高二年级第一次月考数学(理科)试卷
高二年级第一次月考数学（理科）试卷线性回归方程y a bx =+，其中1122222212n n nx y x y x y nx yb x x x nx+++-=++- ，a y bx =-一、选择题1、某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 5002、如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，下列对乙运动员的判断错误的是（ ）A ．乙运动员的最低得分为0分B ．乙运动员得分的众数为31C ．乙运动员的场均得分高于甲运动员D ．乙运动员得分的中位数是283、从数字1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为（ ）A ．112B ．16C ．13D ．124、如右框图，若输入的,,a b c 分别为1，2，3，则输出的,,a b c 分别为（ ）A ．3，2，1B ．2，2，0C ．6，2，1D ．6，2，－4 5、下列程序的功能是（ ） A ．计算1+2+3+4+5B ．计算1+2+3+4+5+6 C ．计算1×2×3×4×5 D ．计算1×2×3×4×5×6 6、如右框图是计算2×4×8×…×2100的值，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．1002i >B．502i > C ．50i > D ．100i > 7、设{1,}i x ∈-且i x 出现1-或1的概率相等，其中1,2,3i =，则事件“1231x x x ++=”的概率是（ ） A ．18B ．14C ．38D ．128、在样本的频率分布直方图中，一共有m (m ≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m －1个小矩形面积和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是 （ ）A ．10B ．25C ．20D ．409、一组数据i x (1≤i ≤8)从小到大的茎叶图为：中x 是这4|0 1 3 3 4 6 7 8，在如图所示的程序框图8个数据的平均数，则输出的s 2的值为( )A ．7B ．8第4题 甲 乙 8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 4 1 3 8 9 3 1 6 1 7 4 4 第6题2A =1B =DoB A B =*1A A =+5Loop While A ≤B 输出第5题 K=0For m=1 to 20 step 2 For n=1 to 20 If n=2*m then k=k+1 End if Next Next 输出 KC ．9D ．5610、右边语句执行后输出K 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11、对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，采用系统抽样，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为_____________；12、某种产品的广告费支出与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据________________； 13、中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_____；14、令()y f x =，给出一个语句如右所示，根据语句，可求得{}=-)]1([f f f ； 15、右边的程序框图执行完毕后，输出n 的值为______________。
高二年级第一次月考数学（理科）试卷答题卡二、填空题（5×5=25分） 11、12、_____13、 14、_15、三、解答题16、（12分）已知骰子各面点数分别是1,2,3,4,5,6，现将A ，B 两个均匀的骰子各抛掷1次，向上的点数分别记为,x y ，计算下列事件的概率 ⑴4x y +=； ⑵4≥xy 。
x输入0If x Then<2y x =Else2If x Then =32y x =+Else21y x =-End If End If y输出17、（12分）把一个正方体的表面涂上蓝色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割若干个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，如果从中任取1个，求下列事件的概率⑴事件A＝“这个小正方体各个面都没有涂蓝色”；⑵事件B＝“这个小正方体只有1个面涂蓝色”；⑶事件C＝“这个小正方体至少2个面涂蓝色”。
18、（12分）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，899，试写出第二组第一位学生的编号 ___ ；（2）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)和补全频率分布直方图（3）所抽取的这些数据的中位数可能在直方图的哪一组?（4）若成绩在75.5 85.5分的学生为二等奖，估计获二等奖的学生为多少人？19、（12分）在1，2，3，4，5五条线路的公交车都停靠的车站上，张先生等候1，3，4路车，已知每天2，3，4，5路车经过该站的平均次数是相等的，1路车经过该站的次数是其他四路车经过该站的次数之和，若任意两路车不同时到站，求首先到站的公交车是张先生所等候的车的概率.20、（13分）下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，程序用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分，试回答下列问题：（1） 在程序中，“k=0”的含义是__________________横线①处应填______________________（2） 执行程序，输出S ，T ，A 的值分别是多少？ S=______________; T=______________; A=______________（3） 请分析该班男女生的学习情况．21、（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232n n n S +=。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若 ( n n a n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩n为奇数）2（为偶数），数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）A 同学利用第（2）小题中的n T ，设计了一个程序如图，但B 同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）。
你是否同意B 同学的观点？说明理由。
上高二中高二年级第一次月考数学（理科）答案一、选择题 1-5 CADDC 6-10 ACCAC 二、填空题.11、57 12、 6.517.5y x =⨯+ 13、192814、5 15、24三、解答题16、解： 基本事件共有36种 4分 满足4x y +=的有(1,3),(2,2),(3,1)共3种 (4)313612x y P +=∴== 4分 又 满足4x y < 的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)共5种(4)(4)531113636x y x y P P ≥<∴=-=-= 4分17、解：⑴不在大正方体表面的小正方体没有涂蓝色共8个 81()648P A == 4分 ⑵在大正方体表面且不在棱上及顶点的小正方体只有1个面涂蓝色，共24个243()648P B == 4分⑶1()1()()2P C P A P B =--= 4分18、（1）018 3分 (2) 如上所示 6分 （3）第4组。
9分(4) 约为0.26⨯900=234（人） 12分19、解：(1)设Ai 表示事件“第i 路车首先到站”(i=1，2，3，4，5).由题设可知 P(A1)=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)， ① 2分 P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A5)， ② 2分 P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=1. ③ 2分50.560.570.580.590.5频率/组0．008 0．016 0．020．024 0．032联立①②③解得，P(A1)=21 ，P(A3)=P(A4)= 81. 2分 因为A1，A3，A4彼此互斥，所以P(A1+A3+A4)=P(A1)+P(A3)+P(A4) = 43， 故所求的概率为434分 20、(1)k=0表示男生，横线①处应填：32TS + 4分 （2）S=76.9(或76.88或171307或77) T=78 A=77.4(或77.41或322477) 10分(3) 女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重． 13分 21、（1）1112n a S ===当时，；2213(1)3(1)2122n n n n n n n n a S S n -+-+-≥=-=-=+当时，所以数列{}n a 有通项公式 1 (*)n a n n N =+∈………….4分（2）由（1）知 1 ( n n n b n +⎧=⎨⎩n 为奇数）2（为偶数）当n 为偶数时，24646222224262...2............................................522...2)(2)22421422 (7214433)n n n n n T n nn n n +=+++++++++++++-⋅+=+=+⋅--2分=(2+4+6+...