴原方程组可化为302x y x y +=⎧⎨-=⎩，302x y x y +=⎧⎨-=-⎩，302x y x y -=⎧⎨-=⎩，302x y x y -=⎧⎨-=-⎩……4分解得原方程组的解为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩………4分21．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：联结OD∵直径12AB =∴6OB OD ==……………………………………1分∵PD OP ⊥∴90DPO =︒∠∵PD AB ∥∴180DPO POB +=︒∠∠∴90POB =︒∠……1分 又∵30ABC =︒∠，6OB =∴3023OP OB tan =︒=1分 ∵在Rt POD △中，222PO PD OD +=……………………………1分 ∴222(23)6PD +=∴6PD =1分 （2）过点O 作OH BC ⊥，垂足为H ∵OH BC ⊥∴90OHB OHP ==︒∠∠ ∵30ABC =︒∠，6OB =∴132OH OB ==，3033BH OB cos =︒=2分 ∵在⊙O 中，OH BC ⊥∴33CH BH ==1分精品 Word 可修改 欢迎下载∵BP 平分OPD ∠∴1452BPO DPO ==︒∠∠∴453PH OH cot =︒=……………………………………………1分 ∴333PC CH PH =-=………………………………………1分22．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：设(0)y kx b k =+≠………………………………………………1分把0x =，32y =；35x =，95y =代入，得323595b k b =⎧⎨+=⎩……………1分解得9532k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩……………………………………………………………………2分∴y 关于x 的函数解析式为9325y x =+……………………………………1分（2）由题意得：932565x x +=+………………………………………………4分解得30x =…………………………………………………1分∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56 23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ABC EKC =∠∠……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴AMB ECK =∠∠……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵AM 是△ABC 的中线∴BM CM =………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥ ∴DE CMEK CK=………………………………………………………2分精品 Word 可修改 欢迎下载又∵AB CMEK CK=∴DE AB =………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE =………………………………………………………1分24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，………………………1分将A （0,3）、B （4，1）、C （3,0）代入，得 1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………2分所以，这个二次函数的解析式为215322y x x =-+……………………………1分 （2）∵A （0,3）、B （4，1）、C （3,0） ∴32AC =2BC =5AB =∴222AC BC AB +=∴90ACB =︒∠………………………………………………………2分 ∴21332BC tan BAC AC ===∠……………………………………………2分 （3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3） ∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠精品 Word 可修改 欢迎下载∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 1° PAG CAB =∠∠则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH =∴2115322x x x =-解得11x =………………………1分 ∴点P 的坐标为(11,36)……………………………………………………1分 2° PAG ABC =∠∠则3tan PAG tan ABC ==∠∠ 即3PH AH =∴231522x x x =-解得173x =…………………………1分 ∴点P 的坐标为1744(,)39……………………………………………………1分 25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） （1）∵8AB =，12AC =又∵2AB AD AC = ∴163AD =∴16201233CD =-=……………………………1分∵2AB AD AC =∴AD ABAB AC= 又∵BAC ∠是公共角 ∴ADB ABC △∽△…………………………1分 ∴ABD C =∠∠，BD ADBC AB= ∴203BD =∴BD CD =∴DBC C =∠∠………………………1分 ∴ABD DBC =∠∠∴BD 平分ABC ∠………………………1分 （2）过点A 作AH BC ∥交BD 的延长线于点H∵AH BC ∥∴16432053AD DH AH DC BD BC ==== ∵203BD CD ==，8AH =∴163AD DH ==∴12BH =……1分∵AH BC ∥∴AH HG BE BG =∴812BG x BG -=∴128xBG x =+…1分精品 Word 可修改 欢迎下载∵BEF C EFC =+∠∠∠即BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠ ∵AEF C =∠∠∴BEA EFC =∠∠又∵DBC C =∠∠∴BEG CFE △∽△……………………………………………………………1分∴BE BG CF EC =∴12810xx x y x+=- ∴228012x x y -++=…………………………………………………………1分（3）当△GEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：1° GE GF =易证23GE BE EF CF ==，即23x y =，得到4BE =………2分 2° EG EF =易证BE CF =，即x y =，5105BE =-…………2分 3° FG FE =易证32GE BE EF CF ==，即32x y =389BE =-2分。

2024上海静安区初三二模数学试卷及答案

更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘｕｅ更多资料联系老师微信：更多资料联系老师微信：ｏｆｓｈｅｎｇｘ静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2024.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．A ；3．C ；4．C ；5．D ；6．A .二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．12-；8．1-≠x ；9．2=x ；10．60；11．1≤a 且0≠a ；12．一、三；13．41；14．12″5；15．a b 22-；16．)0,21(-；17．5>r ；18．171716或171764．三、（本大题共7题,第19~22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分）19.22424412x x xx x x x -+÷--++-解：原式=221)2()2)(2(2--++⋅--+x xx x x x x ………………………………………………（5分）=221---+x xx x ………………………………………………（2分）=21-x ………………………………………………（1分）将2=x 代入得，原式=222+-．………………………………………………（2分）20.⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-6233403xx x 解：由①得：3≤x ………………………………（2分）由②得：x x ->+98，1->x ………………………………（4分）∴不等式组的解集为31≤<-x ………………………………（2分）∴整数解为0,1,2,3．………………………………（2分）21.已知：如图，CD 是⊙O 的直径，AC 、AB 、BD 是⊙O 的弦，AB ∥CD ．（1）求证：AC =BD ；（2）如果弦AB 长为8，弧AB 的拱高为2，求CD 的长．解：（1）作直径MN ⊥CD 交AB 于点E ，交⊙O 于点M 、N ，∵AB ∥CD ，∴∠MEB =∠MOD =90°，即MN ⊥AB ，……………（2分）∴,,⋂=⋂⋂=⋂MD MC MB MA …………………………（2分）∴,⋂=⋂BD AC ∴AC =BD.…………………………（1分）•BACDO 第21题图E NM（2）联结AO ，ME =2，AB 长为8，设圆的半径为r ，OE =r -2………………………………（1分）Rt △AOE 中,∵直径MN ⊥AB 于点E ，∴AE =4∵222OE AE OA +=,即222)2(4-+=r r ，解得5=r ，…………（3分）∴CD=2r =10.………………………………（1分）22.解：（1）设直线AC 表达式为)0(≠+=k b kx y ，将A （1，10.0）、C （3，12.4）代入得⎩⎨⎧=+=+4.12310b k b k ，解得：⎩⎨⎧==8.82.1b k ………………………………………………（4分）∴直线AC 表达式为8.82.1+=x y AC ．………………………………（1分）（2）0125.02=AC S ；………………………………………………（2分）选用直线AC ：8.82.1+=x y AC ；………………………………………………（2分）∴根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为14.8百亿元…………………（1分）23.