正方体截面的形状 (1)
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
常见几何体的截面
常见几何体的截面
常见几何体的截面通常指的是用一个平面截取几何体后与几何体相交得到的平面图形。
在立体几何中，截面问题是一个常见的题型，它要求我们理解和想象三维几何体被切割后的样子。
以下是一些常见几何体及其可能的截面形状：
1. 圆柱体：当用一个平面去截一个圆柱体时，如果截面平行于底面，那么截面形状是一个圆形；如果截面垂直于底面，那么截面形状是一个矩形。
2. 圆锥体：圆锥体的截面可能是圆形、椭圆形或者是抛物线形，这取决于截面的角度和位置。
如果截面平行于圆锥的底面，那么截面是一个小圆形；如果截面是斜截圆锥，那么截面可能是椭圆形或者抛物线形。
3. 球体：球体的截面总是圆形，不论截面的角度和位置如何，因为球体在任何方向上都是对称的。
4. 立方体：立方体的截面可能是正方形或长方形，这取决于截面的方向。
如果截面平行于立方体的一个面，那么截面是一个正方形；如果截面与立方体的一个面成一定角度，那么截面是一个长方形。
总的来说，了解这些常见几何体的截面形状对于解决立体几何问题非常有帮助，尤其是在处理高考或数学竞赛中的综合题目时。
细说正方体的截面图形
细说正方体的截面图形在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。
截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体，发展正确的空间观念。
对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。
现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。
一个平面截正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。
正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面，所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。
一、截面图形是三角形用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形1.截面图形是锐角三角形如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ，BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +.（1）如图①，当a ≠b ≠c 时，则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。
（2）如图②，当a=b ≠c 时，则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。
同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。
（3）如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形2.截面图形不能是直角三角形如图①，2EF =22b a +，2FG =22c b +,2EG =22c a +,则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。
3.截面图形不可能是钝角三角形如图①，cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ⋅-+2222=22222222222ca b a c b c a b a +⋅+--+++ =22222c a b a a +⋅+>0,则0<∠FEG< 90.同理可得0<∠EFG< 90.0<∠EGF< 90. 所有截面图形不可能是钝角三角形。
【精编版】最新北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及答案—1.3截一个几何体(4)
北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及答案—1.3截一个几何体（4）1．截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．如图所示，阴影部分就是截面．谈重点截面的理解①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关．③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何体可能有多种不同形状的截面．【例1】下列关于截面的说法正确的是( )．A．截面是一个平面图形B．截面的形状与所截几何体无关C．同一个几何体，截面只有一个D．同一个几何体，截面的形状都相同解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知，A是正确的；截面与几何体的形状有关，B是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不同，所以C，D是错误的．故选A.答案：A2.正方体的截面正方体截面的形状：如图所示，正方体的截面的形状可以是：(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①.(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④.(3)五边形，如图⑤.(4)六边形，如图⑥.正方体中不同形状的截面的截法：(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形．(2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形．(3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形．(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形．(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形．【例2】下列说法正确的是( )．①正方体的截面可以是等边三角形②正方体不可能截出七边形③用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形④正方体的截面中边数最多的是六边形A．①②③④ B．①②③C．①③④ D．①②④解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以最多与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确．答案：D3．圆柱、圆锥、球的截面(1)圆柱的截面用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分．(2)圆锥的截面用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分．(3)球体的截面用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆．【例3】下列几何体的截面分别是__________、________、________、________.解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意截面是否与底面平行或垂直．答案：圆长方形三角形圆4．根据截面判断几何体(1)常见几何体截面的比较常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表：(2)根据截面判断原几何体的方法：①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台．