学高中数学导数及其应用定积分的概念教师用书教案新人教A版选修

１．５定积分的概念学习目标核心素养１．了解定积分的概念．（难点）２．理解定积分的几何意义．（重点、易错点）３．通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．（难点）４．能用定积分的定义求简单的定积分．（重点）１．通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.２．借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.１．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程（１）曲边梯形的面积１曲线梯形：由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f （x）所围成的图形称为曲边梯形（如图１所示）．２求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图２所示）．图１图２３求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．（２）求变速直线运动的（位移）路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v（t），那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.２．定积分的概念如果函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x １＜…＜x i —１＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i —１，x i ]上任取一点ξi （i ＝１,２，…，n ）作和式错误!f （ξi ）Δx ＝错误! 错误!f （ξi ），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f （x ）在区间[a ，b ]上的定积分，记作错误!f （x ）d x ，即错误!f （x ）d x ＝错误!.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f （x ）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f （x ）d x 叫做被积式．思考：错误!f （x ）d x 是一个常数还是一个变量？错误!f （x ）d x 与积分变量有关系吗？ [提示] 由定义可得定积分错误!f （x ）d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即错误!f （x ）d x ＝错误!f （t ）d t ＝错误!f （u ）d u .３．定积分的几何意义与性质 （１）定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b （a ＜b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：１ ２ ３１在区间[a ，b ]上，若f （x ）≥0，则S ＝错误!f （x ）d x ，如图１所示，即错误!f （x ）d x ＝S . ２在区间[a ，b ]上，若f （x ）≤0，则S ＝—错误!f （x ）d x ，如图２所示，即错误!f （x ）d x ＝—S . ３若在区间[a ，c ]上，f （x ）≥0，在区间[c ，b ]上，f （x ）≤0，则S ＝错误!f （x ）d x —错误!f （x ）d x ，如图３所示，即错误!（S A ，S B 表示所在区域的面积）．（２）定积分的性质１错误!kf （x ）d x ＝k 错误!f （x ）d x （k 为常数）；２错误![f １（x ）±f ２（x ）]d x ＝错误!f １（x ）d x ±错误!f ２（x ）d x ； ３错误!f （x ）d x ＝错误!f （x ）d x ＋错误!f （x ）d x （其中a ＜c ＜b ）．１．在“近似代替”中，函数f （x ）在区间[x i ，x i ＋１]上的近似值（ ） Ａ．只能是左端点的函数值f （x i ）Ｂ．只能是右端点的函数值f （x i＋１）Ｃ．可以是该区间内任一点的函数值f （ξi）（ξi∈[x i，x i＋１]）Ｄ．以上答案均正确C[作近似计算时，Δx＝x i＋１—x i很小，误差可忽略，所以f （x）可以是[x i，x i＋１]上任一值f （ξi）．]２．如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为（）Ａ．错误!２x d x Ｂ．错误!（２x—１）d xＣ．错误!（２x＋１）d x Ｄ．错误!（１—２x）d xB[根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为错误!２x d x—错误!１d x＝错误!（２x—１）d x.]３．已知错误!x２d x＝错误!，错误!x２d x＝错误!，错误!１d x＝２，则错误!（x２＋１）d x＝________.错误![∵错误!x２d x＝错误!，错误!x２d x＝错误!，错误!１d x＝２，∴错误!（x２＋１）d x＝错误!x２d x＋错误!x２d x＋错误!１d x＝错误!＋错误!＋２＝错误!＋２＝错误!.]求曲边梯形的面积[解] （１）分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点错误!，错误!，…，错误!把区间[0,１]等分成n个小区间：错误!，错误!，…，错误!，…，错误!，简写作错误!（i＝１,２，…，n）．每个小区间的长度为Δx＝错误!—错误!＝错误!.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS１，ΔS２，…，ΔS i，…，ΔS n.（２）近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间错误!上任取一点ξi（i＝１,２，…，n），为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f（ξi）的相反数—f（ξi）＝—错误!错误!为其一边长，以小区间长度Δx＝错误!为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i≈—f（ξi）Δx＝—错误!错误!·错误!（i＝１,２，…，n）．（３）求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即S＝错误!S i≈—错误!（ξi）Δx＝错误!错误!·错误!＝—错误![0２＋１２＋２２＋…＋（n—１）２]＋错误![0＋１＋２＋…＋（n—１）]＝—错误!·错误!n（n—１）（２n—１）＋错误!·错误!＝—错误!＝—错误!错误!.（４）取极限当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，此时—错误!错误!趋向于S.从而有S＝错误!错误!＝错误!.所以由直线x＝0，x＝１，y＝0和曲线y＝x（x—１）围成的图形面积为错误!.求曲边梯形的面积（１）思想：以直代曲．（２）步骤：分割→近似代替→求和→取极限．（３）关键：近似代替．（４）结果：分割越细，面积越精确．（５）求和时可用到一些常见的求和公式，如１＋２＋３＋…＋n＝错误!，１２＋２２＋３２＋…＋n２＝错误!，１３＋２３＋３３＋…＋n３＝错误!错误!.[跟进训练]１．求由抛物线y＝x２与直线y＝４所围成的曲边梯形的面积．[解] ∵y＝x２为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x２（x≥0）与直线x＝0，y＝４所围图形面积S阴影的２倍，下面求S阴影．