证明：（1）∵矩形ABCD ,∴∠ADC =90°，∴∠ADE +∠CDF =90°，∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ,在Rt △ADE 中，∠ADE +∠EAD =90°，∴∠CDF =∠EAD ，…………………（2分）又∵∠E =∠F =90°，∴Rt △ADE ∽Rt △DCF ，…………（1分）得DF AEDC AD =,…………………（1分）∵DE =DF ，∴DE AE DC AD =,即DE DC AE AD =,∴Rt △ADC ∽Rt △AED ，………（2分）∴AD AC AE AD =,即AC AE AD ⋅=2．…………………（1分）（2）联结BD ，交AC 于点O ，∵矩形ABCD ,∴AC =BD ，BD DO AC AO 21,21==,∴AO =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，…………………（1分）又∵Rt △ADC ∽Rt △AED ，∴∠OAD =∠EAD ，…………………（1分）∴∠ODA =∠EAD ，∴AE ∥OD ，∴∠BDE =∠E =90°，即BD ⊥EF ，…………………（2分）∵DE =DF ，∴BD 垂直平分EF ，∴BE =BF ．…………………（1分）24.解：（1）∵抛物线经过A （0，3），∴设为32++=bx ax y ，…………………（1分）A BDCFE第23题图∵关于直线25=x 对称，∴252=-a b ，a b 5-=，∴设为352+-=ax ax y ，……………（1分）将B （3，0）代入得03159=+-a a ，解得21=a ，25-=b ，∴抛物线表达式为325212+-=x x y .…………………（2分）（2）∵横坐标为4的点C 在此抛物线上，代入解析式由计算得C （4，1）,……………（1分）又∵A （0，3），B （3，0）∴18992=+=AB ，2112=+=BC ，204162=+=AC ，∴222AC BC AB =+,∴∠CBA =90°,…………………（1分）∴Rt △ABC 中，31232tan ===∠BA BC BAC .…………………（2分）（3）∵AC 边确定，点P 在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC =45°，由于抛物线顶点与AC 夹角小于45°，∴点P 一定在点C 上方，作PQ ⊥y 轴于Q ，∵∠BAO =∠P AC =45°,即∠BAO +∠P AC =90°,∴∠P AQ +∠BAC =90°,∵∠APQ +∠P AQ =90°,∴∠APQ =∠BAC ,……………（2∴在Rt △PQA 、Rt △ACB 中,tan∠APQ =tan∠BAC ,,31==AB BC PQ AQ ,∴3AQ =PQ ,设P （x ,325212+-x x ）,PQ =x ，AQ =OQ －OA =x x 25212-,代入3AQ =PQ ,得x x x =-)2521(32，解得317=x ，代入944331725)317(213252122=+⨯-=+-=x x y ，∴P （944,317）．……………（2分）25.解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于H ，AB =6，BC =9，cos ∠在Rt △ABH 中,316==BH AB BH ，∴BH =2，……………（1分）AH =2422=-BH AB ，HC =7，……………（2分）在Rt △AHC 中,AC ==+22HC AH 9,……………（1分）∴Rt △AHC 中，924sin ==AC AH C .……………（1分）（2）∵⊙P 与⊙Q 外切，⊙P 的半径为x ，⊙Q 的半径为y ，∴PQ =x+y ，由已知BP =6－x ，BQ =29，…………（1分）过点P 作PG ⊥BC 于G ，∵Rt △BPG 中31cos =B ，∴)6(31x BG -=，)6(32222x BG PG -==,x x GQ 3125)6(3129+=--=，…………（2分）∴在Rt △PGQ 中,22GQ PG PQ +=41539)3125()6(98222+-=++-=+=x x x x y x PQ ，…………（1分）∴x x x y -+-=415392，定义域为4171<≤x .…………（2分）（3）∵△BPQ 是等腰三角形（i）当BP =BQ 时，296=-x ,23==x AP ；（ii）当BQ =PQ 时，∠BPQ =∠B =∠A ,∴PQ //AC ，点Q 是边BC 的中点，∴P 为AB 中点，∴3=AP ；（iii）当BP =PQ 时，PG ⊥BC ，此时BQ =2BG ，29632=-）（x ，43-=x ，不合题意，舍去∴如果△BPQ 是等腰三角形，AP 的长为23或3.……………（3分）ABCQP第25题图2G。

2023年上海市宝山区中考二模数学试卷含答案

2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习九年级数学练习卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列运算正确的是（）（A ）632a a a =+；（B ）235+=a aa ；（C ）236·=a a a ；（D ）()236=a a ．2．在（）（A ）1和2之间；（B ）2和3之间；（C ）3和4之间；（D ）4和5之间．3．如果一个三角形的两边长分别为5cm 、10cm ，那么这个三角形的第三边的长可以是（）（A ）3cm ；（B ）5cm ；（C ）10cm ；（D ）16cm ．4．已知点D 、E 分别在△ABC 的边CA 、BA 的延长线上，DE ∥BC ，DE ∶BC =1∶3，设DA a =，那么CD 用向量a表示为（）（A ）3a；（B ）-3a；（C ）4a；（D ）-4a．5．在研究反比例函数的图像时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，那么这个点是（）x ．．．-2-1212．．．y．．．-14-2-1．．．（A ）(-2,-1)；（B ）（-12，4）；（C ）(1,-2)；（D ）(2,-1)．6．已知点A 、B 、C 在圆O 上，那么下列命题为真命题．．．的是（）．（A ）如果半径OB 平分弦AC ，那么四边形OABC 是平行四边形；（B ）如果弦AC 平分半径OB ，那么四边形OABC 是平行四边形；（C ）如果四边形OABC 是平行四边形，那么∠AOC =120°；（D ）如果∠AOC =120°,那么四边形OABC 是平行四边形．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：()22-=．8．分解因式：228-+x =．9．分式13x -中字母x 的取值范围是．10．如果关于x 的方程022=-+k x x 有两个相等的实数根，那么k =．11．在平面直角坐标系中，如果点),3(x x A -在第二象限，那么x 的取值范围是．12．一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．13．已知一次函数3y =x +m 的图像经过点（-1,1），那么m =．14．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图像如图1所示，那么旅客最多可免费携带行李千克．15．如图2，在正五边形ABCDE 中，F 是边BC 延长线上一点，联结AC ，那么∠ACF 的度数为．16．如图3，已知点E 在矩形ABCD 的边AD 上，且BC =EC =8，∠ABE =15°，那么AB 的长等于．17．如图4，已知△ABC 中，∠BAC =30°，∠B=70°，如果将△ABC 绕点C 顺时针旋转到△A’B’C ，使点B 的对应点B’落在边AC 上，那么∠AA’B’的度数是．18．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，点D 在边BC 上，且△ABD 是“倍角互余三角形”，那么BD 的长等于．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：138123272sin 45---+-1⎛⎫⎪︒⎝⎭．（图1）（图2）（图4）（图3）Ox （千克）y (元)660801020.（本题满分10分）解方程组：224152 5.，x y x y ⎧-=⎨-=⎩21.（本题满分10分）某校开设了A 、B 、C 、D 、E 五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从A 、B 、C 、D 、E 中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图5）和扇形统计图（图6），两个统计图都尚未完成．（1）求本次问卷调查中最喜欢E 类课程的学生人数，并在图5中补全相应的条形图；（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体初中学生中最喜欢D 类兴趣课的人数是多少？22．（本题满分10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图7），图8是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE 和“房顶”等腰三角形ABE 组成．已知BC =4．5厘米，CD =8厘米，AB =AE =5厘米．（1）求“房顶”点A 到盒底CD 的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC 的长度（即线段AB 与BC 的和）及矩形BCDE 的面积均不改变，且5sin =13∠ABE ，BC ＞CD ，求新造型“盒身”的高度（即线段BC 的长）．（图7）（图8）人数兴趣课类别（图5）（图6）调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图23．（本题满分12分）如图9，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB=OC ．（1）求证：AB =CD ；（2）E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果2=·AO OF OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++-=2经过点A (-3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求二次函数的解析式和顶点D 的坐标；（2）联结AC ，试判断△ACD 与△BOC 是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F ，联结EF ，如果四边形CEFD 的面积为3，求新抛物线的表达式．