+n)+(2分当n 为奇数时，2461461212122224262...(1)2(1)..........................522...2)1(21)224431422 (7214433)2142,433n n n n n n T n n n n n n n n n ---++=+++++++-++++++++++-⋅++=+=+⋅--++⋅-∴=2n 分=[2+4+6+...+(n+1)]+(2分（为偶数T 21.........................................943142,(433n n n n +⎧⎪⎪⎨++⎪+⋅-⎪⎩）分为奇数） （3）由图知224(*)4n n P n T P n N =+=-∈n ，设d 当n 为奇数时，22111213111343141722422343343122460,5,5{},2009,2009..................................................................12n n n n n n n n n n n d n n d d n d d d d d d ++++++=+⋅---=⋅---=->≥∴∴≠若则从第项开始的奇数项递增，而，，...，均小于2009且>分当n 为偶数时，2221222410122142474224243343232470,4,........................................................134{},2009, 2009n n n n n n n n n n n d n n d d n d d d d d d +++++=+⋅---=⋅---=->≥∴∴≠若则分从第项开始的偶数项递增，而，，...，均小于2009且> 2009(*),2009(*)n n d n N T P n N B ≠∈-≠∈因此即因此同学的观点正解。
安徽省涡阳育萃高级中学2021学年下学期高二年级第一次月考数学试卷(理科)
安徽省涡阳育萃高级中学2020－2021学年下学期高二年级第一次月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13i i 42z =--，则2z =（ ）A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --2．已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()()135810,2360n S a a a a a ++++=，则11S的值为（ ）A ．33B ．44C ．55D ．664．已知1a b >>，给出下列不等式：①11b ba a +>+；②11ab a b +>+；③3322a b a b +>；④11a b b a+>+；其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =（ ） A ．－4B ．－2C ．2eD ．6．双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>，圆22:(2)3M x y ++=与双曲线C 的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）AB C ．2D ．27．对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，则2a =（ ）A ．6B ．9C ．12D ．218．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72B C ．3D ．9．已知直线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，4FA FB =，则k=（ ）A ．34B ．54C ．3D ．32210．已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）A ．(3,2)--B ．[3,2]--C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞-11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题 ①直线EF 与直线AC 平行；②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是3π．其中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式31ln 3f x x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞ B ．()20210,e C ．()2021,e+∞D ．()60630,e第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________14．把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有__________种（用数字作答）15．函数()sin co (0)s 2f x x x x x π=+≤≤的最大值为________16．已知圆1C ：()2223x y a ++=（7a >）和2C ：()2231x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C SSS+=，则的值为__________三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2020至2021学年度高二第一次月考题及答案
商南高中2020-2021学年度第一学期第一次月考高二数学（理科）试题命题人：熊明江一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24 2.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3.设集合A ＝{x |(x －1)2＜3x ＋7，x ∈R }，则集合AN *中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．74.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A ．201斤 B ．191斤 C ．184斤 D ．174斤5.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( ) A ．2B ．4C ．8D ．166.已知数列{a n }满足12(1)(),2n n n a na n N a *++=∈=，等比数列{b n }满足1122,b a b a ==，则{b n }的前6项和为( )A ．－64B ．63C ．64D ．1267.在ABC ∆中，1cos 3A =，23AB BC ==，，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C．D．8.如图，某山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°，从B 处攀登400米后到达D 处，再看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°，从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为( )A． B． C． D．米 9.设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1. 其中正确的命题为 (写出所有正确命题的序号)． A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④10.在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A. π12B. π6C. π4D. π312.已知数列{a n }满足：a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做“希望数”，则区间[1，2020]内所有“希望数”的和M ＝( )A ．2043B ．2046C ．2036D ．2026二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 3＝15，则a 1＝________．14.对于不等式221(2)328t t x x -≤-+，则对区间[]0,2上的任意x 都成立的实数t 的取值范围是_______．15．数列{a n }的各项排成如图所示的三角形，其中每一行比上一行增加两项，若a n ＝a n (a ≠0)，则位于第10行第8列的项是第______项，2020a 位于图中的第________行，第________列．（3个空分值依次为3分、1分、1分）a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……16.在ABC ∆中，已知AB 边上的中线CM=1，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.三．解答题：本大题共6小题，共70分. 17(本小题满分10分)（1）解不等式：x 2−3x+2x 2−2x−3≤0.（2）不等式(m-2)x 2+2(m-2)x-4<0对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围.18. (本小题满分12分) S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知429a a =，313S =，且公比q>0.