由错误!得交点为（２,４），如图所示，先求由直线x＝0，x＝２，y＝0和曲线y＝x２围成的曲边梯形的面积．（１）分割将区间[0,２]n等分，则Δx＝错误!，取ξi＝错误!.（２）近似代替求和S n＝错误!错误!错误!·错误!＝错误![１２＋２２＋３２＋…＋（n—１）２]＝错误!错误!错误!.（３）取极限S＝错误!S n＝错误!错误!错误!错误!＝错误!.∴所求平面图形的面积为S阴影＝２×４—错误!＝错误!.∴２S阴影＝错误!，即抛物线y＝x２与直线y＝４所围成的图形面积为错误!.求变速直线运动的路程２在１≤t≤２这段时间行驶的路程是多少？[解] 将时间区间[１,２]等分成n个小区间，则第i个小区间为错误!，在第i个时间段的路程近似为Δs i＝v错误!Δt＝错误!·错误!，i＝１,２，…，n.所以s n＝错误!Δs i＝错误!错误!·错误!＝—错误![（n＋１）２＋（n＋２）２＋（n＋３）２＋…＋（２n）２]＋错误![（n＋１）＋（n＋２）＋…＋２n]＝—错误!错误!＋错误!·错误!＝—错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＋３＋错误!，s＝错误!s n＝错误!错误!＝错误!，所以这段时间行驶的路程为错误!km.求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[跟进训练]２．一物体自２00 m高空自由落下，求它在开始下落后的第３秒至第6秒之间的距离．（g＝9．8 m/s ２）[解] 自由落体的下落速度为v（t）＝gt.将[３,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为错误!.在第i个小区间错误!（i＝１,２，…，n）上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n＝错误!v错误!错误!＝错误!错误!·错误!＝错误!·错误!＝9g＋错误!·错误!＝9g＋错误! g·错误!.所以s＝错误!s n＝错误!错误!＝9g＋错误!g＝错误!×9．8＝１３２．３（m）．故该物体在下落后第３s至第6 s之间的距离是１３２．３m.利用定积分的性质及几何意义求定积分１．在定积分的几何意义中f（x）≥0，如果f（x）＜0，错误!f（x）d x表示什么？[提示] 如果在区间[a，b]上，函数f（x）＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图所示），由于Δx i＞0，f（ξi）＜0，故f（ξi）·Δx i＜0，从而定积分错误!f（x）d x＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即错误!f（x）d x＝—S或S＝—错误!f（x）d x.２．错误!错误!d x的几何意义是什么？[提示] 是由直线x＝0，x＝２，y＝0和曲线y＝错误!所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，２为半径的错误!圆的面积即错误!错误!d x＝π.３．若f（x）为[—a，a]上的偶函数，则错误!f（x）d x与错误!f（x）d x存在什么关系？若f（x）为[—a，a]上的奇函数，则错误!f（x）d x等于多少？[提示] 若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x；若f（x）为奇函数，则错误! f（x）d x＝0．【例３】说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．（１）错误!２d x；（２）错误!x d x；（３）错误!错误!d x.[解] （１）错误!２d x表示的是图１中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为２，所以错误!２d x＝２．１２３（２）错误!x d x表示的是图２中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为错误!，所以错误!x d x＝错误!.（３）错误!错误!d x表示的是图３中阴影部分所示的半径为１的半圆的面积，其值为错误!，所以错误!错误!d x＝错误!.１．（变条件）将例３（３）改为利用定积分的几何意义求错误!错误!d x.[解] 错误!错误!d x表示的是图４中阴影部分所示半径为１的圆的错误!的面积，其值为错误!，∴错误!错误!d x＝错误!.２．（变条件）将例３（３）改为利用定积分的几何意义求错误!错误!d x.[解] 错误!错误!d x表示的是图５中阴影部分所示半径为１的错误!圆的面积，其值为错误!，∴错误!错误!d x＝错误!.３．（变条件）将例３（３）改为利用定积分的几何意义求错误!（x＋错误!）d x.[解] 由定积分的性质得，错误!（x＋错误!）d x＝错误!x d x＋错误!错误!d x.∵y＝x是奇函数，∴错误!x d x＝0．由例３（３）知错误!错误!d x＝错误!.∴错误!（x＋错误!）d x＝错误!.１．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤（１）分割：n等分区间[a，b]；（２）近似代替：取点ξi∈[x i—１，x i]；（３）求和：错误!f（ξi）·错误!；（４）取极限：s＝错误!错误!f（ξi）·错误!.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点（或中点）．２．定积分错误!f（x）d x是一个和式错误!错误!f（ξi）的极限，是一个常数．３．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．４．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．１．把区间[１,３]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!D．错误!B[区间长度为２，n等分后每个小区间的长度都是错误!，故选B.]２．定积分错误!f（x）d x的大小（）Ａ．与f（x）和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关Ｂ．与f（x）有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关Ｃ．与f（x）以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关Ｄ．与f（x）、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关A[由定积分的定义可知A正确．]３．由y＝sin x，x＝0，x＝错误!，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．错误!sin x d x[∵0＜x＜错误!，∴sin x＞0．∴y＝sin x，x＝0，x＝错误!，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为错误!sin x d x.]４．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,１0]，若把区间１0等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．５５[∵把区间[0,１0]１0等分后，每个小区间右端点处的函数值为n（n＝１,２，…，１0），每个小区间的长度为１．∴物体运动的路程近似值s＝１×（１＋２＋…＋１0）＝５５．]５．计算：错误!（２—５sin x）d x.[解] 由定积分的几何意义得，错误!２d x＝错误!×２＝２π.由定积分的几何意义得，错误!sin x d x＝0．所以错误!（２—５sin x）d x＝错误!２d x—５错误!sin x d x＝２π.。