（图9）（备用图）25．（本题满分14分）如图10，已知半圆O 的直径AB =4，C 是圆外一点，∠ABC 的平分线交半圆O 于点D ，且∠BCD =90°，联结OC 交BD 于点E ．（1）当∠ABC =45°时，求OC 的长；（2）当∠ABC =60°时，求OEEC的值；（3）当△BOE 为直角三角形时，求sin ∠OCB 的值．2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习九年级数学练习卷评分参考一、选择题1.D ；2.B ；3.C ；4.D ；5.A ；6.C二、填空题7.2；8.)2)(2(2-+-x x ；9.3≠x ；10.-1；11.30<<x ；12.41；13.4；14.30；15.144；16.4；17.20；18.59或541441-.三、简答题19.解：原式1212323-++-=...........................................6分122323+++-=...........................................2分2122-=.....................................................2分20.解：由①得③，15)2)(2(=-+y x y x .................................3分将②代入③中得，32=+y x .........................................2分原方程组化为⎩⎨⎧=-=+5232y x y x ...........................................2分解此二元一次方程组得⎩⎨⎧-==12y x ............................................................2分所以原方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x ........................................1分21.解：（1）20÷40%=50（人）.................................................2分50×10%=5（人）................................................2分图略...........................................................2分（2）A ：5÷50=10%....................................................1分D ：1-10%-12%-40%-10%=28%........................................1分500×28%=140（人）..........................................1分所以本次问卷调查中最喜欢E 类课程的学生人数是5估计该校全体初中学生中最喜欢D 类兴趣课的人数是140........................................1分22.解：（1）过点A 做AH ⊥BE 垂足为H ....................................1分∵矩形BCDE ∴BE=CD=8厘米..................................1分∵AB=AE ∴BH=21BE=4厘米..................................1分Rt △ABH 中∵AB ²=BH ²+AH ²∴AH=3厘米....................1分∴点A 到盒底CD 的距离是3+4.5=7.5厘米...........................1分（2）3685.4=⨯=BCDE S 矩形平方厘米AB +BC=5+4.5=9.5厘米设BC=x 厘米则CD=x 36厘米BH=x18厘米AB=（x -5.9）厘米..................................................1分∵135sin =∠ABE ∴1312cos ==∠AB BH ABE ∴xx 1813)5.9(12⋅=-.................................................1分得0391922=+-x x 解得2131=x 32=x ..............................2分∵BC ＞CD 32=x 舍去∴BC=213厘米.................................1分23.证明：（1）∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB....................................1分∵AD //BC ∴∠OBC=∠ADO ∠OCB=∠DAO∴∠OAD=∠ODA..............................................1分∴OA=OD ...................................................1分∴OA +OC=OD +OB ∴AC=BD...................................1分∵AD //BC AB 与CD 不平行∴四边形ABCD 是梯形∴梯形ABCD 是等腰梯形......................................1分∴AB=DC .....................................................1分（2）∵AO ²=OF ·OC ∴AO OCOF AO =...........................................1分∵AD //BC ∴OD BOOA OC =.................................................1分∴ODBO OF AO =..........................................................2分∴DF //AB..............................................................1分∵AD //BE ∴四边形ABED 是平行四边形..................................1分24.解：（1）∵抛物线c bx x y ++-=2过点A （-30）、B （10）∴⎩⎨⎧=+-=-.1,93c b c b 解方程组得b=-2c=3...........................2分∴抛物线表达式是322+--=x x y ................................1分可得抛物线的顶点D 的坐标为（-14）............................1分（2）由322+--=x x y 得点C 的坐标是（03）∴OC=3.由A （-30）、B （10）D （-14）得AC=23OB=1AD=52CD=2∴CD ²+AC ²=20AD ²=20∴CD ²+AC ²=AD ²∴∠ACD=90°.......................................................1分∴∠ACD=∠BOC ........................................................1分∵31232==AC CD 31=OC OB ∴AC CD OC OB =∴ACOC CD OB =...........................................1分∴△ACD ∽△BOC .......................................................1分（3）原抛物线的对称轴是直线x=-1..........................................1分设新抛物线的表达式为y=-x ²+k ∴它的顶点E 的坐标是（0k ）（0≤k ≤3）................................1分∴点F 的坐标是（-1k -1）............................................1分∴EC=3-k DF=4-k+1=5-k∵CE ∥DF ∴四边形DCEF 是梯形∴S 梯形DCEF =31)53(21=⨯-+-⨯k k 解得k =1所以新抛物线的表达式是y=-x ²+1...............................1分25.解：（1）联结OD 过点O 做OH ⊥BC 垂足为H ...........................1分∴∠OHC =∠OHB=90°.∵AB=4∴OB=OD =2∴∠ODB =∠OBD ∵BD 平分∠ABC ∴∠OBD =∠DBC ∴∠DBC =∠ODB∴OD //BC ∴∠DOH =∠OHB=90°∴四边形DOHC 是矩形∴OD=HC =2............................1分Rt △BOH 中sin ∠OBH =22=OB OH ∴OH=2...................1分Rt △COH 中∵OC ²=CH ²+OH ²∴OC =6........................1分（2）Rt △BOH 中cos ∠OBH 21OB BH ......................................1分∴BH=1................................................................1分∴CB=CH+BH=3......................................................1分∵OD//BC ∴32==BC OD EC OE ...............................................2分（3）（i ）当∠EOB=90°时设BH=x 则BC=x +2∵OH ⊥BC ∴∠OHB=∠COB=90°.∵∠OBH=∠COB ∴△BOH ∽△BCO ....................................1分∴OB ²=BH ·BC ∠BOH=∠BCO ∴x ²+2x -4=0解得x 1=51+-x 2=51--（不合题意舍去）∴BH=51+-.∴sin ∠OCB=sin ∠BOH=215-=OB BH .....................................1分（ii）当四边形OBCD 是正方形时∠BEO=90°∴∠OCB=45°........................................................1分∴sin ∠OCB=sin45°=22................................................1分（iii）根据题意∠OBE=90°不成立........................................1分所以当△BOE为直角三角形时sin∠OCB的值是215或22.。