(1)求a n 及S n .(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分12分)如图，平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．20. (本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且23sin 2A ＋B2＝sin C ＋3＋1. (1)求角C 的大小； (2)若a ＝23，c ＝2，求b .21. (本小题满分12分) 已知非零数列{a n }满足13()n n a a n N *+=∈，且12,a a 的等差中项为6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2log 3a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1的取值范围．22. (本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ．已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n．2020至2021学年度高二年级第一次月考数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分,共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBCCBCABBBD二、填空题（每小题5分,共20分）13． 1 14．(),1313,⎤⎡-∞-⋃++∞⎦⎣ 15．89,45,84 16．233三.解答题（本大题共6小题，共70分.）17.解：（1）{x|-1<x ≤1或2≤x<3}；……………5分（2）(-2，2] ………………10分18. 解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q ＝13，q >0，解得⎩⎨⎧q ＝3，a 1＝1，……4分∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1，……5分 S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n－12.……6分(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，又∵(S 2＋λ)2＝(S 1＋λ)·(S 3＋λ)，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)·(λ＋13)，∴λ＝12.……9分此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，……10分故存在λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以S 1＋12＝32为首项，公比为3的等比数列．……12分19. 解：(1)由△DAC 关于∠CAD 的余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－DC 22AD ·AC ＝1＋7－42×1×7＝277，所以cos ∠CAD ＝277.…………5分(2)因为∠BAD 为四边形内角，所以sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0，则由正余弦的关系可得 sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝18914且sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217， 再有正弦的和差角公式可得sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD ＝18914×277－217×(－714)＝337＋314＝32，…………9分再由△ABC 的正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝BC sin ∠BAC⇒BC ＝7216×32＝3.…………12分 20. 解：(1)∵23sin 2A ＋B2－(sin C ＋3＋1)＝0，∴23cos 2C2－(sin C ＋3＋1)＝0. 即23·1＋cos C 2－(sin C ＋3＋1)＝0，即3cos C －sin C ＝1，cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12.……3分 ∵C 为△ABC 的内角，∴0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π6.从而C ＋π6＝π3，∴C ＝π6.……6分 (2)∵a ＝23，c ＝2，∴由余弦定理得b 2＋(23)2－2×b ×23cos π6＝2，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2……9分或b ＝4.……12分21. 解：(1)由a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，得{a n }为等比数列且公比q ＝3.…………2分∵a 1，a 2的等差中项为6，即a 1＋a 1q ＝12，解得a 1＝3，故a n ＝3n.…………4分(2)由b n ＝2log 3a n ＝2n ，得1b n b n ＋1＝12n ·2（n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，…………6分∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.…………8分 ∵14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1可以看成关于n 的单调递增函数，∴当n ＝1时，S n 取得最小值18，…………10分且14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<14，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1∈⎣⎡⎭⎫18，14.………………12分22. 解：(1)由题意有，⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，…………2分 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1……4分或⎩⎨⎧a n ＝192n ＋79，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.……6分(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，……7分于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ．②…………9分 ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，…………10分 故T n ＝6－2n ＋32n －1．……………………12分。
长丰一中2010-2011学年度高二第一次月考数学试卷(理科)
长丰一中2010—2011学年度第一学期高二年级第一次月考数 学 试 卷（理科）本卷满分150分，时间120分钟，范围是必修2第一、二两章出卷：黄先锋（2010-10-15）一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D2、一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6π. 则这两条直线的位置关系 （ ）A．必定相交 B ．平行C．必定异面 D ．不可能平行 3、．下列命题正确的是 （ ）b a ba A ////.αα⇒⎭⎬⎫⊂b a b a B //.⇒⎭⎬⎫⊥⊥αααα//.b b a a C ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b a a D //.4、下列说法正确的是（ ）A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M5．图中给出的是长方体形木料，想象沿图中平面所示位置截长方体，若那么截面图形是下面四个图形中的 （ ） A B C D6、如图，半径为1的⊙O ⊂平面α，PO ⊥α, 直线l ⊂α， 且l 和⊙O 相切，若PO=22，则点P 到l 的距离 （ A .7 B .5 C .3 D. 不能确定O7．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ ）A ．51B ．52C ．53D ．548、．如图，在正三棱锥P---ABC 中，∠BPC=400，PA=4. 过点A 的截面AMN 分别交侧棱PB,PC 于M,N ．则截面周长的 最小值为（ ）A 2 BCD第8题图 第9题图9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) AB ．2C．D ．610、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11、圆台上､下底面面积分别为π､4π,侧面积为6π,这个圆台的体积为( )12、．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心C....A B C D 363B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题（每题4分，计16分）13、AB 、CD 是两条异面直线，则直线AC 、BD 的位置关系一定是 (填“平行”、“相交”或“异面”) 14、．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，则球的体积是 15、若某几何体的三视图（单位：mm ）如图所示，则此几何体的体积是 ．16．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数)，设黑“电子狗”爬完2 006段，黄“电子狗”爬完2 007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是__________第15题图AB C DPF E长丰一中2010—2011学年度第一学期高二年级第一次月考数学答题卷（理科）一、选择题二、填空13、 14、 15、 16、三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+14分，共计76分）17、.已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=a，E、F是侧棱PD、PC的中点。