②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形．【例4－1】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )．A．圆柱和圆锥B．球体和圆锥C．球体和圆柱D．正方体和圆锥解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可以截出三角形，故选C.答案：C【例4－2】一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)．分析：本题考查由截面的形状判断几何体．用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体．综合两个条件可得该几何体可能是圆柱．解：这个几何体可能是圆柱．点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确判断出几何体的形状．5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关．【例5－1】__________个．解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增加了一个顶点，有9个．答案：9【例5－2】如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有________个顶点，有________条棱，有________个面．解析：剩下的部分是一个五棱柱，故有10个顶点，15条棱，7个面．答案：10 15 76．截面的应用把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积．如图所示．【例6】72平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？分析：木料被锯成4段，实际上可以看成用3个平面去截一个长方体，每个截面处增加2个相等的面，共增加了3×2＝6个面，这6个面的面积和是72平方厘米，可先求出每个面的面积，再求体积．解：因为将木料锯成4段，则表面积多出6个面，且每个面的面积相等，所以72÷6＝12(平方厘米)．所以原木料的体积是12×200＝2 400(立方厘米)．答：这根木料原来的体积为2 400立方厘米．点评：①长方体的体积＝横截面的面积×长；②注意本题单位要统一．。
正方体的截面形状
①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面不能是直角梯形；
⑤截面可以是五边形；截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形；
⑥截面可以是六边形；截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等；
⑦截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形，特别地可以是正六边形．
对应截面图形如下图中各图形所示．。
正方体的截面问题研究资料讲解
正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。
【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。
再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。
【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。
五年级：正方体截面图形
关于正方体截面图形的研究报告问题背景：一天，妈妈在切胡萝卜做菜，突然问我：“成宇轩，这个胡萝卜块切成了什么形状，你知道吗？”我跑过去一看，笑着说“就是一个正方体”，妈妈说，“最近你的课外书上提到正方体截面的问题，你解决了吗？”我说，“还没有啊，我感觉答案有很多啊”，妈妈摇摇手中的胡萝卜说，“这个可以帮助你吗？”对啊，我一拍脑门，对了，可以动手实验一下。
研究目标：通过动手操作实践，研究将一个正方体切一刀，截面可能是几边形？研究过程：一、材料准备：用胡萝卜切成正方体形状二、实验步骤：1、胡萝卜切成小正方体。
2、将刀和正方体的三条边接触，使得截面成三角形。
还可以这样切，即切到三个对角时，截面是一个大的等边三角形。
3、将刀和正方体的四条边接触，使得截面成四边形，这两个四边形（如下图）。
这副图的截面是长方形：这副图的截面是正方形：4、还有截面是梯形的，这是将刀从上面两边切起到下面的两个顶点。
5、将刀和正方体的两条棱接触，即把正方体截成体积相等的两部分，使得截面成四边形。
6、将刀由上面的一条棱切起，并接触到下面的两条棱，使得截面成四边形。
7、将刀和正方体的五条棱接触，使得截面成五边形。
8、将刀和正方体的六条棱接触，使得截面成六边形，切的时候感觉为了容易一些，最好和每条棱的中点接触比较好。
三、实验结论：1、将正方体切一刀，可以得到三角形、长方形、正方形、梯形这样的四边形、五边形和六边形。
2、切的过程中，刀接触到几条边，截面就有几个角，形成的截面就是几条边，截面就是几边形。
3、特别发现两点：第一是若刚好切到三个对角时，截面是一个大的等边三角形。
六边形截面比较难切好，只要把刀接触到六条棱的中点，就很容易形成六边形截面。
实验感想：在妈妈的鼓励下，我通过自己动手实践解决了这个困扰我的问题，我感到很高兴。
通过这样的研究活动，我感到非常有收获，本来在我的头脑中很难想象出的五边形、六边形这样的图形，通过亲手切出来，我感觉现在我可以很轻松的想象出五边形和六边形截面图形。
几何体截面的形状
几何体截面的形状取决于几何体的形状以及截取的方向和角度。
以下是一些常见的几何体截面形状：
1. 正方体：截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
2. 长方体：截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
3. 圆柱体：截面可能是圆形、椭圆形、矩形、三角形等。
4. 圆锥体：截面可能是圆形、椭圆形、抛物线等。
5. 球体：截面可能是圆形、椭圆形等。
需要注意的是，对于不规则的几何体，其截面的形状也可能不规则。
此外，对于一些复杂的几何体，如多面体等，其截面的形状也可能比较复杂。
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正方体截面的形状
问题一：用一个面截一个正方形我们可以得出一共有这几种情况
一．截一个顶点
则截面为三角形
二．截二个顶点
截面为矩形或梯形
三．截三个顶点
截面为五边形
四．截四个顶点
截面为矩形或正方形
问题二：如果截面是三角形
一．可以截为等腰三角形
当R为EF的中点
S为FG的中点时
可以得出
RT=ST
则三角形RST为等腰三角形
二．可以为等边三角形
当R为EF的中点
S为FG的中点
T为FB的中点时
可以得出
RT=ST=RS
则三角形RST为等边三角形
三．可以为任意三角形
当R为EF上任意一点
S为FG上任意一点
T为FB上任意一点时
可以得出
三角形RST为任意三角形
问题三：如果截面是四边形
一．可以为正方形
当K、L、I、、J分别为
AD、BC、GI、FE、的中点时
可以得出
四边形K JL为正方形
二．可以为梯形
当L、K分别为EF、FG的中点
I、J分别为AB、BC的中点
可以得出
LK∥IJ且LK≠IJ
四边形LIJK为梯形
三．可以为矩形
当OG=EN、AM=PC时
可以得出四边形NMPO为平行四边形且ON⊥NM
四边形OMPO为矩形
问题四：为正多边形
截面只以为正四边形
问题五：截面为三角形是的最大面积如右图
设：正方形的边长为a
则EB=2^(1/2)*a
则三角形EGB 的高为6^(1/2)*1/2*a
面积为3^(1/2)*1/2*a^2。