2022上海闵行区初三二模数学试卷及答案

第 1 页 共 5 页2021学年九年级第二学期模拟练习数 学 学 科（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中，一定是无限不循环小数的为（A （B ）27； （C ； （D ）0.2022022022…．2．下列运算正确的是（A ）2325m m m +=； （B ）236(2)8m m =； （C ）842m m m ÷=；（D ）22(2)4m m -=-． 3．在下列方程中，有实数根的是 （A 1=-； （B ）2310x x ++=； （C ）2230x x ++=；（D ）111x x x =--． 4．2019年1月1日“学习强国”学习平台正式上线，每天登录“学习强国”APP 学习可以获得积分．小张在今年5月份最后几天每天的学习积分依次为50，46，44，43，42，46，那么这组数据的中位数和众数分别是 （A ）44和50；（B ）44和46；（C ）45和46；（D ）45和50．5．在下列函数中，同时具备以下三个特征的是①图像经过点（1，1）；②图像经过第三象限；③当x <0时，y 的值随x 的值增大而增大．（A ）22y x =-+； （B ）y x =-； （C ）23y x =-+； （D ）1y x=． 6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，分别联结 DE 、EF 、DF 、AE ，点O 是AE 与DF 的交点，下列结论中，正确的个数是 ①△DEF 的周长是△ABC 周长的一半； ②AE 与DF 互相平分；③如果∠BAC = 90°，那么点O 到四边形ADEF 四个顶点的距离相等； ④如果AB = AC ，那么点O 到四边形ADEF 四条边的距离相等．（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．A D CB（第6题图）F EO 是二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．因式分解：−=x x 262 ▲ ． 8．计算：−++=a b a b 3(2)5(23) ▲ ． 9．已知函数=f x )(=f 3)( ▲ ． 10=5的根是 ▲ ．11．不等式组⎩>−⎨⎧>−x x x x 976162432的解集是 ▲ ．12．一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P 的横坐标x ，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P 的纵坐标y ，那么点P （x ，y ）落在直线=+y x 1上的概率是 ▲ ．13．明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长 ▲ 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）14．“双减”政策全面实施后，中学生可以自由选择是否参加校内课后延时服务，因此放学时间也有差异，有甲（16:30）、乙（17:20）、丙（18:00）三个时间点供选择．为了解某校七年级全体学生的放学时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行统计，绘制成如下不完整的统计图表，那么扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为 ▲ 度．15．如图，过原点且平行于=−y x 31的直线与反比例函数，=≠>xy k x k(00)的图像相交于点C ，过直线OC 上的点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图像于点D ，且AD = 2BD ，那么点C 的坐标为 ▲ ．16．如图，点G 为等腰△ABC 的重心，AC = BC ，如果以2为半径的⊙G 分别与AC 、BC相切，且CG =，那么AB 的长为 ▲ ．17．如图，已知点G 是正六边形ABCDEF 对角线FB 上的一点，满足BG = 3FG ，联结FC ，如果△EFG 的面积为1，那么△FBC 的面积等于 ▲ ．yOxCBAD（第15题图）放学时间 人数 甲（16:30） 10 乙（17:20） 26 丙（18:00） 未知乙甲 25%放学时间扇形统计图（第14题图）丙18．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，点M 是AB 的中点，将AM 沿CM 所在的直线翻折，点A 落在点A '处，A 'M ⊥AB ，且交BC 于点D ，A 'D ∶DM 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：+−−−34921120．（本题满分10分）解方程组：；⎩−=⎨⎧+=x y x y 490.52221．（本题满分10分）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？22．（本题共3小题，第（1）（2）小题各2分，第（3）小题6分，满分10分） 直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在△ABC 中，AB = AC ，顶角A 的正对记作pre A ，这时pre A 腰边底ABBC==． 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）pre60°的值为（ ▲ ）．（A ）21； （B ）1； （C）2； （D ）2．（2）对于0° < A < 180°，∠A 的正对值pre A 的取值范围是 ▲ ．（3）如果=A 17sin 8，其中∠A 为锐角，试求pre A 的值．（第21题图）B C A （第22题图）（第16题图） AC B G （第17题图）B AC F EDG （第18题图）ABC23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，此时点A 落在点F 处，线段EF 交CD 于点M ．过点F 作FG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ．（1）求证：BE = FG ；（2）如果⋅=⋅AB DM EC AE ，联结AM 、DE ，求证：AM 垂直平分DE ．24．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线=++y ax bx 42与x 轴相交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．将抛物线的对称轴沿x 轴的正方向平移，平移后交x 轴于点D ，交线段BC 于点E ，交抛物线于点F ，过点F 作直线BC 的垂线，垂足为点G ．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G 为圆心，BG 为半径画⊙G ；以点E 为圆心，EF 为半径画⊙E ．当⊙G 与⊙E 内切时．①试证明EF 与EB 的数量关系；②求点F 的坐标．AGB DMFCE （第23题图） （第24题图）yB OACDEFG25．（本题共3小题，第（1）（2）小题各4分，第（3）小题6分，满分14分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = 26，BC = 42，=B 13cos 5，AD = DC ．点M 在射线CB 上，以点C 为圆心，CM 为半径的⊙C 交射线CD 于点N ，联结MN ，交射线CA 于点G ．（1）求线段AD 的长； （2）设线段CM = x ，=GCy AG，当点N 在线段CD 上时，试求出y 关于x 的函数 关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DM ，当∠NMC = 2∠DMN 时，求线段CM 的长．（第25题图） N G M A B D C A B DC（备用图）2021学年九年级第二学期模拟练习数学学科答案要点及评分标准一、选择题：1．C；2．B；3．B；4．C；5．A；6．D．二、填空题：7．2(3)x x−；8．1612a b+；910．23x=−；11．34x−<<；12．13；13．15；14．36；15．；16．17．4；18．三、解答题：19．解：原式14323=+−++2分+2分+2分+2分）133=．……………………………………………………………………（2分）20．解：由②得：230x y+=，230x y−=…………………………………………（2分）原方程组可化为5230x yx y+=⎧⎨+=⎩，5230x yx y+=⎧⎨−=⎩………………………………（2分）解得原方程组的解为1115 10x y =⎧⎨=−⎩，2223xy=⎧⎨=⎩…………………………………（4分）∴原方程组的解是1115 10x y =⎧⎨=−⎩，2223xy=⎧⎨=⎩．………………………………………（2分）21．解：设玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”．…………………………（1分）根据题意，列方程得600060001020x x=−+；…………………………………（2分）化简得：220120000x x+−=；………………………………………………（2分）解得：1100x=，2120x=−；…………………………………………………（2分）经检验，1100x=是原方程的根，且符合题意，2120x=−不符合题意舍去．（2分）答：玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．……………………………（1分）22．解：（1）B．……………………………………………………………………………（2分）（2）0< pre A<2．……………………………………………………………………（2分）（3）过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．………………………………………（1分）∵8sin 17A =，∴令AB =17k ，BD =5k ，（k ≠0）………（1分） 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，AD =2222(17)(8)15AB BD k k k −=−=，…………（1分） ∵等腰△ABC ，∴AB=AC =17k ．