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣52．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或19．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x）dx= ．14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【考点】导数的几何意义．【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴y′|x=1∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．2．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D， ===，∴D式正确．故选：D．3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由，可得或∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：（﹣x+）dx=（﹣x2+x）=．故选B．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．故选A7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x2﹣lnx）则有k=y′|x=x0=2x﹣．∴2x0﹣=1，∴x=1或x=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选D12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x ＜﹣2016，故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x ）dx= 0 ．【考点】定积分．【分析】方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=sin π=0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sin π=0．【解答】解：方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sin π=0，（x+cos2x ）dx=0，故答案为：0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，∴由定积分的性质，xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x ）=2sin π=0，∴（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx=0，14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，∴f′（x）=2xf'（）+cosx令x=，则f′（）=2×f'（）+cos则f′（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，f（e）=e又f'（e）=2，∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．当，…..20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．=g（1）=0∴g（x）min即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的单调性，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xe x．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的最大值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣xe x﹣1．当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜e x＜1，则0＜﹣xe x＜1，从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＜1．综上，总有g（x）＜1．。
四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案
高二年级理科数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点(0,2)-，且与已知直线0x y +=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++=D ．20x y -+=2．若一个圆的标准方程为221)4x y +(-=，则此圆的圆心与半径分别是 A ．1,0)4(-； B ．1,0)2(； C ．0,1)4(-；D ．0,1)2(；3．将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则x = A ．2 B ．3 C ．4D ．54．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是 A ．简单随机抽样 B ．先用分层抽样，再用随机数表法 C ．分层抽样D ．先用抽签法，再用分层抽样 5．若x ∈R ，则“44x -<<”是“22x x <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题*1:2p x x x∀∈+R ，…，则p ⌝为 A ．*00012x x x ∃∈+R ，… B ．*00012x x x ∃∈+<R ， C ．*00012x x x ∃∉+<R ，D ．12x x x∀∈+<R ， 7．下列命题正确的是A ．若0a b <<，则11a b<B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若22ac bc >，则a b >8．已知双曲线的上、下焦点分别为120,5)0,5)F F ((-，，P 是双曲线上一点且满足126||PF ||PF ||-=，则双曲线的标准方程为A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．221169y x -=D ．221916y x -=9．已知O e 的圆心是坐标原点O 0y --=截得的弦长为6，则O e 的方程为A ．224x y +=B ．228x y +=C ．2212x y +=D ．22216x y +=10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a b ，分别为39，27，则输出的a = A ．1 B ．3 C ．5D ．711．若两个正实数x y ，满足311x y+=，则3x y +的最小值为A ．6B ．9C ．12D ．1512．直线l 过抛物线220)y px p =(>的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S ，如果2|4|PF |QF |==，，M 为RS 的中点，则|MF |=A ．BC ．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷
长安一中2022—2023学年度第一学期第一次质量检测高二年级数学（理科）试题时间：100分钟总分：150分一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}2.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)4.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里 6.如图，在四面体ABCD 中，已知AB ⊥AC ，BD ⊥AC ，那么点D 在平面ABC 内的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部7．已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝⌝∧8.已知椭圆及以下3个函数：①②③；其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A, 1个 B ,2个 C, 3个 D,0个9.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．1610.已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-11.若不等式组2022020x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）A ．－3B ．1C ．43D ．3 12.直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]13.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．334B ．938 C ．6332 D ．9414.在△ABC 中，AC =3，BC =4，∠C =90∘.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−5,3]B. [−3,5]C. [−6,4]D. [−4,6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