∴DC =2k ．………（1分） 在Rt △BCD 中，BC =22(8)(2)217k k k +=．…（1分） ∴pre A 2172171717BC k AB k ===．……………………（1分）23．证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠ECD=90°；∴∠BAE+∠BEA=90°．………………………………………（1分） 又∵FG ⊥BC ，∴∠BGF=∠B=90°；……………………………（1分） ∵线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，即：∠AEF=90°，∴∠GEF+∠BEA=90°；…………………………………………（1分） ∴∠BAE =∠GEF ．………………………………………………（1分） 在△ABE 与△EGF 中， B BGF BAE GEF AE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△EGF ．…………………………………………………（1分） ∴BE =FG ．…………………………………………………………（1分） （2）∵∠B=∠ECD ，∠BAE =∠GEF ，∴△ABE ∽△ECM ． ∴AB AEEC EM=．……………………………（1分） ∵AB DM EC AE ⋅=⋅，∴AB AEEC DM=．…………………………（1分） ∴AE AEEM DM=．∴ EM =DM ．……………………………………（1分） 在Rt △AEM 与Rt △ADM 中，∠AEF=∠D=90° EM DMAM AM =⎧⎨=⎩∴Rt △AEM ≌Rt △ADM ．……………………………………………（1分） ∴AD =AE ．∴点A 在线段DE 的垂直平分线上；………………………………（1分）D CAB （第22题图）∵EM =DM ，∴点M 在线段DE 的垂直平分线上．………………（1分） ∴AM 垂直平分DE ．24．解：（1）∵点A 坐标为（-1，0），点B 坐标为（3，0）．设抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+−≠， ∵抛物线经过点C （0，4），∴43a =−．解得43a =−． ……………………………………………（2分）∴抛物线的表达式是248433y x x =−++．……………………………（2分）（2）①由于⊙G 与⊙E 内切，当GErr>时，则GB - EF =GE ．………………………………………（1分）又∵GE= GB - EB ，∴EF = EB ．…………………………（1分）当GE rr <时，则EF - GB =GE ．………………………………………（1分）设EF = 5t ，FG = 3t ，GE =4t ，则5t - GB=4t ， ∴GB= t<GE=4t ，∴点E 在线段CB 的延长线上． 又∵已知点E 在线段BC 上，∴矛盾，因此不存在．②∵OC ⊥OB ，FD ⊥OB ，∴∠COB=∠EDB=90°．∴4tan ==3ED OC OBC BDOB=∠．∴设BD =t ，则DE =43t ．…………（1分）∴在Rt △BED 中，∠BDE =90°，53BE t ===．∴45333DF DE EF t t t =+=+=． ………………………………（1分） ∴F 坐标为（3-t ，3t ）．………………………………………………（1分） ∵F 点在抛物线248433y x x =−++上， ∴2483(3)(3)433t t t =−−+−+．…………………………………（1分）∴解得74t =，0t =（点F 与点B 重合，舍去）． ∴F 坐标为（54，214）．……………………………………………（1分）25．（1）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点G ，∵在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，AB=26，5cos 13B =，∴BH = 10，AH = 24．…………………………………………（1分） ∴32CH BC BH =−=．∵在Rt △AHC 中，∠AHC=90°，AH = 24，CH = 32，∴40AC ==．…………………………………………（1分） 过点D 作DH AC ⊥，垂足为点E ， ∵AD = DC ，∴∠DAC =∠DCA ，1202AC AE ==． ∵AD//BC ，∴DAC ACB DCA ∠=∠=∠…………………………………（1分） ∴在Rt ADE 中，4cos 5cos AE CH AD AC DAC ACB ==∠=∠=， ∴25AD CD ==．……………………………………………………（1分） （2）参考方法一：以C 为圆心，CM 为半径作圆，交射线CD 于点N ，联结MN ．∵CM = CN ，∠ACB =∠DCA ， ∴CG ⊥AC ，12MG MN =．……………………（1分） ∵在Rt MGC 中，∠MGC=90°，CM =x ，35sin ACB =∠， ∴35MG x =，45CG x =，∴45AG AC GC x =−=．………………（1分） ∴50(025)AG x y x GC x−==<≤．……………………………（1分+1分） 参考方法二：延长MN 交AD 的延长线于点F ． ∵AD//BC ，∴DF DN CMCN=，AF AG CMGC=…………………………（1分）∵CM = CN = x ，CD = AD = 25，∴ DN = 25 - x ， ∴25DF x x x−=，∴ DF = 25 - x …………………………（1分） ∴AF = 25 - x ， ∴50(025)AG xy x GC x−==<≤．……………………………（1分+1分） （3）当点N 在线段CD 上时，∵CM =CN ，∴∠NMC =∠MNC ．∵∠NMC =2∠DMN ，∠MNC =∠DMN+∠MDN ， ∴∠DMN =∠MDN ．∴DN = MN = 25 - x ………………………………………………（1分）∵35MG x=，12MG MN=，∴65MN x=．∴6255x x=−…………………………………………………………（1分）∴12511x=，即CM =12511．………………………………………（1分）当点N在线段CD的延长线上时，DN = x -25．延长DA交射线MN于点P．∵∠NMC=2∠DMN，∴∠NMD=∠DMC…………………………（1分）∵AD//BC，∠NMC=∠MNC，∴∠NGD=∠MNC，NG DN GM DC=．∴DN = GD = x - 25．∵AD//BC，∴∠GDM=∠DMC，∴∠NMD=∠GDM．∴GM = GD = x - 25．∴6(25)2552525x xxx−−−=−，……………………………………（1分）∴55x=，即CM = 55．………………………………………（1分）综上所述，线段CM的长为12511或55．。

2024年上海虹口区初三二模数学试卷和答案

上海虹口区2024年初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1.下列各数中，无理数是（）A.211B.3.14159C.D.1.22.关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m £ C.m 1≥ D.1m >3.已知二次函数()24y x =--，如果函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（）A .4x ≥ B.4x ≤ C.4x ≥- D.4x ≤-4.下列事件中，必然事件是（）A.随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C.在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D.在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180︒5.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和AD 上，2BE =，6AF =，如果AE CF ，那么ABE 的面积为（）A.6B.8C.10D.126.在ABCD Y 中，5BC =，20ABCD S = ．如果以顶点C 为圆心，BC 为半径作C ，那么C 与边AD 所在直线的公共点的个数是（）A.3个B.2个C.1个D.0个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.38-=___．8.分解因式：229a b -=_______．9.解不等式：()5232x x +≤+，的解集为________.10.函数1y x =+的定义域是11.将抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．12.在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25，那么白球的个数是________．13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．14.一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y （厘米），燃烧的时间为t （分钟），那么y 关于t 的函数解析式为________（不写定义域）．15.如图，正六边形螺帽的边长是4cm ，那么这个扳手的开口a 的值是______．16.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，连接AC ，设AB a =，AC b =，那么用向量a 、b 表示向量EF = ________．17.如图，在ABCD Y 中，7AB =，8BC =，4sin 5B =．点P 在边AB 上，2AP =，以点P 为圆心，AP 为半径作P ．点Q 在边BC 上，以点Q 为圆心，CQ 为半径作Q ．如果P 和Q 外切，那么CQ 的长为________．18.如图，在扇形AOB 中，105AOB ∠=︒，8OA =，点C 在半径OA 上，将BOC 沿着BC 翻折，点O 的对称点D 恰好落在弧AB 上，再将弧AD 沿着CD 翻折至弧1A D （点1A 是点A 的对称点），那么1OA 的长为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭，其中m =20.解方程组：222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩21.如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点(),2A m 和点()2,4B -，与y 轴交于点C ．点()1,D n -在反比例函数图像上，过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求CDE 的面积．22.根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BM 表示，地面用AN 表示，斜坡用AB 表示．已知BM AN ∥，高架路面BM 离地面的距离BH 为25米，斜坡AB 长为65米．素材2如图②，矩形ECKG 为一辆大巴车的侧面示意图，CK 长为10米，EC 长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形ECKG 的顶点K 与点B 重合，点B 与指示路牌底端P 点之间的距离BP 为6.5米，且BP BM ⊥．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离FD 为1米．问题解决任务一如图①，求斜坡AB 的坡比．任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即P 、E 、F 在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾EC 的距离CD ．23.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至点D ，使得DB CB =，过点A 、D 分别作AE BC ∥，DE BA ∥，AE 与DE 相交于点E ，连接BE ．（1）求证：BE CD ⊥；（2）连接AD 交BE 于点F ，连接CE 交AD 于点G ．如果FBA ADB ∠=∠，求证：23AG AB =．24.新定义：已知抛物线2y ax bx c =++（其中0abc ≠），我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”．例如：抛物线2231y x x =++的“轮换抛物线”为223y x x =++．已知抛物线1C ：()2445y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ，抛物线1C 、2C 与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线2C 的顶点为P ．（1）如果点E 的坐标为()0,1，求抛物线2C 的表达式；（2）设抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点()4,M n -在抛物线2C 上，点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当PMN PEF △∽△时，求m 的值．25.在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在射线DA 上，点F 在射线AB 上，连接CE 、DF 相交于点P ，EPF ABC ∠=∠．（1）如图①，如果AB CD =，点E 、F 分别在边AD 、AB 上．求证：AF DFDE CE=；（2）如图②，如果AD CD ⊥，5AB =，10BC =，3cos 5ABC ∠=．在射线DA 的下方，以DE 为直径作半圆O ，半圆O 与CE 的另一个交点为点G ．设DF 与弧EG 的交点为Q ．①当6DE =时，求EG 和AF 的长；②当点Q 为弧EG 的中点时，求AF 的长．虹口区2024年初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷含答案（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1.下列各数中，无理数是（）A.211B.3.14159C.D.1.2【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A 、211是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C是无理数，故本选项正确；D 、1.2是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2.关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m £ C.m 1≥ D.1m >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程220x x m -+=无实数根，则判别式()224240b ac m ∆=-=--<解得1m >，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的判别式24b ac ∆=-，当0∆>时有两个不相等的实数根，当Δ0=时，有两个相等的实数根，当Δ0<时，无实数根．3.已知二次函数()24y x =--，如果函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（）A.4x ≥B.4x ≤ C.4x ≥- D.4x ≤-【答案】A 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数()24y x =--，可得()24y x =--函数图象开口向下，对称轴为4x =，函数值y 随自变量x 的增大而减小，则4x ≥，得以解答．【详解】解：二次函数()24y x =--，10-< ，∴()24y x =--函数图象开口向下，对称轴为4x =，∴4x ≥时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选：A ．4.下列事件中，必然事件是（）A.随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C.在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D.在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180︒【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180︒，是必然事件；故选D ．5.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和AD 上，2BE =，6AF =，如果AE CF ，那么ABE 的面积为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，，进而证明四边形AECF 是平行四边形，得到6AF CE ==，则8AB BC BE CE ==+=，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，，∵AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴6AF CE ==，∴8AB BC BE CE ==+=，∴1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△，故选：B ．6.在ABCD Y 中，5BC =，20ABCD S = ．如果以顶点C 为圆心，BC 为半径作C ，那么C 与边AD 所在直线的公共点的个数是（）A.3个B.2个C.1个D.0个．【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到AD 的距离d ，比较d 与半径BC 的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形ABCD 中，5BC =，20ABCD S = ，设点C 到AD 的距离为d ，∴点C 到AD 的距离2054d =÷=，45BC<=∴直线AD 与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，∴2-，故答案为：-28.分解因式：229a b -=_______．【答案】()()33a b a b +-【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：229a b -=()()33a b a b +-故答案为：()()33a b a b +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9.解不等式：()5232x x +≤+，的解集为________.【答案】2x ≤【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：()5232x x +≤+去括号，5263+≤+x x移项，5362x x -≤-合并同类项，24x ≤化系数为1，2x ≤故答案为：2x ≤．10.函数y =的定义域是【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴10x +>∴1x >-故答案为1x >-11.将抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】()253y x =--【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为()22314y x =--+-，即()253y x =--．故答案为：()253y x =--．12.在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是20.25n=，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，()20.25P A n==8n ∴=，∴白球有826-=个故答案为：6．13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，∴该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有26120078040⨯=（名），故答案为：780．14.一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y （厘米），燃烧的时间为t （分钟），那么y 关于t 的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】300.3y t=-【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为15500.3÷=（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，∴经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，∴蜡烛燃烧的速度为15500.3÷=（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，300.3y t \=-，故答案为：300.3y t =-．