安徽省亳州市涡阳县育萃高级中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
育萃高中高二年级第二学期第一次月考数学（理科）试题考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13i i 42z =--，则2z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 2i -+ D. 2i --C根据复数的乘法运算、复数模的运算以及复数的几何意义即可求解.()()()143i 52i 2i 2i2i 2i z -+===+-+-，又复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以22z i =-+.故选：C. 2. 已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A. 21,04x x x ∃∈-+R B. 21,04x x x ∃∈-+>RC. 21,04x x x ∀∈-+>R D. 21,04x x x ∀∈-+<R B根据全称命题的否定直接写出答案.命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()()135810,2360n S a a a a a ++++=，则11S 的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66C根据等差数列求和与通项公式求解即可.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()()1358102360a a a a a ++++=，()()1111122437960a a d a d a d a d ∴++++++++=，解得1655,5a d a +=∴=，()111116611112115522S a a a a ∴=+=⨯==，故选：C. 4. 已知1a b >>，给出下列不等式：①11b ba a +>+；②11ab a b+>+；③3322a b a b +>；④11a b b a+>+；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C利用作差法，结合题干条件，可判断①②④的正误，代入特殊值，可判断③的正误，即可得答案. 对于①：1(1)(1)1(1)(1)(1)b b a b b a ab a ab b a ba a a a a a a a++-++----===++++， 因为1a b >>，所以0,10a b a ->+>，所以101(1)b b a b a a a a+--=>++，即11b b a a +>+，故①正确； 对于②：11111(1)()1()b a ab a b a b a b a b a b a b a b ab ab ab --⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=--=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0,1a b ab ->>， 所以110a b a b ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b a b+>+，故②正确； 对于③：当3,2a b ==时，33333235a b +=+=，22223236a b =⨯⨯=， 所以3322a b a b +<，故③错误；对于④：11111()1a b a b a b a b a b b a b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0,1a b ab ->>，所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，故④正确.所以正确的有①②④.故选：C 5. 若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =（ ）A. -4B. -2C.2e D. eA设切点()00,2ln x x ，写出切线方程0022ln 2xy x x =+-，从而可得01x e=，代入切线方程即可求解.设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ， 则()002f x x '=， 所以的方程为()00022ln y x x x x -=-，则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-，故选：A.6. 双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>，圆22:(2)3M x y ++=与双曲线C 的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）A.B.C.D.A由题意先计算出圆心到渐近线的距离，然后再运用点到直线的距离公式计算出b c 、数量关系，即可求出离心率由题意可知圆心()2,0-，又因为渐近线与圆相交所得弦长为2，则圆心到渐近线双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，运用点到直线的距离公式计算2b c ==2b c=，所以a=，故ce a == A. 7. 对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，则2a =（ ）A. 6B. 9C. 12D. 21A根据题意，将3x 进行变形，变形成3[(2)2]x -+，通过二项式定理可得30031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2x C x C x C x C x -+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，由题意，可知21232326a C ==⨯=.∵3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，而330031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2x x C x C x C x C x =-+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，又3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-， 由对应相等得：21232326a C ==⨯=.故选：A.本题考查二项式定理的应用，关键点在于将3x 变形成3[(2)2]x -+，进而用二项式定理解题. 8. 在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ） A. 72B.47C. 3D. 23B利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+.故选：B. 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 9. 已知直线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，4FA FB =，则k =（ ）A. 34B.54C. 3D.2A设()()1122,,,A x y B x y ，进而联立方程得28160x kx --=，再结合韦达定理得21284y y k +=+，124y y ，又因为抛物线焦点在y 轴正半轴且4FA FB =，故1246y y =+，进而解得1218,2y y ==，34k =.解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知抛物线的焦点坐标为()0,2F ， 直线线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =联立方程得：28160x kx --=， 所以12128,16x x k x x +==-，所以()21212484y y k x x k +=++=+，()()1212224y y kx kx =++=，又因为4FA FB =，所以()12242y y +=+，即1246y y =+， 所以由1246y y =+和124y y 解得1218,2y y ==（负的舍去） 所以21218482y y k +=+=+，解得2916k =，所以34k =故选：A本题考查直线与抛物线的位置关系问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于联立方程并结合韦达定理得12128,16x x k x x +==-，进而得21284y y k +=+，124y y ，再根据焦半径公式得1246y y =+，联立方程即可得答案.10. 已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A. (3,2)--B. [3,2]--C. (,2)-∞D. (,2]-∞-D求出()1f x ≥-，令()f x t =，解()0<f t 得11a t a -<<+，然后得1()1a f x a -<<+无解，结合()f x 的值域可得结论．2()()11f x x a =--≥-，设()t f x =，则(())0f f x <化为()0<f t ，2()()10f t t a =--<，11a t a -<<+，1()1a f x a -<<+，由题意此不等式无解，则11a ≤-+，∴2a ≤-．故选：D ．11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题①直线EF 与直线AC 平行；②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是3π．其中，真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4B利用特殊位置可判断①②的正误，可证明//EF 平面ABCD ，据此可判断③的正误，利用向量的数量积可求,AF CE 夹角的余弦值，从而可求其最大值．如图1，当F 与1A 重合时，E 与1D 重合时，直线EF 与直线AC 是异面直线，故①错误．如图2，当F 与1A 重合时，E 与1C 重合时，四边形ACEF 为矩形， 故直线AF 与直线CE 平行，故②错误．因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，而EF ⊂平面1111D C B A ，故//EF 平面ABCD ， 所以直线EF 到平面ABCD 的距离为定值（正方体的棱长），故③正确． 建立如图3所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()0,,1F a ，(),1,1E b ，其中01,01a b ≤≤≤≤， 而()1,1,0C ，故()0,,1AF a =，()1,0,1CE b =- ，设直线AF 与直线CE 所成角为θ， 则1cos cos ,2AF CE θ==≥=， 若直线AF 与直线CE 不平行，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故直线AF 与直线CE 所成角的最大值是，所以④正确．故选：B ．方法点睛：空间中与直线与直线的位置关系有关的判断，应该让几何对象动态变化，在变化过程中确定位置关系，而角的最值判断，则需构建平面角，也可以通过直线的方向向量的夹角来处理．12. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭） A. ()6063,e +∞B. ()20210,e C. ()2021,e +∞ D. ()60630,eD由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 由题可设()()xf x F x e =，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e --==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==， 将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=<， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 有1ln 20213x<，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e=、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.1-根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案.根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A 将目标函数3z x y =-化为133zy x =-，z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133z y x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有__________种.(用数字作答)24首先为“爸”、“爸”的两张卡片选一个信封，再将剩下三个字放进三个不同信封进行全排列，分步相乘即得结果.5张卡片放入4个不同信封，分两步进行：第一步：“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封，先为其选信封，有14C 种选法； 第二步：“去”、“哪”、“儿”三个字放入剩下的三个不同信封，有33A 种放法，故写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有134324C A =种.故答案为：24.15. 函数()sin co (0)s 2f x x x x x π=+≤≤的最大值为________.2π 先求导，根据单调性求函数最大值即可.【详解】解：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增， ∵,(2)122f f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()f x 的最大值为2π.故答案为：2π. 易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.16. 已知圆1C ：()2223x y a ++=（7a >）和2C ：()2231x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C S SS+=，则a 的值为__________.17首先根据题意得到M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，设为2222111x y a b +=，且121a a =+，126c =，13c =，根据12123PMC PMC PC C S S S +=△△△△得到18a =，再代入121a a =+即可得到答案.因为126C C =，17r a =>，21r =，所以121C C a <-， 又因为动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切， 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切. 设动圆(),M x y ，半径为R ，所以1MC a R =-，21MC R =+，即121216MC MC a C C +=+>=， 所以M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，如图所示：设椭圆为：2222111x y a b +=，且121a a =+，126c =，13c =.因为P 是12MC C 内心，所以P 到1MC ，2MC ，12C C 的距离相等，设为h .又因为12123PMC PMC PC C SS S+=，所以1211316222MC h MC h h +⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，即119a +=，18a =， 又121a a =+，所以17a =. 故答案为：17三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知a R ∈，命题p :函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ;命题q ;关于α的不等式210x ax -+≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围;（2）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. （1）04a ≤<；（2）[)[)0,24,⋃+∞.（1）若命题p 是真命题，等价于210ax ax ++>在R 上恒成立，分别由0a =和00a >⎧⎨∆<⎩即可求解；（2）由题意可知命题p 和命题q 一真一假，分别讨论p 真q 假、p 假q 真两种情况即可求解. （1）.当p 为真时，210ax ax ++>在R 上恒成立， ①当0a =，不等式化为20010x x ++>，符合题意. ②当0a ≠时，则0a >，且240a a ∆=-<故04a <<， 即当p 真时有04a ≤<. （2）[)[)0,24,⋃+∞. 由题意知:当q 为真时，1a x x ≥+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 令()1g x x x =+，则()y g x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,2上递增， 所以()()min 12a g x g ≥== 所以当q 假时，2a < ，由（1）知当p 假时0a <或4a ≥，又因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以命题p 和命题q 一真一假， 当p 真q 假时，所以042a a ≤<⎧⎨<⎩解得02a ≤<，当p 假q 真时，0a <或4a ≥且2a ≥，所以4a ≥综上所述：a 的取值范围是[)[)0,24,⋃+∞. 方法点睛：不等式有解求参数常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ； （2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值.