15.如图，正六边形螺帽的边长是4cm ，那么这个扳手的开口a 的值是______．【答案】43【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得ACD 是含30︒角的直角三角形，再根据4AC =即可求出AD 和AB ．【详解】解：如图，连接AB ,则a AB =，过点C 作CD AB ⊥于D螺帽是正六边形120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥，AC BC =1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒,AD BD =4AC = 334322AD AC ∴==⨯=2233a AB AD ∴===⨯．故答案为：3．16.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，连接AC ，设AB a =，AC b = ，那么用向量a 、b 表示向量EF = ________．【答案】33a b -+【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：AB a = ，AC b = ，BC BA AC a b \=+=-+ ，,2AD BC BC AD = ∥，111222AD BC a b \==-+ ，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ , 点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，111222EA BA AB a \==-=- ，111244DF DC a b \==+ ，11111332224444EF EA AD DF a b a b a b 骣骣琪琪\=++=-+-+++=-+琪琪桫桫 ，故答案为：3344a b -+ ．17.如图，在ABCD Y 中，7AB =，8BC =，4sin 5B =．点P 在边AB 上，2AP =，以点P 为圆心，AP 为半径作P ．点Q 在边BC 上，以点Q 为圆心，CQ 为半径作Q ．如果P 和Q 外切，那么CQ 的长为________．【答案】3714##9214【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作PH BC ⊥于点H ，连接PQ ，先求出43PH BH ==，，设CQ a =，在Rt QPH △中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作PH BC ⊥于点H ，连接PQ ，7AB = ，2AP =，725BP \=-=，在Rt BPH 中，4sin 5B =，455PH \=，43PH BH \===，，设CQ a =，P Q e 和Q 外切，P 半径为2，2PQ a \=+，在Rt QPH △中，4,835PH HQ a a ==--=-，()()222452a a ∴+-=+，解得：3714a =，故答案为：3714．18.如图，在扇形AOB 中，105AOB ∠=︒，8OA =，点C 在半径OA 上，将BOC 沿着BC 翻折，点O 的对称点D 恰好落在弧AB 上，再将弧AD 沿着CD 翻折至弧1A D （点1A 是点A 的对称点），那么1OA 的长为________．【答案】8-##8-+【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接OD ，由翻折得1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，，证出OBD 是等边三角形，设AC a =，在Rt COD 中，根据勾股定理列方程并解出AC 进而求出结论．【详解】解：连接OD ，由翻折得：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，，OC CD =，OB OD = ，OBD ∴△是等边三角形，60OBD ∴∠=︒，3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°，设AC a =，则1882OC a CD A O a =-==-，，在Rt COD 中，8OC CD a ==-，()()222888a a ∴-+-=，解得：12888a a =-=+>（舍去），(128288OA OA AC ∴=-=--=，故答案为：8-．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭，其中m =【答案】1m m -，222-【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=；当m =122m m --==．20.解方程组：222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩【答案】121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到()(2)0+-=x y x y ，然后令因式2x y -和因式x y +分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知：222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②对方程②进行因式分解得：()(2)0+-=x y x y 即20x y -=或0x y +=∴原方程组化为2620x y x y -=⎧⎨-=⎩或260x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩故原方程组的解为：1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21.如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点(),2A m 和点()2,4B -，与y 轴交于点C ．点()1,D n -在反比例函数图像上，过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求CDE 的面积．【答案】（1）反比例函数为8y x=-，一次函数解析式2y x =--（2）92【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（1）利用待定系数法求解即可；（2）先分别求出C 、D 、E 的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为k y x=，把点()2,4B -代入k y x =得，428k =-⨯=-，∴反比例函数为8y x =-，把点(),2A m ，点()1,D n -代入8y x =-，得82m =-，881n =-=-，∴4m =-，8n =，∴点()4,2A -，点()1,8D -，设一次函数解析式y cx d =+，把点()4,2A -，点()2,4B -代入得4224c dc d -=+⎧⎨=-+⎩，解得12c d =-⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式2y x =--；【小问2详解】∵一次函数解析式2y x =--，∴()0,2C -,把点()1,D n -代入8y x =-，得881n =-=-，∴8n =，∴点()1,8D -，∵DE x ⊥轴，∴点E 的横坐标为1-，把1x =-代入2y x =--得121y =-=-，∴()1,1E --,∴189DE =+=，∴119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .22.根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BM 表示，地面用AN 表示，斜坡用AB 表示．已知BM AN ∥，高架路面BM 离地面的距离BH 为25米，斜坡AB 长为65米．素材2如图②，矩形ECKG 为一辆大巴车的侧面示意图，CK 长为10米，EC 长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形ECKG 的顶点K 与点B 重合，点B 与指示路牌底端P 点之间的距离BP 为6.5米，且BP BM ⊥．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离FD 为1米．问题解决任务一如图①，求斜坡AB 的坡比．任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即P 、E 、F 在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾EC 的距离CD ．【答案】任务一：斜坡AB 的坡比1:2.4i =；任务二：12.5米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作PO DB ⊥交DB 延长线于点O ，作FQ PO ^于点Q ，交CE 于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明FER FPQ ∽，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在Rt ABH △中，BH 为25米，斜坡AB 长为65米，60AH \==（米），∴斜坡AB 的坡比251:2.460BHi AH ===；任务二：如图③，作PO DB ⊥交DB 延长线于点O ，作FQ PO ^于点Q ，交CE 于点R ，则四边形CRQO 为矩形，四边形FDCR 为矩形，,1RQ CO FR DC FD CR OQ \=====，米，3.51 2.5ER \=-=米，,90ABH PBO O H �行=� ，BP 为6.5米，25cos cos 6.565BO PBO ABH \Ð==Ð=，解得： 2.5BO =米，6PO \==米，615PQ ∴=-=米，10 2.512.5RQ CO ==+=米，,EC AB PQ AB ^^ ，ER PQ \∥，FER FPQ \ ∽，ERFRPQ FQ \=，2.5512.5FRFR \=+，解得：12.5FR =，经检验，12.5FR =是原方程的解，12.5CD FR \==米．23.