（1）3π；（2）3. （1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R a R B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. （1）由()sin sin sin b c CB A b a-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，可得3A π=.（2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin 3a R A ==， 又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥， 即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+=()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径，所以11tan tan B C +的最小值为3. 19. 已知等差数列的首项为2，前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的首项为1，且满足，前n 项和为a 3＝2b 2，S 5＝b 2＋b 4． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设()331log log nn n n c S b =-+，求数列{c n }的前26项和．（1）2n a n =，13n n b -=；（2）328.（1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式. （2）利用裂项相消法和分组求和可求{}n c 的前26项和.（1）由题意得：113111225452a d b q a d b q b q +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩即32221010d q d q q +=⎧⎨+=+⎩， ∴390q q -=，∵{}n b 是正项等比数列，∴3q =，则2d =， ∴()2212n a n n =+-=，11133n n n b --==.（2）()()12212nS n n n n =+=+， 则()()()()()13331log 1log 31log 1log 11n n n n n c n n n n n -⎡⎤=-++=-+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴{}n c 的前26项和为：()()()26333333log 1log 20log 2log 31log 3log 42T =--+++++--++()()3333log 25log 2624log 26log 2725+--++++()3326025log 1log 2733253282⨯+=-++=+=.思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20. 如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得PB 2.（1）求证：面PCE⊥面ABCE；（2）求PC与面ABP所成角的正弦值.（1）证明见解析；（2）222 11.（1）连结BE，可得BE EC⊥，结合两图，可得BE EC⊥，BE PE⊥，又EC PE E⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE⊥面PEC，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A为原点，分别以,AB AE直线为x轴，y 轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为z轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE，由图1可得BE EC⊥在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE===∴⊥又EC PE E BE⋂=∴⊥面PEC BE∴⊂面ABCE∴面PCE⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛ ⎝⎭()132,,,1,0,022AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令2,y =得3,z =-所以()0,2,3n =- 112,,22PC ⎛=- ⎝⎭222sin cos ,11PC n PC n PC nθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角正弦值为2211. 方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直；（2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点到左顶点的距离是2 （1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（1）由题意可得2c a =、2a c +=222a b c =+即可求出,a b 得值，进而可得椭圆C 的方程；（2）由椭圆的方程可得,A B 两点的坐标，设(,)(0,0)M m n m n >>，即可求出直线BM 、AM 的方程，进而可得点C 、D 的坐标，结合2214m n +=，计算1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅即可求解. （1）由已知可得：22222c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以(2,0)A -，(0,1)B -，设(,)(0,0)M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=. 则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1c mx n =+； 同理：直线AM 的方程为(2)2n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+. 所以21121(22)||||2122122(2)(1)ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++. 即四边形ABCD 的面积为定值2.关键点点睛：本题解题的关键点是设出点(,)(0,0)M m n m n >>，求出直线BM 、AM 的方程以及点C 、D 的坐标，直接计算ABCD S ，需要注意点(,)M m n 在椭圆上可得2214m n +=.求定值的问题往往设而不求整体消参.22. 已知函数()()1ln a f x x a x x =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()()22ln g x x f x x ax '=+-(其中()f x '是()f x 的导函数)，若函数()g x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x e <<，求()()12g x g x -的取值范围.（1）答案见解析；（2）2210,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）写出定义域，求出导函数，对a 进行分类讨论，判断单调性； （2）利用()g x 有两个极值点1x ，2x ，得到 12=x x a +，可得 ()()212112114ln g x g x x x x -=-+， 构造新函数()22114ln (1)h t t t t t e =-+<<，讨论故()h t 在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调性，求最值即可， 解：（1）()f x 的定义域为()0,∞，而()222111a x ax f x x x x-+'=+-=， 令()210h x x ax =-+=，则①当0a ≤时，()f x 在()0,∞单调递增；②当2400a a ⎧∆=-≤⎨>⎩，即02a <≤时()f x 在()0,∞单调递增；③当2a >时，210x ax -+=有两根12a x -=，22a x +=所以()f x增区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；减区间⎝⎭. 综上述，当2a ≤时，()f x 在()0,∞单调递增；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）()()222ln 22ln 1g x x f x x ax x ax x '=+-=-++，则()g x 的定义域为()0,∞+，()()221222x ax g x x a x x -+'=-+=， 若()g x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x e <<， 则方程210x ax -+=的判别式240a ∆=->， 且120x x a +=>，122111x x x e x =⇒=< 得2a >，且111x e<<.所以()()221211122222ln 22ln g x g x x ax x x ax x -=-+-+-()()()()()12121211212124ln 4ln x x x x a x x x x x x x x =+---+=-+-+211121114ln 1x x x x e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭设()22114ln 1h t t t t t e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 故()h t 在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减， 从而()()10h t h >=，()22114h t h e e e ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x -的取值范围是2210,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 研究含参数的函数的单调性：（1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；（2）利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；（3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；（4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.。