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至点D ，使得DB CB =，过点A 、D 分别作AE BC ∥，DE BA ∥，AE 与DE 相交于点E ，连接BE ．（1）求证：BE CD ⊥；（2）连接AD 交BE 于点F ，连接CE 交AD 于点G ．如果FBA ADB ∠=∠，求证：23AG AB =．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形AEDB 是平行四边形，得出AE CB =从而证出四边形AEBC 是矩形，即可证明结论；（2）设EF BF a ==，算出AE =，证明AEG DCG V ∽△，求出3AG =，AB =进而证出结论；【小问1详解】证明： AE BD ，DE BA ∥，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE BD =，BD CB =，∴AE CB =，又 AE BD ，点D 在CB 的延长线上，∴AE CB ∥，∴四边形AEBC 是平行四边形，又 90C ∠=︒，∴四边形AEBC 是矩形，∴BE CD ⊥；【小问2详解】解：如图，四边形AEDB 是平行四边形，,EF BF AF DF \==，设EF BF a ==，FBA ADB Ð=Ð ，tan tan FBA ADB \Ð=Ð，AEBFBE BD \=，AE BD = ，222AE a \=，AE ∴=，BD BC AE \===，AE CD ，AEG DCG \ ∽，12AE AG CD DG \==，在Rt DBF △中，DF ==，AD\=，3AG \=，在Rt ABC △中，AB ==，2333AG AB \==，3AG AB \=．24.新定义：已知抛物线2y ax bx c =++（其中0abc ≠），我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”．例如：抛物线2231y x x =++的“轮换抛物线”为223y x x =++．已知抛物线1C ：()2445y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ，抛物线1C 、2C 与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线2C 的顶点为P ．（1）如果点E 的坐标为()0,1，求抛物线2C 的表达式；（2）设抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点()4,M n -在抛物线2C 上，点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当PMN PEF △∽△时，求m 的值．【答案】（1）241y x x =+-（2）20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）1m =-或1732【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点()0,1E 代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线2C 表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出PQ EF =列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求()4,45M m --，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出2PN 及2PF ，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线1C ：()2445y mx m x m =+-+与y 轴交于点E 坐标为()0,1，当0x =，1y =代入，得1m =，451m \-=-，∴抛物线1C 表达式为241y x x =-+，∴抛物线1C 的“轮换抛物线”为2C 表达式为241y x x =+-；【小问2详解】解：抛物线1C ：()2445y mx m x m =+-+，当0x =时，y m =，即与y 轴交点为()0,E m ，抛物线1C ：()2445y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ，∴抛物线2C 表达式为()2445y mx mx m =++-，同理抛物线2C 与y 轴交点为()0,45F m -，抛物线2C 对称轴为直线422mx m =-=-，当2x =-时，5y =-，∴抛物线2C 的顶点坐标为()25P --，，当2x =-时，382y x =+=，∴抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+交点()2,2Q -，点E 在点F 的上方，45m m \>-，解得：53m <，()4553EF m m m \=--=-，四边形PQEF 为平行四边形，PQ EF \=，即()2553m --=-，解得：23m =-，20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；【小问3详解】解： 点()4,M n -在抛物线2C 上，当4x =-时，()244545y mx mx m m =++-=-，即()4,45M m --，点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()25P --，，()0,E m ，()0,45F m -，()222125225724PN 骣琪\=-++-+=琪桫，()()22222455416PF m m =-+-+=+，()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ，()111557242222PMN M P S PN x x 骣琪=×-=´-+´-+=琪桫 ，PMN PEF ∽，222PEF PMN S PF PF S PN PN 骣琪\==琪桫 25341652524m m -+\=，解得：12171,32m m =-=．25.在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在射线DA 上，点F 在射线AB 上，连接CE 、DF 相交于点P ，EPF ABC ∠=∠．（1）如图①，如果AB CD =，点E 、F 分别在边AD 、AB 上．求证：AF DF DE CE =；（2）如图②，如果AD CD ⊥，5AB =，10BC =，3cos 5ABC ∠=．在射线DA 的下方，以DE 为直径作半圆O ，半圆O 与CE 的另一个交点为点G ．设DF 与弧EG 的交点为Q ．①当6DE =时，求EG 和AF 的长；②当点Q 为弧EG 的中点时，求AF 的长．【答案】（1）见解析（2）①181313EG =；215AF =；②15【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠，A EDC ∠=∠，DEC BCE ∠=∠，根据三角形的外角性质得出FPE CED EDP ∠=∠+∠，进而可得ADF DCE ∠=∠，即可证明ADF DCE ∽，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明ADF PDE ∽，如图所示，过点A 作AM BC ⊥于点M ，连接DG，得出cos 13DEC ∠=，sin 13DEC ∠=，解直角三角形，分别求得EG ，EP ，进而根据相似三角形的性质求得AF 的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出OQ EQ ⊥，根据题意可设EPF ABC α∠=∠=，ODQ OQD β∠=∠=，则90αβ+=︒，得出43tan tan 34αβ==，，设12FR a =，则9AR a =，则15AF a =，在Rt DFR 中，得出16DR a =，根据1697AD DR AR a a a =-=-=得出1a =，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，∴B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠，A EDC ∠=∠，DEC BCE ∠=∠，又∵FPE CED EDP ∠=∠+∠，EPF ABC∠=∠∴ADF DCE∠=∠∴ADF DCE ∽，∴AF DFDE CE =；【小问2详解】解：∵EPF ABC ∠=∠，DPC EPF∠=∠∵180FPC DPC ∠+∠=︒，则180FPC B ∠+∠=︒∴180ECB PFB ∠+∠=︒∴ECB AFD∠=∠∵AD BC∥∴ECB DEC∠=∠又∵EDP FDA∠=∠∴ADF PDE ∽，如图所示，过点A 作AM BC ⊥于点M ，连接DG ，∵5AB =，3cos 5ABC ∠=∴3BM =，则4AM =，4sin 5AMABC AB ∠==，∵,AD BC AD CD⊥∥∴4CD AM ==∵10BC =∴1037AD MC BC BM ==-=-=又∵6DE =∴1AE =，在Rt EDC 中，6,4ED CD ==∴EC ===∴cos 13DEDEC EC ∠===，sin 13DC DEC EC ∠===∵ED 为直径∴90DGE ∠=︒∴3131813cos 61313EG ED DEC =⨯∠=⨯=，2131213sin 61313DG ED DEC =∠=⨯=∴1513134sin sin 135DG DG PD DPG ABC ====∠∠，31513913cos 51313PG PD DPG =∠=⨯=，则91313EP EG PG =-=，∵ADF PDE∽∴AF ADPE PD=∴913721135D A PE AF PD ⨯⋅===②过点F 作FR AD ⊥于点R，初中31∵ EQGQ =∴OQ EQ⊥∵OQ OD=∴ODQ OQD∠=∠设EPF ABC α∠=∠=，ODQ OQD β∠=∠=，则90αβ+=︒∵3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=，则35PG PD =设3,5PG k PD k ==，则4GD k=∴43tan tan 34αβ==，∵AD BC∥∴RAF α∠=设12FR a =，则9AR a =，∴15AF a =，在Rt DFR 中，3tan 4RF DR β==∴16DR a=又∵1697AD DR AR a a a =-=-=7=∴1a =∴15AF =【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

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