湖南师大附中高二第一次月考理科数学试卷
湖南师大附中高二第一学期第一次阶段性检测数学（理科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221x xA ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021ln x x B ，则()=B C A R I （ ）A. φB. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,1C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D. (]1,1-2. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ” B. “1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C. “2=a ”是函数“()x x f 4log =在区间()+∞,0上为增函数”的充分不必要条件D. 命题“若y x ≠，则y x sin sin ≠”的逆命题为真命题 3. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11<+nn a a ，若2053=+a a ，6453=a a ，则=4S （ ） A. 63或120B. 256C. 120D. 634. 若0>x 且1≠x ，则函数10log lg x x y +=的值域为（ ） A. RB. [)+∞,2C. (]2,-∞-D. (]2,-∞-U [)+∞,25. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x xA ，{}a x x B <-=1，则“1=a ”是“A ∩B ≠0”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 232-D.297. 4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 8. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，且11=a ，12016201820162018=-S S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前2018项和为（ ）A. 20171B. 20182017C.10092017D.201940369. 已知1-=+y x ，且x 、y 都是负数，则xyxy 1+有（ ） A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值417D. 最大值417-10. 已知函数()x x a x f cos sin +=（a 为常数，R x ∈）的图象关于直线6π=x 对称，则函数()x a x x g cos sin +=的图象（ ） A. 关于直线3π=x 对称B. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,32π对称 C. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称D. 关于直线6π=x 对称11. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()10,,2,1Λ=i a i ，且1021a a a <<<Λ，若M a i 548=，则=i （ ） A. 4B. 5C. 6D. 712. 已知函数()()1sin 2++=ϕωx x f ⎪⎭⎫⎝⎛≤>2,1πϕω，其图象与直线1-=y 相邻两个交点的距离为π，若()1>x f 对于任意的⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,12ππx 恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ D. ⎥⎦⎤⎝⎛2,6ππ二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 已知向量()2,1=，()3,4=，且()t +⊥，则实数=t ；14. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美，按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y4sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ；15. 若直线()0,002>>=-+b a by ax 始终平分圆22222=--+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为 ； 16. 已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--022*******y x y x y x ，在这两个实数x 、y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知()21cos 2sin 232-+=x x x f ，R x ∈ （Ⅰ）求函数()x f 的单调递增区间，并求满足函数()x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数的实数m 的最大值； （Ⅱ）若()310=x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,60ππx ，求02sin x 的值.18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD AB ⊥，1=AB ，7=AC ，ABC ∆的面积23=∆ABC S ，574=DC . （Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求ACD ∠的大小.19. （本小题满分12分）在公比为q 的等比数列{}n a 中，已知161=a ，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （Ⅰ）求q ，n a ；（Ⅱ）若1<q ，求满足()101212321>-+-+--n n a a a a Λ的最小的正整数n 的值.20. （本小题满分12分）如图，几何体11DC A ABC -由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，4=AB ，231=AA ，11=D A ，⊥1AA 平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱1AA 上一点，且//EM 平面D BC 1.（Ⅰ）若N 在棱BC 上，且NC BN 2=，证明：//EN 平面D BC 1；（Ⅱ）过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置（说明做法及理由），并求线段OE 的长.21. （本小题满分12分）水培植需要一种植物专用营养液，已知每投放a （40≤<a 且R a ∈）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()x af y =，其中()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=5252033x x x x xx f ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（Ⅰ）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可持续几天？（Ⅱ）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放b 个单位的营养液，要使接下来的2个单位的营养液天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值.22. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n ,在直线21121+=x y 上. 正项数列{}n b 满足221++=n n n b b b ()*∈N n ，且273=b ，前3项和为39.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列(){}na n a 25⋅-的前n 项和nT ；（Ⅲ）设数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-212n n b b 的前n 项和为n M ，求证：对任意*∈N n ，都有2<n M .。